数字滤波器的原理

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§ 4-2 数字滤波器的分类
按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系统 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR 按频带分类： 低通, 高通, 带通, 带阻
按系统冲击响应（或差分方程）分类： 可以分成无限冲击响应 IIR 和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两 种滤波器都可以现实各种基本滤波器频率特性要求，但它们在计算流程、 具体特性逼近等方面是有差别的。
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级联型结构的优缺点： 优点： 简化实现，用二阶基本节，通过变换系数就可实现整个 系统； 极、零点可单独控制、调整，调整 1k 、 2 k可单独调整第 k 对零点，调整 1k 、 2 k 可单独调整第k对极点，从而便于调 整滤波器频率响应性能 各二阶基本节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小 运算误差； 可流水线操作。 运算的累积误差较小 具有最少的存储器 缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比 减小。
差分方程:
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
N
M
需N+M个 延时单元
上述结构缺点： 需要N+M个延迟器（z-1），太多。
系数ak、bk对滤波器性能的控制不直接，对极、 零点的控制难，一个ak、bk的改变会影响系统的 零点或极点分布。 对字长变化敏感（对ak、bk的准确度要求严格）。 易不稳定，运算的累积误差较大，阶数高时，上述影响更
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
A
A为常数
pk 和ck 分别为实数零、极点
M M1 2M 2 N N1 2 N 2
* qk , qk 和d k , d k*分别为复共轭零、极点
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将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。 为采用相同结构的子网络，也将两个实零点/极点组合成二 阶多项式
0 k 1k z 1 G0 1 2 1 1k z 2 k z
N 1 2 k 1
H
k
( z)
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并联型的特点：
2 k可单独调整一对极点位置。 • 通过调整系数1k ，
• 各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差 最小 • 可同时对输入信号进行运算（并行运算），故 运算速度最高 • 缺点： 不能直接调整零点，因多个二阶节的零点 并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传 输零点时，级联型最合适。
数字滤波器的原理与结构
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§4-1 数字滤波器的原理 §4-2 数字滤波器的分类 §4-3 数字滤波器的表示 §4-4 IIR数字滤波器的基本网络结构 §4-5 FIR数字滤波器的基本网络结构
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§ 4-1 数字滤波器的原理
数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数 字信号处理的重要基础。 数字滤波器的本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另 一组输出的数字序列。
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§4-3 数字滤波器结构的表示 数字滤波器的系统函数：
k b z k M
Y ( z) H ( z) X ( z)
常系数线性差分方程:
N
1 ak z k
k 1
k 0 N
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
k 1 k 0
1）系统的单位抽样相应h(n)无限长 2）系统函数H(z)在有限z平面（ 0 z ）上有极点存在 3）存在输出到输入的反馈，递归型结构
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IIR数字滤波器的基本结构：
– 直接Ⅰ型 – 直接Ⅱ型（典范型） – 级联型
– 并联型
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1、直接Ⅰ型
将系统函数整理为：
1.5 2.1z 0.4 z H z= 1 0.3z 1 0.2 z 2
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1
2
1.5 2.1z 1 0.4 z 2 1 0.3z 1 0.2 z 2
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1.5 2.1z 1 0.4 z 2 H ( z) 1 0.3z 1 0.2 z 2 a2 0.2 b0 1.5 b1 2.1 b2 0.4 得 a1 0.3，
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例3、给出以下系统函数的并联型实现： 5.2 1.58 z 1 1.41z 2 1.6 z 3 H z= 1 0.5z 1 1 0.9 z 1 0.8 z 2 解：对此函数进行因式分解并展成部分分式，得



5.2 1.58 z 1 1.41z 2 1.6 z 3 H z 1 1 2 1 0.5 z 1 0.9 z 0.8 z 0.2 1 0.3z 1 4 1 1 0.5z 1 0.9 z 1 0.8 z 2
z
1
z
1
a
a
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例：二阶数字滤波器
y (n) a1 y (n 1) a2 y (n 2) b0 x(n)
方框图结构 流图结构
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流图结构
节点
– 源节点 – 阱节点 – 网络节点
• 分支节点 • 相加器
• 支路 – 输入支路 – 输出支路
11 1 21 0 11 0.5 21 0
12 1.4 22 1 12 0.9 22 0.8
考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下四种级联型网络：
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4、并联型 将因式分解的H(z)展成部分分式： ( M N )
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1 1k z 2 k z H ( z ) A A H k ( z ) 1 2 2k z k 1 1k z k
1 2
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N 1 !种 当M=N时，二阶因子配对方式有 2 N 1 !种 各二阶基本节的排列次序有 2
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例1、用直接I型及典范结构实现以下系统函数：
3 4.2 z 1 0.8 z 2 H z= 2 0.6 z 1 0.4 z 2
解：根据IIR滤波器的系统函数标准式
m b z m M
H z=
1 an z n
n 1
m 0 N
Y z X z
滤波的定义：对输入信号通过一定的处理得输出信号，这个处理通常是 滤除输入信号的某些频率成分；保留信号中某些频率范围内的有用信号成分。 所以把这种处理的过程称为滤波。 滤波器的定义：实现滤波处理的运算电路、或设备称为滤波器。 数字滤波的定义：对数字信号序列通过一定的算法进行处理，提取信号 中某频率范围内的信号成分的过程称为数字滤波。
1 1k z 1 2 k z 2 H ( z ) A A H k ( z ) 1 2 2k z k 1 1k z k
N 1 当M N时，共有 节 2
当零点为奇数时： 有一个 当极点为奇数时： 有一个
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2k 0 2k 0

k 1
0 k 1k z 1 G0 1 2 1 1k z 2 k z
N 1 2 k 1
H
k
( z)
当N为奇数时，有一个 2 k 1k 0
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H ( z ) G0
N 1 2

k 1
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N 1 / 2
G0 4 11 0.5 21 0 01 0.2 11 0
则并联结构：
12 0.9 22 0.8 12 0.3 02 1
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转置定理：
原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输 出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。
M
数字滤波器的特性通常用其频率响应函数 H (e j ) 来描述，包括幅度
j j 特性 H (e ) 和相位特性 arg(H (e )) 。
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
N
M
基本运算单元
单位延时 常数乘法器 加法器
方框图
流图
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例4：设IIR数字滤波器差分方程为：
0 k 1k z 1 H z G0 1 2 1 z z k 1 1k 2k 则 G0 4 11 0.5 21 0 12 0.9 22 0.8 01 0.2 11 0 12 0.3 02 1

则 A4
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1 1 2 1 0.5 z 1 0.9 z 0.8 z
4 1 z 1 1 1.4 z 1 z 2
11 1 21 0 11 0.5 21 0
12 1.4 22 1 12 0.9 22 0.8 24
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例2、用级联型结构实现以下系统函数：
H z=
z 0.5 z
4 z 1 z 2 1.4 z 1
2
0.9 z 0.8
试问一共能构成几种级联型网络。
1 1k z 1 2 k z 2 解：H z A 1 2 1 z z k 1k 2k
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节点的值=所有输入支路的值之和 支路的值=支路起点处的节点值 传输系数
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数字滤波器的设计步骤:
1）按照实际需要确定滤波器的性能要求；
2）用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性
能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和FIR。 3）用一个有限精度的运算去实现这个传递函数。包括选择 运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及 快速卷积（FFT）型等，及选择合适的字长和有效的数字处 理方法等。
直接I型结构：
典范型结构：
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3、级联型
将系统函数按零极点因式分解:
k b z k M 1 1 * 1 (1 p z ) (1 q z )(1 q k k kz ) 1 1 * 1 (1 c z ) (1 d z )(1 d k k kz ) k 1 k 1 k 1 N1 k 1 N2 M1 M2
N2 Ak 0 k 1k z 1 H ( z ) G0 1 1 2 1 c z 1 z z k 1 k 1 k 1k 2k N1
N N1 2 N 2
组合成实系数二阶多项式：
N 1 2
H ( z ) G0
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§4-4 IIR数字滤波器的基本网络结构 IIR数字滤波器的特点：
Y ( z) 系统函数： H ( z ) X ( z)
N
b z
k k 0 N kLeabharlann Baidu1
M
k
1 ak z k
M
差分方程： y (n ) ak y (n k ) bk x (n k )
大。
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2、直接Ⅱ型（典范型）
只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，故称典范型。
（N
M）
直接II型优缺点：
优点：延迟线减少M个，为N个，可节省寄存器或存
储单元。
缺点：同直接型。 通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统， 而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统（一、二阶） 来实现。