第11届景润杯 第二讲 函数与函数的连续(讲座)

y
y f ( x)
o
a
2
1 b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
定理2.零点定理与介值定理
定义 的零点. 零点定理 如果 x 0 使 f ( x0 ) 0, 则 x 0 称为函数
f ( x)
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 上连续, 且
a , b 内至少有一点 ，使得 f ( ) C (a b ) .
例 1 设 f ( x) 是 [0,1] 上的非负连续函数，且 f (0) f (1) 0 。 求 证 ： 对 任 意 的 实 数
r (0,1) ， 必存在 x [0,1) ， 使得 x r [0,1] ，

i 1
n
i
1
，证明：存在 (a, b) ，使得
f ( x ) f ( ) .
i 1 i i
n
例 8.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续， 如果存在数列 xn [a, b] ，使得
lim f ( x ) A n ， n
求证： 存在 x0 [a, b] ， 使得 f ( x ) A 。
分析：如果单调函数f(x)在x0∈[a,b]处间断， 则在间断点处，函数的左右极限是存在的,即
f ( x0 0)，f ( x0 0)均存在.
试用反证法证！
例 6 、设 f ( x) 在 [a, b) 上连续且无上界 , 对 (c, d ) [a, b) , f ( x) 在 (c, d ) 上无最小值,证明
例 6 证明：对每个正整数 n ，方程 2 n x x x 1 在 [0,1] 上有 且只有
lim x x 一根 n ，并求 n n 。
例 7. 设函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上连续 可导， xi (a, b), i 0, (i 1, 2,, n) ，且
分析：函数f(x)在[a,b]上严格单调，即对
x1 , x2 [a, b],且 x1 x2 , 有 f ( x1 ) f ( x2 )或f ( x1 ) f ( x2 )
若函数f(x)在[a,b]上不严格单调，即存在
x1, x2 , x3 [a, b],且 x1 x2 x3 , 有
c
c f (c) 。
例5
设对于任意 x, y (,) ， 函数
f(x)满足 | f ( x) f ( y) | k | x y |
(0 k 1) ，(称之为 lipschitz 条件)， 证 明 存 在 唯 一 的 (,) ， 使
f ( ) 。
求证：
lim g ( x ) , lim f ( x ) x x
.
例 10
求极限
3
1 1 x 3 ln(1 t ) lim [1 f (t sint 1, 1 t 1)] d t 0 x0 ， x
其中函数 f (u, v) 具有连续偏导数， 且满足
x [a, b], M 0，使得 | f ( x) | M
若函数f(x)在[a,b]上无界，即对任意的M>0
x0 [a, b],使得 | f ( x0 ) | M
试用反证法证！
例 5、设 f ( x) 为 [a, b] 上的增函数，其值域 为 [ f (a), f (b)] , 证明 f ( x) 在 [a, b] 上连续.
f (a )与 f (b) 异号 (即 f (a ) f (b) 0), 那么在开区
f ( x )的一个零点, 即至少有 一点 (a b), 使 f ( ) 0. 即方程 f ( x ) 0 在 ( a , b ) 内至少存在一个实根.
间 ( a , b )内至少有函数
例 10、设 f ( x), g ( x) 为有界闭区 间 [a, b] 上的连续函数，且有数列
{x n } [ a, b] 使
g ( xn ) f ( xn1 ), n 1,2,
证明：至少存在一点 [a, b] ， 使 f ( ) g( ) .
举一反三练习
) 上连续， 1、 设函数 f ( x) 在 (，
f ( x) 在 [a, b) 上严格递增.
分析：利用函数f(x)在[a,b]上的最值定理， 找矛盾.
例 7、证明非常值的连续周期函数 f ( x) ， 必存在最小正周期.
分析：利用函数f(x)在[a,b]上连续性和周期性
例 8、设 f ( x) 在 (a, b) 内每一点的左右极限 都存在,且对 x, y (a, b) ,都有
（1） 问 a 为何值时，f (x) 在 x =0 点处连续？ （2） 当 f (x) 在 x =0 点处连续时， 是否可导？ 如果可导试计算出 f (0) ；如果不可导，则计 算出 f (0) 和 f +(0) 。
例 3、设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且有反函数 存在，证明 f ( x) 在 [a, b] 上严格单调.
n
) 上连续，且 5、设 f ( x) 在 (，
lim f ( x) A, lim f ( x) B, A B , x x
试证明对于介于 A 与 B 之间的数 C， ) 使 f ( ) C . 必有 (，
x 1 2 x 1 3 f ( x) x 1 x 2 2、设函数 ，又设 x2 4 x2
, 分 别 是 y f ( x) 的 反 函 数 y g( x)
的最小不可导点和最大不可导点，求极 x { x } n n 限 lim ，其中数列 定义如下： n
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 或 f ( x1 ) f ( x2 )且f ( x2 ) f ( x3 )
试用反证法证！
Байду номын сангаас
例 4、设 f ( x) 定义在 [a, b] 上且只有第一类 间断点，证明 f ( x) 在 [a, b] 上有界.
分析：函数f(x)在[a,b]上有界，即对
x0 ( , ) xn1
（ 2 1 xn） 2 xn
3、 设 f ( x) 在区间 [0,1]上具有二阶 连续导数，且 f (0) 0 ，求
i lim f ( ) 2 n i 1 n . 1 x lim | sin t | dt 4、求 x x 0 .
x y f ( x) f ( y ) f( ) 2 2
证明 f ( x) 在 (a, b) 上连续.
分析： 只需证明f(x+0)=f(x-0)=f(x)即可.
例 9 设 f ( x), g ( x) 在[a,) 上有定义，
g ( f ( x )) g ( x) 单调递增，且 lim ， x
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
(介值定理)
y
O
y f ( x)
a
b x
设函数 f ( x )在闭区间 a , b
上连
续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a ) A 及 f (b) B ,
那末，对于 A与 B 之间的任意一个数C ，在开区间
Xiamen University
厦门大学第十一届“景润杯”数学竞赛 暨第六届全国大学生数学竞赛 系列讲座
厦门大学数学科学学院 林建华
第二讲
函数与函数的连续性
1、函数的连续性
例 1 已知当 0 x 1 时， f ( x) x 对于其它 x, f ( x) 满足 f ( x) k 2 f ( x 1) ， 试求常数 k ，使 f ( x) 在 x 0 连续。
f ( x) 0 （n n 且 lim x x
n
是正整数）证明：
) ， （1） 当 n 是奇数时， 存在 (，
f ( ) 0 ； 使得 ) ， （2） 当 n 是偶数时， 存在 (， ) 有 使得对一切 x (， n n f ( ) x f ( x).
0
0
且 f ( x0 ) f ( x0 r ).
例 2
设 f ( x) 是 (,) 上的连续
f ( x ) 函数， 存在 lim ， 且 f ( x) 的 x f ( x) f ( a ) a ， 最小值 xmin 求证： ( , )
f ( f ( x)) 至少在两个点处取到 f ( x)
0
例 9、 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可导， 证明： （ 1 ）若 f (a) f (b) 0 ，则至少存在一 点 (a, b) ，使得 f ( ) 0 ； （2） 若 f ( x) 0, ( x (a, b)) ， 则 f ( x) 是
（a, b） 区间 上的单调函数。
sin x
函数f(x)在x=0处连续的充分必要条件是 分析：
f (0 0) f (0 0)
例 2 设函数
ln (1+ax3 ) x0 x arcsin x f ( x) 6 x =0 e ax +x 2 ax 1 x0， x sin ( x 4)
的最小值 f (a) 。
例 3
设 f ( x) 是 [a, b] 上的连续函
数，且有唯一的取到 f ( x) 最大值 的点 x * (最大值点)，又设
xn [a, b], (n 1,2,) , 使得
*
lim f ( x ) f ( x ) n ， n
*
lim x x n 求证: n .
例 4 设 f ( x) 是 [a, b] 上单调上升的连 续函数，且对