2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算

一、选择题

1.dx x )5(122

-⎰=（ ） A.233

B.3

1 C.3

4 D ．83

【分值】5分

【答案】D

【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。

【考查方向】求定积分

【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。

【解析】dx x )5(122-⎰=123153x x -＝83

． 2.直线9y x =与曲线3

y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）

A 、22

B 、42

C 、2

D 、4

【分值】5分

【答案】D

【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的

函数.

【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积

【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.

【解析】由

⎩⎨⎧==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4810341299423

03=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰x x dx x x S ，故选D.

3.2

2-⎰2412x x -+dx =（ ）

A.π4

B.π2

C.π

D.π3 【分值】5分

【答案】A

【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型.

【考查方向】求定积分

【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。

【解析】设y=2

4

x-

+,即(x-2)2+y2=16(y≥0).

12x

∵22-⎰2

x-

+dx表示以4为半径的圆的四分之一12x

4

面积.∴22-⎰2

x-

+dx=π4.

12x

4

4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( )

A．3

B．4

C．5

D．6

【分值】5分

【答案】A

【易错点】将问题转化为定积分的理解

【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。

【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，然后应用“物体从时刻t＝a到t＝b(a

b v(t)d t”求解定积分问题.

a

【解析】因为赛车A在t秒内行驶

的路程为⎰0t (3t 2＋1)d t ，赛车B 在t 秒内行驶的

路程为⎰0t 10t d t ，所以⎰0

t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪

t

＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.

5.如图，阴影部分的面积为( )

A ．9

B ．136

C ．92

D ．73

【分值】5分

【答案】C

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。

【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式，以x 为变量设定，被积函数即为y=－x 2－x ＋2,然后求定积分。

【解析】由2

2,y x y x =-⎧⎨=-⎩求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S ＝1

2-⎰[－x 2－(x －2)]d x ＝12

-⎰(－x 2－x ＋2) d x ＝

321

2119

2322x x x -⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．所以选C.

二、填空题

6.=+⎰-dx x x 1

13)sin (___________．

【分值】5分

【答案】0

【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。

【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算，然后计算函数值的增量。 【解析】0)cos 41()sin (1

14113=-=+--⎰x x dx x x

7.设f (x )＝

[][]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈e x x e x ,111,0,(e 为自然对数的底数)，则＝________．

【分值】5分

【答案】e

【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和．

dx x f e )(0⎰

求解。

【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算，然后分别计算函数值的增量。 【解析】

1ln 011101)(0e x e dx x e dx e dx x f e x x +=+=⎰⎰⎰=e-1＋lne ＝e.

8.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.

【分值】5分

【答案】0

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。 0a >y x =

,0x a y ==2a a =