万有引力知识点总结

知识点一 万有引力应用

两条线索

(1)万有引力=向心力 (2)重力=向心力 G

2R

Mm = mg ⇒GM=gR 2

(黄金代换式) 1、（中心天体质量密度）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为0v 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为

A ．

GN

mv 2

B.

GN

mv

4

C ．

Gm

Nv

2

D.

Gm

Nv

4

【解析】行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有R

v m R 22m

GM '=

'① 行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力有，

mg R =2

GMm

② 根据题意有N=mg ③,解以上三式可得GN

mv 4

M =，选项B 正确。

2、（多天体比较）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A ．R d -

1 B ．R d

+1 C ．2)(R

d R - D ．2)(

d R R - 【答案】A

【解析】在地面上质量为m 的物体根据万有引力定律有:mg R

Mm G =2 ，从而得R G R R

G g πρπρ34342

3

⋅⋅=⋅⋅=。根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则矿井底部的物体m ′只受到其以下球体对它的万有引力同理有

)(34)

(2

d R G d R M G g -=-'='πρ，式中3

)(34d R M -='πρ。两式相除化简R d R d R g g -=-='1。答案A 。 3、（多天体比较）火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T ，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为2T ，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 、2T 之比为

2222222

24[8]2[9]4[10][11][12]Mm v G m m r m r r r T

v mgr m m r m r

r T

πωπω======g g

A.

3

p q B.

3

1p q

C.

3

p q

D.

3

q p

答案：D

解析：设中心天体的质量为M ，半径为R ，当航天器在星球表面飞行时，由

2

22

M m G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭和343M V R ρρπ==，解得23GT πρ=，即31T G πρρ=∝；又因为3

343

M M M V R R ρπ==∝，所以3

R T M ∝

，3

12

T q T p

=。 4、（中心天体质量密度）若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常数为G ，那么该行星的平均密度为（ B

）

A. π32GT

B. 23GT π

C. π42GT

D. 24GT π

5、（多天体比较）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆．某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径，它的运动周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 为某个常数)( D )

A ．ρ＝kT

B ．ρ＝k T

C ．ρ＝kT 2

D ．ρ＝k T

2

6、（中心天体质量密度）如图K19－3所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( D ) A ．M ＝4π2R ＋h 3

Gt 2，ρ＝3πR ＋h 3

Gt 2R 3

B ．M ＝

4π2R ＋h 2

Gt 2，ρ＝

3πR ＋h 2

Gt 2R 3

C ．M ＝4π2t 2

R ＋h 3

gn 2，ρ＝3πt 2

R ＋h 3

Gn 2R 3

D ．M ＝

4π2n 2r ＋h 3Gt 2

，ρ＝

3πn 2

R ＋h 3

Gt 2R 3

知识点二 双星模型、多星模型

7、两颗靠得较近的天体称为双星，它们以连线上某点为圆心作匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起，以下说法中正确的是（ BD ） A ．它们作圆周运动的角速度之比与其质量成反比

B ．它们作圆周运动的线速度之比与其质量成反比

C ．它们所受向心力之比与其质量成反比

D ．它们作圆周运动的半径与其质量成反比。

8、如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速 圆周运动，星 A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。 （1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期

记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月球的质量分别为×1024

kg 和 ×1022

kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位小数）

解析：⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有

R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=

，L M m M

r +=

对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M

T m L GMm +=22

)2(π 化简得 )

(23

m M G L T +=π

⑵将地月看成双星，由⑴得)

(23

1m M G L T +=π

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

L T m L

GMm 2

2

)2(π= 化简得 GM

L T 3

22π=

所以两种周期的平方比值为01.110

98.51035.71098.5)(24

22

24212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T 9、宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可 忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m 。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少 解析：（1）第一种形式下，以某个运动星体为研究对象，由万有引力定律和

牛顿第二定律，得：

F 2

F 1 R