利用仰俯角解直角三角形-人教版九年级数学下册优秀教案设计

28.2.2 应用举例

第2课时 利用仰俯角解直角三角形

1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)

2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)

一、情境导入

在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．

二、合作探究

探究点：利用仰(俯)角解决实际问题

【类型一】 利用仰角求高度

星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一

座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)．

解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN

＝tan30°，求出x 的值即可．

解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN

是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM

＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN

中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33

，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894

m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题

【类型二】 利用俯角求高度

如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看

到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .

解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．

解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×

33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33

＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.

答：矮建筑物的高为20m.

方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离

如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得

河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?

解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．

解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝213

3

＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB 约是15.3m.

方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题

【类型四】 仰角和俯角的综合

某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来

到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．

解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE ＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．

解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×33

＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．

答：建筑物AB 的高为19m.

方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．仰角和俯角的概念；

2．利用仰角和俯角求高度；

3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；

4．仰角和俯角的综合．

备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能