材料力学精美ppt第六章-弯曲内力
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材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
工程力学精品课程梁的弯曲内力.ppt
A+ 15KN
AB B-
-25KN
段 横截面
AC
C+
A-
AB
A+
B- D（剪力为零的截面）
M
0
-20KNm
20KNm
0 31.5KNm(弯矩极值)
3） 画剪力图与弯矩图
15KN
2.5m
20KN
20KNm
31.25KN m
25KN
20KNm
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
FY RA q AC Q 0
Q 10－20 0.2 6(KN) （C截面上剪力的实际方向向下）
q
A
CM
ＲA Q
又由平衡条件 mC (F) 0
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：
mC
沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、 弯矩与x的函数关系，即
Q Q(x)
剪力方程
M M (x) 弯矩方程
。
若以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到 剪力图与弯矩图，这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。
例7—2．一悬臂梁AB（图7—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力图
并分别以Q1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：
m/l
m Q1 RA l (0 x1 a)
ＲA
x1
A
M1
mb/l
M1
RA x1
m l
x1
(0 x1 a)
Q1
m
M2
x2
ＲB
材料力学课件06弯曲内力
材料力学精品课程 湘潭大学土木工程与力学学院
16
剪力运算规则
梁上某截面上的剪力，可以由该截面左侧（或右侧）梁上全 部外力来计算，左侧向上（右侧向下）的外力对该截面产生 正的剪力；左侧向下（或右侧向上）的外力对该截面产生负 的剪力。 (可见剪力与所在截面的绝对位置无关,却与外加荷载的相对 位置有关)
求得支反力
RA 35kN, RB 25kN
②写出梁的剪力方程和弯矩方程
图6.14 例 6.4 图 外伸梁
CA 段为： Q1 20
0 x 1
M1 20x 0 x 1
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22
AB段为：
Q2 RB 10(5 x) 25 10 x
(1 x 5)
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14
弯矩的符号规定：
口诀：左顺右逆，弯矩为正；（左逆右顺为负）。
注：上述“左”、“右”、“顺”、“逆”与剪力符号规定作 相同理解。
图6.10 弯矩M正负规定示意图
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15
例6.1 确定图示简支梁x截面处的内力 a P b
mC
1 qa2 2
②写出刚架的各杆的弯矩方程：
图6.21 例 6.7图 平面刚架
AB杆：
M (x) 1 qx2 2
0 x a
BC杆： M ( y) 1 qa2
2
0 y b
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31
③根据弯矩方程画弯矩图：
刚架弯矩图规定：刚架弯矩图一律画在杆件受压的一侧，即画 在杆件弯曲变形凹入的一侧，而不再标注弯矩的正负符号。
轴线 弯曲后轴线
材料力学_弯曲内力PPT课件
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
材料力学第6章 弯曲内力
精品文档
6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
精品文档
6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
精品文档
6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
材料力学第6章 弯曲变形部分课件
§6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula)
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment）
2
(4)
弯曲变形(Deflection of Beams)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
2 3
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A
wB 0
B
wA 0
A 0
弯曲变形(Deflection of Beams)
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration）
1.边界条件（Boundary conditions）
2.连续条件（Continue conditions）
弯曲变形(Deflection of Beams)
《材料力学》06弯曲内力
集中力、 类型：集中力、力偶和分布载
举例
弯曲内力
9
梁载荷与支座F
q Me
固定铰支座
如：滚珠轴承， 滚珠轴承， 桥梁的辊轴支座， 桥梁的辊轴支座，
活动铰支座 活动铰支座
1个约束 个约束
固定铰支座
如：止推滚珠轴承, 止推滚珠轴承 桥梁的固定支座等
2个约束 个约束
弯曲内力 10
固定端 XA YA
MA
固定端
4KN/m 5KN
解：1--1截面截取右部 截面截取右部
ΣY = 0
FS 1 − 5 − 4 × 2 = 0
MA
RA
1 1
2m 3m
∴ F S 1 = 5 + 4 × 2 = 13 kN
∑ mo = 0
4KN/m （按＋向假定） 向假定） 5KN
M 1 + 5( 2 ) + 4 × 2( 1 ) = 0
弯曲内力 20
S 3 = 20 N
M 3 = 50 N ⋅ m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 = 0 M 5 = 50 N ⋅ m
S4 = 0 M 4 = 50 N ⋅ m S6 = 0 M6 = 0
[例]： 求图示梁 1、2、3 截面处的内力 例： 、 、
qL
1 L 2 L
左上右下, 左上右下 左顺右逆
q
3
解：
∴ S 1 = − qL
− F S 1 + 17 − 4( 1 ) = 0
（按＋向假定） 向假定）
Σm o = 0
∴ F S 1 = 17 − 4 = 13 kN
M 1 + 33 − 17 ( 1 ) + 4 × 1( 0 .5 ) = 0
举例
弯曲内力
9
梁载荷与支座F
q Me
固定铰支座
如：滚珠轴承， 滚珠轴承， 桥梁的辊轴支座， 桥梁的辊轴支座，
活动铰支座 活动铰支座
1个约束 个约束
固定铰支座
如：止推滚珠轴承, 止推滚珠轴承 桥梁的固定支座等
2个约束 个约束
弯曲内力 10
固定端 XA YA
MA
固定端
4KN/m 5KN
解：1--1截面截取右部 截面截取右部
ΣY = 0
FS 1 − 5 − 4 × 2 = 0
MA
RA
1 1
2m 3m
∴ F S 1 = 5 + 4 × 2 = 13 kN
∑ mo = 0
4KN/m （按＋向假定） 向假定） 5KN
M 1 + 5( 2 ) + 4 × 2( 1 ) = 0
弯曲内力 20
S 3 = 20 N
M 3 = 50 N ⋅ m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 = 0 M 5 = 50 N ⋅ m
S4 = 0 M 4 = 50 N ⋅ m S6 = 0 M6 = 0
[例]： 求图示梁 1、2、3 截面处的内力 例： 、 、
qL
1 L 2 L
左上右下, 左上右下 左顺右逆
q
3
解：
∴ S 1 = − qL
− F S 1 + 17 − 4( 1 ) = 0
（按＋向假定） 向假定）
Σm o = 0
∴ F S 1 = 17 − 4 = 13 kN
M 1 + 33 − 17 ( 1 ) + 4 × 1( 0 .5 ) = 0
材料力学 第六章弯曲内力(1,2)
ql 2 / 8
(0 x l )
[例6-3]简支梁受集中力作用 ,写出内力方程并画内力图
Fb Fa FA ,FB l l
x
A
FA
x a
l
F
C
B
Fb AC段： FS ( x) FA l
b
FB
(0 x a )
Fb M ( x) F A x x l Fa CB段： FS ( x) FB l Fa M ( x) FB (l x) (l x) l
M
b>a时 M max
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
思考：对称性与反对称性 FA F A
l/2 Fs F/2 C l/2
FB B
x F/2 x M Fl/4
FA
Me
A
l/2 Fs
B
C l/2 Me l FB
x
Me/2 M
Me/2
x
例题 4-6
简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方 程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
例4-4 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。
A x B
l
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B FS x qx0 x l x FS(x) 2
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A B
qa2
A a
B
q C a
qa2
A a YA
B
q C a YB
∑Y = 0 : Y +Y qa = 0 3a ∑M = 0 : Y a + qa 2 + qa
A B
2
=0
3 Y A = 2 qa (负号表明力方向与标注相反) 负号表明力方向与标注相反) 负号表明力方向与标注相反 5 YB = qa 2
第六章 弯曲内力 (Bending forces)
赠言
不积跬步,无以至千里;不积小流, 不积跬步,无以至千里;不积小流, 无以成江海. 无以成江海. 劝学》 《荀子 劝学》
1
构件 Component, Structural member 杆 bar 梁 beam
拉压杆:承受轴向拉, 拉压杆:承受轴向拉,压力 扭 杆:承受扭矩 墙
l P
剪力:Q = P 剪力: 弯矩: 弯矩:M = - P(l-x)
(按左半边梁,能算出Q,M吗?) 按左半边梁,能算出Q
Q M
剪力, 剪力,弯矩正负号的含义
7
剪力, 剪力,弯矩的符号约定
Q
+
Q Q
Q
逆时针转为负
M
顺时针转为正
M
+
上压下拉为正
M
上拉下压为负
M
8
例 题
截面右侧, 截面 求A截面右侧,B截面 截面右侧 左右侧的剪力和 左右侧的剪力和弯矩 剪力 解: (1)计算支反力 )
截面 A右 C B左
Q
1 4
qa
1 4
qa
qa
3 qa 4
AC段 AC段:
1 4
dQ =q =0 dx
A 水平线
(+) ) C D
xD (-) )
B
CB段: 段 dQ = q 下斜直线 dx
3 qa 4
xD 3 qa =4 a qa
3 xD = a 4
17
截面
A右
C
1 4
B左
M
0
qa2
0
AC段: 段 A dM 1 = Q = qa 上斜直线 dx 4 CB段: 段
1 qa 2
1 2 qa 2
(+) )
Q图 图
M图 图
21
6-5 叠加原理
P 1
P 2
δ
=
P 2
P 1
δ1
+
Q = Q + Q2 1
δ2
δ = δ1 +δ2
M = M1 + M2
...
22
叠加原理: 叠加原理: 几个载荷共同作用的效果, 几个载荷共同作用的效果,等于 各个载荷单独效果之和 "效果"—— 效果" 指载荷引起的反力,内力, 指载荷引起的反力,内力,应力或变形 "之和"——代数和 之和" 代数和 叠加原理成立的前提条件: 叠加原理成立的前提条件: (1)小变形 ) 虎克定理( (2)材料满足郑玄 )材料满足郑玄——虎克定理(线性本构关系) 虎克定理 线性本构关系)
指明弯矩图凹凸方向
弯矩图
斜率为0 斜率为
斜率最大
(+)
q为正,弯矩图凹口向上 为正, 为正
14
Q + P Q Q = 0 1
Q =P 1
M
Q
P
M + M1
dx Q+Q 1
dx MP ( M + M1 ) + Qdx = 0 2 dx M1 = P + (Q + Q )dx 1 2
dx → 0,
M1 = 0
23
�
桥板 楼板 梁:承受横向力 为什么梁特别重要? 为什么梁特别重要? 地球引力场方向 + 人类需要空间
2 另作功能) 力转90度传到支座 垂直轴线) 度传到支座( (另作功能) = 力转 度传到支座(垂直轴线)
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2
纵向对称面
P1
P2
变形前
变形后 平面弯曲概念
3
梁载荷的分类
分布载荷 均匀分布载荷 q 线性(非均匀) 线性(非均匀) 分布载荷 q(x) T T 载荷集度 q(N/m) 集中力偶 T
dM =Q dx
二次曲线 上凸曲线
1 4
qa
xD C D
9 32
(+) )
B
(-) )
qa
3 4
1 4
qa
2
qa
2
dM = q 2 dx
2
(+) ) B A C D
在D处,M取极值 处 取极值
dM =Q =0 dx
3 xD = a 4
18
6-4 平面刚架 Plane frame 的内力图 Internal force
19
STEP 2:分段求值 : AB段: 段
1 Q = qa 1 2 1 M1 = qax1 2 N1 = 0
x1
B a A
q
a C
BC段: Q = qa qx 段 2 2
x2
1 qa 2
qa
1 qa 2
20
1 2 M2 = qax2 qx2 2 1 N2 = qa 2
1 1 Q = qa, M1 = qax1 , N1 = 0 AB段: 1 段 2 2 BC段: 段 1 2 1 Q2 = qa qx2 , M2 = qax2 qx2 , N2 = qa 2 2
而不用dM, ? 为什么后两个梁微元用 M1,Q1,而不用 ,dQ?
13
q(x)
M
M + dM
Q + qdx Q dQ = 0
dx M ( qdx ) M dM + Qdx = 0 2
q
l
剪力图
斜率为q 斜率为
Q dx Q+ dQ
dQ =q dx
ql
(+)
1 2 ql 2
dM =Q dx d 2M dQ = =q 2 dx dx
STEP 1:求反力 :
q A C a YA D xD a YB 简支梁 B
YA +YB qa = 0 1 YA 2a qa a = 0 2
STEP 2:分段求值 :
截面 A右
1 4
1 YA = qa 4 3 YB = qa 4
C
1 4
1 4
B左
Q M
qa
0
qa
qa2
3 qa 4
0
16
STEP 3:作剪力图和弯矩图 :
2
YA QB左 = 0
3 QB左 = YA = qa 2 1 2 MB左 = qa 2
qa2 +YAa MB左 = 0 =0
3 QA右 = YA = qa 2 MA右 = qa2
6-2 剪力,弯矩函数和剪力,弯矩图 剪力,弯矩函数和剪力,
x m n M Q P
剪力函数: 剪力函数: 弯矩函数: 弯矩函数:
B
q
x1
A
a a C
x2
1 qa 2
1 qa 2
qa
STEP 3:作内力图 :
B
(+) )
规定 —— 正内力画在刚架外侧或 上侧,负内力反之;注明正负号 上侧,负内力反之;
1 2 qa 2
(+) )
N图 图
A
(-) )
在该观察点, 在该观察点, ) C 内力正负号 (+) 1 约定同梁. qa 约定同梁. qa 2
在集中力作用点,剪力突变!弯矩不变 在集中力作用点,剪力突变!
Q
M0
M + M1
Q Q Q = 0 1
Q =0 1
M + M0 M M1 + Qdx = 0
M1 = M0 + Qdx
M
dx
Q+Q 1
dx →0,
M1 = M0
15
在力偶作用点,弯矩突变! 在力偶作用点,弯矩突变!剪力不变
例题
作剪力图和弯矩图
4
集中力 集中 P
支座种类
A XA
支座反力
固定铰支座 (pin support)
A
YA
滚动铰支座 (roller support)
MA A XA
YA
固定支座( 固定支座(fixed support)
YA
5
梁的种类
P1 XA A P2 B YA XA YB MA A YA P1 P2 B
简支梁 Simple beam, Simply supported beam
Q= P M = P(l x)
(+)
l P
P
剪力图
M Q
(-)
Pl
弯矩图
11
q x m n M Q
Q = q(l x)
l x 1 2 M = q(l x) = q(l x) 2 2 ql
(+) 剪力图 弯矩图
l
M Q
1 2 (-) ql 2
dM = q(l x) = Q dx
dQ = q dx
9
(2)计算各截面内力 )
A右截面
qa MA右
2
B左截面 A
qa
2
B右截面 MB左 B MB右 B q C a QB左 QB右
QB右 qa = 0 1 MB右 + qa a = 0 2 QB右 = qa 1 MB右 = qa2 2
10
A a YA QA右 YA
YA QA右 = 0 qa MA右
qa2
A a
B
q C a
qa2
A a YA
B
q C a YB
∑Y = 0 : Y +Y qa = 0 3a ∑M = 0 : Y a + qa 2 + qa
A B
2
=0
3 Y A = 2 qa (负号表明力方向与标注相反) 负号表明力方向与标注相反) 负号表明力方向与标注相反 5 YB = qa 2
第六章 弯曲内力 (Bending forces)
赠言
不积跬步,无以至千里;不积小流, 不积跬步,无以至千里;不积小流, 无以成江海. 无以成江海. 劝学》 《荀子 劝学》
1
构件 Component, Structural member 杆 bar 梁 beam
拉压杆:承受轴向拉, 拉压杆:承受轴向拉,压力 扭 杆:承受扭矩 墙
l P
剪力:Q = P 剪力: 弯矩: 弯矩:M = - P(l-x)
(按左半边梁,能算出Q,M吗?) 按左半边梁,能算出Q
Q M
剪力, 剪力,弯矩正负号的含义
7
剪力, 剪力,弯矩的符号约定
Q
+
Q Q
Q
逆时针转为负
M
顺时针转为正
M
+
上压下拉为正
M
上拉下压为负
M
8
例 题
截面右侧, 截面 求A截面右侧,B截面 截面右侧 左右侧的剪力和 左右侧的剪力和弯矩 剪力 解: (1)计算支反力 )
截面 A右 C B左
Q
1 4
qa
1 4
qa
qa
3 qa 4
AC段 AC段:
1 4
dQ =q =0 dx
A 水平线
(+) ) C D
xD (-) )
B
CB段: 段 dQ = q 下斜直线 dx
3 qa 4
xD 3 qa =4 a qa
3 xD = a 4
17
截面
A右
C
1 4
B左
M
0
qa2
0
AC段: 段 A dM 1 = Q = qa 上斜直线 dx 4 CB段: 段
1 qa 2
1 2 qa 2
(+) )
Q图 图
M图 图
21
6-5 叠加原理
P 1
P 2
δ
=
P 2
P 1
δ1
+
Q = Q + Q2 1
δ2
δ = δ1 +δ2
M = M1 + M2
...
22
叠加原理: 叠加原理: 几个载荷共同作用的效果, 几个载荷共同作用的效果,等于 各个载荷单独效果之和 "效果"—— 效果" 指载荷引起的反力,内力, 指载荷引起的反力,内力,应力或变形 "之和"——代数和 之和" 代数和 叠加原理成立的前提条件: 叠加原理成立的前提条件: (1)小变形 ) 虎克定理( (2)材料满足郑玄 )材料满足郑玄——虎克定理(线性本构关系) 虎克定理 线性本构关系)
指明弯矩图凹凸方向
弯矩图
斜率为0 斜率为
斜率最大
(+)
q为正,弯矩图凹口向上 为正, 为正
14
Q + P Q Q = 0 1
Q =P 1
M
Q
P
M + M1
dx Q+Q 1
dx MP ( M + M1 ) + Qdx = 0 2 dx M1 = P + (Q + Q )dx 1 2
dx → 0,
M1 = 0
23
�
桥板 楼板 梁:承受横向力 为什么梁特别重要? 为什么梁特别重要? 地球引力场方向 + 人类需要空间
2 另作功能) 力转90度传到支座 垂直轴线) 度传到支座( (另作功能) = 力转 度传到支座(垂直轴线)
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2
纵向对称面
P1
P2
变形前
变形后 平面弯曲概念
3
梁载荷的分类
分布载荷 均匀分布载荷 q 线性(非均匀) 线性(非均匀) 分布载荷 q(x) T T 载荷集度 q(N/m) 集中力偶 T
dM =Q dx
二次曲线 上凸曲线
1 4
qa
xD C D
9 32
(+) )
B
(-) )
qa
3 4
1 4
qa
2
qa
2
dM = q 2 dx
2
(+) ) B A C D
在D处,M取极值 处 取极值
dM =Q =0 dx
3 xD = a 4
18
6-4 平面刚架 Plane frame 的内力图 Internal force
19
STEP 2:分段求值 : AB段: 段
1 Q = qa 1 2 1 M1 = qax1 2 N1 = 0
x1
B a A
q
a C
BC段: Q = qa qx 段 2 2
x2
1 qa 2
qa
1 qa 2
20
1 2 M2 = qax2 qx2 2 1 N2 = qa 2
1 1 Q = qa, M1 = qax1 , N1 = 0 AB段: 1 段 2 2 BC段: 段 1 2 1 Q2 = qa qx2 , M2 = qax2 qx2 , N2 = qa 2 2
而不用dM, ? 为什么后两个梁微元用 M1,Q1,而不用 ,dQ?
13
q(x)
M
M + dM
Q + qdx Q dQ = 0
dx M ( qdx ) M dM + Qdx = 0 2
q
l
剪力图
斜率为q 斜率为
Q dx Q+ dQ
dQ =q dx
ql
(+)
1 2 ql 2
dM =Q dx d 2M dQ = =q 2 dx dx
STEP 1:求反力 :
q A C a YA D xD a YB 简支梁 B
YA +YB qa = 0 1 YA 2a qa a = 0 2
STEP 2:分段求值 :
截面 A右
1 4
1 YA = qa 4 3 YB = qa 4
C
1 4
1 4
B左
Q M
qa
0
qa
qa2
3 qa 4
0
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STEP 3:作剪力图和弯矩图 :
2
YA QB左 = 0
3 QB左 = YA = qa 2 1 2 MB左 = qa 2
qa2 +YAa MB左 = 0 =0
3 QA右 = YA = qa 2 MA右 = qa2
6-2 剪力,弯矩函数和剪力,弯矩图 剪力,弯矩函数和剪力,
x m n M Q P
剪力函数: 剪力函数: 弯矩函数: 弯矩函数:
B
q
x1
A
a a C
x2
1 qa 2
1 qa 2
qa
STEP 3:作内力图 :
B
(+) )
规定 —— 正内力画在刚架外侧或 上侧,负内力反之;注明正负号 上侧,负内力反之;
1 2 qa 2
(+) )
N图 图
A
(-) )
在该观察点, 在该观察点, ) C 内力正负号 (+) 1 约定同梁. qa 约定同梁. qa 2
在集中力作用点,剪力突变!弯矩不变 在集中力作用点,剪力突变!
Q
M0
M + M1
Q Q Q = 0 1
Q =0 1
M + M0 M M1 + Qdx = 0
M1 = M0 + Qdx
M
dx
Q+Q 1
dx →0,
M1 = M0
15
在力偶作用点,弯矩突变! 在力偶作用点,弯矩突变!剪力不变
例题
作剪力图和弯矩图
4
集中力 集中 P
支座种类
A XA
支座反力
固定铰支座 (pin support)
A
YA
滚动铰支座 (roller support)
MA A XA
YA
固定支座( 固定支座(fixed support)
YA
5
梁的种类
P1 XA A P2 B YA XA YB MA A YA P1 P2 B
简支梁 Simple beam, Simply supported beam
Q= P M = P(l x)
(+)
l P
P
剪力图
M Q
(-)
Pl
弯矩图
11
q x m n M Q
Q = q(l x)
l x 1 2 M = q(l x) = q(l x) 2 2 ql
(+) 剪力图 弯矩图
l
M Q
1 2 (-) ql 2
dM = q(l x) = Q dx
dQ = q dx
9
(2)计算各截面内力 )
A右截面
qa MA右
2
B左截面 A
qa
2
B右截面 MB左 B MB右 B q C a QB左 QB右
QB右 qa = 0 1 MB右 + qa a = 0 2 QB右 = qa 1 MB右 = qa2 2
10
A a YA QA右 YA
YA QA右 = 0 qa MA右