三角形内角和定理
三角形内角和定理-PPT课件
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
P AQ 132
B
C
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
同学们，你们知道其中的道理吗？
2
1 .知识目标
（1）三角形的内角和定理的证明. （2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题. (3)理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
2 .教学重点
（1）三角形内角和定理的证明. （2）三角形内角和定理的推论.
3.教学难点
（1）三角形内角和定理的证明方法. (2)三角形的外角、三角形内角和定理的推论.
2
∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
·B
C
这里是运用了公理
“同位角相等，两直
线平如图,在△ABC中, ∠1是它的一个
C
外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1 >∠2.
E5
3
4 A
1
B
F
证明：∵ ∠1是△ABC 的一个外角 (已知) ∴ ∠1 >∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE 的一个外角 (外角定义) ∴∠3 >∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴ ∠1 >∠2 (不等式的性质)
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?
三角形的内角和定理与证明
证明三角形的内角和定理1、过三角形的一个顶点做对边的平行线，该顶点处有三个角，相加为180，然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角，从而得证。
2、任意绘制一个平行四边形，将其分割成两个三角形，这两个三角形全等，然后平行四边形相邻两角相加为180，可以找到三个角的和为180，而其中两个角是一个三角形的内角，还有一个角同样可以通过平行线关系代换成此三角形内角，从而得证。
3、任意做三角形的一条高线，然后过高线所在边的一个顶点，做高线的平行线，然后可以证明出被高线分割出来的三角形的两个不是直角的内角互余，然后同理另外一个三角形的两角也互余，这四个角相加等于大三角形的内角和，等于一百八十度，从而得证。
扩展资料：一、内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
二、多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。
因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）所以n边形的内角和是（n-2）×180°。
证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n为边数）。
三角形的内角和
三角形的内角和三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
本文将探讨三角形的内角和，并通过数学证明和实例分析来验证结论。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，每条线段都连接了两个顶点。
三角形的顶点称为顶点，而两边交汇的点称为角。
根据内角和的定义，我们可以通过求解三角形的内角和来判断其形状和性质。
二、内角和的计算公式三角形的内角和定理指出，三角形的三个内角之和始终等于180度。
令三个内角分别为A、B、C，则有以下计算公式：A +B +C = 180度三、内角和的证明为了证明三角形的内角和定理，我们可以通过几何证明和代数证明两种方法来展示。
1. 几何证明：考虑一个任意的三角形ABC，作三角形ABC的外接圆，连接圆心O与三个顶点A、B、C，得到弧AB、弧BC、弧CA。
我们可以得出以下结论：∠BAC = 弧BC的度数∠ABC = 弧CA的度数∠BCA = 弧AB的度数根据圆的性质，弧的度数等于其对应的圆心角的度数，而圆心角的度数等于圆周角的一半。
所以我们可以得到以下等式：∠BAC = 1/2 ×弧BC∠ABC = 1/2 ×弧CA∠BCA = 1/2 ×弧AB将上述等式代入内角和的公式中，可以得到：(1/2 ×弧BC) + (1/2 ×弧CA) + (1/2 ×弧AB) = 180度化简后得：1/2 × (弧BC + 弧CA + 弧AB) = 180度再化简后得：弧BC + 弧CA + 弧AB = 360度由于三角形的外接圆上的圆周角等于360度，所以三角形的对应内角和等于180度。
2. 代数证明：令三角形的三个内角分别为A、B、C。
通过角度和为180度得到等式：A +B +C = 180度三角形的三条边可以表示为a、b、c，对应的对边的夹角则可以表示为A、B、C。
根据正弦定理，有以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC将等式右侧代入等式左侧，得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为三角形外接圆半径）我们知道，外接圆半径R满足以下等式：R = (a×b×c) / (4×Δ)（Δ为三角形的面积）将上述等式代入等式右侧，得到：(a×b×c) / (a×b×c) = 1化简后得到：1 = 1所以，根据代数证明，三角形的内角和等于180度。
三角形的 定理
三角形的定理
1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。
3. 相似三角形定理：如果两个三角形的对应的角相等，那么它们的对应的边的比相等。
4. 直角三角形定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5. 等腰三角形定理：等腰三角形的两个底角相等。
6. 等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。
7. 正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC。
8. 余弦定理：在三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
这些是三角形的一些常见定理，它们可以帮助我们理解和解决三角形相关的问题。
三角形内角和定理
？ ？
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
×
？ 。 ？
A
E
。 ×2
C D
1
B
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，ABCD
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD， 画CE∥BA， 于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换). A 评： 。 图形相同，
＝１８０°－９０°－７２° ＝１８° （ 三角形内角和是180° ）
三角形内角和定理
3、在△ABC中,∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则最
大的内角为100° 。
B组：
已知：如图，AB∥CD ，
AM B N
求证：∠AMN+∠MNF+∠NFC=3C60° F D
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人。 由“因”导“果”,执“果”索“因”, 是探索证明思路的基本方法。
1、三角形内角和定理：
A
三角形三个内角的和等于180°
2、几何语言：
B
∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的内角
C
∴ ∠A+∠B+∠C=180°
知识升华
1、故事《内角三兄弟之争》中，老大的话有 道理吗？
2、一个三角形中最多有几个直角？ 最多有 几个钝角？至少有几个锐角？
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °,
∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求
∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= 12∠BAC=20 °.
C
在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD
D
=180°-75°-20°
=85°.
A
B
学以致用
某单位需要一大型模版，如图所示，设计要 求直线BA与CD成30°的角，如果你是质检员， 怎样来检测模版是否合格？
则 CE∥AB (内错角相等，两直线平行) ∴ ∠1= ∠B (两直线平行,同位角相等) 又∵∠ACE+ ∠1+ ∠ACB=180° (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换)
探究二 证明三角形三个内角的和等于180°
已知:如图，∠A、∠B、∠C是 △ABC的内角 求证:∠A+∠B+∠C=180°B
内角和的定理
三角形的内角和等于180°，这就是三角形的内角和定理。
用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1+∠2+∠3=180°。
用全称命题则表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
三角形的内角和定理证明方法
在△ABC中，∠A、∠B、∠C是三个内角。
想要证明∠A+∠B+∠C=180°，也就是要想法证明∠A+∠B+∠C=一个平角。
利用平行线特征，这就需要过A点作一条平行线，即可达到目的。
过A作EF‖BC．
∴∠B=∠2，∠C=∠1(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1+∠BAC+∠2=180°
∴∠C+∠BAC+∠B=180°（等量代换）
三角形外角和性质及定理
1.三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角；
2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；
3.三角形的外角和是360度。
三角形内角和
三角形内角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每个线段都与其他两条线段相连接形成三个内角。
本文将讨论三角形的内角和，并对其性质进行探究。
一、三角形的内角和性质设三角形的三个内角分别为A、B、C，其内角和为180度。
也就是说，A + B + C = 180度。
这个性质被称为三角形内角和定理，是几何学中最基本的性质之一。
二、证明三角形内角和性质要证明三角形内角和为180度，可以通过多种方法进行证明。
本文将介绍两种常用的证明方法。
方法一：三角形内角和与直线平行性质结合在三角形ABC中，延长边AC，分别延长到点D和E上，使得AD和BE与BC平行。
根据平行线性质，∠BED与∠EBC为内错角、∠CAD与∠ACB为内错角。
考虑△ADC，对内角A进行角度求和，则∠CAD + ∠ADC = 180度。
考虑△BEC，对内角B进行角度求和，则∠BED + ∠BEC = 180度。
观察△ADC和△BEC的内角和，有∠CAD + ∠ADC + ∠BED +∠BEC = 360度。
将上述两个等式相减，得到∠CAD + ∠ADC - (∠CAD + ∠ACB) +∠BED + ∠BEC - (∠BEC + ∠ACB) = 360度 - 180度。
化简可得∠ADC - ∠ACB + ∠BED - ∠ACB = 180度。
即有∠ADC + ∠BED = 2∠ACB。
继续化简，得到2∠ACB = 180度，即∠ACB = 90度。
由此可得，三角形ABC中的一个内角为90度。
结合前面提到的三角形内角和定理，可推知三角形的另外两个内角之和也为90度。
所以，三角形的内角和为180度。
方法二：三角形内角和与直线平行性质相结合在三角形ABC中，延长边AC，接下来在边BC的延长线上取一点D，使得AD与AC重合。
根据三角形内角和定理，∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180度。
在三角形ABC中，AD || BC，根据平行线性质，可知∠ABC +∠ACD = 180度。
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∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
你还有其它方法来证明三角4 形内角和定理吗?
整理课件
解法2：
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角 “凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可 以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则
P AQ
132
A
到了∠1的位置,∠B移到了
1
∠2的位置.如果不实际移动
∠A和∠B,那么你还有其它方 B 2 法可以 达到同样的效果?
31 2
C
D
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说
这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出
这一证明过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理: 三角形3 三个内角的和等于1800.整理课件
∠B+∠C=∠CAD
D A
C
9
整理课件
推论2、三角形的一个外角大于任何
一个与它不相邻的内角。
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
D A
B
C
10
整理课件
整理课件
11
典例
已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成
虚线.
B
A
E
1
32
C
D
证明:作BC的延长线CD,在△ABC的外部，以CA为一边，作 ∠1=∠A
∴ CE∥AB (内错角相等,两直线平行)
∴ ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
B ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),
C
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
你有新的证法吗?
5
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解法3：
D
6
整理课件
想一想：
.三角形的一个外角与它不相邻的两个 内角之间有何关系？
A
B
C
7
整理课件
A
B
C
D
解：∵∠ACD+ ∠ACB=180° （邻补角的定义）
∴∠ACD =180 ° －∠ACB 又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° （三角形内角和180 ° ）
∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
8
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三角形外角的推论1：
三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和。 B
1
整理课件
回顾与思考
证明命题的一般步骤: (1)根据题意,画出图形; (2)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (3)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程;
2
整理课件
回顾与思考
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗?
(1)如图,当时我们是把∠A移