[清华大学-数据结构-王红梅]第6章-专题1-图的逻辑结构

数据结构（C＋＋版）
不同结构中逻辑关系的对比
A
B
C
D
E
F
线性结构
A
B
C
V0
V1
V2
D
EF
树结构
V3
V4
图结构
在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系； 在树结构中，结点之间具有层次关系； 在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。
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Байду номын сангаас
数据结构（C＋＋版）
不同结构中逻辑关系的对比
A
B
C
D
E
F
线性结构
A
B
C
V0
V1
V2
D
EF
树结构
V3
V4
图结构
在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继； 在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子； 在图结构中，顶点之间的关系为邻接。
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间 都存在边，则称该图为无向完全图。
V3 是有向边，则称该图为有向图。
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同 一条边不重复出现。
V0
V1 V0
V1 V0
V1
V2
V2
V3
V4 V3
V4 V3
非简单图
非简单图
❖ 数据结构中讨论的都是简单图。
V2 V4
简单图
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的 路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中， (vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有 方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
V0 V2
V3 V0
V2
V1 若顶点vi和vj之间的边没有方向，则 称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。 如果图的任意两个顶点之间的边都
V4 是无向边，则称该图为无向图。
V1 若从顶点vi到vj的边有方向，则称这 条边为有向边，表示为<vi,vj>。 如果图的任意两个顶点之间的边都
有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间
都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图
。
V0
V1
V0
V1
V2
V3
V2
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？
V0
V1
V0
V1
V2
V3
V2
含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。 含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；
稠密图：称边数很多的图为稠密图。
顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶 点的边数，通常记为TD (v)。 顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶 点为弧头的弧的数目，记为ID (v)； 顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶 点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。
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数据结构（C＋＋版）
哥尼斯堡七桥问题
能否从某个地方出发，穿过所有的桥仅一次 后再回到出发点？
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数据结构（C＋＋版）
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题的图模型
欧拉回路的判定规则： C
1. 如果通奇数桥的地方多于
两个，则不存在欧拉回路；
A
B 2. 如果没有一个地方是通奇
数桥的，则无论从哪里出发，
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
n
TD (vi ) = 2e
i =1
V0
V1
V2
V3
V4
在具有n个顶点、e条边的无向图G中，各顶点 的度之和与边数之和的关系？
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
V0
V1
n
n
ID(vi ) = OD(vi ) = e
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数据结构（C＋＋版）
专题1：图的逻辑结构
1 图的定义 2 图的基本术语 3 图的抽象数据类型定义 4 图的遍历操作
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数据结构（C＋＋版）
图论——欧拉
欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城，19岁开 始发表论文，直到76岁。几乎每一个数学领 域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧 拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的 欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论 中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数 论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函 数的欧拉公式等等。据统计他一生共写下了 886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占 40%，几何占18%，物理和力学占28%，天 文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占 3%。 欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答 开创了图论的研究。
6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
邻接、依附
无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边
(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边
(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。
V0
V1
V0的邻接点： V1 、V3 V1的邻接点： V0 、V2 、V4
V2
V3
V4
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i=1
i=1
V2
V3
在具有n个顶点、e条边的有向图G中，各顶点 的入度之和与各顶点的出度之和的关系？与边 数之和的关系？
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
权：是指对边赋予的有意义的数值量。
网：边上带权的图，也称网图。
V0
2
V1
7 5
V2 8
V3
7 4 23
哈夫曼树中的权与网图的权有何区别？
都能找到欧拉回路。
D
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6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组 成，通常表示为：
G=(V，E)
其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是 图G中顶点之间边的集合。 在线性表中，元素个数可以为零，称为空表； 在树中，结点个数可以为零，称为空树； 在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。
V0 到V3的路径： V0 V3 V0 V1 V2 V3 V0 V1 V4V2 V3
6.1 图的逻辑结构
数据结构（C＋＋版）
图的基本术语
邻接、依附
有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧 <vi，vj>，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶 点vi，同时称弧<vi，vj>依附于顶点vi和顶点vj 。
V0
V1
V0的邻接点： V1 、V2
V2的邻接点： V3
V2
V3
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