数学归纳法证明例题

例1.用数学归纳法证明：

()()12121217

51531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法:

证明：①n ＝1时,左边31311=⨯=，右边3

1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =ｋ时，等式成立,即:

()()12121217

51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k . 那么当n =ｋ+1时,有:

()()()()32121121217

51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

k k k ()1

121321+++=++=k k k k 这就是说,当n ＝k +1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设ｎ=k 这一步,当ｎ=k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n ＝ｋ+1时.

()()()()32121121217

51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()

3212112++++=k k k k

()()()()()()

321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1

121321+++=++=k k k k 这就说明,当n ＝k +１时,等式亦成立,

例２.是否存在一个等差数列｛a ｎ},使得对任何自然数n ，等式:

a 1+2a ２＋3a ３+…+n ａn =ｎ（n ＋１）(n +2)

都成立，并证明你的结论.

分析：采用由特殊到一般的思维方法,先令ｎ=1,２，3时找出来｛a n },然后再证明一般性. 解：将ｎ=1,２，3分别代入等式得方程组．

⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=603224

26321

211a a a a a a , 解得a 1=6，a 2=9，a ３=1２，则d ＝３．

故存在一个等差数列a n =3n +３，当n ＝1，２,３时,已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数，等式

ａ１+２a 2+3ａ3+…＋ｎa n =n (n +１）(n +２)都成立.

因为起始值已证，可证第二步骤.

假设n =ｋ时,等式成立，即

a 1+2a ２＋３a 3+…+ka k =k （ｋ+1）(k ＋2)

那么当ｎ=k +１时，

ａ1+2a 2＋3a 3+…＋ka k ＋(ｋ+１)ａk +1

= ｋ(k +1)（k +２)+ (k +1)[３(ｋ+1)+3]

=(k ＋1)(k ２+2k +3k +6)

=(k +１）(k +２）(k +3）

=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]

这就是说，当ｎ=k +1时,也存在一个等差数列ａn =３n +3使a 1+２a 2+３a 3+…+n ａｎ=n （n +１)(ｎ+2)成立.

综合上述,可知存在一个等差数列ａn =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2+3a 3+…+na ｎ=ｎ（ｎ+1)(n +2)都成立.

例3．证明不等式n n 213121

1<++++ (ｎ∈N ).

证明：①当n =1时，左边=１，右边＝２．

左边<右边，不等式成立．

②假设ｎ=k 时，不等式成立,即k k 2131211<++++

.

那么当n ＝ｋ+1时, 11

1

31

21

1++++++k k

1

1

1211

2+++=++

1211211

1+=++=++++

这就是说,当ｎ=k ＋1时，不等式成立．

由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立.

说明：这里要注意，当n =k ＋1时，要证的目标是

121113

1

21

1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k .

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形，达到这个目标. 例4．已知数列{a n ｝满足ａ1=0,a 2＝１，当n ∈N 时,a n +2=a ｎ+1+a n .

求证:数列{ａn }的第4ｍ+１项（ｍ∈N )能被3整除．

分析:本题由a n +1＝ａn ＋1＋a n 求出通项公式是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法. ①当m =1时,a 4ｍ+１=a 5=a 4+a 3=(a 3+a ２)＋(a ２+a 1）＝a 2+a 1+a 2+a ２+a 1=3，能被３整除． ②当m ＝k 时,a 4k +1能被３整除,那么当ｎ=k +1时，

a 4(k ＋１)+1=a 4k +5＝ａ４ｋ+4+a 4k +3

＝a 4k +3＋ａ4k +２＋ａ4k +2+a ４k +1

=ａ4k ＋２+ａ４k +1+a ４k +2+a ４k +2+a 4k +１

=3ａ４k +2+2ａ4k +1

由假设a4ｋ+1能被3整除,又３a4ｋ+2能被3整除,故3a4k+２+2ａ４ｋ＋１能被3整除.

因此,当ｍ=k+1时，a４(k+1)+1也能被3整除.

由①、②可知，对一切自然数m∈N,数列{aｎ}中的第4m+1项都能被3整除．

例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上,这ｎ个半圆每两个都相交,且都在直线ｌ的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?

分析:设这些半圆最多互相分成ｆ（n）段圆弧,采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证.

当ｎ＝2时,由图(1)．两个半圆交于一点,则分成4段圆弧,故f (２)=4=22.

当n=３时，由图（２).三个半径交于三点,则分成9段圆弧，故f (３)＝9=32．

由n=4时,由图(3）．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧,故ｆ（4)=１6=４2．

由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2.

用数学归纳法证明如下：

①当n＝２时,上面已证．

②设n=k时,f （ｋ）=ｋ2,那么当n＝k+1时,第k+1个半圆与原ｋ个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+１段,这样又多出了k+1段圆弧．

∴ｆ（k+１)＝k2+k＋(k＋1)

=k2＋２k+1=(k+１)２

∴满足条件的k＋1个半圆被所有的交点最多分成(ｋ+1)２段圆弧.

由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧.

说明：这里要注意;增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2）=4，f (3）＝ｆ（2）+2＋3,f(4)=ｆ(３)＋3+４中发现规律：ｆ(k+１）=f (ｋ)+k+(k+1）.

N的4K＋１次方-N为何是10的倍数?

先证明n^5-n一定是10 的倍数

再用数学归纳法证明n^(4k+1)－n也是１0的倍数

n^5-ｎ＝ｎ(n-１）(n+1)（n＾２+1)

显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是２的倍数