八年级数学北师大版三角形内角和定理的证明PPT优秀课件
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八年级数学上册第七章三角形内角外角关系应用的七种常见题型习题pptx课件新版北师大版
∠ DAE 的度数.(直接写出结论)
解：(3)∠ DAE ＝ (α－β).
1
2
34Biblioteka 567第七章 平行线的证明
专项突破19
三角形内角、外角关系应用
的七种常见题型
题型1三角形内角和在叠放中的应用
1. [2024舟山中学月考] 如图，有一块直角三角尺 DEF 放置
在△ ABC 上，三角尺 DEF 的两条直角边 DE ， DF 恰好分
别经过点 B ， C . 请写出∠ BDC 与∠ A ＋∠ ABD ＋
∠ ACD 之间的数量关系，并说明理由.
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解：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD . 理由如下：
∵∠ BDC ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°，∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝
180°，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD .
∴∠ BAC ＝180°－100°＝80°.
∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°.
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7. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中， AD ⊥
BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )
解：(3)∠ DAE ＝ (α－β).
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34Biblioteka 567第七章 平行线的证明
专项突破19
三角形内角、外角关系应用
的七种常见题型
题型1三角形内角和在叠放中的应用
1. [2024舟山中学月考] 如图，有一块直角三角尺 DEF 放置
在△ ABC 上，三角尺 DEF 的两条直角边 DE ， DF 恰好分
别经过点 B ， C . 请写出∠ BDC 与∠ A ＋∠ ABD ＋
∠ ACD 之间的数量关系，并说明理由.
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解：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD . 理由如下：
∵∠ BDC ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°，∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝
180°，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD .
∴∠ BAC ＝180°－100°＝80°.
∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°.
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7. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中， AD ⊥
BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )
北师大版八年级下册数学《三角形内角和定理的证明》证明说课教学复习课件
设计意图：通过此种方法的折叠使学生了解运用折纸的方 法证明三角形内角和定理，发展学生的空间想象能力。
动手实践 ，尝试发现
剪拼活动：
将角Ａ和角Ｂ裁下，拼在角１与角２的位置（注 意剪裁线应为折线）
设计意图：1、通过剪纸活动，让学生初步体会到三
角形内角和为1800； 2、通过剪纸活动，锻炼学生的动手能力与合作探
设计意图：让学生在今后的证明中能灵活应用。
课堂小结
学了本节你能回答下列问题吗？ 1、三角形内角和定理是什么？ 2、三角形内角和定理的证明有哪几种方法？ 3、在证明三角形内角和定理的过程中，最重要的
是什么？如何作？
活动内容：学生用自己的语言总结，学生之间相互
补充。
设计意图：总结复习巩固本课知识，提高学生的
三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核 心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型 平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具 和基础，而三角形内角和定理又是三角形中最为 基础的知识。
➢教学目标与教学重、难点分析
教学目标: 知识与技能： 1、 理解三角形内角和定理； 2、掌握三角形内角和定理的证明方法； 3、会用三角形内角和定理进行证明和解决其他相关问题。 过程与方法：
知识的独特理解和感受，激发学生的求知欲望，创造性的 使用教材。
4、课堂组织有效，能够充分的调动学生动手动脑，气 氛较好。
5、重、难点把握得到，，突出了重点，突破了难点。 6、教师语言精练，教态亲切自然，讲求教学艺术。 7、当堂训练到位，且有梯度，符合教学实际。
缺点：时间把握不够恰当，教学节奏慢
以疑引入
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学 是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在 几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线， 让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思 想方法，它同代数中设末知数是同一思想。
动手实践 ，尝试发现
剪拼活动：
将角Ａ和角Ｂ裁下，拼在角１与角２的位置（注 意剪裁线应为折线）
设计意图：1、通过剪纸活动，让学生初步体会到三
角形内角和为1800； 2、通过剪纸活动，锻炼学生的动手能力与合作探
设计意图：让学生在今后的证明中能灵活应用。
课堂小结
学了本节你能回答下列问题吗？ 1、三角形内角和定理是什么？ 2、三角形内角和定理的证明有哪几种方法？ 3、在证明三角形内角和定理的过程中，最重要的
是什么？如何作？
活动内容：学生用自己的语言总结，学生之间相互
补充。
设计意图：总结复习巩固本课知识，提高学生的
三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核 心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型 平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具 和基础，而三角形内角和定理又是三角形中最为 基础的知识。
➢教学目标与教学重、难点分析
教学目标: 知识与技能： 1、 理解三角形内角和定理； 2、掌握三角形内角和定理的证明方法； 3、会用三角形内角和定理进行证明和解决其他相关问题。 过程与方法：
知识的独特理解和感受，激发学生的求知欲望，创造性的 使用教材。
4、课堂组织有效，能够充分的调动学生动手动脑，气 氛较好。
5、重、难点把握得到，，突出了重点，突破了难点。 6、教师语言精练，教态亲切自然，讲求教学艺术。 7、当堂训练到位，且有梯度，符合教学实际。
缺点：时间把握不够恰当，教学节奏慢
以疑引入
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学 是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在 几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线， 让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思 想方法，它同代数中设末知数是同一思想。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第7节 三角形内角和定理2
练习：如图所示，请将∠A、∠1、∠2 按从大到小的顺序排列
．
解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A ∴∠2＞∠1＞∠A，故答案为：∠2＞∠1＞∠A．
例 6：已知：如图，△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，E 是 CA 延长线上一点，F 是 AB 上一点， 连接 EF．求证：∠ACD＞∠E．
C．85°
D．25°
解：∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°． ∵∠B=25°，∴∠A=120°﹣25°=95°．故选：B．
3. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，
解：∵∠E=20°，∠ACB=75°，∴∠CAE=75°﹣20°=55°，∵AE 平分∠CAD， ∴∠EAD=55°，∴∠B=∠EAD﹣∠E=55°﹣20°=35°．
例 5：如图，下列关系正确的是（ ）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2=∠1 解：∵∠2 是三角形的一个外角，而∠1 是此三角形的一个内角，且∠1 与∠2 不相邻，∴∠2＞∠1．故选：B．
练习：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=40°，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，求∠DCE 的 度数．
解：∵∠A=70°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=110°，
∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，∴∠DCE=
．
例 3：如图，直线 AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（ ）
证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD＞∠BAC， ∵∠BAC 是△AEF 的一个外角，∴∠BAC＞∠E，∴∠ACD＞∠E．
八年级数学上第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角授课课北师大
感悟新知
1 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则
∠1＋∠2＋∠3等于( B )
A．180°
B．360°
知3－三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则
与之对应的三个内角的度数之比为( B )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶1
C．3∶2∶4
D．3∶1∶5
课堂小结
谢谢观赏
You made my day!
∴∠C= 1EAC （等式的性质） . 2
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC= 1EAC （ 角 平 分 线 的 定 义 ） . 2
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）.
感悟新知
1 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝ 30°，
延长BA至点D，则∠CAD的大小为( C )
证明：∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等
式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
感悟新知
例3
如图，△CEF的外角为_∠__A_F_C__，__∠__B_E_F___．
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角定理
学习目标
1 课时讲解
三角形外角的定义 三角形外角的性质 三角形的外角和
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
北师大版八年级下册数学1.1直角三角形的性质和判定课件
（1）四边形是多边形； 真 逆命题：多边形是四边形 假
（2）两条直线平行，同旁内角互补； 真 逆命题：同旁内角互补两直线平行 真
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0. 假 逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0. 真
小结：由此可知，一个命题是真命题，它的逆 命题不一定是真命题；如果一个定理的逆命题 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其 中一个定理称之为另一个定理的逆定理。如定 理1和定理2是一对互逆定理，定理3和定理4也 是一对互逆定理。
解：
A
∵∠A=∠B=45°
∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC=180°-(∠A+∠B)
=180°-90°=90°,
且 AC=BC
又∵BC=3,∴在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 3 2
C
B
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E为BC上一点， 且∠BAE=25°，∠CDE=65°,AE=2,DE=3,求AD的长。
∴这个三角形是直角三角形
几何语言： ∵在Rt△ABC中， ∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
勾股定理
我们曾经利用数方格和割补的方法得到了勾股定理。事 实上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理 （参见读一读）
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
随堂小练：
1、在△ABC中，已知∠A=∠B=45°,BC=3,求AB长。
本课小结
1、学习了直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形两锐角互余
定理3：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、学习了直角三角形的判定定理
定理2：有两锐角互余的三角形是直角三角形
定理4：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形
（2）两条直线平行，同旁内角互补； 真 逆命题：同旁内角互补两直线平行 真
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0. 假 逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0. 真
小结：由此可知，一个命题是真命题，它的逆 命题不一定是真命题；如果一个定理的逆命题 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其 中一个定理称之为另一个定理的逆定理。如定 理1和定理2是一对互逆定理，定理3和定理4也 是一对互逆定理。
解：
A
∵∠A=∠B=45°
∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC=180°-(∠A+∠B)
=180°-90°=90°,
且 AC=BC
又∵BC=3,∴在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 3 2
C
B
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E为BC上一点， 且∠BAE=25°，∠CDE=65°,AE=2,DE=3,求AD的长。
∴这个三角形是直角三角形
几何语言： ∵在Rt△ABC中， ∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
勾股定理
我们曾经利用数方格和割补的方法得到了勾股定理。事 实上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理 （参见读一读）
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
随堂小练：
1、在△ABC中，已知∠A=∠B=45°,BC=3,求AB长。
本课小结
1、学习了直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形两锐角互余
定理3：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、学习了直角三角形的判定定理
定理2：有两锐角互余的三角形是直角三角形
定理4：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
八年级数学上第7章平行线的证明5三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明堂堂清课件新版北师大版
∴∠ ADB ＝180°－∠ DAB －∠ B ＝180°－20°－75°
＝85°.
1
2
345来自B)A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
1
2
3
4
5
3. 如图，两个三角形为全等三角形，则α＝(
A. 72°
B. 60°
C. 58°
D. 50°
1
2
3
4
5
A
)
4. 在△ ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则
(
D
)
A. 必有一个内角等于30°
B. 必有一个内角等于45°
C. 必有一个内角等于60°
D. 必有一个内角等于90°
1
2
3
4
5
5. [2024天津实验中学滨海育华学校月考]如图，在△ ABC
中，∠ BAC ＝40°，∠ B ＝75°， AD 是△ ABC 的角平
分线，求∠ ADB 的度数.
解： ∵ AD 平分∠ CAB ，∠ BAC ＝40°，
∴∠ DAB ＝ ∠ BAC ＝20°.∵∠ B ＝75°，
第七章
5
第1课时
平行线的证明
三角形内角和定理
三角形内角和定理的证明
1. 如图， AB ∥ CD ， FE ⊥ DB ，垂足为 E ，∠1＝55°，
则∠2的度数是(
C
)
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
1
2
3
4
5
2. [2024廊坊期中]如图，当 x ＝3 y 时，该三角形的形状是
(
＝85°.
1
2
345来自B)A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
1
2
3
4
5
3. 如图，两个三角形为全等三角形，则α＝(
A. 72°
B. 60°
C. 58°
D. 50°
1
2
3
4
5
A
)
4. 在△ ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则
(
D
)
A. 必有一个内角等于30°
B. 必有一个内角等于45°
C. 必有一个内角等于60°
D. 必有一个内角等于90°
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5. [2024天津实验中学滨海育华学校月考]如图，在△ ABC
中，∠ BAC ＝40°，∠ B ＝75°， AD 是△ ABC 的角平
分线，求∠ ADB 的度数.
解： ∵ AD 平分∠ CAB ，∠ BAC ＝40°，
∴∠ DAB ＝ ∠ BAC ＝20°.∵∠ B ＝75°，
第七章
5
第1课时
平行线的证明
三角形内角和定理
三角形内角和定理的证明
1. 如图， AB ∥ CD ， FE ⊥ DB ，垂足为 E ，∠1＝55°，
则∠2的度数是(
C
)
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
1
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5
2. [2024廊坊期中]如图，当 x ＝3 y 时，该三角形的形状是
(
北师大版八年级数学下册直角三角形(第1课时)课件
则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
E
∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝（BE－DE）2＋（CE＋DE）2
＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，
即BD2＋CD2＝2AD2.
课堂检测
1.2 直角三角形/
能力提升题
2、如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,
探究新知
1.2 直角三角形/
小结 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理: 1.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形 是直角三角形.
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角 形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？ 是直角三角形.
探究新知
1.2 直角三角形/
证明： 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三 角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), C
B
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
D
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
┏
E
F
探究新知
1.2 直角三角形/
结论 勾股定理与逆定理
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
北师大版初中数学8年级下册1.2 第2课时 直角三角形全等的判定[1] -课件
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首页
随堂训练
A
1.已知:如图,D是△ABC的BC边
上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足
分别为E,F,且DE=DF.
F
E
求证: △ABC是等腰三角形.
B
D
C
分析:要证明△ABC是等腰三角形,
就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C;
进而需要证明∠B∠C所在的
△BDF≌△CDE; 而△BDF≌△CDE的条件:
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 作业
复习导入
三角形全等的判定
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） . 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）.
你作的直角三角形与小明作的全等吗?
直角三角形全等的判定定理及其 三种语言
定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
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做一做
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三 角形. 已知：如图，线段a，c （a<c），直角 . 求作：Rt △ABC，使∠C=
∠ ，BC=a，AB=c.
小明的作法如下： （1）作∠MCN= ∠ =90（°2）在射线CM上截取CB=a.
（3）以点B为圆心，线 （4）连接AB，得到Rt △ABC. 段c的长为半径作弧，交 射线CN与点A.
随堂训练
A
1.已知:如图,D是△ABC的BC边
上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足
分别为E,F,且DE=DF.
F
E
求证: △ABC是等腰三角形.
B
D
C
分析:要证明△ABC是等腰三角形,
就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C;
进而需要证明∠B∠C所在的
△BDF≌△CDE; 而△BDF≌△CDE的条件:
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 作业
复习导入
三角形全等的判定
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） . 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）.
你作的直角三角形与小明作的全等吗?
直角三角形全等的判定定理及其 三种语言
定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
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做一做
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三 角形. 已知：如图，线段a，c （a<c），直角 . 求作：Rt △ABC，使∠C=
∠ ，BC=a，AB=c.
小明的作法如下： （1）作∠MCN= ∠ =90（°2）在射线CM上截取CB=a.
（3）以点B为圆心，线 （4）连接AB，得到Rt △ABC. 段c的长为半径作弧，交 射线CN与点A.
北师大版八年级下册数学《直角三角形的性质与判定》课件(5)
命题: 如果一个三角形两边的平方和等于 第三边的平方,那么这个三角形是直角三角 形。
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
跃跃欲试
4、如果一个三角形的三边分别是5、 12、13，则这个三角形是 三角 形。
跃跃欲试
5.（游戏）判断对错。 1）对顶角相等 2）内错角相等，两直线平行
43））全如等x三角y形，对则应x角2 相y2等
跃跃欲试
1．如图，已知∠α＝130°，则∠β 的度数为( )
A．30 B．40° C．50° D．65°
十任总统, 利用了梯形面积公式证明.
梯形的面积可以表示为
;
也可以表示为
.
验证方法四：青朱出入图
青出
青入 c
b
朱出
青方
朱方
青 出
a
朱入 青入
验证方法五：达·芬奇
A
a
B
F
O
Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
A′ F′
B′
E′ C′
D′
Ⅰ
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方。
如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？
北师大版教材数学八年级下册第一章
1.2.1直角三角形（1）
直角三角形的两个锐角互余。
A
已知：在Rt △ABC中，
∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90° B
C
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
跃跃欲试
4、如果一个三角形的三边分别是5、 12、13，则这个三角形是 三角 形。
跃跃欲试
5.（游戏）判断对错。 1）对顶角相等 2）内错角相等，两直线平行
43））全如等x三角y形，对则应x角2 相y2等
跃跃欲试
1．如图，已知∠α＝130°，则∠β 的度数为( )
A．30 B．40° C．50° D．65°
十任总统, 利用了梯形面积公式证明.
梯形的面积可以表示为
;
也可以表示为
.
验证方法四：青朱出入图
青出
青入 c
b
朱出
青方
朱方
青 出
a
朱入 青入
验证方法五：达·芬奇
A
a
B
F
O
Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
A′ F′
B′
E′ C′
D′
Ⅰ
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方。
如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？
北师大版教材数学八年级下册第一章
1.2.1直角三角形（1）
直角三角形的两个锐角互余。
A
已知：在Rt △ABC中，
∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90° B
C
北师大版数学八年级下册1.1第2课时等边三角形的性质课件
探究新知
1 等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、
高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的
结论吗? A
A
A
ED
B
C
猜想1：底角的两
条平分线相等
NM
B
C
猜想2：两条腰
上的中线相等
Q
P
B
C
猜想3：两条腰 上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
2 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三
角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于 60°.
可以利用等腰 三角形的性质 进行证明.
怎样证明这 一定理呢？
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
当堂小结 等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两 腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于 60°.
课堂练习 1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
八年级下册数学（北师版）
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
情景导入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边 三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台 球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等， 那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
新北师大八年级数学下册全册ppt课件
∴ △BDC≌△CEB（ASA）．
E
D
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．首发 打造中学高效课堂首选课件
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． A
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°首发 打造中学高效课堂首选课件
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.首发 打造中学高效课堂首选课件
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
E
D
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．首发 打造中学高效课堂首选课件
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． A
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°首发 打造中学高效课堂首选课件
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.首发 打造中学高效课堂首选课件
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
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A3
A4
n边形的内角和
=（n-2) ×180°
A
D
A
An A1
●
O
B
B
●
O
E A2
A6
●
O
A5
C
C
D
A3
A4
四边形的内角和 =4×180°- 360° =360°
五边形的内角和 =5×180°- 360° =540°
n边形的内角和 =n ×180°- 360° =(n-2) ×180°
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
E
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：作BC的延长线CD，过点C作
射线CE∥BA，则
∠1=∠A， ∠2=∠B。
又∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°
C
D
∴ ∠ A+∠B+∠ACB=180°
这里的CD，CE称为辅 助线，通常画成虚线。
还有其它办法来证明“三角 形的内角和等于180°” 吗 ？
A
A
A
∵ ∠C+∠D+∠CED=180°， ∴ （∠D+∠CED）=180°- ∠C。 ∴ ∠A=∠CED+∠D。
问题探究：
三角形的内角和是180°， 那么凸n边形的内角和又 是多少呢？
A
D
A
A1
An
B C
四边形的内角和 =2×180°=360°
B
ECຫໍສະໝຸດ D五边形的内角和=3×180°=540°
A2
A6
A5
B
CB
CB
C
知识应用：
• 1、填空：
推论 （1）直角1三、角直形角的三两角锐形角的之两和锐是角＿互＿余＿；度；
（2）等边三2、角等形边的三每角一形个的内每角一是个＿内＿角＿都度是；60°。
（3）已知等腰三角形的一个底角是50°，则它的顶角是＿80° ＿＿ 度； （4）已知等腰三角形的顶角是70°，则它的底角是＿＿65＿° 度； （5）已知等腰三角形的一个角是50°，则其余的两个角分 别是 ＿6＿5°＿，＿6＿5°＿或；50°，80 °
（6）在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，则∠A= 3＿0＿° ， ∠B= ＿6＿0°＿ ，∠C= ＿9＿0＿° ； （7）在△ABC中， ∠A=105°， ∠B - ∠C=15°，则∠B= ＿＿ ＿45，°∠C= ＿＿＿30°。
• 2、已知：如图，在△ABC中，
DE∥BC，∠A=60°∠C=70°。
北师大版八年级数学（下）
§6.5 三角形内角和定理的证明
如何计算阴影部分的面积和？
→
S=¼×∏×12 =0.25∏
结论：
有些数学问题如果孤立地看或单独地计算 不易解决，相反若用“整体”的思想方法， 就很容易解决。
A B
问题探究：
如何来证明“三角形的
内角和等于180°”呢？
已知：如图，ΔABC.
D
求：∠ADE的度数。
B
解：∵ ∠A=60°，∠C=70°， ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=50°。 ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B。 ∴ ∠ADE=50°。
A E C
• 3、已知：如图，AB∥CD。
A
B
求证：∠A=∠CED+∠D。
E
C
D
证明： ∵ AB∥CD，
∴ ∠A+∠C=180°。 ∴ ∠A=180°- ∠C。