厦门大学第十二届(2015)景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)评分标准

厦门大学第十二届“景润杯”数学竞赛试卷（理工类）参考答案一、求下列各题极限（每小题4分，共8分）（1） 求极限 20(32sin )3lim tan x xx x x→+-. 解一：20(32sin )3lim tan xxx x x →+-2002(1sin )13lim3lim xx x x x x→→+-=⋅ …………………………..1分 2ln(1sin )32e1limx x x x +→-= …………………………..2分202ln(1sin )3lim x x x x →+= ……………………………….1分 02sin 23lim 3x xx →== ……………………………………..1分解二：20(32sin )3lim tan x x x x x →+-ln(32sin )ln320e e lim x x x x x +→-= ………………………………………..1分20[ln(32sin )ln3]lime x x x xξ→+-= ……………………2分 202ln(1sin )3lim x x x x→+= …………………………….1分 02sin 23lim 3x xx →== …………………………………..1分其中ξ在ln(32sin )ln3x x x +与之间. (2)设12121,2,(2,3,)n n n x x x x x n --===+=，求极限1limn nx →∞. 解一：由题设条件知，对2n ∀>，0n x >，且120n n n x x x ---=>，即{}n x 严格单增，所以, 1212n n n n x x x x ---=+<，112n n x x ->，即有 2112n n x x -->， 故 211121213333()()()2222n n n n n n n x x x x x x ------=+>>>>= …………………….3分所以，11103()2n n x -≤≤， ……………………….1分 由11lim 03()2n n →∞-=得1lim 0.n n x →∞= ………………………..1分解二：用归纳法证明：n x n ≥，1,2,n =事实上，当1,2n =时，结论成立。

假设结论对n k =时成立. 则当1n k =+时，1111k k k x x x k k k +-=+≥+-≥+ ……………………….3分因此，110n x n≤≤ ……………………….1分 由1lim0n n →∞=得1lim 0n nx →∞=. ……………………….1分二、（8分）设可微函数()f x 满足 0()lim 1x f x x→=，求0t +→解：2]d 2f y y f y += ……………………….2分2t xu ⎰……………………….2分t tt t ++→→=tut +→= ……………………….2分30()d πlim tt uf u u t +→=⎰ ……………………….1分20()ππlim 33t tf t t +→== ……………………….1分 三、（8分）设函数()f x 满足1()()caf x bf x x+= (0x ≠)，其中,,a b c 都是非零常数，且||||a b ≠，求(())f f x 的导数.解：由已知条件，当0x ≠时，1()()(1)1()()(2)c af x bf x x af bf x cx x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, .…………….1分(1)(2)a b ⨯-⨯，得22()()aca b f x bcx x-=-，即 22()()()c af x bx a b x=--, 0x ≠, ……………….2分 则 222()()()c af x b a b x '=---, 0x ≠. .…………….1分令 22()()()c au f x bx a b x==--，则 d[(())]d[()]d d ()d d d d f f x f u u uf u x u x x'=⋅=⋅ .……………………….2分222222()()()()c a c ab b a b u a b x =--⋅----2222222222()[()]()()c a a b a a bx b b a b c x x --=-++-，0x ≠且2a x b≠ .……….….2分 四、（8分）设函数()f x 在[0,1]上有连续的导数，且(0)(1)0f f '==，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：构造辅助函数()e()xF x f x -=， ……………………….2分则()F x 在[0,1]上连续可导，且()e [()()]x F x f x f x -''=-，1(0)(0),(1)e (1),F f F f -'''==- ………………….1分若对(0,1),()0x F x '∀∈≠，则有下面两种情况对(0,1),()0x F x '∀∈>，此时()F x 单调增加，(1)(0)0F F >=，1e (1)0f ->，从而(1)0F '<，这与1(1)lim ()0x F F x -→''=≥矛盾， ……………………….2分 对(0,1),()0x F x '∀∈<，此时()F x 单调减少，(1)(0)0F F <=，1e (1)0f -<，从而(1)0F '>，这与1(1)lim ()0x F F x -→''=≤矛盾。

………………………2分从而至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ'=. ……………………….1分 五、（8分） 证明不等式sin π(1)(01)πxx x x >-<<. 证明：设sin π()(1)(01)πxF x x x x =--<<, …………………….1分 则()cos π21F x x x '=+-，2()2πsin ππ(sin π)πF x x x ''=-=- ……………………….1分令()0,F x '= 解得驻点为10,,12x = ………………….1分在区间1(0,)2上，2()π(sin π)πF x x ''=-仅有唯一的一个零点1ξ，且当10x ξ<<时，()0F x ''>，当112x ξ<<时，()0F x ''<.又1(0)()02F F ''==, 因此在1(0,)2上，()0F x '>，从而在1(0,)2上，()F x 单调增加，且()(0)0F x F >=. ………………………2分类似地，在区间1(,1)2上，2()π(sin π)πF x x ''=-仅有唯一的一个零点2ξ，且当212x ξ<<时，()0F x ''<，当21x ξ<<时，()0F x ''>.又1()(1)02F F ''==，因此在1(,1)2上，()0F x '<，从而()F x 在1(,1)2上单调减少，且()(1)0F x F >=. ………………………2分综上所述，()F x 在区间(0,1)上恒大于零，即()F x 在[0,1]上的最小值为(0)0F =，即()0,(0,1)F x x >∀∈，从而不等式成立。

………………………1分六、（10分）设幂级数nn n a x∞=∑的系数满足012,1,1n n a na a n n -==+-≥，求此幂级数的收敛半径R 及和函数()S x .解：首先用数学归纳法证明对n,1n a ∀>，即数列{}n a 有下界1.当k=1时，102a a ==，假设k=n-1时，11n a ->，当k=n 时，1111n n na a n n n -=+->+-=， 故1n a >，由归纳法假设，数列{}n a 有下界1. 又11111111n n n a n n a n a n n n----=+⋅<+=，即1n n a a ->，数列{}n a 是单调降的，故有lim 1n n a a →∞=≥.………………………2分且11lim lim[]1n n n n a n a a n n -→∞→∞-==+=，111lim lim1n n n n n a a a →∞→∞--==，所以幂级数的收敛半径1R =. ………………………1分设0()nn n S x a x∞==∑，则11()n nn S x na x∞-='=∑，由条件11n n na a n -=+-，当1x <时，有11111111()(1)()()n n nn n n n n n S x a xn xS x nx S x x nx ∞∞∞∞----===='=+-=+=+∑∑∑∑ …………………2分2()()()1(1)x xS x x S x x x '=+=+-- ………………………1分 解此一阶线性微分方程，得1()e 1xS x C x=+- . ………………………3分 由(0)2S =，得1C =，故1()e 1xS x x=+- ， 1 1.x -<< .………………………1分七、（10分）设(),g()f x x 是[,]a b 上的连续函数，且对[,]x,y a b ∀∈有[()()][g()g()]0f x f y x y --≤ （称()g()f x x 与具有反序性）（1）证明：()d ()d ()()g()d ;bb baaaf x xg x x b a f x x x ⋅≥-⎰⎰⎰（2）利用（1）的结论，证明：若()f x 是[0,1]上的连续函数，且对[0,1]x ∀∈有0()1f x ≤<，则11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰.证：（1）由[()()][()g()]0f x f y g x y --≤ 得()g()()g()()g()()g()f x x f y y f x y f y x +≤+ ……………………1分不等式两端在D 上求二重积分，其中{(,)|,}D x y a y b a x b =≤≤≤≤，即()g()d d ()g()d d ()g()d d ()g()d d DDDDf x x x y f y y x y f x y x y f y x x y +≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰……………………2分 即 ()()g()d ()d g()d bb baaab a f x x x f x x x x -≤⎰⎰⎰ .………………………2分另解：做辅助函数()()d ()d ()()g()d ;xxxaaax f t t g t t x a f t t t ϕ=⋅--⎰⎰⎰ .……………………1分()()()d ()()d ()g()d ()()()x x xaaax f x g t t g x f t t f t t t x a f x g x ϕ'=+---⎰⎰⎰.………………………1分[()()][()()]d 0xaf x f tg x g t t =---≥⎰ ………………………2分故()()0b a ϕϕ≥=，即()d ()d ()()g()d .bb baaaf x xg x x b a f x x x ⋅≥-⎰⎰⎰ ……………….………1分（2）由于对[0,1]x ∀∈有0()1f x ≤<，[]2()()[()()](1())(1())01()1()[1()][1()]f x f y f x f y f x f y f x f y f x f y ⎡⎤-----=-≤⎢⎥----⎣⎦即()1()f x f x -与1()f x -在上[0,1]具有反序性， ……………….………2分则由(1)，11110000()()()d (1())d d (1())d 1()1()f x f x f x x f x x x f x x f x f x =-≤---⎰⎰⎰⎰1100()d [1()d ]1()f x x f x x f x ≤⋅--⎰⎰ ……………….………2分因为11()d 0f x x ->⎰，所以 11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x≥--⎰⎰⎰ .……………….………1分 八、（10分）已知曲线2C :3(1)y xz y ⎧=⎨=-⎩，在纵坐标为1y =的点处的切线为L ，∏是通过L 且与曲面22:4x y z ∑+=相切的平面，求∏的方程.解：若以y 为参数，曲线C 的参数方程为2:3(1)x y C y y z y ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，C 在对应1y =点(1,1,0)处的切向量为11T {(),,()}{2,1,3}|{2,1,3}y y x y y z y y =='''===， ……………….………1分所以C 在点(1,1,0)处的切线L 的方程为11213x y z--==，或者 210330x y y z -+=⎧⎨--=⎩ ……………….………1分过L 的平面束方程为(33)(21)0y z x y λ--+-+=，即(32)30x y z λλλ+--+-= （1） …………….………2分记22(,,)4F x y z x y z =+-，设∏与曲面∑的切点为0000()M x ,y ,z ，则曲面∑在点0000()M x ,y ,z 处的法向量为000{,,}{2,2,4}M M M F F F x y xyz∂∂∂=-∂∂∂，由于所求的平面∏与∑相切，因此λ应满足0321224x y λλ--==-，由此可得， 002,64x y λλ==-. ………….………3分因为0M 在∑上，则2220001()51294z x +y λλ==-+, ……………….………1分 又因为0000()M x ,y ,z 也应在∏上，将其代入（1）得222(32)(64)(5129)30λλλλλλ+----++-=，即 251160λλ-+=，解得61,5λ=， ……………….………1分 因而得到所求的∏的平面方程为20x y z +--=或63590x y z +--= .……………….………1分九、（10分）设,a b 分别是函数π2()|cos |d x xf x t t +=⎰在[0,π]上的最大值和最小值，L 是连接原点与点(1,0)A 的位于第一象限内的光滑曲线，并且与线段OA 围成的闭区域D 的面积为1，求关于坐标的曲线积分.(3e sin )d (e cos )d x x LI by y x ax y y =++++⎰（其中L 为逆时针方向）解：先确定,a b ，再计算I .由()f x 的积分表达式 πsin cos 02()|sin ||cos |πsin cos π2x x x f x x x x x x ⎧-≤<⎪⎪'=-=⎨⎪+≤≤⎪⎩，于是()0f x '=的根为π3π,44x =. .……………….………2分3ππ3ππ3π42424πππππ44224π()|cos |d |cos |d sin |sin 24f t t t t t t ==+=-=⎰⎰⎰5π5π5π4443π3π3π4443π()|cos |d cos d sin 4f t t t t t ==-=-=⎰⎰. πππ222000(0)|cos |d cos d sin |1f t t t t t ====⎰⎰， 3π3π3π222πππ(π)|cos |d cos d sin |1f t t t t t ==-=-=⎰⎰所以π3πmax{(),(),(0),(π)}44a f f f f ==π3πmin{(),(),(0),(π)}244b f f f f == .……………….………3分(3(2e sin )d e cos )d x x LI y y x y y =++++⎰ （由格林公式）e cos )[3(2e sin ]{}d d x x Dy y y x y x y ∂+∂++=-∂∂⎰⎰(3(2e sin )d e cos )d x x OAy y x y y -++++⎰ .……………….………2分12)d d 3d 2)35Dx y x =-=-=⎰⎰⎰. .……………….………3分十、（12分）设L 是过原点，方向为{},,αβγ（其中2221αβγ++=）的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕L 旋转 （1）求其转动惯量；（2）其转动惯量关于方向{},,αβγ的最大值和最小值.解：（1）设旋转轴L 的方向向量为{},,αβγ，椭球内任意一点(,,)P x y z 到旋转轴L 的距离的平方为{}{}222222222[,,,,]()d x y z x y z x y z x y z αβγαβγ=++-⋅=++-++222222(1)(1)(1)222x y z xy yz xz αβγαββγγα=-+-+---- .…………….………2分由积分区域的对称性，[222]d d d 0xy yz xz x y z αββγγαΩ++=⎰⎰⎰， .……………….………1分其中222222{(,,)|1}x y z x y z a b cΩ=++≤，而22222223222214πd d d d d d π(1)d 15aay z x a a b c a x a bc x x y z x x y z x bc x a -+≤--Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.同理 33224π4πd d d ,d d d 1515ab c abc y x y z z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. .……….………2分 所求的转动惯量为22222224πd d d [(1)(1)(1)]15abc I d x y z a b c αβγΩ==-+-+-⎰⎰⎰ ……………1分 （2）设考虑目标函数222222(1)(1)(1)a b c αβγ-+-+-在约束条件2221αβγ++=下的条件极值. 设拉格朗日函数为222222222(,,,)(1)(1)(1)(1)L a b c αβγλαβγλαβγ=-+-+-+++- .………….………1分令2222222()02()0,2()0,1.L a L b L c αβγαλβλγλαβγ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪++=⎩，. 求得极值点为 21(1,0,0,)Q a ±，22(0,1,0,)Q b ±，23(0,0,1,).Q c ± .……………….………3分通过比较可知，当(,,)(0,0,1)αβγ=±时，即绕旋转轴L 轴转动惯量最大，即22max 4π()15abc I a b =+， .……………….………1分 当(,,)(1,0,0)αβγ=±时，即绕旋转轴L 轴转动惯量最小，即22min 4π()15abc I b c =+. .……………….………1分 十一、（8分）在不断抽打下，陀螺会飞快地旋转，但当一旦停止对它进行抽打，它也就不再转动而停下来.设陀螺材质均匀，且旋转体所占的立体区域为222{()|()2},0}x,y,z x y z a a aΩ=+≤≤>，试求当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下它的中心轴与水平地面的夹角θ. 如图（轴截面）(其中A 为陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下与地平面的接触点) .解：首先求陀螺的质心坐标.由于陀螺材质均匀的旋转体，所以它的质心就是几何体的形心，根据对称性可知，必有0x y ==. 由于223πd d d d d π2zaaD az v z x y z a Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222400π4d d d d d π23za a D az z v z z x y z a Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以d 43d z vz a vΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即陀螺的质心坐标为4G(0,0,)3a . .……………….………2分 当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下时，它的质心到水平地面的距离应达到最短. 如图轴截面，设陀螺在稳定平衡状态下，它与水平地面的切点为(,)A y z . 于是问题就转化为一个条件极值问题，其目标函数为2223()()4L GA y z a ==+-，约束条件为22z y a=（陀螺侧面的轴截线）将其代入目标函数，有22223(),04L y y a y a a =+-≤≤. …………….………1分令222d 2(82)0d L y y a y a =-=，得012y a =. 当102y a <<时，d 0d L y <，当12a y a <<时，d 0d L y >，从而得到点A 的坐标为11(,)22a a . ………………………2分轴截线22z y a =与y 轴在点11(,)22A a a 处的切线与y 轴的夹角为 1122d 4arctan()|arctan()|arctan 2d y a y az yy a α===== …………….………2分 π2θα=-，π11tan tan()cot 2tan 2θααα=-===，1arctan 2θ= ….….…1分。