留数在定积分计算上的应用
留数定理在定积分中的应用
留数定理在定积分中的应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文介绍留数定义和留数定理以及一些改进的留数计算方法，并讨论了留数理论在定积分计算中的应用。
关键词 留数定理；定积分；应用1． 留数定义定理及其他一些定理1．1 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．1．2 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1 []1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．2．留数定理在计算积分中的应用2．1 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
5.3_留数在定积分计算中的应用
K
故，我们得到
R iax R CR
0
iaz
Jordan引理3.1见下页
K
R ( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
k 1
从上面可以看出 本方法可以计算下列形式的积分： ,
R
R
R( x ) cos axdx R( x ) sin axdx ，
于是 1 p2 1 p4 I 2i 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 )
6
(2) 形如 R( x)dx的积分
(有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
用z替换 x
要求！！
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 2. m 1 z b1 z bm 且 R ( z )在实轴上没有奇点.
用z替换 x
且 R ( z )在实轴上没有奇点.
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )e
iaz
(2)
z2 zK
CR
z1
-R
R
在上半平面内所有的奇点都含于C内.
于是，有
R
R
R( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, 且都为一级极点.
ze iz ea Re s[ R( z )e , ai] lim ( z ai) z ai ( z ai)( z ai) 2 于是，有
18_留数在定积分计算上的应用
由于
i z i z e |e | 1 y R s i n d z d s e d s e d C C C 0 R z R |z | R R
2 e
所以
R s i n 2 0
d 2 e
R (2 / ) 2 0
R d ( 1 e ) . R
2 0 i
为 s i n 和 c o s 的 有 理 函 数 ， 令 z e , 则 d z i e d ,
i
2 2 1 z 1 1 z 1 i i i i s i n ( e e ) , c o s ( e e ) . 2 i 2 i z 2i 2 z
l l l2 的一部分。实积分要变为闭路积分， 1 则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路 的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一 部分：
a
0
l1
b
z ) dz x ) dx z ) dz f( f( f(
l a l 2
b
1 . 形 如 ( c o s, s i n ) d ， 其 中 R ( c o s, s i n ) R
d x 例2 计算 I , 0 1 c o s 2 x
的值. 0 1
解：令
2 x , d 2 d x ; x : 0 , : 0 2
2 d 1 1 d z / i z 1 d z I 1 2 01 zz 2 c o s 2 i z 2 z z 1 z 1 1 2
z 在上半平面内有一级极点ai, 2 2 z a
解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求 的积分是存在的.R(z)
复变函数3留数在定积分计算上的应用.ppt
R
|z|1
z2 1, 2z
z2 1
2iz
dz iz
|z|1
f
(z)d
z
其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有
n
f (z) d z 2π i Res[ f (z), zk ]
|z|1
k 1
其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.
q e d 2 aR(2q / )
0
0
0
M
aR 2q
e
2
M
aR
aR
eaR 1
M
aR
(1
eaR )
R 0,
0
因此得
R(x) eaixd x 2 π i
Res[R(z) eaiz , zk ] .
也可写为 R(x)cos ax d x i R(x)sin ax d x
2 π i Res[R(z)eaiz , zk ].
2n
zi
(n
1)(n 2) n! 22n1
2n (2n 1)!!
2 (2n)!!
3. 形如 R(x) eaixd x (a 0) 的积分 当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次
数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的.
象2中处理的一样, 由于mn1, 故对充分大的|z|有
例 4
计算
x2
x4
x2
dx 1
z 4 z 2 1 (z 2 1)2 z 2 (z 2 z 1)(z 2 z 1) 0
f (z) z 2 的四个一阶极点为: z4 z2 1
1 z1,2 2
留数在定积分计算上的应用
2
f z dz 2 i Re s f z , z k 其中C为单位圆： z 1 正向.
C k 1
n
zk k 1,2,, n 为包含在C内的f(z)的孤立奇点.
f(z)为z的有理函数,且在C上分母不为零,满足留数定理的条件,而
例1 计算I
为了使积分路线不通过奇点,取图示路线。
按照柯西-古萨基本定理,有
e e e e C R z dz R x dx Cr z dz r x dx 0
r R
iz
ix
iz
ix
从而上式中
r e R ix
ix e R r e r e dx ， 令 x t， 则 R dt r dx R x t x
0
i Re sRz , zk
1 R x dx R x dx 2
应用公式 R x dx 2 i Re sRz , zk 要注意:
(1) R(x)中分母的次数至少比分子的次数高二次.并且R(z)在实轴 上没有孤立奇点. (2)zk是 R(z)所有的在上半平面内的奇点. 2 x dx .a 0, b 0的值。 例2 计算积分 I 2 2 2 2 x a x b [解] 这里 m 4, n 2, m n 2， z2 并且实轴上Rz 2 z a 2 z 2 b 2 没有孤立奇点,因此积分是存在的。
aRsin e d 0
2 ay e ds z
aR
2 2
0
2 1 e aR aR
y 1
2
y
2
留数在定积分计算中的应用
p]
lim
z p
(
z
p)
1 z4 2iz2(1 pz)(z
p)
因此
1 2ip2 (1
p4 p2
, )
I
2π
i
1 p2 2ip2
1 2ip2 (1
p2 p2 )
2π 1
p2 p2
.
例2
计算
π
0
1
dx sin 2
. x
解
π
0
1
dx sin 2
x
π
0
1
1
dx cos
2x
0π 2
d2 x 1 cos
2
x
2
令 2x t,
02 π
3
dt cos
t
1
z 1
3
(z2
1)
dz 2z 2
6
z
. 1
极点为 : z1 3 2 2
z2 3 2 2
CR Q(z)
0
P(R ei Q( R
)iR ei ei )
d
;
由于分母Q(z)的次数比分子P(z)的次数至少高两次,则
zP(z) 0, 当z 时. 即 Q(z)
P( R ei )R ei Q(R ei )
0,
当z
R 时.
从而
R :
R(z)dz 0 ;
m ema. 4a
注意 以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴
留数在定积分计算中的应用
3
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第 五 章 P120 例5.24
留 解 由 1 2 p cos p2 (1 p)2 2 p(1 cos ) 及 0 p 1,
数 及
可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。
其 应
(1) 令 z ei ,
用
则 d d z , cos z z1 ,
在上半平面内， i 为一阶极点，
数
及 其
eiaz
Res[ f (z) , i ] 2z
ea
. 2i
应
z i
用
(2)
e ia x
ea
x2 1 dx 2 πi 2i
πea,
0
cos a x x2 1
dx
πea
2
;
同理
0
cos b x x2 1
iz
2
cos 2 ei2 ei2 z2 z2 ,
2
2
4
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第
五
章
留
数
解
(2)
I
| z|1
z2 z2 2
1
2
p
z
1
z 1
p2
dz iz
及
2
其 应 用
| z|1
1 z4 2i z2(1 pz)(z
及
其 应
(3)
x2
x cos 2x
x
10
dx
π 3
e3 (cos1 3sin1);
用
x2
第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
留数在定积分计算上的应用
z2 (z2 + a2 )(z2 + b2 )
的一级极点为± , , 在上半平面内. 的一级极点为±ai, ±bi, 其中 ai 与 bi 在上半平面内.
11
z2 Res[R(z), ai] = lim(z − ai) 2 2 2 2 z→ai (z + a )(z + b ) 2 −a a = , 2 2 = 2 2 2ai(b − a ) 2i(a − b )
6
2. 形如 ∫−∞ R( x)d x 的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函 是 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在 在 实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 不失一般性, 不失一般性, 设
2 ∞
在∫
+∞
0
2.∫ sin x d x = ∫
0
∞
0
1 π cos x d x = 2 2
2
17
−∞
R , 如果 ( x)为偶函数
∫
+∞
0
R( x)d x = πi∑Res[R(z), zk ]
10
例计算下列积分： 例计算下列积分：
x2 I =∫ dx(a > 0, b > 0) 2 2 2 2 −∞ ( x + a )( x + b )
+∞
的值. 的值. =4,n=2, =2,并且实轴 没有孤立奇点, [ 解] 这里 m=4, =2, - n=2, 并且实轴上 R(z)没有孤立奇点, =4, =2,m- =2, 并且实轴上 没有孤立奇点 因此积分是存在的. 函数 因此积分是存在的.
数学物理方法-5.3 留数在定积分计算上的应用
定积分计算：类型2
形如 R( x)dx 的积分，其中R是有理函数， 而且分母至少比分子高2次，R在实轴上没有奇点 结论：
R( x)dx 2i Res[ R( z ), zk ]
其中，zk是R(z)在上半平面内的所有极点。
注： 1、不包括无穷远点； 2、R(z)在上半平面内的奇点中只有极点，为什么？
类型3举例
cos x x 2 4 x 5 dx cos x i sin x eix x 2 4 x 5 dx x 2 4 x 5 dx 2i(Res[ f ( z),2 i]) ei ( 2i ) i i Res[ f ( z ),2 i] e 2i (cos 2 sin 2) (2 i 2 i) 2e 2e
定积分计算：类型3
形如
iax R ( x ) e dx, (a 0) 的积分，其中R是有理函数，
而且分母至少比分子高1次，R在实轴上没有奇点。 结论：
R( x)eiaxdx 2i Res[ R( z )eiaz , zk ]
其中，zk是R(z)在上半平面内的所有极点。 注：（和类型2相比较） 1、要求分母比分子高1次；
类型2举例
2 x 例3： dx 0 1 x4 1 解： 0 R( x)dx R( x)dx i Re s[ R( z ), zk ] 2 3i / 4 z1 ei / 4和 z2 e 位于上半平面，都是1级极点
z3 e5i / 4 , z4 e7i / 4是R( z )位于下半平面内的奇点 z2 z12 Res[ R( z ), z1 ] lim ( z z1 ) 4 z z1 1 z ( z1 z2 )( z1 z3 )( z1 z4 ) 2 z2 z2 Res[ R( z ), z2 ] lim ( z z2 ) 4 z z2 1 z ( z2 z1 )( z2 z3 )( z2 z4 )
第5章2留数定积分计算上的应用
x2
( x2 a2 )( x2 b2 ) d x
解
原式=2
i
{Res[ ( z 2
z2 a2)
(z2
b2 )
, ai ]
z2
Res[ (z2 a2 ) (z2 b2 )
, bi
]}
2
i[
2z
z2 (z2
b2
)
za
i
z 2 (z2 a2)
]
zb i
上半 在
平i(面b内2ai的a奇2 点
aa2ib,i
1
z4 2z2 1 d z 的奇点为 0, 1
4i |z|1 z2 (2z2 5z 2)
2
2
[
(
z4 2z2 2z2 5z
1) 2
z0
z4 z2
令2z
2
z
1e
i
,
(4z 5)
z
z2
则 1 ]
21
( 5 3)
sin 2zi
2 44 4
4
2. 设 Q( x) 与 P( x) 为 互质 多项式， Q( x)的次数 比 P( x) 的次数 至少高二次
d x 11
0x
2
例7
计算
0
x sin 2 x 1 x4
dx
解
x cos 2x ix sin 1 x4
2x
d
x
x ei2 x d x 1 x4
2
i(Res[1ze
i2z
z4
i
,e 4
]Res[
z ei2z 1 z4
i 3
,e 4
])
) 2 i
1 (4z2
ei2z
留数定理在定积分中的应用
留数定理在定积分中的应用1． 留数定义及留数定理1．1 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．1．2 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1 []1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．2．留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．2．1 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复变函数中的一个重要定理，它在求解不同类型积分上有着广泛的应用。
从留数定理的定义和性质出发，我们可以探究留数定理在求解不同类型积分上的具体应用。
本文将从留数定理的基本原理出发，分别探讨留数定理在求解定积分、无穷积分、奇异积分和复积分中的应用，以及其在物理和工程等实际问题中的应用。
一、留数定理的基本原理留数定理是复变函数理论中的一个重要定理，它给出了复变函数在孤立奇点处的留数与该函数在该奇点所作割线积分之间的关系。
设F（z）在孤立奇点z0处解析，即在z0的某个邻域内解析，并且在z0处的留数为R，若C是以z0为内点的简单闭曲线，则有\[\oint _{C} \! F ( z ) \, dz = 2\pi iR\]留数定理的一个重要推论是：如果f(z)在孤立奇点z0的邻域内解析，并且在z0处的留数为R，则有其中Res(f,zk)表示f(z)在zk处的留数。
这个结论为我们在实际问题中利用留数定理求解积分提供了重要的理论基础。
二、留数定理在定积分中的应用留数定理在求解定积分中有着重要的应用。
对于某些定积分，可以通过构造合适的闭合曲线，并利用留数定理来求解。
考虑积分\[\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}\]可以构造复平面上的单位圆上的积分路径，然后利用留数定理来求解这个积分。
在复平面上，积分变量z的标量为e^{i\theta}，则积分可以表示为其中z0和z-1分别是函数f(z)在z=0处和z=∞处的留数。
通过计算这两个留数，我们可以求解出原定积分的值。
留数定理在求解无穷积分中也有重要的应用。
考虑积分可以通过构造合适的积分路径，然后利用留数定理来求解这个无穷积分。
我们可以沿着实轴积分，然后在上半平面做半圆弧积分。
留数定理还可以用来解决奇异积分。
考虑积分六、留数定理在物理和工程实际问题中的应用留数定理在物理和工程实际问题中也有着重要的应用。
14留数在定积分计算上的应用
由留数定理:
∫− R R( x )e
+∞
R
aix
dx + ∫ R( z )e dz = 2π i ∑ Res[ R( z )e , zk ]
aiz
aiz
R → +∞ :
∫C
CR
R( z )e aiz dz → 0 .
R
∫−∞ R( x )e
+∞
aix
dx = 2π i ∑ Res[ R( z )e , zk ]
6
取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点
zk 都包在这积分路线内. 这里可补线 C R
(以原点为中心 , R为半径的在上半平面的半圆周)
y
CR
C R 与 [− R, R]一起构成封闭曲线C ,
R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点） 处处解析. 根据留数定理得 :
. −R
+∞
0
. R
x
∫− R R( x )dx + ∫C
8
aix ( ) dx (a > 0) 的积分 R x e 三、形如 ∫−∞
+∞
积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上 无孤立奇点. 同前一型: 补线 C R
C R 与 [− R, R] 一起构成封闭
y . −R
CR
0
. Rx
曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点 zk 都 包在这积分路线内 .
2 1 z − 1 cosθ = (e iθ + e − iθ ) = z + 1 , 1 iθ − iθ , sinθ = (e − e )= 2 2z 2i 2iz 2
留数定理在定积分当中的应用
一绪论1研究背景及意义留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] .1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3],若函数f(z)在D（a，r）\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f （z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a）=柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.二留数定理2.1 留数的定义如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a|<R内解析，围线C是K-｛a｝中包围a的围线，则上式不一定成立，故留数定义如下：定义如果函数f（z）以a为孤立奇点，即f（z）在K-｛a｝：0<|z-a|<R中解析，则积分：|z-a|=称为f（z）在点a处的留数或残数（residue），记作f（z），或简记为Resf（a）或Res（f，a）。
显然，只要，上述积分的数值与的大小无关．2.2 Cauchy 留数定理利用Cauchy 积分定理，可以推出下面关于围线积分的Cauchy 留数定理设函数f（z）在围线或复围线C所围成的区域D中有孤立奇点a1、a2、……、an，，此外f（z）在上解析，则有.利用Cauchy 留数定理，只要算出各孤立奇点处的留数，即可得出围线积分，所以关键在于计算留数．2.3留数的算法设a为f(z)的n阶极点,f(z)=,其中在点a解析，则证：推论 1 设a为f（z）的一阶极点则.推论 2 设a为f（z）的一阶极点, 则.三留数定理的应用3.1用留数定理计算实积分A.计算型积分这里表并且在[0,2π]上连续.若命z=,则,,。
留数在定积分计算上的应用.ppt
)
,
I
2
π
i
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2
(1
p2)
2π 1
p2 p2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算 I
dx ,
0 1 cos 2x
0 1的值.
解：令 2x , d 2dx; x :0 , :0 2
z2 z2
1
dz
1 z4
I |z|1
2
1
2
p
z
z 1
p2
iz
|z|1 2iz2 (1 pz)(z p) dz |z|1 f (z)dz
2
z2 z2
1
1
{
2
1 2 p
z z1 p2
iz
2
z4 1
1
z4 1
1
2iz2 z pz2 p p2z 2iz2 z(1 pz) p(1 pz)
z
| 足够大时)
R(z)d z | R(z) | d s M π R M π 0
CR
CR
R2
R
R
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此
R(x)d x 2 πi
Res[R(z), zk ].
如果R( x)为偶函数,
R(x)d x 1
2.
形如 R(x)d x的积分
当被积函数 R(x)是 x 的有理函
数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)
在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
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1 i , 16 zi 3 7i . 48 z3i
z2 z 2 Res [ R ( z ) , 3 i ] 2 ( z 1) ( z 3 i )
5π 1 i 3 7i . (3) I 2 π i 48 12 16
在上半平面内，1+3 i 为一级极点。
z eiz Res[ f ( z ) , 1 3 i ] lim ( z 1 3 i ) 2 z 1 3 i z 2 z 10
ze i z z 1 3i
1 3i 3 i e . 6i z 1 3 i
(2)
π i 4
1 e 4
2 π, ) 2
2 I π. 4
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三、形如
R ( x )e aix d x ( a 0 ) 的积分
P( x) , 其中P (x) , Q(x) 为多项式； 要求 (1) R ( x ) Q( x )
z ai
a
2 2
2 i (a b ) b . Res [ R ( z ) , b i ] lim ( z b i ) R ( z ) 2 2 2 i (b a ) z ai
,
(3) I
π a b . 2 πi 2 2 2 2 (a b) 2 i (a b ) 2 i (b a )
(2)分母 Q(x) 的次数比分子P (x)的至少高一次；
(3)分母 Q(x) 无实零点。 则有
x 如：R( x ) 1 x2
R ( x ) e iax d x 2 π i Res[ R( z ) e i a z , zk ] A iB .
k
其中 z k 是 R( z ) 在上半平面内的孤立奇点。 特别地
R ( x ) cos ax d x A ; R ( x ) sin ax d x B .
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例2 计算
x sin xdx x2 a2
(a 0)
z 解 (1)令 R ( z ) 2 z a2
2 2 (a a b ) 2π i Res f ( z ),0 Res f ( z ), b
2aπ 2π a 2 b 2 2 b b2
2 2 (a a 2 b 2 ). b
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思考题
计算积分
π 2 0
d (a 0). 2 2 a cos
1.应用“围道积分法”计算三类,；
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附：关于第二、三型积分中 R ( z ) 有实孤立奇点的情况
解
(1) 令
f (z)
在上半平面有二级极点 z ai, 一级极点 z bi.
Res[ R( z ), ai ]
1 2 2 2 ( z ai ) ( z b )
z ai
1 2 2 2, 2bi(a b )
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2 2 1 b 3a Res[ R( z ), bi ] 2 3 2 2 2 2 2, ( z a ) ( z bi ) z bi 4a i (b a )
7 i 4
)
1 e 4
π i 4 ,
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3 i 4 Res[ R( z ) , z 2 ] lim ( z e ) R( z ) 3 i ze 4
1 e 4
π i 4 . π i 4
1 (3) I 1 2 π i ( e 4
在上半平面内，a i 为一级极点。
iz iz z e z e (2) Res [ R ( z )e iz , ai ] lim( z ai ) 2 2 z ai z ai z a
ea . z ai 2Fra bibliotek(3)
xe ix dx a π e i 2 2 x a 虚部
( 2a b)π 3 2. 2a b(a b)
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一、形如 R (cos , sin )d 的积分* 0
令ze
i
2π
dz ie d
i
dz d , iz
2 z 1 1 i i sin (e e ) , 2i 2iz 2 1 i z 1 i cos (e e ) , 2 2z
π i 4 ,
z2 e
3π i 4
为两个一级极点。
i 4 (2) Res[ R( z ) , z1 ] lim ( z e ) R( z ) i ze 4
lim
ze 4
z
i
2 5 i 4
(z e
3 i 4
)( z e
)( z e
eiz
z
,
在实轴上，
z 为一阶极点， 0
Res [ f ( z ) , 0 ] e i z
(2)
z0
1.
ei x
x
d x π i R es [ f ( z ) , 0 ] π i ,
ix e sin x π 1 d x Im dx . 2 x 2 x
当 历经变程 [0 , 2π ] 时, z 沿单位圆周 z 1的 正向绕行一周.
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0
2π
R(cos , sin )d
z 2 1 z 2 1 dz R , iz 2 z 2 iz z 1
2
( z 1) dz 2 2 2iz (bz 2az b) z 1
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( z 2 1)2 dz 2 2 2 2 a a b a a b z 1 2 z 2iz b z b b
z2 z 2 z2 z 2 2 解 (1) 令 R ( z ) 4 2 2 ( z 1 ) ( z 9) z 10 z 9
在上半平面内，i 与 3i 为 R ( z ) 一阶极点 。
z2 z 2 (2) Res [ R ( z ) , i ] ( z i ) ( z 2 9)
dx 所以 ( x 2 a 2 )2 ( x 2 b 2 )
2π i{Res [ R( z ), bi ] Res [ R( z ), ai ]}
b2 3a 2 1 2i 3 2 2 2 2 2 2 4a i (b a ) 2bi(b a )
z2 1 z2 1 sin , cos , dz ie i d , 2 zi 2z
0
2π
sin2 d a b cos
( z 2 1)2 4z 2 z 1
2
1 dz 2 z 1 iz a b 2z
(3)
x cos x π 3 d x e (cos 1 3 sin 1) ; 2 3 x 2 x 10
注：
x sin x dx 2 x 2 x 10
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内容小结
应用留数定理计算两类无穷限积分.
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R ( x ) d x 2 π i Res[ R( z ) , zk ] .
k
解 (1)记 I 1 2 I
z , d x , 令 R( z ) 4 4 x 1 z 1
x
2
2
在上半平面内，z1 e
Res f ( z ), zk . f ( z )dz 2π i k 1
n
z 1
计算积分转化为计算在单位圆周内的各孤立奇点 处的留数.
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例1 计算积分 解
0
2π
sin2 d (a b 0) a b cos
令 z e i , 则
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作业
习题五: 13(3)(4)(5)(6)
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例3 计算积分
dx ( x 2 a 2 )2 ( x 2 b2 )
(a 0, b 0, a b)
1 解 R( z ) 2 2 2 2 2 (z a ) (z b )
(3)分母 Q(x) 无实零点。 则有
1 如： R ( x ) 2 x 1
R ( x ) d x
2 π i Res[ R( z ) , zk ] .