第4章 贪心算法(0-算法思想)

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4.1 活动安排问题
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选 择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否 则选择活动i加入集合A中。 贪心算法并不总能求得问题的整体最优 解。但对于活动安排问题，贪心算法 greedySelector却总能求得的整体最优解，即 它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。 这个结论可以用数学归纳法证明。（书 P104-105）
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4.2 贪心算法的基本要素
背包问题：
与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i 装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不 一定要全部装入背包，1≤i≤n。 这2类问题都具有最优子结构性质，看似相 似，但却是两种不同难易度的问题。 背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问 题却不能用贪心算法求解。
4.1 活动安排问题
例：设待安排的11个活动的开始时间和结束 时间按结束时间的非减序排列如下：
i
1 2
3 0 6
4 5 7
5 3 8
6 5
7 6
8 8
9 10 11 8 2 12
S[i] 1 3 f[i] 4 5
9 10 11 12 13 14
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4.1 活动安排问题
算法greedySelector 的计算过程如左图所 示。图中每行相应于算 法的一次迭代。 阴影长条表示的活动 是已选入集合A的活动， 而空白长条表示的活动 是当前正在检查相容性 的活动。
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4.1 活动安排问题
贪心算法：活动i在相容活动集合A中，当且仅当A[i]的值为
true。用变量j记录最近一次加入A的活动序号。 将各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和数组f中， 按照结束时间的非递减顺序排列，即按照f1≤f2≤…≤fn排 列，可以用O(nlogn)的时间进行排列。 一开始选择活动1，j初始化为1。然后依次检查活动i是否与当 前已选择的所有活动相容。 相容则将活动i加入到相容活动集合A中，否则不选择活动i，而 继续检查下一活动与集合A中活动的相容性。 由于fj总是当前集合A中所有活动的最大结束时间，故活动i与 当前集合A中所有活动相容的充分必要条件是：si≥fj，若活动i与 活动j相容，则将i成为最新加入集合A中的活动，并取代活动j的 位置。
【渴婴】 问题模型定义：设ai为第i种饮料的总量（假设以毫升 为单位），而婴儿需要t毫升的饮料来解渴，那么需 要饮用n种不同的饮料各多少才能满足婴儿解渴的需 求呢？ 设各种饮料的满意度Si已知，令xi为将要饮用的第i种 饮料的量，那么需要解决的问题是：求解一组实数向 n 量xi（1≤i≤n），使得： S i xi 最大，并满足：
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各活动的起始时间和结 束时间存储于数组s和f 中且按结束时间的非减 序排列
4.1 活动安排问题
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所 以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时 间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选 择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就 是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时 间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。 算法greedySelector的效率极高。当输入的活动 已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安 排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。 如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn) 的时间重排。 14
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4.2 贪心算法的基本要素
void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]) { Sort(n,v,w); int i; for (i=1;i<=n;i++) x[i]=0; float c=M; for (i=1;i<=n;i++) { if (w[i]>c) break; x[i]=1; c-=w[i]; } if (i<=n) x[i]=c/w[i]; }
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4.1 活动安排问题
和活动安排问题类似的 “区间相交问题”。 【区间相交问题】：给定x轴上n个闭区 间。去掉尽可能少的闭区间，使剩下的闭 区间都不相交。 算法：这个问题和“活动安排问题”类似。每 次选取右端点坐标最小的闭区间，并将与 其相交的闭区间删去！
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4.2 贪心算法的基本要素
本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题 的一般特征。 对于一个具体的问题，怎么知道是否可用 贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最 优解呢?这个问题很难给予肯定的回答。 但是，从许多可以用贪心算法求解的问题 中看到这类问题一般具有2个重要的性质： 贪心选择性质和最优子结构性质。
第4章 贪心算法
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学习要点
贪心算法的基本思想 贪心算法的基本要素
（1）最优子结构性质 （2）贪心选择性质
贪心算法与动态规划算法的差异 正确性的证明 范例学习贪心设计策略
（1）活动安排问题； （4）单源最短路径； （2）最优装载问题； （5）最小生成树； （3）哈夫曼编码； （6）多机调度问题。
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难!
【渴婴】 有一个非常渴的、但很聪明的小婴儿。她可能得到的东 西包括：一杯水、一小罐牛奶、多罐其它不同种类的 果汁……。即婴儿可能得到n种不同口味的饮料。 根据以前对这n种饮料的不同体验，这个婴儿知道其中 某种饮料更适合自己的胃口，因此婴儿采用如下方法 为每一种饮料赋予一个满意度值，即Si作为满意度赋 予第i种饮料。 通常，这个婴儿都会尽量饮用具有最大满意度的饮料来 最大限度地满足她解渴地需要，但不幸地是：她最满 意地饮料有时并没有足够地量来满足这个婴儿解渴地 需要。 3
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顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最 好的选择。 也就是说贪心算法并不从整体最优考虑， 它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优 选择。 当然，希望贪心算法得到的最终结果也是 使用贪心法要解决的问题： 整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都 得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体 是否可以得到最优解？ 最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问 不能得到最优解，贪心解与最优解的 题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到 误差估计 整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近 似。
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4.1 活动安排问题
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4.1 活动安排问题
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4.1 活动安排问题
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4.1 活动安排问题
首先证明最优解A的构成：前k步和剩 下活动的最优解；再根据剩下活动的 最优解和前k步一样，又包含剩下活动 的第一个的最优解，即第k+1个。
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4.1 活动安排问题
思考：其它的贪心选择方案：
（1）选择具有最短时段的相容活动 （2）选择覆盖未选择活动最少的相 容活动 (1)(2)都无法获得最优解。 如右图所示活动系列： 最优解{1,2,3,4} (1)选择为{1,4,5} (2)的初选5，5一旦选中，最多只能再选两个
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对具体的一个问题，能否用贪心法得到最优 解。
动态规划法实质： 贪心法实质： 当前状态下的最 好选择。
自底向上
自顶向下
求相关子问题后， 做出选择。
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4.2 贪心算法的基本要素
0-1背包问题：
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi， 其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背 包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有 2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品 i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
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4.1 活动安排问题
下面给出解活动安排问题的贪心算法GreedySelector ：
template<class Type> void GreedySelector(int n, Type s[], Type f[], bool A[]) { A[1]=true; int j=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (s[i]>=f[j]) { A[i]=true; j=i; } else A[i]=false; } }
4.2 贪心算法的基本要素
2、最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优 解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的 最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或 贪心算法求解的关键特征。
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4.2 贪心算法的基本要素
3、贪心算法与动态规划算法的差异
贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优 子结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是， 对于具有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是 动态规划算法求解?是否能用动态规划算法求解的 问题也能用贪心算法求解?下面研究2个经典的组合 优化问题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的 主要差别。
x
n
n
i 1
a i t ，则不可能找到问题的求解方案，因 不过，若 i 1 为即使喝光了所有的饮料也不能使婴儿解渴。 4
i 1
i
t
0 xi a i
【找零钱】 一个小孩买糖，付了1美元，假设需要找给小孩67 美分。而提供了如下数目不限的面值钱币：25美分 (Quarters)、10美分(Dimes)、5美分(Nickels)及1 美分(Pennies)。现在问题就是：保证找回67美 分，且希望用最少数目的钱币找给小孩。 解：售货员每次加入一种钱币，并采用的贪婪准则 是：每次选择的某种钱币面值尽可能大，所需张数 尽可能少，但同时需保证解法的可行性（即，所给 的零钱等于要找的零钱数，不多给不少给）。
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4.2 贪心算法的基本要素
1、贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以 通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是 贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态 规划算法的主要区别。 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而 贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式 作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题 简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性 质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整 25 体最优解。
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4.1 活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中 每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场 等，而在同一时间内只有一个活动能使用这 一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源 的起始时间 si和一个结束时间fi,且si <fi 。如果 活动安排问题：就是要在 所给的活动集合内选出最 选择了活动 i，则它在半开时间区间[si, fi)内占 大的相容活动子集合。 用资源。若区间 [si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则 称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si≥fj 或sj≥fi时，活动i与活动j相容。
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4.2 贪心算法的基本要素
用贪心算法解背包问题的基本步骤：
首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然 后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值 最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包 后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量 价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略 一直地进行下去，直到背包装满为止。 具体算法可描述如下页：
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4.1 活动安排问题
活动安排问题就是要在所给的活动 集合中选出最大的相容活动子集合，是 可以用贪心算法有效求解的很好例子。 该问题要求高效地安排一系列争用某一 公共资源的活动。贪心算法提供了一个 简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动 能兼容地使用公共资源。
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4.1 活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中 每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场 等，而在同一时间内只有一个活动能使用这 一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源 的起始时间si和一个结束时间fi,且si <fi 。如果 选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占 用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则 称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si≥fj 或sj≥fi时，活动i与活动j相容。
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贪心算法 形象模型
最高峰 次高峰 小山峰 小山峰 小山峰 小山峰
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顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最 好的选择。 也就是说贪心算法并不从整体最优考虑， 它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优 选择。 当然，希望贪心算法得到的最终结果也是 整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都 得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体 最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问 题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到 整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近 似。