第8讲:二次函数(专题讲座).doc
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(聚焦 2008 )第 8 讲:二次函数专题讲座
(一)二次函数的解析式的三种形式
(1)标准式: y=ax 2 +bx+c ( a≠0 );
(2)顶点式: y=a ( x+m )2 +n ( a≠0 );
(3)两根式: y=a ( x - x 1)( x- x 2)( a ≠ 0 )
【例 1】已知二次函数y=f( x)同时满足条件:(1)f( 1+x)= f(1- x);
(2) y=f ( x)的最大值是15;( 3) f ( x)=0的两根立方和等于1
7。求 y= f ( x)的解析式。
(二)二次函数的基本性质
( 1)二次函数f( x)=a x2 +bx+c ( a ≠0)的图像是一条抛物线,对称
轴方程为 x =-
b
,顶点坐标是(-
b
,
4ac b2
)。2a 2a 4ac
当 a > 0 时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-b
] 上递减,在 [ -
b
,2a 2a
+∞ ) 上递增。
当 a < 0 时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-b
] 上递增,在 [ -
b
,2a 2a
+∞ ) 上递减。
( 2)直线与曲线的交点问题:
①二次函数f( x)=ax 2 +bx+c ( a ≠0),当= b2-4 ac>0 时,图像与 x 轴有两个交点M1(x1,0)M2(x2,0),于是
|M1M2|=| x1- x2|=。
| a |
②若抛物线y=ax 2 +bx+c(a≠0)与直线y=mx+n ,则其交点由二方程组成的方程组的解来决定,而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ,即 px 2 +qx+r=0的解来决定,从而将交点问题归结为判定一元二
次方程的判别式的符号决定。
特别地,抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0 的解的情况决定,于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0 的判别式的符号问题。
当 = b 2 - 4ac>0 时,方程 ax 2 +bx+c=0 有两个不同的实数根,即对 应的抛物线与 x 轴有两个交点,此时二次函数的图像被
x 轴截得的弦长
L=|x 2 - x 1 |= ( x 2
x 1 ) 2
( x 2 x 1 ) 2 4x 1 x 2
。
| a |
当 = b 2 - 4ac=0 时,方程 ax 2 +bx+c=0 有两个相等的实数根,即对 应的抛物线与 x 轴只有一个交点,此时抛物线与
x 轴相切。
当 = b 2 - 4ac<0 时,方程 ax 2 +bx+c=0 无实数根,即对应的抛物线
与 x 轴有无交点,此时二次函数的图像恒在
x 轴上方或者下方。
【例2】已知函数 f ( x ) =ax 2 +bx+c 的图像经过点(1,1) ,(3,
5)且 f (0) >0,求 a , b ,c 使该函数的最小值最大。
(三)二次函数闭区间上的最值问题
(1)二次函数 y=f ( x )在闭区间上必有最值,且它只能在区间的端
点与二次函数图像的顶点处取得最值。
(2)二次函数 y=f ( x )在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的
相对位置关系,为此有下列四种情形:
①对称轴和区间均是静态的;②对称轴是动态的,但区间是静态的;
③对称轴是静态的,但区间均是动态的;④对称轴和区间均是动态的。
(3)二次函数 y=f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a>0 )在闭区间 [m ,n] 上的最 值:
①若 x
b m ,则 y=f ( x )在区间 [m , n] 上是增函数,此时必有
2a
f ( m )≤ f ( x )≤ f ( n );
②若 m
x b n ,则 y=f ( x )的最小值为 [f(x)] min =f( -
b
2a ),但
2a
最大值应视对称轴与区间端点的距离而定;
③若 m x
b
m
n
2a
,则 y=f ( x )的最大值为 [f(x)] max =f(n) ;
④若
m
n
b 2
x
n ,则 y=f ( x )的最大值为 [f(x)] max =f(m) ;
2
2a
b
n ,则 y=f (x )在区间 [m ,n] 上是减函数,此时必
( 3)若 x
2a
有 f ( n )≤ f ( x )≤ f ( m )。
(4)二次函数在闭区间上的最值求解步骤: ①配方; ②作图; ③截断。
注:关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。 【例3】已知函数
y =- x 2
+ax -
a
+
1
在区间[0,1]上的最大
4
2
值是2,求实数
a 的值。
【例4】(2003年全国高考试题)已知
a 为实数,函数
y = x 2+ | x
- a |+1, x ∈R。
(1)讨论 y = f ( x )的奇偶性;
(2)求 y =f (x )的最小值。
(四)设 x 1 ,x 2 是实系数一元二次方程
ax 2 +bx+c =0( a > 0)的两个