第五章-空间问题基本理论
弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
第五章-向量空间
第五章 向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道,在n 元向量集和n m ⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1 向量空间的概念定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．α∀、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为α+β.2) F 到V 有一个数量乘法．k ∀∈F ,∀α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk .3) 加法与数量乘法满足以下算律： ∀α、β、γ∈V ,∀k 、l ∈F 1 α+β=β+α；2 (α+β)+γ=α+(β+γ)；3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α；4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0；5 βαβαk k k +=+)(；6 αααl k l k +=+)(；7 )()(ααl k kl =；8 αα=1,那么称V 是数域F 上的一个向量空间.向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.例 1 nF 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF 是F 上的一个向量空间.例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=.2. V 中每一向量的负向量是唯一的.事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中, (Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii )式成立.由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α. 事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k k k α.又αααα===1)1()(1k kk k ,故.0=α此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有W k W ∈∈+αβα,, (1)那么称W 是V 的一个子空间.由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8在V 中成立,在W 中当然成立.例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.例7. nF 中一切形如),0,,,,(121-n a a a F a i ∈的向量构成的集是nF 的一个子空间.定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βαW l k ∈+βα. （2） 反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间.事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.在向量空间V 中,我们可以依照3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα是V 的一个子空间.事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l +=s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ),s ααα,,,21 称为生成向量.下面我们看一个例子.m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.若n F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包含于生成子空间),,,(21r n L -ηηη .即 T ⊆),,,(21r n L -ηηη . 反之,任取∈β),,,(21r n L -ηηη ,令F k k k k i r n r n ∈+++=--,2211ηηηβ 为常数,r n i -=,,2,1 ,那么,0)(2211=+++=--r n r n k k k A A ηηηβ ,即β∈T .因而),,,(21r n L -ηηη ⊆T . 故 ),,,(21r n L T -=ηηη .n F 的子空间),,,(21r n L -ηηη 称为齐次线性方程组0=AX 的解空间.最后，我们给出子空间的和的概念。
空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析
来自表2-1总体的两个随机样本
两个独立样本的回归线
总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
5.2.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 非线性举例：
y
y
000.5yy 0.5y 0 y
1 2 3 4 5
000...555yyy334
2 y
1
0.5y 5
0.5y 5
0.5y 4
(3 1)
式（3 1）表示变量y *用其他区域的y进行解释的线性关系，可写成：
y Cy
（3 2）
其中，是需要估计的回归参数，反映了样本数据内在的空间
模式的有效描述，因此需要引入能够描述空间自相关和空 间非平稳性的项，克服回归模型的缺陷。 • 空间关系的描述需要借助空间权重（邻接）矩阵。
空间邻接矩阵为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
W 0 0 0 1 1
(8)
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
行标准化为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。
5_内积空间与希尔伯特空间(讲稿)
其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影
定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特
有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫
空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来
判定最佳逼近的存在性和唯一性。
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定理14 (投影定理) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空间,则对
xH在M中存在唯一的正交投影x0, 使得
x =x0+x1
(其中x1M).
证 xH, 令x到M的距离
{yn}M, 使得||yn-x||d (n) (下确界定义)
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1) 证明 {yn}是基本列 M是H的线性子空间ym,ynM,有
(2) 距离函数 (x, y) x y x y, x y 称为由内积诱导的距离。
注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系—— 许瓦兹不等式 x, y x y . (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x, y 1 ( x y 2 x y 2 i x iy 2 i x iy 2) 4
<·,·>:HHK, 使得：对x,y,zH,K,满足
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则称<x, y>为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为 内积空间。 注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；
当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。
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2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离 定义2 (1) 范数 x x, x 称为由内积诱导的范数。
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初中数学空间理论教案
初中数学空间理论教案1. 让学生掌握空间中点、线、面的基本概念和性质。
2. 培养学生识别和运用点、线、面解决实际问题的能力。
3. 培养学生空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1. 空间中点、线、面的定义及性质。
2. 点、线、面的位置关系。
3. 点、线、面在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：空间中点、线、面的基本概念和性质，点、线、面的位置关系。
2. 难点：点、线、面的位置关系的运用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解点、线、面的定义及性质。
2. 采用案例分析法，分析点、线、面的位置关系。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识空间中的点、线、面，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：详细讲解点、线、面的定义及性质，让学生理解并掌握基本概念。
3. 分析：分析点、线、面的位置关系，引导学生运用所学知识分析实际问题。
4. 实践：布置练习题，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识，巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：检查学生对点、线、面知识的掌握程度。
2. 课堂练习：评估学生在实际问题中运用点、线、面的能力。
3. 学生反馈：了解学生对教学内容的满意度和建议，不断改进教学方法。
七、教学反思在教学过程中，要注意引导学生从生活中的实例认识点、线、面，培养学生的空间想象力。
同时，通过实际问题，让学生学会运用点、线、面的知识解决实际问题，提高学生的抽象思维能力。
在教学方法上，要注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
5-生态空间格局
第五章生物空间格局分析空间问题：生态学理论的最后前沿。
－P. Kareiva(1994)生态学的一个重要问题是个体的空间格局。
因为对于动物学家，空间行为是行为生态学的中心问题。
在近50年空间格局调查也成为植物生态学的一个特殊的研究领域，其研究方法的发展堪称壮观。
在种群的意义上讲，空间格局的研究主要是植物方面的。
因为动物种群的集群性非常明显，关于格局的研究重要是个体方面的。
另外，动物的迁移能力往往使种群的格局研究极端困难。
我们的目的在于：1）了解在野外，一个种群显示了怎样的空间格局？2）发展一套测量空间格局的思路，即扩散指数。
首先，如何能够在统计上确定，哪一种格局是对我们特定种群的一个好的描述。
空间格局分析方法可分为两类：1）基于种群的空间分布图；2）基于大量的样方调查数据。
第一节、空间格局类型及其影响因子一、动植物的分布格局连续分布（线性分布特例）/ 间断分布（鸟踏石分布）规则分布、随机分布、集群分布、嵌式分布二、生物空间格局的影响因子1、扩散与迁移：植物种子特征：翅、钩、粘、毛、刺、气囊、果实、营养、形状、大小、数量；植物传播方式：弹射、重力、风播、水播、动物播；植物种子繁殖特征：迅萌、休眠、后熟、延迟、火烧；动物繁殖/迁移2、生境梯度3、种间竞争与种内竞争4、环境变迁第二节、统计分布生物在自然界可能形成规则的、随机的或聚集的空间格局。
规则和聚集的程度可以描述，而随机即是随机，无程度的区分。
我们可以说红松在某些生境中更聚集或规则一些，而不能说某处更随机。
从统计学的角度，给定一个个体的空间位置，在其附近存在另一个个体的机率随两者之间的距离减小而：1）增大－聚集格局；2）减小－规则格局；3）无影响－随机格局因为生物学和统计学中分别对生物个体或某种数据的格局进行了定义。
故在此加以表达上的区分。
统计学上叫做分布；生态学上称空间格局。
统计学研究的一组抽象的种群样品成为统计学种群；而生物学意义上的一群具体的同种个体构成生物学种群。
第五章 Hilbert空间理论-黎永锦
第5章 Hilbert 空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.Hilbert D .(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert 空间在历史上比赋范空间出现得早,2l 是最早提出来的Hilbert 空间,它是 1912年Hilbert D .在研究积分方程时给出的,而Hilbert 空间的公理化定义直到1927年才由Neumann V J ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llich F Lowig H Re .,.和Riesz F .在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在2R 中,把一个点看成一个向量,对于2R 的任意两个点),(),,(2121y y y x x x ==,定义内积2211),(y x y x y x +=,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义 5.1.1 设X 是线性空间,若存在X X ⨯到K 的一个映射,使得对任意X z y x ∈,,, 有（1） ),(),(x y y x =；（2） ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；（3） 0),(≥x x , 且0),(=x x 当且仅当0=x 时成立.则称X 内积空间.在.}C ,)||(,|){(21212为复数这里+∞<∈=∑∞=i ii i x C x x l 上,定义内积为∑∞==1),(i i i y x y x ,则明显地,2l 是一个内积空间.n R 中的S c h w a r C a u c h y -不等式可以追溯Lagrange 和Cauchy ,积分形式的S c h w a r z C a u c h y -不等式是ky Bouniakows 在1859年和Schwarz 在1885证明的.2l 中的S c h w a r z C a u c h y -不等式则是Schmidt 在1908年得到的.抽象的Schwarz Cauchy -不等式是Neumann von 在1930年证明的.在内积空间X 中,有下面的Schwarz Cauchy -不等式成立.定理5.1.1(Schwarz Cauchy -不等式) 若X 是内积空间,则对任意X y x ∈,,有),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤证明 明显地,只须证明0≠y 时不等式成立.对于任意0,≠∈y K λ,有2||),(}),Re{(2),(),(λλλλ⋅++=++y y y x y x y x y x 取),(),(y y y x -=λ, 则 0),(),(|),(|),(|),(|2),(222≥+-y y y y y x y y y x x x 因此),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤.利用S ch wa r z Ca u ch y -不等式,可以证明任意的内积空间X 都可以定义范数),(||||x x x =,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设X 是内积空间,),(||||x x x =,则||||⋅是X 的范数.证明 由内积的定义可知0||||=x 时,有0=x . 由于),(||),(),(2x x x x x x λλλλλ==因此,||||||),(||),(||||x x x x x x λλλλλ===.对于任意X y x ∈,,由Cauchy 不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212y y y y x x x x y y y x x x y x y x y x ++≤++=++=+ 因而||||||||||||y x y x +≤+,所以||||⋅是X 的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||x x x =是X 的范数,一般称这一范数为内积),(y x 诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X 看成赋范空间||)||,(⋅X ,这样的内积空间X 上可以使用赋范空间||)||,(⋅X 的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义 5.1.2 若内积空间X 在范数),(||||x x x =下是B a n a c h 空间,则称X 是Hilbert 空间.容易证明,2l 是Hilbert 空间. 内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3 设X 是内积空间,若y y x x n n →→,,则),(),(y x y x n n →.证明 由于 |||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y x n n n n n n n n n n n n -⋅+⋅-≤-+-=-+-≤-因此y y x x n n →→,时,有),(),(y x y x n n →.不难证明,对于内积空间X ,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设X 是实内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||(||41),(22y x y x y x --+= 定理5.1.5 设X 是复内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||x x x =, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题 5.1.1 对于任意赋范空间X ,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||x x x = ?例如,在赋范空间1l 中,对于任意1,l y x ∈,定义∑∞==1),(i i i y x y x ,则),(y x 是否为 1l 的内积,并满足),(||||x x x =？定理 5.1.6 设X 是赋范线性空间,则在X 可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||x x x =的充要条件为对任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++证明 若X 可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||x x x =,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||y x y y x x y x y x y x y x y x y x +=+=--+++=-++反过来,若对于任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++.为了简明起见,这里只证X 是实赋范空间的情形.令 )||||||(||41),(22y x y x y x --+=,则 （1） ),(),(x y y x =；（2） 0),(≥x x 且0),(=x x 且当仅当0=x ;（3） 对于任意X z y x ∈,,,有)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y x z y x z y x +++--++++=+--++++-+-+-+++++++=-+-++=+ )||2||||2(||2122z y x z y x -+-++= 由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222z y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y z y z x z x z y z x -+-++=-+-+--+++=---++-+-+---+++-+++=--++--+=+ 因此,),(),(),(z y z x z y x +=+.对于任意X y x R ∈∈,,λ,令),()(y x f λλ=,则)(λf 为连续函数,且)()()(2121λλλλf f f +=+,因此)(λf 是线性的,即λλ⋅=)1()(f f ,因而),(),(y x y x λλ=. 由222||||)||||||(||41),(x x x x x x x =--+=可知),(||||x x x =,因此),(y x 是X 上的内积,且),(||||x x x =.在上面定理的证明中,当X 是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=, 则可证明),(y x 就是X 上的内积,且满足),(||||x x x =.由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(⋅X 不一定可以定义内积),(⋅⋅,使之成为内积空间,且满足),(||||x x x =.例 5.1.1 在∞l 中,取),0,1,1(),,0,0,1,1( -==y x ,则1||||,1||||==y x ,但2||||||||=-=+y x y x ,因此)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +≠-++,所以在∞l 上不能定义内积,使得∞l 成为内积空间,且满足),(||||x x x =.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设X 是内积空间,则X 一定是严格凸的赋范空间.证明 对于任意X y x ∈,,若y x ≠,且1||||||||==y x ,则由 )||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++可知4||||4||||22<--=+y x y x ,因而1||2||<+y x ,所以X 是严格凸的.5.2 投影定理内积空间是n R 的自然推广,在内积空间X 上,可以把向量空间n R 的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设X 是内积空间,X y x ∈,,若0),(=y x ,则称x 与y 正交,记为y x ⊥. 若X M X x ⊂∈,,且对任意M y ∈,有0),(=y x ,则称x 与M 正交,记为M x ⊥.若对任意N y M x ∈∈,,都有0),(=y x ,则称M 与N 正交,记为N M ⊥.若X M ⊂,则称}|{M x X x M ⊥∈=⊥为M 的正交补.例题 5.2.1 设]1,1[-C 为[-1, 1]上的实连续函数全体,内积为⎰-=11)()(),(dt t y t x y x ,若M为[-1, 1]上的实连续奇函数全体,试证明M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若y 为[-1, 1]上的实连续偶函数,则对所有,M x ∈)()(t y t x 都是[-1, 1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11==⎰-dt t y t x y x ,因此⊥∈M y . (2) 反过来，若⊥∈M y ，令)()()(t y t y t z --=,则)()()()(t z t y t y t z -=--=-,从而)(t z为奇函数,因此M z ∈,所以0),(=z y .由于)()()()()()]()([)(2t z t y t z t y t z t y t y t z --+=--=,因此 0),(),()()()()()(1111112=+=--+=⎰⎰⎰---z y z y dt t z t y dt t z t y dt t z从而 0)]()([112=--⎰-dt t y t y 由)(t y 是连续函数可知)()(t y t y -=,即)(t y 一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1 设X 为内积空间,X M X x ⊂∈,,则（1） 当y x ⊥时,有222||||||||||||y x y x +=+；（2） 当y x ⊥且z x ⊥时,有)(21z y x λλ+⊥对于任意K ∈21,λλ都成立；（3） 当N M ⊥时,有⊥⊂N M ,且⊥⊂M N ；（4） 当N M ⊂时,有⊥⊥⊃N M ；（5） }0{⊂⊥M M ,对任意X M ⊂成立.定理5.2.2 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥M 是X 的闭线性子空间.证明 对于任意 ⊥∈M y x ,,及M z ∈,有 0),(=z x 且 0),(=z y因此,对任意 K ∈βα,,有0),(),(),(=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα,即⊥M 是线性子空间.若x x M x n n →∈⊥,,则对任意M z ∈,有0),(lim ),(==∞→z x z x n n , 因此⊥∈M x ,所以,⊥M 是X 的闭线性子空间.定理5.2.3 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥⊥=M M span ))((.证明: 对于M M span ⊃)(因此⊥⊥⊂M M span ))((.反过来,对任意⊥∈M x ,有⊥⊂}{x M ,由上面定理可知⊥}{x 是闭子空间, 故⊥⊂}{x M span ,因而⊥∈))((M span x ,所以⊥⊥⊂))((M span M ,从而⊥⊥=M M span ))((. 定义 5.2.2设X 是内积空间,M ,N 是X 的线性子空间,若N M ⊥,则称},|{N y M x y x H ∈∈+=为M 与N 的正交和,记为N M H +=.如在2R 中,取}|),0{(},|)0,{(2211R x x N R x x M ∈=∈=,则N M ⊥,且N M R +=2.定义5.2.3 设M 是内积空间X 的线性子空间,X x ∈,若存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0则称0x 为x 在M 上的投影.在3R 中,对},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,及任意 X x x x x ∈=),,(321,有⊥∈=∈=M x y M x x x ),0,0(,)0,,(3210,使得y x x +=0即0x 为x 在M 上的投影.定理5.2.4 设X 是内积空间,M 是X 的子空间,X x ∈,若0x 是x 在M 上的投影,则||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈ 证明 由于0x 是x 在M 上的投影,因此M x ∈0且M x x ⊥-0,故对于任意M z ∈,有M z x ∈-0,因而z x x x -⊥-00,故2020202002||||||||||||||)()(||||||x x z x x x z x x x z x -≥-+-=-+-=-,所以,||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈. 在3R 中,若取},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,则对任意X x x x x ∈=),,(321,x 在M 上的投影)0,,(210x x x =与x 的距离是x 到M 上的最短距离.Schmidt E .在讨论 Hilbert 的原型2l 空间时,在2l 证明了对任一固定的闭子空间M ,若x 是2l 的任一点,则存在唯一的⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间,则对任意X x ∈,x 在M 上存在唯一的投影,即存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,且这种分解是唯一的.证明 对于X x ∈,令||||inf ),(z x M x d d Mz -==∈,则存在M x n ∈,使得 d x x n n =-∞→||||lim . 由于M x x n m ∈+2,因此d x x x n m ≥-+||2||. 故 ||)2||||||(||2)||2||2||||||(||2)||2||2(2||||22222222d x x x x x x x x x x x x x x x n m n m n m n m n m --+-≤-+--+-=-=- 由d x x n →-||||,可知}{n x 是Cauchy 列.由于X 是Hilbert 空间,且M 是闭凸集,因此存在M x ∈0,使得0x x n →,所以),(||||0M x d x x =-.令0x x y -=,则y x x +=0,因此下面只须证明M y ⊥.对任意0,≠∈z M z ,及任意K ∈λ,有M z x ∈+λ0.因此d z x x ≥+-||)(||0λ,故22202020||||||)),(Re(2||||||)(||d z z x x x x z x x ≥+---=--λλλ.取20||||),(z z x x -=λ,则 22202022022020|||||),(||||||||||),(||||||),(|2||||d z z x x x x z z x x z z x x x x ≥---=-+---由d x x =-||||0可知,一定有 0),(0=-z x x ,因此z x x ⊥-0对于任意M z ∈成立,即M y ⊥. 由上面讨论可知对于任意M x ∈,存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0.现证这种分解是唯一的.假设存在另一个M x ∈'0及⊥∈M y ',使得''0y x x +=,则⊥∈-∈-M y y M x x ''00,,故由M x x x x x x y y ∈-=---=-'00'00')()(,可知'y y =.结合前面的定理,还可以得下面推论.推论 5.2.1 设X 是Hilbert 内积空间,M 是X 的闭子空间,X x ∈则M x ∈0使得),(||||0M x d x x =-当且仅当M x x ⊥-0.问题 5.2.1 若M 是Hilbert 空间X 的子空间,但M 不是闭的子空间,那对任意X x ∈,x 在M 上是否存在投影呢？例5.2.2 在2l 中,M 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M 不是2l 的闭子空间。
5。区域空间发展与规划
“市场力量倾向于加剧地区间的不平等” A：favoured region B：backward region 起初，两区处于均衡状态，但A区由于某 种最初的 initial trigger促使它的发展 高于其它地区，从而具有某种早期优势 （初始优势 initial trigger）。
欧洲空间发展 欧洲议会空间规划部 长理事会，1999 非约束性文件 战略目标：平衡和可 持续的发展战略。
RSDP（Regional
Spatial Development Perspective ）
区域空间发展 具体的实践
四、空间规划
Spatial planning refers to the
何谓空间结构?
人类经济活动作用于一定地域范围所形成的空间 组织形式。 ——以资源开发和人群经济活动场所为载荷 的经济地域单元为中心问题的空间分异 与组织关系； ——空间实体构成的某种等级规模体系； ——各种空间实体之间存在的某种要素流的形式。
（一）城市空间结构模式
（二）农村空间结构模式
（三）城乡空间结构谱图
2、应用
法国经济学家布代维尔 （J.R.Bouderville）为把增长 极理论运用于法国的区域规划， 提出了所谓的“可使用的规划模 式”，表示经济增长如何发生在 极化地区（polarized regions）。
上个世纪 60-70 年代，国际上 处于不同发展水平的国家声 称它们曾按增长极理论制定 过区域或城市发展政策。
(2) 实践原因：
具有规划倾向的国家的经济发 展绩效不佳，而具有市场倾向 或自由倾向的国家和地区发展 较快。
二 、 地 理 上 的 二 元 经 济 （geographical dual economy）
地理信息系统原理第五章 空间分析与建模5.2
（2）所有区域单元LISA的总和与全局的空间联系指 标成比例。
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LISA包括局部Moran指数（local Moran index） 和局部Geary指数（local Geary index），下面重 点介绍和讨论局部Moran指数。
i
j
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✓对统计量的检验与局部Moran指数相似，其检验值为
Z
Gi ) VAR(Gi )
✓显著的正值表示在该区域单元周围，高观测值的区域单元趋 于空间集聚，而显著的负值表示低观测值的区域单元趋于空 间集聚，与Moran指数只能发现相似值(正关联)或非相似性 观测值(负关联)的空间集聚模式相比，具有能够探测出区域 单元属于高值集聚还是低值集聚的空间分布模式。
为什么要用空间统计分析？
✓空间统计分析，其核心就是认识与地理位置相关的数据间的空间 依赖、空间关联或空间自相关，通过空间位置建立数据间的统计 关系。
✓空间统计分析的任务，就是运用有关统计方法，建立空间统计模 型，从凌乱的数据中挖掘空间自相关与空间变异规律。
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为什么要用空间统计分析？
空间数据分析与传统统计分析主要有两大差异：
Tobler， W. R. (1970). "A computer movie simulating urban growth in the Detroit region". Economic Geography， 46(2): 234-240.
Waldo Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November 2000 birthday.
线性代数课件--5.1向量空间基本概念
R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax，x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理 定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ，a2 ，… ，an 的线性组合 则方程组有解的条件是 b 可作为
定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集
合称为向量组． 有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c ， 必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ，即 cx1 N ( A) ； 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论，先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3
第五章作业空间设计
①椅子可以移动，以便在立姿操作时可将它移开； ②椅子高度可调，以适应不同身高者的需要； ③坐姿作业时应提供脚踏板（脚垫），否则，会因 工作座椅坐面过高，人的双脚下垂，造成座面前缘压迫大 腿，使血液循环受阻。踏板中心位置高度应为座面高度减 去坐姿小腿加足高的第95%百分位数，以保证容膝空间适 应90%以上的人群。
般家务工作时使用的座椅。 设计要点： 设计这类座椅要突出通用性，并要设计成便于移动的。
（3）休息椅 专供休息用的座椅， 例如：沙发椅、躺椅等。 设计要点： 设计这类椅子要突出舒适性，使人坐在上面姿势自然，
感到轻松、舒服。
2．作业用座椅设计的工效学原则 （1）座高:是指地面至就坐后面上坐骨支承处的高 度。合适的座高应使臀部受力符合要求。
(a)
(b)
(c)
(d)
工作座椅
对立姿工作岗位，如其 工作面高度相对较低，为了 减轻因弯腰引起人体疲劳， 可采用支撑物：
图（a）脚踏板和搁臂垫 组合。
图（b）脚踏板和支承凳 组合。
图（c）回跳凳
作用：
支撑物能够给操作者身 体一个平衡力，但操作活动 又不受这个力的影响。
实践表明，操作者斜靠 在这类支承物上，比正坐在 其他椅凳上更便于改变姿势 和方便操作。
（6）靠背
座椅靠背可分为肩靠和腰靠。
作业场所使用腰靠较多，腰靠不宜太高，也不宜太宽， 要柔软与人腰形状相符。
靠背与座面的角度要有弹性或可调性，可随人的背部活 动而改变角度。一般取靠背与座面角度在950～1100之间，靠 背宽度在320～370mm之间，靠背高为130mm左右。
例如：办公坐椅，客车坐椅等。
(4) 1600～1800mm：操作不方便区，视觉条件不好，少 装开关。
考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
物理粤教版2教学设计：第五章第二节 经典时空观与相对论时空观含答案
教学设计第二节经典时空观与相对论时空观整体设计经典力学是在研究宏观物体的低速（与光速相比)运动时总结出来的，对于微观粒子和高速运动的宏观物体经典力学不适用。
当光的电磁本质被揭示出来以后，对光在空间的传播问题的研究和思考，引发了物理学的一场革命,导致了相对论的建立，改变了我们对时间和空间的认识.那么相对论给出的时空观是怎样的呢？教学难点经典时空观与相对论时空观的主要区别.教学重点1。
知道狭义相对论的实验基础、基本原理和主要结论。
知道同时的相对性、长度的相对性、时间间隔的相对性.2。
了解经典时空观与相对论时空观的主要区别。
体会相对论的建立对人类认识世界的影响.教学方法质疑探究、讨论课时安排1课时三维目标知识与技能1。
了解伽利略相对论原理，知道时空观与参考系的联系。
2。
了解经典时空观及其基本推论，知道牛顿引入绝对时空观的原因.3.了解狭义相对论的理论基础与狭义相对论时空观的几个推论，知道相对论时空观对人们认识世界的影响。
4。
知道经典时空观与相对论时空观的主要区别.过程与方法1.通过对参考系和运动的“讨论与交流"，认识惯性系的概念与伽利略相对性原理。
2.了解绝对时空观与实验事实的矛盾.3.通过了解爱因斯坦创立狭义相对论的过程，学习创立科学理论的基本方法--“提出假设”.4。
通过“讨论与交流”理解同时的相对性.5。
对比经典时空观的推论与相对论时空观的推论,认识经典时空观与相对论时空观的区别.情感态度与价值观1.通过“讨论与交流"活动,培养学生的独立思考能力、逻辑分析能力、口头表达能力和合作学习的精神。
2.通过了解时空观的变革，从中认识物理学的发展和变革，体会相对论对人类认识世界的影响,感受物理学的发展对推动社会的作用.3.感受科学家客观求实、理性追求、批判创新的精神和富有创造性的想象力，启发学生勇于质疑、富于想象，培养思维的多向性和发散性。
4。
通过了解时空观的变革，使学生认识到自然界是可以被人认识的，科学是认识自然最有效的途径,科学对自然界有解释和预见的功能，科学知识具有想对的稳定性并不断发展和进步，从过程的意义来看，科学的本质就是探究,是不断地追求真理和不断地修正错误，不断地创新。
第五章 空间分析剖析
质心通常是指一个多边形或面积的几何中心。 在有些情况下质心描述的不是几何中心，而是分 布中心，或加权的平均中心。
应用范围极其广泛，如： ✓ 商场选址应该位于具有最佳势能的定位点处。 ✓ 经济的增长极可能发生在高势能地区。
8
几何中心的计算
69.5 70.8 216.2 108.3
查找
101 102 103 104
11
实质是查数据库中植被=“林地 ” 的记录，并显示。
标号
101 102 103 104
植被
林地 农地 工业地 林地
面积
69.5 70.8 216.2 108.3
12
2) 基于空间特性的查询
空间特征的查询可分： (1) 空间几何数据查询 查询空间目标的坐标点、线长、面积、周长及位 置等。 (2) 空间关系查询 基于拓扑关系的查询如邻接性查询、包含性查询、 穿越性查询、落入性查询、方向性查询等。 例：查长江经过哪几个省?
10
1、空间数据查询
1）基于属性（非空间）特征的查询
属性特征的查询主要在属性数据库中完成，这种查询通 常基于标准的SQL查询语言实现，之后按照属性数据和 空间数据的对应关系显示图形。
如：通过对下列数据表中属性“植被”的查找，找到林地。
标号
101 102 103 104
植被
林地 农地 工业地 林地
面积
• 首先求出伊拉克处于那个州；
• 之后求出同伊拉克处于同一州的国家
16
5.4 空间数据的叠合 (置)分析
叠合分析(Overlay Analysis)的概念
叠合分析是在统一空间参照系统的条件下，将两层或多层 地图要素进行叠合产生一个新要素层的操作，其结果将原来 要素分割成新的要素，新要素综合了原来两层或多层要素所 具有的属性。也就是说，叠合分析不仅生成了新的空间关系， 还将输入数据层的属性联系起来产生了新的属性关系。叠合 分析是对新要素的属性按一定的数学模型进行计算分析，进 而产生用户需要的结果或回答用户提出的问题。
室内设计原理课件-第五章-人体工程学
2) 卧具的基本要求
床的使用功能务必注重考虑与人体的关系，着重于床的 尺度与弹性结构的综合设计。不能把人的仰卧看作为站立的 横倒。应该以脊椎自然形态的仰卧姿势，使腰部与臀部压陷 略有差异，差距以大于30毫米为宜。
4. 人体工程学的应用
凡是涉及与人有关系的事和物，就会涉及到人体 工程学的问题。如研究工业产品、装潢设计，便产生了技术
美学；研究机械产品设计，产生了人机工效学；研究医疗器械， 产生了医学工效学；研究人事管理，产生了人际关系学；研究交 通管理，产生安全工效学；研究建筑设计，产生建筑工效学等。
二、人体尺度 1. 人体工程学研究方法
床是否能消除疲劳，除了合理的尺度以外，主要取决于 床的硬软度能否使人体卧姿处于最佳状态。
同时，床垫的硬软度又与体压分布有关，不同弹性的床面， 其体压分布情况也有显著差别。
为了使体压得到合理分布，需精心设计好床垫的弹性材料， 可以采用不同材料搭配成三层结构较合适：
与人体接触的面层采用柔软材料；中层采用硬一些的材料， 有利于身体保持良好的姿态；最下层是承受压力的部分，用稍软的 弹性材料起缓冲作用。
应该留多大的距离才不会影响在厨房里做家务？ 1200mm
为了能方便地打开两边家具的柜门，就一定要保证至少留出 1200mm，1500mm就可以保证在两边柜门都打开的情况下，中间再 站一个人。
3.要想舒服地坐在早餐桌的周围，凳子的合适高度？ 800mm
对于一张高1100mm的餐桌来说，这是摆在它周围凳子的理想 高度。因为在桌面和凳子之间还需要300mm的空间来容下双腿。
中等人体地区
第五章空间问题的基本理论
方向的平衡方程: 整理便得到z方向的平衡方程:
∂σ z ∂τ xz ∂τ yz + + + fz = 0 ∂z ∂x ∂y
方向的平衡方程。 同样得到x、y方向的平衡方程。 空间问题中的平衡微分方程： 空间问题中的平衡微分方程：
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z
（5-2） ）
特殊情况下，如果ABC是物体受面力作用的边 特殊情况下，如果ABC是物体受面力作用的边 ABC 界s σ，则p x ，p y
，pz成为面力分量
fx , f y , fz
由式（ 由式（5－2）得出应力边界条件： 得出应力边界条件： 应力边界条件 lσx+ mτyx+ nτzx mσy+ nτzy +lτxy nσz+ lτxz+mτyz
根据小变形假定，略去微量不计， 根据小变形假定，略去微量不计，得 同样可以得出： 同样可以得出：τ
τ yz = τ zy
zx
= τ xz ,τ xy = τ yx
§5-2 物体内任一点的应力状态 已知任一点P的应力分量 已知任一点P 任一点 σx、σy、σz、τxy 、 τyz 、τzx ， 求：过该点的任 一斜面上的 应力。 应力。
球对称问题
在球对称问题中，应力、应变、 在球对称问题中，应力、应变、位移等分量 的函数。 都只是径向坐标ρ的函数。
轴对称问题：如果弹性体的几何形状、 轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件 以及外载荷都对称于某一轴（ 以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面 都是对称面），这时应力、 都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一 ），这时应力 称为轴对称问题 轴对称问题， 轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形 状一般为是圆柱或半空间。 状一般为是圆柱或半空间。
第五章空间查询与空间分析
2）TIN 法
TIN表示法利用所有采样点取得的离散数据，按照优化组合的原则，把这 些离散点（各三角形的顶点）连接成相互连续的三角面（在连接时，尽可能地 确保每个三角形都是锐角三角形或是三边的长度近似相等--Delaunay）。
因为TIN可根据地形的复杂程度来确定采样点的密度和位置，能充分表示 地形特征点和线，从而减少了地形较平坦地区的数据冗余。
SELECT name FROM Cities WHERE temperature is high
SELECT name FROM Cities WHERE temperature >= 33.75
这种查询方式只能适用于某个专业领域的地理信息系统，而不能作为地理信 息系统中的通用数据库查询语言。
第2节空间数据的统计分析
b) 如不改变格网大小,则无法适用于起伏 程度不同的地区； c) 对于某些特殊计算如视线计算时，格 网的轴线方向被夸大； d) 由于栅格过于粗略，不能精确表示地 形的关键特征,如山峰、洼坑、山脊等；
3、DEM 特点
与传统地形图比较，DEM作为地形表面的一种数字表达形式有如下特点：
1）容易以多种形式显示地形信息。地形数据经过计算机软件处理过后， 产生多种比例尺的地形图、纵横断面图和立体图。而常规地形图一经制 作完成后，比例尺不容易改变或需要人工处理。 2）精度不会损失。常规地图随着时间的推移，图纸将会变形，失掉原有 的精度。而DEM采用数字媒介，因而能保持精度不变。另外，由常规的地 图用人工的方法制作其他种类的地图，精度会受到损失，而由DEM直接输 出，精度可得到控制。 3）容易实现自动化、实时化。常规地图要增加和修改都必须重复相同的 工序，劳动强度大而且周期长，而DEM由于是数字形式的，所以增加和修 改地形信息只需将修改信息直接输入计算机，经软件处理后即可得各种 地形图。
空间分析和建模
第五章空间分析与建模空间分析（概述）概念：空间分析是指基于空间对象的属性、分布、形态及其空间关系特征的空间数据分析技术，它以地学原理为依托，通过空间分析算法和模型，从空间数据中获取有关地理对象的空间位置、空间分布、空间形态、空间形成和空间演变等。
目的:提取、传输空间信息，回答用户问题，是对地理数据的深加工。
*空间分析功能是GIS的主要特征和评价GIS软件的主要指标之一。
常用的空间分析方法：基于空间关系的查询、空间量算、缓冲区分析、叠置分析、网络分析、空间统计分类分析。
（对应于下列大标题）一、空间统计分析主要用于空间和非空间数据的分类、统计、分析和综合评价。
内容包括：统计图表分析、描述统计分析、空间自相关分析、回归分析、趋势分析、空间信息分类。
空间信息分类：（主成分分析、层次分析法、系统聚类分析）1、主成分分析：主成分分析是通过数理统计方法，将众多要素的信息压缩表达为若干具有代表性的合成变量（这就克服了变量选择时的冗余和相关），然后选择信息最丰富的少数因子进行各种聚类分析，构造应用模型。
2、层次分析法：AHP方法常用来解决多目标决策问题。
把相互关联的要素按隶属关系分为若干层次，请有经验的专家对各层次各因素的相对重要性给出定量指标，利用数学方法综合专家意见给出各层次各要素的相对重要性权值，作为综合分析的基础。
3、聚类分析：亦称群分析或点群分析，它是研究多要素事物分类问题的数量方法。
其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
（是一门多元统计分类法，根据多种地学要素对地理实体进行划分类别的方法。
对不同的要素划分类别往往反映不同目标的等级序列，如土地分等定级、水土流失强度分级等。
）二、空间查询分析概念：按一定的要求对GIS所描述的空间实体及其空间信息进行访问，从众多的空间实体中挑选出满足用户需求的空间实体及其相应属性。
第五章 城市空间增长与中心—外围结构 《区域经济学》PPT课件
• 2、边缘区不断接受核心区的创新信息,参与创新活动 ,自身也会生成新的核心区或强化原有的较低能源的 小核心区,最终形成与原有高层级核心区相连接的“ 城市群体”
二、克鲁格曼的中心—外围结构模型
• 2.“借鸡生蛋”。 新增长中心完全有可能利用原增 长中心的资金和成功的经验和技术,保持较高的发展 速度,在较短的时间内赶上原增长中心,改变现有的经 济实力的布局。
• 3.“创造性破坏”。新技术的逐渐改进和日臻完善, 技术相对落后的地区最终赶上并超越领先者。
(三)新增长点向新增长中心的转移
• 1.选择新增长点的条件（亚中心成长起来条件） • 第一,亚中心区必须要比原有的经济中心具有更强的比
传统城镇、工业卫星城与新城之间的关系
新城
卫星城
传统市镇
目的
疏解城市中心人口、吸 疏解中心城市工业和人 城市与乡村的枢纽、农
引农村转移劳动力就业
口压力
村城镇化的承载地
区位
独立于中心城区,与中心 城区有永久性的绿地分
隔
处于大城市远郊区
分布零散
功能
人口和就业岗位相对平
衡,具有居住、就业和购 物等城市功能
其作用也是有限度的。
城—区经济非均衡增长与空间结构
• 区域经济空间的运动,是人类社会经济活动区位选择 的结果;是各种社会经济活动在地域空间分化、组合 、聚集的动态过程;是社会经济系统与其环境之间、 系统内部各子系统之间经常的相互联系和相互作用在
地域空间的表现;也是它们之间的劳动力流、物质流 、资金流、能源流、信息流等传输的动态的过程。区
第五章 城市空间增长与中心—外围结构
高中数学空间基本定理教案
高中数学空间基本定理教案
一、教学目标
1. 理解空间基本定理的概念和意义。
2. 掌握空间基本定理的证明方法。
3. 解决相关综合题目。
二、教学重点和难点
1. 理解空间基本定理的证明过程。
2. 应用空间基本定理解决实际问题。
三、教学准备
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、粉笔、几何工具
四、教学过程
1. 导入：通过一个生活中的例子引入空间基本定理的概念，让学生了解基础概念的重要性。
2. 讲解：展示空间基本定理的几何图形，引导学生理解定理的表述和证明方法。
3. 演示：老师在黑板上演示空间基本定理的证明过程，让学生跟随老师的步骤进行理解。
4. 练习：让学生自主进行练习，巩固空间基本定理的理解和应用。
5. 拓展：对于高阶难度题目，进行拓展练习，提高学生的解题能力。
6. 总结：总结空间基本定理的重要性及应用场景，让学生对概念有更深入的理解。
五、课堂反馈
1. 请学生用自己的话解释空间基本定理的概念。
2. 老师提出一道空间基本定理相关的题目，让学生进行解答，检验他们对概念的掌握程度。
六、作业布置
1. 布置相关的习题，让学生巩固课堂所学内容。
2. 要求学生独立完成一道空间基本定理的证明题目，加深理解。
七、教学反思
1. 回顾学生在课堂上的表现，了解哪些地方需要加强讲解。
2. 总结课堂教学的亮点和不足之处，找出提高教学效果的方法。
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yz
E yz , (1 )
(x ,y , z). ( f )
由物理方程可以导出 1 2 Θ,
E
E 1 2
（ g）
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
--称为体积模量。
结论
结论： 空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
应力分量的边界值与面力分量之间的关系
斜面应力
§5-3 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n 面(l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0 , p σ n σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
主应力 应力主面 应力主向
p x l , p y m , p z n .
(d)
应力主向
m1 n1 由上两式解出 l1 , l1 。然后由式(b)得出
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
定量
.
(e)
再求出 m1 及 n1 。
定性
是否存在主应力？有几个？关系为何？
4. 任一点一定存在三个互相垂直的主应力
σ1 ,σ 2 ,σ 3 （数学，证明见书上）
px lσ x m yx n zx ,
( x, y, z ).
(a)
n n
2. 求
p (σ n , n )
将 p ( px , p y , pz ) 向法向 n投影，即得
σ n lp x mpy np z
l 2σ x m2σ y n2σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz zy ，
(x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
思考题
在图中，若点
o的x向正应力分
z
B dz
量为 σ x ，试表
示点 A , B 的x向
dy dx x o A
y
式(g)中的各式，左边是不随坐标选择 而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关， 但其和也应与坐标选择无关。 所以分别称 Θ1,Θ2 ,Θ3 为第一、二、
三应力不变量。这些不变量常用于塑性力
学之中。
一点应力状态
6.关于一点应力状态的结论：
(1)6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。
轴对称问题
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)的函数。 平面轴对称问题
应力中只有 σ ,σ ,σ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; 位移中只有 u , u z , u 0。
(b)
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
§5-1
平衡微分方程
静力学
取出微小的平行六面体， d v d x d y d z， 表示出各坐标面上的应力分量，然后考虑其 平衡条件:
F
0, x
x
F
M
y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
坐标增量引起应力增量、Taylor展开
应力正负号规定：正负面、正负向
正应力分量。
坐标增量引起应力增量
斜面应力
§5-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x … yz …，来求出斜
面(法线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
⑴ 应变用应力表示，用于按应力求解方法：
1 x (σ x σ y σ z ), E
yz
2(1 ) yz , E
( x ,y ,z ). (e)
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
u z , , z z u z u z 。 z u u ,
(c)
物理方程： 应变用应力表示：
1 (σ σ σ Z )，（ , υ, z ) E (d) 2(1 ) z z E
3. 在
sσ 上的应力边界条件 设在 sσ 边界上，给定了面力分量
fx, f y , fz ,
则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。斜面应力分量 ( p x , p y , pz ) 应 代之为面力分量 ( f x , f y , f z ) ，从而得出空间 问题的应力边界条件:
(lσ x m yx n zx )s f x , ( x, y, z) . (在Sσ 上) (d )
平衡微分方程：
σ z σ σ f 0, z σ z z z f z 0. z
F F
0, 0,
(b)
Z
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
代入 p x , p y , p z , 得到：
lσ x m yx n zx lσ , mσ y n zy l xy mσ , nσ z l xz m yz nσ .
(a)
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1.
2 2 2
边界上约束位移分量的已知值
体积应变
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
u v w x y z x y z
几何学 物理学
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v yz , y z
( x, y, z; u, v, w)
坐标轮换
(a)
( x, y, z; u, v, w)
几何方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系：
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
2 x yz 2 y zx 2 z xy
应力主向
3.应力主向 设主应力 σ1 的主向为 l1 , m1 , n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 (σ y σ1 ) zy xy 0. l1 l1
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1 , σ 2 , σ 3 ， 则式(c)也可以用根式方程表示为，
(σ σ1 )(σ σ 2 )(σ σ 3 ) 0
(f )
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ 的各 幂次系数应相等，从而得出：
应力不变量
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , (g) Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .
由 得
2 2 2 2 p 2 px p2 p σ y z n n,
2 2 2 2 2 n px py pz σn .
(c)
n n
从式(b)、(c )可见, 当坐标面上的六个 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也
就完全确定了。
完全确定一点的应力状态
应力边界条件
(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量 Θ1,Θ2 ,Θ3 .
σ1 σ 3 . (5) 最大和最小切应力为 2
设 σ1 σ 2 σ3
，作用于通过中间
主应力、并且“平分最大和最小正应
力的夹角”的平面上。
几何方程
§5-4 几何方程及物理方程
第五章 空间问题基本理论
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 例题
平衡微分方程
物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力
几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x, y, z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ