【题06】方格取数

【题6】方格取数
设有n*n的方格图（Ｎ≤８），我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字０。

如下图所示（见样例）：
向右
A 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
向 6
下7
8
某人从图的左上角的Ａ点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的Ｂ点。

在走过的路上，它可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字０）。

此人从Ａ点到Ｂ点共走两次，试找出２条这样的路径，使得取得的数之和最大。

输入：输入的第一行为一个整数Ｎ（表示Ｎ＊Ｎ的方格图），接下来的每行右三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。

一行单独的０表示输入结束。

输出：只需输出一个整数，表示２条路径上取得的最大的和
分析：我们对这道题并不陌生。

如果求一条数和最大的路径，读者自然会想到动态程序设计方法。

现在的问题是，要找出这样的两条路径，是否也可以采用动态程序设计方法呢？回答是可以的。

1、状态的设计
对于本题来说，状态的选定和存储对整个问题的处理起了决定性的作用。

我们从（1，1）出发，每走一步作为一个阶段，则可以分成2*n-1个阶段：
第一个阶段，两条路径从（1，1）出发；
第二个阶段，两条路径可达（2，1）和（1，2）；
第三个阶段，两条路径可达的位置集合为（3，1）、（2，2）和（1，3）；
…………………………
第2*n-1个阶段，两条路径汇聚（n，n）；
在第k(1≤k≤2*n-1)个阶段，两条路径的终端坐标（x
1，y
1
）（x
2
，y
2
）位于对应的右下对角线上。

如下图
所示：
如果我们将两条路径走第i步的所有可能位置定义为当前阶段的状态的话，面对的问题就是如何存储状态了。

方格取数问题的状态数目十分庞大，每一个位置是两维的，且又是求两条最佳路径，这就要求在存储上必须做一定的优化后才有可能实现算法的程序化。

主要的优化就是：舍弃一切不必要的存储量。

为
此，我们取位置中的x坐标（x
1，x
2
）作状态，其中
（1≤x
1≤k）and（x
1∈
{1‥n}）and（1≤x
2
≤k）and（x
2∈
{1‥n}）
直接由X坐标计算对应的Y坐标：
（y1=k+1-x1）and（y1∈{1‥n}）and（y2=k+1-x2）and（y2∈{1‥n}）2、状态转移方程
设两条路径在k阶段的状态为（x
1，x
2
）。

由（y
1
=k+1-x
1
）∧（y
1∈
{1..n}）得出第一条路径的坐标为
（x
1，y
1
）；由（y
2
=k+1-x
2
）∧（y
2∈
{1..n}）得出第二条路径的坐标为（x
2
，y
2
）。

假设在k-1阶段，两条
路径的状态为（x
1’，x
2
’）且（x
1
’，x
2
’）位于（x
1
，x
2
）状态的左邻或下邻位置。

因此我们设两条路径的
延伸方向为d
1和d
2
：d
i
=0，表明第i条路径由（x
i
’，y
i
’）向右延伸至（x
i
，y
i
）；d
i
=1，表明第i条路径
由（x
i ’，y
i
’）向下延伸至（x
i
，y
i
）（1≤i≤2）。

显然（x
1
’= x
2
’）∧（d
1
= d
2
），表明两条路径重合，同
时取走了（x
1’，y
1
’）和（x
1
，y
1
）中的数，这种取法当然不可能得到最大数和的。

分析两种可能：
⑴若x
1=x
2
，则两条路径会合于x
1
状态，可取走（x
1
，y
1
）中的数(如下图)；
x
1’(x
2
’)→x
1
=x
2
↑
x
2’(x
1
’)
⑵若x
1≠x
2
，则在k阶段，第一条路径由x
1
’状态延伸至x
1
状态，第二条路径由x
2
’状态延伸至x
2
状态，
两条路径可分别取走（x
1，y
1
）和（x
2
，y
2
）中的数(如下图)；
设
f[k，x
1，x
2
]—在第k阶段，两条路径分别行至x
1
状态和x
2
状态的最大数和。

显然
k=1时，f[1，1，1]=0；
k≥2时，f[k，x
1，x
2
]=max{f[k-1， x
1
’，x
2
’]+(x
1
，y
1
)的数字▏x
1
=x
2
f[k-1， x
1
’，x
2
’]+(x
1
，y
1
)的数字+(x
2
，y
2
)的数字▏x
1
≠x
2
}
1≤k≤2*n-1，x
1’∈可达x
1
的状态集合，x
2
’∈可达x
2
的状态集合，（x
1
’≠x
2
’）∨(d
1
≠d
2
)；
上述状态转移方程符合最优子结构和重叠子问题的特性，因此适用于动态程序设计方法求解。

由于第k个阶段的状态转移方程仅与第k-1个阶段的状态发生联系，因此不妨设
f
—第k-1个阶段的状态转移方程；
f
1
—第k个阶段的状态转移方程；
初始时，f
0[1，1]=0。

经过2*n-1个阶段后得出的f
[n，n]即为问题的解。

3、多进程决策的动态程序设计
由于方格取数问题是对两条路径进行最优化决策的，因此称这类动态程序设计为分阶段、多进程的最优化决策过程。

设
阶段i：准备走第i步（1≤i≤2*n-1）；
状态（x
1’，x
2
’）：第i-1步的状态号（1≤x
1
’，x
2
’≤i-1。

x
1
’，x
2
’∈{1..n}）
决策（d
1，d
2
）：第一条路径由x
1
’状态出发沿d
1
方向延伸、第二条路径由x
2
’状态出发沿d
2
方向
延伸，可使得两条路径的数和最大（0≤d
1
，d
2
≤1。

方向0表示右移，方向1表示下移）；
具体计算过程如下：
fillchar(f0，sizeof(f0)，0)； { 行走前的状态转移方程初始化} f0[1，1]←0；
for i←2 to n+n-1 do {阶段：准备走第i步} begin
fillchar(f1，sizeof(f1)，0)； { 走第i步的状态转移方程初始化}
for x
1’←1 to i-1 do {枚举两条路径在第i-1步时的状态x
1
’和x
2
’}
for x
2
’←1 to i-1 do begin
计算y
1’和y
2
’；
if (x
1’，y
1
’)和(x
2
’，y
2
’)在界内 then
for d
1
←0 to 1 do {决策：计算两条路径的最佳延伸方向}
for d
2
←0 to 1 do
begin
第1条路径沿d
1方向延伸至(x
1
，y
1
）；
第2条路径沿d
2方向延伸至(x
2
，y
2
)；
if ((x
1，y
1
)和(x
2
，y
2
)在界内)∧((d
1
≠d
2
)∨(x
1
≠x
2
)) {计算第i步的状态转移方程}
then f1[x1，x2]←max{f0[x1’，x2’]+map[x1，y1]∣x1=x2，f0[x1’，x2’]+map[x1，y1]+map[x2，y2]∣x1≠x2}
end；{for}
end；{for}
f0←f1； {记下第i步的状态转移方程} end；{for}
输出两条路径取得的最大数和f0[n，n]；。