(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
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2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
• 由此得出结论：拉姆齐模型表明，索洛模型中 关于经济增长的驱动力的中心含义并不依赖于 储蓄率为常数的假定。即使储蓄率内生，劳动 的有效性仍然是增长的唯一可能源泉。
4 平衡增长路径
• 2、索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的 平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后 者不可能出现动态无效率(k<k黄金)。
k t f k t c t n g k t 5
当 k 0时 ,c f k n g k. 根 据
稻 田 条 件 lim f ' k , lim f ' k 0,
k 0
k
f k 与 n g k必 有 两 个 交 点 .
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与
AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬
不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润
均归家庭。
1 模型的假设
• 3、家庭： • ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； • ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； • ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； • ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； • ⑤不存在折旧； • ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以
以 最 大 化 一 生 效 用. 我 们 用 目 标 函 数 1 和
预算约束 2来构建拉格朗日函数:
L B e t c t 1 d t +
t0
1
k
0
t eRtw
t0
t
en g tdt
eRtc
t0
t
e
4 平衡增长路径
• 2、索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的 平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后 者不可能出现动态无效率(k<k黄金)。
k t f k t c t n g k t 5
当 k 0时 ,c f k n g k. 根 据
稻 田 条 件 lim f ' k , lim f ' k 0,
k 0
k
f k 与 n g k必 有 两 个 交 点 .
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与
AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬
不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润
均归家庭。
1 模型的假设
• 3、家庭： • ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； • ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； • ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； • ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； • ⑤不存在折旧； • ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以
以 最 大 化 一 生 效 用. 我 们 用 目 标 函 数 1 和
预算约束 2来构建拉格朗日函数:
L B e t c t 1 d t +
t0
1
k
0
t eRtw
t0
t
en g tdt
eRtc
t0
t
e
拉姆齐-卡斯-库
1、假定
厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同
的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为
L (t ) U e u (C (t )) dt 0 H C (t )为t时期每一家庭成员的消 费，u ()为
t
即期效用函数， (t )为经济的总人口， L H为家庭数，L (t ) / H为家庭成员数，
当k大于k 时，f (k )小于 g (边际报酬递减规律，因而c 为 )
负。当k小于k 时，f (k )大于 g，因而c 为正。
c
c0
c0
c0
k*
k
c的动态学
k的动态学
k的增长等于实际投资减去持平投资，不
考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实 际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此，
上述结论的含义在于，在最优消费增长
模型中，无效率的过度储蓄不会出现， 这一点与索洛模型不同，原因在于典型 的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会 意识到这不是它的最优消费路径。寻求 最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使 资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐 性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg 的影响，减少当前消费以实现最大化的 消费路径，即实现黄金分割率的消费水 平是不值得的。
c
c0
A
鞍点路径
E
k 0
B C F D K(0)
k* c的不同初始值下c和k的变动
k
假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初
始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。
如果c(0)高于 k 0曲线，如图形中的 点，那么 A c 是正的，而k 为负，因此经济持续向 上向左移动。 如果c(0)处于B点，此时k 最初为0，经济开始时 在(k , c)空间中向上直移，随后 出现 c 为正，为负，因而 k 经济又是向上向左移动 。如果经济开始时稍微 低于 k 0线，比如在C点，那么初始时的k 为正但较小 且 c 仍为正，因此经济开始 时向上、稍偏右的方向 移动，
高级宏观经济学精品课件 (7)
在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本 报酬率等于其边际产品： 劳动的真实工资等于其边际产品：
r (t ) f (k (t ))
W (t ) A(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t )) A(t ) w(t )
每单位有效劳动的真实工资：
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
27
28
k的动态
t f k t c t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k t 0 c t f k t n g k t k
19
2、家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财 富与其终身劳动收入的现值之和。
消费支出的现值:
t 0
e
R t
R t L t A t L t C t dt e c t dt t 0 H H
初始禀赋：
K 0 A0 L 0 k 0 H H
nt
C t c t At
A(t ) A(0)e
gt
C t 1
1
A t c t 1
gt 1 1
1
A 0 e c t 1 A 0
1
e
1 gt
c t 1
c*
稳态
0 k
非稳定臂 k* kG
c与k的动态学：系统是鞍点路径稳定
k 32
c的初始值
33
• 当c高于F点时，c会上升，这样导致k的 变化率小于0，最终使k变为0并为负数， 但是当k=0时，产出也为0，c应该迅速变 为0，这与最有条件不相符。 • 当c低于F点时，k会上升最终超过黄金分 割律的资本存量，资本收益率会小于n+g， e e k (s ) lim 这样 趋于发散，这样就不存 在效用最大化的解 • 理性的消费者都会选择F点为初始点，然 后经济收于E
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型PPT精选文档
• 满足以上条件的所有的（ k(0) ， c(0) ）构 成了“鞍点路径”。从鞍点路径上的任意初 始点出发，（ k,c）将沿鞍点路径最终收敛 于E点。
28
4、福利 • 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所
有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
29
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 ➢ 与索洛模型相同；
limtk t 0: limeRtengtk t 0
t
t
( n1 g)
16
3、经济的动态学 （1）c的动态学 （2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
17
• c的动态学
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k * 满 足 ： c & t 0 ， 即 f k * g
（2）平衡增长路径与黄金律资本存量 ➢ 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是
不可能的； ➢ 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持
续c的平衡增长路径； ➢ 修正的黄金律资本存量。
30
6、贴现率下降的影响 （1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
31
• 贴现率下降的定性影响
➢贴现率下降影响的相图分析
20
21
22
• 稳态条件：
c& t 0 k& t 0
或
fk*g c*f k* ngk*
23
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
24
• c的初始值与鞍点路径
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k & t f k t c t n g k t ( 2 . 2 3 )
28
4、福利 • 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所
有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
29
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 ➢ 与索洛模型相同；
limtk t 0: limeRtengtk t 0
t
t
( n1 g)
16
3、经济的动态学 （1）c的动态学 （2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
17
• c的动态学
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k * 满 足 ： c & t 0 ， 即 f k * g
（2）平衡增长路径与黄金律资本存量 ➢ 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是
不可能的； ➢ 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持
续c的平衡增长路径； ➢ 修正的黄金律资本存量。
30
6、贴现率下降的影响 （1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
31
• 贴现率下降的定性影响
➢贴现率下降影响的相图分析
20
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22
• 稳态条件：
c& t 0 k& t 0
或
fk*g c*f k* ngk*
23
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
24
• c的初始值与鞍点路径
欧 拉 方 程 ：c c & ttf kt g (2 .2 2 )
k & t f k t c t n g k t ( 2 . 2 3 )
拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型(高级宏观经济学)
欧拉方程
• 欧拉方程还说明了r与ρ之间的关系与区别 （思考：是怎样的关系和含义？
• 如果真实利率超过了家庭用于贴现未来消 费的速率，每个家庭的消费将上升。
五、稳态均衡 1、c的动态学（c的微分方程
• 实际上，欧拉方程已经说明了单个家庭的
消费进化情况。由于我们假定了所有家庭
都一样，欧拉方程也就不只是说明家庭消
⎤⎦
1−θ
1−θ
C (t )1−θ
=
⎡⎣
A
(
t
)
c
(
t
) 1−θ
⎤⎦
1−θ
1−θ
=
⎡⎣ A(0) egt
1−θ
⎤⎦
c (t )1−θ
1−θ
( ) ( ) = A 0 1−θ e(1−θ )gt c t 1−θ
1−θ
4．家庭面临的预算约束
• 家庭面临的预算约束为：
• 定义： k=K/AL.因此
一、问题的提出
• 通过对索洛模型的讨论可以看到，实物资本积累说明不了人均 产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。 然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、 技术进步增长率、资本的外在性等)都作为外在因素，以常数看 待。为了研究经济增长的核心问题，必须超出索洛模型的范 围，或者说必须对索洛模型加以改进。
e −R(s)e(n+g )s上升
• 由于无限生命假设偏离现实，于1965年便 出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替 增长模型，把无限生命假设改进为假定经 济中不断有新家庭加入。这样，经济就表 现为一个世代交替的经济，从而使理论模 型向现实更靠近一步。关于世代交替理 论，将在下一讲中介绍
二、模型假定
拉姆齐模型(第一部分)
储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
51
52
非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
53
储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
20
关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
23
u(Ct )
24
(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
25
lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
31
二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
第八讲 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型
但无法确定 s 的变动趋势，须从另一角度着手。由于：
( z − γz = f ′′(k )k
现在假定 s >
*
θ −1 ( z − θ −1) + f ′(k )γ z = f ′′(k )k ) + f ′(k ) z z θ θ
， 则对所有的 t 有 z <
1
θ
θ −1 ， 此时可能出现 γ z > 0 ， 也可能出现 γ z < 0 。 θ
3
吉林财经大学高级宏观经济学课件
对应的 c 则必须下跳为 0，这与一阶条件
f ′(k ) − ρ − θg c = 是矛盾的，因此这样的路径是 c θ
不可能的；如果低于 A 点，假设为 C 点，系统的动态将使得 k 不断增加，出现
r = f ′(k ) < n + g 。这与已知的横截条件（即非蓬齐对策条件）相矛盾。因此该系统呈现
出鞍点路径稳定性。 （2）修正的黄金律资本存量。在拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型中，资本高于黄金律水平 的平衡增长路径是不可能的。因为，根据索洛模型的分析结果有：
f ′(kGR ) = n + g + δ = n + g
这里用到了前面的折旧率为 0 的假设。而另一方面在稳态时有：
f ′(k * ) = ρ + θ g
*
z > 0 ，这也与稳态趋势是矛盾的。因此，如果 s > 但如果对某些 t 满足 γ z > 0 ，则有 γ
1
θ
，
(t ) = − z = − zγ z > 0 。对于 s < 必有 γ z < 0 ，则 s
*
1
θ
第五章-拉姆齐模型精品PPT课件
第一节 拉姆齐问题
厂商行为
厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，
并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生
产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。
我们知道，资本的边际产品为
。由于市场是竞争性的，资本只
能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位
第一节 拉姆齐问题
设家庭具有以下效用函数：
家庭效用函数
上式中，C(t)是在t时刻家庭每个成员的消费。U(·)是瞬时
效用函数。L(t)是经济的总人口，L(t)／H是每个家庭的成员
人员。
是t时刻家庭的总瞬时效用。ρ是贴现率， ρ越
大，则家庭对未来消费的估价就越小。
第一节 拉姆齐问题
瞬时效用函数可以采取如下的形式：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
方程(5-20)是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程(Euler equation)，也就是连续时间的随机形式(continuous-stochastic version)。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条 件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则(Keynes Ramsey rule or condition)。直觉上，欧拉方程描述了结定c(0)时，c必须随时间 变化而变化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就会在不改变终 生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样， c(0)的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值 等于初始财富与未来收入的现值之和。当c(0)被选择得太低，沿满足 式(5-20)路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路 径是可能的。当c(0)确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富， 这种路径反而成为不可行。
高级宏观经济学课件
和政策措施
04
实现路径：自主创新、引进消 化吸收再创新、集成创新等
05
政策措施：加大科技研发投入
，优化创新生态环境，培养和
引进创新人才等
06
07 当前热点问题探 讨与未来发展趋 势预测
全球化背景下贸易保护主义抬头原因剖析
01
全球经济失衡与贸易 不平等
全球化进程中，各国经济发展不平衡 导致贸易不平等现象加剧，一些国家 为保护本国产业和就业机会，采取贸 易保护主义政策。
等阶段。
01
02
古典主义
强调市场自发调节和“看不见的手”的作用 ，主张经济自由放任。
凯恩斯主义
强调政府干预经济的必要性，通过财 政政策、货币政策等手段调节总需求
，以实现充分就业和经济增长。
03
04
货币主义
认为货币供应量的变化是引起经济波 动的主要原因，主张控制货币供应量 以稳定物价和经济增长。
理性预期学派
02
国际政治经济格局变 化
随着新兴经济体的崛起和国际力量对 比的变化，国际贸易规则和秩序受到 挑战，贸易保护主义成为一些国家维 护自身利益的手段。
03
国内政治压力与民粹 主义抬头
国内政治压力和民粹主义情绪上升， 使得一些国家的政府更加倾向于采取 贸易保护主义政策，以回应国内民众 诉求。
人工智能等新技术对劳动力市场影响研究
实证分析
运用计量经济学方法，对经济增 长进行实证分析，研究经济增长 的影响因素、趋势和周期性波动 等。
增长核算
通过对经济增长的核算，揭示经 济增长的结构性特征和可持续性 ，为政策制定提供科学依据。
经济发展阶段与特点
经济发展阶段
根据经济发展水平和结构特征，可分为传统 社会阶段、起飞准备阶段、起飞阶段和成熟 阶段等。
宏观经济学讲义(1)
宏观经济学讲义(1)第六章消费第一节确定情况下的消费：生命周期/持久收入假说第二节不确定情况下的消费：随机游走消费理论/随机游走股票价格理论2第一节确定情况下的消费：生命周期/持久收入假说1.1两个基本模型我们的理论出发点是两个基本的模型，拉姆齐模型和迭代模型，他们提供了宏观经济学大多数优化模型的框架。
1.1.1拉姆齐模型●拉姆齐1（1928）提出，卡斯（1965）和库普曼斯（1965）发展。
●宏观经济学微观基础第一个基本模型，旨在确定社会的最优储蓄率。
●大量相同的竞争性厂商租用资本雇佣劳动以生产并销售产品，大量相同的长生不老家庭供给劳动、持有资本、消费并储蓄。
●不考虑市场的不完美性以及由异质家庭和代际关系造成的所有问题。
1Ramsey Frank P.(1928), “A Mathematical Theory of Saving.” Economic Journal 38, No.152 (Dec), Pp543-559.341、行为人最优化 行为人的效用函数：0'',0',)(0<>=∑∝=u u C u U t t t β其中，β代表主观贴现率，10<<β。
行为人面对的生产函数： 0'',0'),(<>=f f K f Y ttttt K I K )1(1δ-+=+其中，δ代表资本折旧率，10<<δ。
行为人面对的预算约束为： ttttI C K f Y +==)(行为人的最优化：5tt t t t t t K K C K f t s C u )1()(..)(max 10δβ--+=+∝=∑转化为：}])1()([])1()([max{])1()([max 1211110⋅⋅⋅+-+-+-+-⋅⋅⋅-+-++++++∝=∑t t t t t t t t t t t t t K K K f u K K K f u K K K f u δβδβδβC O F ..（对1+t K 求偏导）)]1()('[)(')('11δβ-+=++t t t K f C u C u经济含义：（1）跨期消费的边际效用之比等于行为人主观收益率和资本实际收益率的乘积。
2-2拉姆赛模型-1
为什么要除以 ？
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 在这一框架中，存在一个消费路径，并且 储蓄率决定于在市场经济中相互作用的最优化 的家庭和厂商。即在一个跨期预算约束下，具 有无限生命的居民户选择消费和储蓄以极大化 其动态效用。因而，储蓄被内生化，并且会虽 时间而变化。
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 拉姆塞模型将储蓄内生化有许多优点： （1）它向我们显示了一个非常重要的结论：索洛模型关 于增长核心问题的结论并不依赖于储蓄率不变的假定。 （2）通过把行为人的最优化问题引入模型，可以借助这 些模型去分析很多规范性问题。如果一个模型就总量 之间的关系作出直接假设，那么就不能用它来判断一 些结果是否比另一些结果更好，因为如果没有个人， 我们就不能说不同的结果对个人是更好还是更糟。 • 但是，遗憾的是，这一增长模型仍然无法消除长期人 均增长率对外生技术进步的依赖。
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
其中，k为状态变量，c为控制变量
2. 家庭的最大化问题 补充2：最优控制解法
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
1. 模型的基本假定 1.3 家庭的目标函数
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 在这一框架中，存在一个消费路径，并且 储蓄率决定于在市场经济中相互作用的最优化 的家庭和厂商。即在一个跨期预算约束下，具 有无限生命的居民户选择消费和储蓄以极大化 其动态效用。因而，储蓄被内生化，并且会虽 时间而变化。
第二章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯模型
• 拉姆塞模型将储蓄内生化有许多优点： （1）它向我们显示了一个非常重要的结论：索洛模型关 于增长核心问题的结论并不依赖于储蓄率不变的假定。 （2）通过把行为人的最优化问题引入模型，可以借助这 些模型去分析很多规范性问题。如果一个模型就总量 之间的关系作出直接假设，那么就不能用它来判断一 些结果是否比另一些结果更好，因为如果没有个人， 我们就不能说不同的结果对个人是更好还是更糟。 • 但是，遗憾的是，这一增长模型仍然无法消除长期人 均增长率对外生技术进步的依赖。
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
1. 模型的基本假定 1.4 家庭的约束条件
其中，k为状态变量，c为控制变量
2. 家庭的最大化问题 补充2：最优控制解法
宏观经济学讲义(1).doc
假设由于资本市场不完全，只有富人那部分储蓄成为资本积累并在经济生产过程中起作用，而穷人的储蓄总是处于备付状态，即使存入银行，短期内支取的比例也相当高，所以真正意义上资本积累总量仅由富人的储蓄构成，为：
= = [ (
根据 ，
＝ [
（4）资本市场不完全条件下的完全基金制
如果资本市场不完全并不影响资本的无风险收益，只是由于经济结构的割裂使得穷人无法进入资本市场，那么易推知，基金制下的资本积累总量不变。因为无风险收益率是等同于这里的 的，穷人当期收入的一部分以养老保险金的形式被强制储蓄起来。
＋
利用拉格朗日函数可求得在预算约束下效用最大化时， 期年轻的人群 的消费量：
＝ }
＝ － }
由于是现收现付制， 期的资本积累即为 期富人和穷人的储蓄量之和，那么：
= = [(
（3）资本市场完全条件下的完全基金制：
＝
年轻和年老两期的预算约束为：
＋ =
利用拉格朗日函数可求得在预算约束下效用最大化时， 期年轻的人群 的消费量：
典型的行为人代表整个经济，这个行为人既有家庭的性质，又有厂商的性质。所以行为人的最有选择等于整个经济的最有选择，也就是拉姆齐模型的社会最优解。
2、分散经济中的典型行为人的最优化
对于家庭：
对于厂商，不涉及跨期问题，其最优化为：
经济含义：资本和劳动的分别按其边际生产力获得利润和工资。
若将行为人提供的劳动正规化为1，则，最优化为：
（1）人只能存活两期，年老期和年轻期；
（２）年老期不工作，年轻期得到数量为 的产出，年老期得到数量为 的产品（养老金），年轻期和年老期都消费；
（３）产品的储藏收益率为 ， ，因为储藏过程中会有损耗。
未引入货币的迭代模型
= = [ (
根据 ，
＝ [
（4）资本市场不完全条件下的完全基金制
如果资本市场不完全并不影响资本的无风险收益，只是由于经济结构的割裂使得穷人无法进入资本市场，那么易推知，基金制下的资本积累总量不变。因为无风险收益率是等同于这里的 的，穷人当期收入的一部分以养老保险金的形式被强制储蓄起来。
＋
利用拉格朗日函数可求得在预算约束下效用最大化时， 期年轻的人群 的消费量：
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由于是现收现付制， 期的资本积累即为 期富人和穷人的储蓄量之和，那么：
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（3）资本市场完全条件下的完全基金制：
＝
年轻和年老两期的预算约束为：
＋ =
利用拉格朗日函数可求得在预算约束下效用最大化时， 期年轻的人群 的消费量：
典型的行为人代表整个经济，这个行为人既有家庭的性质，又有厂商的性质。所以行为人的最有选择等于整个经济的最有选择，也就是拉姆齐模型的社会最优解。
2、分散经济中的典型行为人的最优化
对于家庭：
对于厂商，不涉及跨期问题，其最优化为：
经济含义：资本和劳动的分别按其边际生产力获得利润和工资。
若将行为人提供的劳动正规化为1，则，最优化为：
（1）人只能存活两期，年老期和年轻期；
（２）年老期不工作，年轻期得到数量为 的产出，年老期得到数量为 的产品（养老金），年轻期和年老期都消费；
（３）产品的储藏收益率为 ， ，因为储藏过程中会有损耗。
未引入货币的迭代模型
宏观第三章
第三章 拉姆塞－卡斯－库普曼斯最优增长模式在索罗模式中，假定储蓄率是外生不变的。
卡斯(Cass,D.1965)库普曼斯(Koopmans,T.C.1965)把拉姆塞(Ramsey,F.1928)的消费者最优分析引入新古典增长模式，为增长模式提供了一个内生决定的储蓄率，建立了一个新型的最优增长模式，合称拉姆塞－卡斯－库普曼斯模式(Ramsey-Cass-Koopmans Model)。
在这一框架中，存在一个消费路径，并且储蓄率决定于在市场经济中相互作用的最优化的居民户和厂商。
即，在一个跨时预算约束下，具有无限生命的居民户选择消费和储蓄以极大化其动态效用。
这一模式的一个发现是，储蓄率一般不是常数，而是人均资本存量的函数。
因此，该模式在两个方面修正了索罗模式：一是确立了平均储蓄率水平；二是决定了储蓄率随经济发展是上升还是下降。
平均储蓄率水平对稳定状态中的变量水平的决定至关重要，尤其是，模式中的最优条件排除了索罗模式中的非效率的过度储蓄的可能性。
储蓄率随经济发展上升或下降的趋势会影响转型动态，例如稳定状态的收敛速度。
但是，遗憾的是，这一增长模式仍然无法消除长期人均增长率对外生技术进步的依赖。
第一节 拉姆塞模式拉姆塞1928年发表《储蓄的数学理论》一文，奠定了最优积累和最优增长理论研究的基础。
正如凯恩斯评价说：“(这篇文章)无论在主题本身的重要性及难度方面，运用技巧方法的力度和优美方面，还是在阐述主题的清晰、简洁，使读者了解作者的思想方面，都是对数理经济学所作过的最卓著的贡献之一。
”1在本文中，拉姆塞的一个突出贡献是，推导出在一个国家的收入中，最优储蓄的简单法则，亦即是现在著名的凯恩斯－拉姆塞法则。
这一法则规定：储蓄率乘以货币(或消费)的边际效用，应该等于效用的总净享乐率与最大可能的享乐率之差。
1．1 拉姆塞模式的基本假定和基本框架假定社会人口不变，他们的享乐能力或对劳动的负效用不变；不同时间的享乐和牺牲互相独立且是可加的；假定没有新发明或组织的改进；假定没有效用的贴现，这是“一个在伦理上站不住脚，仅仅由于想象力薄弱而产生的惯例。
(高级宏观经济学课件)拉姆齐卡斯库普曼斯模型
储蓄
指居民可支配收入中未用于消费 的部分，可转化为投资，是经济 增长的重要动力。
投资
指企业用于购买固定资产、增加 生产能力以及研发等方面的支出 ，对经济增长具有乘数效应。
跨期选择与最优化原理
跨期选择
消费者需要在不同时间点之间进行权衡，以最大化 其一生中的总效用。这涉及到对当前消费和未来消 费的权衡取舍。
该模型基于跨期最优化原理，将消费者的效用最大化作为 目标，同时考虑生产技术和市场约束条件。
拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型为分析经济增长的源泉、经济 政策的效应以及不同经济体的增长差异提供了理论框架。
宏观经济学中的消费、储蓄与投资
消费
指居民用于满足个人生活需要的 商品和服务的支出，是总需求的 重要组成部分。
最优化原理
在给定约束条件下，消费者通过选择最优的消费和 储蓄路径来实现效用最大化。这要求消费者在每一 时点上根据边际效用和预期未来收益进行决策。
02
模型构建与假设条件
Chapter
代表性消费者假设
代表性消费者
模型中假设存在一个代表性消费者， 其行为和决策能够代表整个经济体系 中所有消费者的行为和决策。
06
相关研究领域前沿动态
Chapter
行为经济学对模型假设的挑战与改进
行为经济学对理性人假设的挑战
指出人们在决策时可能受到情绪、认知偏差等因素的影响，不完全符合拉姆齐-卡斯-库 普曼斯模型中理性人的假设。
基异质性及其对经济现象的 影响。
社会保障政策
该模型还可以用于分析社会保障政策对经济主体跨期决策 的影响。例如，养老保险制度的设计需要考虑如何平衡当 前消费和未来养老需求之间的关系，拉姆齐-卡斯-库普曼 斯模型为此类问题提供了分析工具。
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2.2
1 定义R t
t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束
0
r t d ,
Rt
含义 : 在0期投资的1单位产品在t期产生e 反之, t期1单位产品在0期的价值为:e 家庭的预算约束为 :
Rt Rt
单位的产品,
.
L t K 0 t Rt L t t 0 e C t H dt H t 0 e A t w t H dt 对上式用有效劳动进行正规化,并化简 :
e dt
nt
2.2
家庭的最大化问题
1
U A 0 B 其中 : B A 0
1
L 0 n 1 g t c t e dt H t 0 1 c t dt 1
1
t 0
e
t
2
1
L 0 , n 1 g 0 H
家庭的问题是, 在预算约束下选择c t 的路径 以最大化一生效用.
1
2.3
家庭行为
我们用目标函数 1 和
预算约束 2 来构建拉格朗日函数: L B e
t 0 t
c t dt + 1
t R t R t n g t n g t k 0 e w t e dt e c t e dt t 0 t 0 家庭选择每一时点上的c,对单个c t 的一阶条件是 :
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
1
模型的假设
• 1、哲学基础假设：代际利他主义。 • 2、厂商： • ①有大量的厂商，每一厂商的生产函数为Y=F(K, AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬 不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润 均归家庭。
t 0
e
Rt
c t e
n g t
dt k 0 e
t 0
t
Rt
w t e
n g t
dt
1
2.2
家庭的最大化问题
以极限形式重写预算约束 初始资本+储蓄现值 :
s L t K 0 Rt lim e w t c t A t dt 0 t 0 s H H s期家庭的资本持有量为 : s K s L t R s K 0 R s R t e e w t c t A t dt t 0 H H H R s K s 于是, 预算约束可简写为 : lim e 0 s H 含义 : 家庭资产持有量的现值极限不能为负.
n 1 g 0可保证一生效用不发散.
2
家庭与厂商的行为
2.1 厂商的行为
F K , AL 资本的边际产品为 : ,即 : f ' k . K t时的真实利率为 : r t f ' k (t ) . 有效劳动的边际产品为: F K , AL AL t时的每单位有效劳动的真实工资为 : w t f k (t ) k t f ' k (t ) . 一个工人在t时的劳动收入为:A t w t . ,即 : f k kf ' k .
1
• • • • • • •
模型的假设
3、家庭： ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； ⑤不存在折旧； ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以 最大化一生效用。
1
t
t 0
e e
t
C t 1 A 0
1
L t dt H e c t 1
1 gt
1
1
t
t 0
L 0 e dt H
nt 1
A 0
1
L 0 t e e H t 0
1 gt
c t 1
1
模型的假设
Cu '' C 定义为u 的相对风险回避系数, 与C无关. u 'C
反映了家庭在不同时期转换消费的愿望. 越小, 随
着消费上升, 边际效用下降越慢, u ' 0, u '' 0, u ''' 0 . 家庭越愿意消费随时间变动. 可以证明, 任意两时点之间消费的替代弹性为为1 . 即期效用函数的另三个特点 : 不管的值为何,消费的边际效用恒为正 u ' 0 ; 当 1时,该效用函数可简化为lnC;
模型的假设
⑦家庭效用函数的形式为 : L t U e u C t dt t 0 H C t 为t时每一家庭的消费, u 为即期效用函数, u C t L t H 即期效用函数的形式为:
1
为t时家庭即期总效用,为贴现率.
C t u C t , 0, n 1 g 0 1
即 : lim e
s
R s
e
n g s
k s 0
2.2
2
1
家庭的最大化问题
1 1
再看目标函数t A 0 e c t 1 1 1 nt 将上式和L t =L 0 e 代入家庭目标函数: U