第五章-空间问题基本理论

由 得
2 2 2 2 p 2 px p2 p σ y z n n,
2 2 2 2 2 n px py pz σn .
(c)
n n
从式(b)、(c )可见, 当坐标面上的六个 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也
就完全确定了。
完全确定一点的应力状态
应力边界条件
代入 p x , p y , p z , 得到：
lσ x m yx n zx lσ , mσ y n zy l xy mσ , nσ z l xz m yz nσ .
(a)
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1.
2 2 2
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
⑴ 应变用应力表示，用于按应力求解方法：
1 x (σ x σ y σ z ), E
yz
2(1 ) yz , E
( x ,y ,z ). (e)
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
2 x yz 2 y zx 2 z xy
应力主向
3.应力主向 设主应力 σ1 的主向为 l1 , m1 , n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 (σ y σ1 ) zy xy 0. l1 l1
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
几何方程
⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
数学：由形变求位移，要通过积分，会出现待定 的函数。 物理：若 x yz 0 ( x, y , z )，还存在对应的位 移分量，为：
u u0 y z z y,
( x, y, z; u, v, w). (b)
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
σ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，
量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，
其方程也必然具有对等性。因此式(a)的其 余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
p (σ n , n ).
px p y pz
1. 求 p ( p x , p y , p z )
取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。
由四面体的平衡条件 得出坐标向的应力分量,
F
x
0( x, y , z ) ，
§5-1
平衡微分方程
静力学
取出微小的平行六面体， d v d x d y d z， 表示出各坐标面上的应力分量，然后考虑其 平衡条件:
F
0, x
x
F
M
y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
坐标增量引起应力增量、Taylor展开
应力正负号规定：正负面、正负向
(d)
应力主向
m1 n1 由上两式解出 l1 , l1 。然后由式(b)得出
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
定量
.
(e)
再求出 m1 及 n1 。
定性
是否存在主应力？有几个？关系为何？
4. 任一点一定存在三个互相垂直的主应力
Fra Baidu bibliotek
σ1 ,σ 2 ,σ 3 （数学，证明见书上）
第五章 空间问题基本理论
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 例题
平衡微分方程
物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力
几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x, y, z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
3. 在
sσ 上的应力边界条件 设在 sσ 边界上，给定了面力分量
fx, f y , fz ,
则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。斜面应力分量 ( p x , p y , pz ) 应 代之为面力分量 ( f x , f y , f z ) ，从而得出空间 问题的应力边界条件:
(lσ x m yx n zx )s f x , ( x, y, z) . (在Sσ 上) (d )
应力分量的边界值与面力分量之间的关系
斜面应力
§5-3 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n 面(l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0 , p σ n σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
主应力 应力主面 应力主向
p x l , p y m , p z n .
(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量 Θ1,Θ2 ,Θ3 .
σ1 σ 3 . (5) 最大和最小切应力为 2
设 σ1 σ 2 σ3
，作用于通过中间
主应力、并且“平分最大和最小正应
力的夹角”的平面上。
几何方程
§5-4 几何方程及物理方程
应力用应变表示：
E σ ( )，（ , , z ), 1 1 2 E z z . 2(1 )
轴对称问题
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)的函数。 平面轴对称问题
应力中只有 σ ,σ ,σ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; 位移中只有 u , u z , u 0。
平衡微分方程：
σ z σ σ f 0, z σ z z z f z 0. z
F F

0, 0,
(b)
Z
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
E x ( x ), 1 1 2
yz
E yz , (1 )
(x ,y , z). ( f )
由物理方程可以导出 1 2 Θ,
E
E 1 2
（ g）
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
--称为体积模量。
结论
结论： 空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
u z , , z z u z u z 。 z u u ,
(c)
物理方程： 应变用应力表示：
1 (σ σ σ Z )，（ , υ, z ) E (d) 2(1 ) z z E
式(g)中的各式，左边是不随坐标选择 而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关， 但其和也应与坐标选择无关。 所以分别称 Θ1,Θ2 ,Θ3 为第一、二、
三应力不变量。这些不变量常用于塑性力
学之中。
一点应力状态
6.关于一点应力状态的结论：
(1)6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。
平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz zy ，
(x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
思考题
在图中，若点
o的x向正应力分
z
B dz
量为 σ x ，试表
示点 A , B 的x向
dy dx x o A
y
在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个
几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3
个应力或位移的边界条件。
轴对称问题
§5-5
轴对称问题的基本方程
空间轴对称问题
如果弹性体的几何形状，约束情况和所 受的外力都为轴对称，则应力，形变和位 移也是轴对称的。
采用柱坐标 ( , , z ) 表示。
平面轴对称问题是使用了极坐标
(b)
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ
zx zy 0,
展开，即得求主应力的方程,
σ (σ x σ y σ z )σ (σ yσ z σ z σ x σ xσ y )σ
3 2 2 yz 2 zx 2 xy
(σ xσ y σ z σ σ σ 2 yz zx xy ) 0. ( c )
几何学 物理学
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v yz , y z
( x, y, z; u, v, w)
坐标轮换
(a)
( x, y, z; u, v, w)
几何方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系：
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
正应力分量。
坐标增量引起应力增量
斜面应力
§5-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x … yz …，来求出斜
面(法线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
边界上约束位移分量的已知值
体积应变
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
u v w x y z x y z
u0 , v0 , w0 --沿x , y , z 向的刚体平移；
x , y , z --绕x , y , z轴的刚体转动。
位移边界条件
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
位移分量的边界值
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
px lσ x m yx n zx ,
( x, y, z ).
(a)
n n
2. 求
p (σ n , n )
将 p ( px , p y , pz ) 向法向 n投影，即得
σ n lp x mpy np z
l 2σ x m2σ y n2σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1 , σ 2 , σ 3 ， 则式(c)也可以用根式方程表示为，
(σ σ1 )(σ σ 2 )(σ σ 3 ) 0
(f )
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ 的各 幂次系数应相等，从而得出：
应力不变量
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , (g) Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .