圆经典例题分析总结

圆经典例题分析总结

经典例题透析

1．垂径定理及其应用

在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.

1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.

思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.

解：(1)作法略.如图所示.

(2)如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，

∵OC⊥AB，

∴.

由题意可知，CD=4cm.

设半径为x cm，则.

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴.

∴.

即这个圆形截面的半径为10cm.

总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.

举一反三：

【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学

语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )

A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸

答案：D

解析：因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.

根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，

知(寸)，在Rt△AOE中，，

即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).

2．圆周角及其应用

圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.

2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( )

A.30°

B.60°

C.75°

D.90°

思路点拨：本题可求先出∠BAC的度数，∠BAC所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为360°-120°=240°，所以，因此，

.

答案：B.

举一反三：

【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.

答案：∠6，∠2，∠5.

解析：本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有∠1 =∠6=∠2=∠5.

【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.

(1)说明AC⊥OD；(2)求OD的长.

解：(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵OD∥CB，∴∠ADO=∠C=90°，

∴AC⊥OD.

(2)∵OD∥BC，O是AB的中点，

∴D是AC的中点，

∴.

3．切线的性质及判定

涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.

3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.

思路点拨：如图所示，过A作⊙O的直径AD，连接DC，利用角的关系，可证明∠

NAC与∠B相等.

证明：过A作直径AD，连接DC，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠DAC= 90°.

∵∠B=∠D，∴∠B+∠DAC=90°.

∵MN是⊙O的切线，

∴∠NAD= 90°，

∴∠NAC=∠B.

总结升华：已知切线，经常添加过切点的半径或直径，利用直径(或半径)与切线的垂直关系来解决问题.

举一反三：

【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.

答案：147°.

解析：因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°，

得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.

【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.

思路点拨：已知是⊙O的切线，连接过切点C的半径OC，易得AE∥OC∥BF，因为O是直径的中点，因此，EC=CF.

解：连接OC.

∵EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF.

∵AF⊥EF，BF⊥EF，

∴AE∥OC∥BF.

∵AO=BO.∴EC=CF.

总结升华：利用圆心是直径的中点，本题可证得OC为梯形AEFB的中位线.进一步可得AE+BF=AB.

【变式3】如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A 点，则图中的角应满足的条件是________________(只填一个即可).

答案：∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.

4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.

答案：99°.

解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，

在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.

举一反三：

【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；

证明：连接OD, 则∠ODC=90°，∠ODE=∠OED，

由切线长定理得：CD=CB，

∴Rt△ODC≌Rt△OBC，

∴∠COB=∠COD，

∵∠DOE+2∠OED=180°，

又∠DOE+2∠COB=180°，

∴∠OED=∠COB，

∴DE//OC

4．两圆位置的判定

在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不