泊松分布下的Erlang C公式

泊松分布下的Erlang C 公式

拟制覃亮学日期2005-7-25

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目录

1 泊松分布下的Erlang C 公式 (4)

1.1 Erlang C 公式 (4)

1.2 性能指标 (4)

1.3 Erlang C公式与Erlang B公式的比较 (6)

附录A 泊松分布下Erlang C 公式的推导 (7)

图目录

图A-1 系统状态转移图 (8)

表目录

表A-1 各种方式发生的概率 (7)

1 泊松分布下的Erlang C 公式

1.1 Erlang C 公式

排队等待模型有两个基本假设：

1 用户数远远大于提供的信道数，相对于信道数来说，可以认为用户数为无穷大。

2 没有被处理的用户呼叫进入排队队列中等待，直到被处理。

在满足以上两个基本假设的情况下，认为用户呼叫到达是泊松分布，用户呼叫离开也是泊松分布。排队等待模型分两种情况：其一是队列长度有限的情况，此时阻塞率就是队列全满时的概率，另一种情况是队列长度无限的情况，此时没有阻塞率，其性能指标代之以等待队列长，总队列长，等待时间，逗留时间等参数。

在队列长度有限的情况下，当提供C 个信道，队列长度为N 时，设用户呼叫平均到达率为λ，平均用户呼叫持续时长为T ，T /1=μ，)/(μλρC =。则在某一时刻队列中有n 个用户的概率为：

∑-=---+=1

01

-1C n 0]1C!C !

[P C n N C n n C ρρρρ

0n

n P !P ρn C n = n

0n

n P !

P ρC C c = n>=C

当队列长度无限时，其概率为：

∑-=-+=1

01

-C C n 0]1C!C !

[P C n n n C ρρρ

0n

n P !P ρn C n = n

0n

n P !

P ρC C c = n>=C

1.2 性能指标

在队列长度有限的情况下，其性能指标如下： 其阻塞率为：

0N

N P !

P B ρC C c ==

其平均等待队列长度为：

2

1

011

011)1()()1(1!)1(!)(ρρ

ρρρρ--++--=

+=-=+--+--=++=∑∑C N C N C C C N n n

C C N

C n n q C N C N p C C n p C C p C n L

有效到达率为：

)1(B e -=λλ

平均等待时间为：

e q q L W λ/=

平均逗留时间为

T W W q +=

平均队列长度为：

e W L λ=

在队列长度无限的情况下，其性能指标如下： 其平均等待队列长度为：

2

10

011)1(1!)1(!)(ρρρρ-=+=-=+∞=+∞

+=∑∑p C C n p C C p C n L C C n n

C C C n n q 有效到达率为：

λλ=e

其它指标请参照队列长度有限时的情况，其关系式相同。 等待时间的概率：

排在等待队列第k 位的用户等待时间服从k 阶Erlang 分布，其概率密度函数为：

t C k k e k t C C t f μμμ---=)!

1()()(1

等待队列中第k 位用户等待时长的概率为：

00

1

010!)()!1()()(t C k j j t t

C k k e

j t C dt e k t C C t t F μμμμμ--=∞

--∑⎰=-=> 等待时长的概率为：

00000)(000

000

00001!)(11

!)(*]!)([]!)([)(t C C j j

t C C i j j j

i t C C i i

j j i

t C C N i t C i

j j i e P j t e P j t C e P j t C e P e j t C P t t F λμμμμμρ

λρμρρμρμ--∞

=-∞=∞

=-∞==-∞

=-=-=-====>∑∑∑∑∑∑∑

1.3Erlang C公式与Erlang B公式的比较

首先，在队列长度有限的情况下，它们都有阻塞率，在相同的信道数和相同的容量下，Erlang C 公式计算出来的阻塞率要比Erlang B的小许多。但较小的阻塞率是以时间为代价的。队列长度越长，阻塞率越小，相应的平均等待时长越长。

其次，提高了信道的有效利用率，信道的有效利用率为：

C B

A)

1(-

=

ρ

在队列长度有限情况下，排队等待模型的阻塞率要比阻塞拒绝模型的小，所以其信道利用率要高。在队列长度无限的情况下，其阻塞率为0，其信道利用率更高。

附录A 泊松分布下Erlang C 公式的推导

Erlang C 公式基于一下两点假设：

1 用户数远远大于信道数，相对于信道数，可以认为用户数为无穷大。

2 没有被处理的呼叫进入排队队列等待，直到被处理。

根据以上两点假设，可以认为用户呼叫的到达服从泊松分布，用户离开也服从泊松分布 定义以下参数：

n λ：系统状态为n 时，用户进入系统的平均速度。 n μ：系统状态为n 时，用户离开系统的平均速度。

)(t p n ：:t 时刻，系统内有n 个用户的概率。

当

t ∆极小时，在（t ，t t ∆+）时间内有一个用户到达的概率为：t λn ∆，没有用户到达的概率为：

t λ1n ∆-。同理，在（t ，t t ∆+）时间内有一个用户离开的概率为：t ∆n μ

没有用户离开的概率为：t 1∆-n μ。

在（t ，t+t ∆）内发生的事及其概率如下表所示：

表 A-1 各种方式发生的概率

方式 t 时刻状态 概率

（t ，t+t ∆）内发生

的事 发生的概率

t+t ∆时刻状态 1

n

)(n P t

无到达 无离去 （t 1∆-n λ）*（t 1∆-n μ） n

2 n+1 )(1

n P t + 无到达 离去一个 （t 11∆-+n λ）*t 1∆+n μ

n

3 n-1

)(1-Pn t

到达一个 无离去 t 1∆-n λ*(t 11∆--n μ)

n

4 n

)(n

P t 到达一个 离去一个

t ∆n λ*t ∆n μ

n

方式1，2，3，4是互不相容且完备的，所以有：