上海中考数学压轴题专题复习——直角三角形的边角关系的综合

上海中考数学压轴题专题复习——直角三角形的边角关系的综合

一、直角三角形的边角关系

1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】6.4米

【解析】

解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°．

∴DC=BC•cos30°=3639=⨯

=米， ∵CF=1米，

∴DC=9+1=10米，

∴GE=10米，

∵∠AEG=45°，

∴AG=EG=10米，

在直角三角形BGF 中，

BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，

∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，

答：树高约为6.4米

首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高

2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）235. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC=

33

AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，

在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012

=120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，

则'60A E AC ==， '30

CE AA ==3，

在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503

∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE =503=235

答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是

235．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

3．在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），

∠BPE=

12

∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ． （1）当点P 与点C 重合时（如图1）．求证：△BOG ≌△POE ；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

PE

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

1

2

BF

PE

=（3）

1

tan

2

BF

PE

α

=

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1

2 BM．

∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2

=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900． 由（2）同理可得BF=

12

BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ． ∴BM BN PE PN

=． 在Rt △BNP 中，BN tan =

PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF =tan PE α． ∴BF 1=tan PE 2

α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．

（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2

=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=

12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由

BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN tan =PN α即可求得BF 1=tan PE 2

α． 4．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC =

814．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM （P 、Q 、M 按逆时针排序），以QC 为边在AC 上方作正△QCN ，设点P 运动时间为t 秒． （1）求cosA 的值；

（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =95

S △QCN 时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．