空心变压器电路的分析
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图13－18
解：将耦合电感 b、d两点相连，用去耦等效电路代替耦合 电感，得到图(b)相量模型。
等效电路中三个电感的阻抗为：
Za j(L1 M ) ( j4 j1) j3 Zb jM j1 Zc j(L2 M ) ( j2 j1) j1
图13－18
用阻抗串并联和分流公式求得：
初级回路的反映阻抗
Z ref
2M 2 R2 jL2 ZL
2M 2
Z 22
(13 22)
若负载开路，Z22, Zref=0，则Zi=Z11=R1+jL1，不
受次级回路的影响；
I1
U1 Zi
Z11
U1
2M 2
Z 22
(13 23)
再用式(13－20)即可求得次级电流 I2
I2
R2
jMI1 jL2 ZL
求得
U oc
2
j1 j4
U
S
j10(2 20
j4) V
(2
j1)V
526.6 V
j1(2 j3)
Zo 0.4 j1
2 j4
(0.5 j1.8)
Fra Baidu bibliotek
根据最大功率传输定理，当负载为
ZL
*
Zo
(0.5
j时1.8)
可获得最大功率
Pmax
U
2 oc
4Ro
5 W 2.5W 4 0.5
必作习题：第551~552页 习题十三：13 – 11 、 13 – 13 201032年– 1春4 节摄于成都人民公园
*
当 ZL＝Z o (0.8 j0.8) 时获得最大功率
Pmax
U
2 oc
4Ro
(6.325) 2 4 0.8
W 12.5W
三、用去耦等效电路简化电路分析
含耦合电感的电路，若能将耦合电感用去耦等效电路 代替，可避免使用耦合电感的VCR方程，常可简化电路分 析。现举例说明
图13－11
例13-7 电路如图(a)所示。已知 uS(t) 10 2 cos103t V 。 试求电流i1(t),i2(t)和负载可获得的最大功率。
(2) 1.6负载电阻吸收的功率。
图13－16
解：画出相量模型，如图(b)所示。求出反映阻抗
Z ref
2M 2
Z 22
22 (1 j1) 2 j2
求出输入阻抗
Zi Z11 Zref (1 j3 1 j1) (2 j2)
求出初级电流
I1
U S Zi
100
2 j2
A
2.5
2 45 A
§13－4 空心变压器电路的分析
不含铁心(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器，它在 电子与通信工程和测量仪器中得到广泛应用。空心变压器 的电路模型如图所示，R1和R2表示初级和次级线圈的电阻。
图13－14
一、端接负载的空心变压器
空心变压器次级接负载的相量模型如图所示。
图13－15(a)
该电路的网孔方程为：
图13－16
解：将1.6电阻断开，求含源单口网络的戴维宁等效电路。 求出开路电压
U oc
jMU S R1 jL1
j2 10 1 j3
V 6.32518.44
V
用与输入阻抗相类似的公式计算输出阻抗
Zo
R2
jL2
2M 2 R1 jL1
(0.4 j2 4 ) (0.8 j0.8) 1 j3
Zi
2
j3
j1(1 j1) 0.4 0.6
(3
j4)
I1
U S Zi
100 3 j4
A
2 53.1 A
I2
j1 j1 1
j1
I1
236.9 A
i1(t) 2 2 cos(103t 53.1 )A i2 (t) 2 2 cos(103t 3.69 )A
为求负载可获得的最大功率，断开负载ZL=(0.6-j2)
求出次级电流
I2
jMI1
Z 22
j2 2.5 2 45 2 j2
A
2.5A
最后得到：
i1(t) 5cos(10t 45 )A
i2 (t) 2.5 2 cos10tA
1.6负载电阻吸收的平均功率为
P
RL
I
2 2
1.6 2.52 W
10W
二、端接电源的空心变压器
现在讨论除负载以外含源单口网络的戴维宁等效电路。 该单口网络的相量模型如图13-17（a）所示。
图13－17
U oc
jMI1
jMU S R1 jL1
(13 24)
Zo
R2
jL2
2M 2 R1 jL1
Ro
jX o
(13 25)
图13－17(b)
得到图示戴维宁等效电路。根据最大功率传输
定理，当负载ZL与Zo共轭匹配，即
*
Z L＝Z o
可获得最大功率为
Pmax
U
2 oc
4Ro
例13-6 求图13-16电路中1.6负载电阻经调整获得的最大功 率。
(Rj1MjI1L1)(IR1 2jjMLI22
U1 ZL)
I2
0
(13 18) (13 19)
求得
I2
R2
jMI1 jL2 ZL
jMI1
Z 22
(13 20)
Zi
U1 I1
R1
jL1
2M 2
Z 22
Z11 Zref
(13 21)
图13－15(a)
图13－15(b)
式中Z11= R1+jL1是初级回路阻抗，Zref是次级回路在
jMI1
Z 22
(13 20)
若改变图13－15(a)电路中同名端位置，则式(13－18)、
(13－19)和(13－20)中M 前的符号要改变。但不会影响输
入阻抗、反映阻抗和等效电路。
Zi
U1 I1
R1
jL1
2M
Z 22
2
Z11 Zref
(13 21)
例13－5 电路如图13-16(a)所示。已知 uS (t) 10 2 cos10t V 试求：(l) i1(t),i2(t)；
解：将耦合电感 b、d两点相连，用去耦等效电路代替耦合 电感，得到图(b)相量模型。
等效电路中三个电感的阻抗为：
Za j(L1 M ) ( j4 j1) j3 Zb jM j1 Zc j(L2 M ) ( j2 j1) j1
图13－18
用阻抗串并联和分流公式求得：
初级回路的反映阻抗
Z ref
2M 2 R2 jL2 ZL
2M 2
Z 22
(13 22)
若负载开路，Z22, Zref=0，则Zi=Z11=R1+jL1，不
受次级回路的影响；
I1
U1 Zi
Z11
U1
2M 2
Z 22
(13 23)
再用式(13－20)即可求得次级电流 I2
I2
R2
jMI1 jL2 ZL
求得
U oc
2
j1 j4
U
S
j10(2 20
j4) V
(2
j1)V
526.6 V
j1(2 j3)
Zo 0.4 j1
2 j4
(0.5 j1.8)
Fra Baidu bibliotek
根据最大功率传输定理，当负载为
ZL
*
Zo
(0.5
j时1.8)
可获得最大功率
Pmax
U
2 oc
4Ro
5 W 2.5W 4 0.5
必作习题：第551~552页 习题十三：13 – 11 、 13 – 13 201032年– 1春4 节摄于成都人民公园
*
当 ZL＝Z o (0.8 j0.8) 时获得最大功率
Pmax
U
2 oc
4Ro
(6.325) 2 4 0.8
W 12.5W
三、用去耦等效电路简化电路分析
含耦合电感的电路，若能将耦合电感用去耦等效电路 代替，可避免使用耦合电感的VCR方程，常可简化电路分 析。现举例说明
图13－11
例13-7 电路如图(a)所示。已知 uS(t) 10 2 cos103t V 。 试求电流i1(t),i2(t)和负载可获得的最大功率。
(2) 1.6负载电阻吸收的功率。
图13－16
解：画出相量模型，如图(b)所示。求出反映阻抗
Z ref
2M 2
Z 22
22 (1 j1) 2 j2
求出输入阻抗
Zi Z11 Zref (1 j3 1 j1) (2 j2)
求出初级电流
I1
U S Zi
100
2 j2
A
2.5
2 45 A
§13－4 空心变压器电路的分析
不含铁心(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器，它在 电子与通信工程和测量仪器中得到广泛应用。空心变压器 的电路模型如图所示，R1和R2表示初级和次级线圈的电阻。
图13－14
一、端接负载的空心变压器
空心变压器次级接负载的相量模型如图所示。
图13－15(a)
该电路的网孔方程为：
图13－16
解：将1.6电阻断开，求含源单口网络的戴维宁等效电路。 求出开路电压
U oc
jMU S R1 jL1
j2 10 1 j3
V 6.32518.44
V
用与输入阻抗相类似的公式计算输出阻抗
Zo
R2
jL2
2M 2 R1 jL1
(0.4 j2 4 ) (0.8 j0.8) 1 j3
Zi
2
j3
j1(1 j1) 0.4 0.6
(3
j4)
I1
U S Zi
100 3 j4
A
2 53.1 A
I2
j1 j1 1
j1
I1
236.9 A
i1(t) 2 2 cos(103t 53.1 )A i2 (t) 2 2 cos(103t 3.69 )A
为求负载可获得的最大功率，断开负载ZL=(0.6-j2)
求出次级电流
I2
jMI1
Z 22
j2 2.5 2 45 2 j2
A
2.5A
最后得到：
i1(t) 5cos(10t 45 )A
i2 (t) 2.5 2 cos10tA
1.6负载电阻吸收的平均功率为
P
RL
I
2 2
1.6 2.52 W
10W
二、端接电源的空心变压器
现在讨论除负载以外含源单口网络的戴维宁等效电路。 该单口网络的相量模型如图13-17（a）所示。
图13－17
U oc
jMI1
jMU S R1 jL1
(13 24)
Zo
R2
jL2
2M 2 R1 jL1
Ro
jX o
(13 25)
图13－17(b)
得到图示戴维宁等效电路。根据最大功率传输
定理，当负载ZL与Zo共轭匹配，即
*
Z L＝Z o
可获得最大功率为
Pmax
U
2 oc
4Ro
例13-6 求图13-16电路中1.6负载电阻经调整获得的最大功 率。
(Rj1MjI1L1)(IR1 2jjMLI22
U1 ZL)
I2
0
(13 18) (13 19)
求得
I2
R2
jMI1 jL2 ZL
jMI1
Z 22
(13 20)
Zi
U1 I1
R1
jL1
2M 2
Z 22
Z11 Zref
(13 21)
图13－15(a)
图13－15(b)
式中Z11= R1+jL1是初级回路阻抗，Zref是次级回路在
jMI1
Z 22
(13 20)
若改变图13－15(a)电路中同名端位置，则式(13－18)、
(13－19)和(13－20)中M 前的符号要改变。但不会影响输
入阻抗、反映阻抗和等效电路。
Zi
U1 I1
R1
jL1
2M
Z 22
2
Z11 Zref
(13 21)
例13－5 电路如图13-16(a)所示。已知 uS (t) 10 2 cos10t V 试求：(l) i1(t),i2(t)；