《三角形内角和定理》平行线的证明PPT课件

开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
A
E
A
F
F
E
12 3 4
B
D
C
图1
A
S
Q
P
N R
B
M
T
C
… … 图3
B
D
S
图N 2
P
Q
C
A R
M
B
C
T
图4
三角形内角和定理
☞ 三种语言
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
(两直线平行,同旁内角互补)
∴ ∠B+∠BAC +∠C =180°
（等量代换）
结论:三角形的内角和是180° A E
.已知:如图6-9,△ABC.
A
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
B
分析:延长BC到D,过点C作
射线CE∥AB,这样,就相当
L
于把∠A移到了∠1的位置,
把∠B移到了∠2的位置.
证明:作BC的延长线CD,过点B C作CE∥ABC,
自己量量看！”
蓝用量角器量了量自己的内角和，就不 再说话了！
同学们，你们知道其中的道理吗？
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？ 你还记得这个结论的探索 过程吗?
三角形的三个内角和是多少?
方法一: 将各角沿着某一条直线折叠
A
1
2
3
B
C
演示 下一页
验证：三角形的三个内角和是180°
用推理的方法判定一个命题是真命题的过程叫证明
证明的一般步骤：
第一步：分析条件、结论，画出图形． 第二步：根据条件、结论、结合图形，写 出 已 知、求证。 第三步：经过分析，找出由已知推出求证 的途径， 第四步：结合图形，写出证明过程．
问题1
三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说： “我的体积比你大，所以我的内角和也比你 大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得 x+3x+5x=180° 解得 x=20°
所以三个内角度数分别为 20°,60°,100°。
随堂练习 ☞
3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交 CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在
一定的大小关系？ 他们是怎样的，并加以证明？
证明：因为 AB ∥CD
所以 ∠1 + ∠ B =1800
A
(两直线平行，同旁内角互补）
因为∠2+ ∠P +∠D=1800
C
（三角形内角和定理）
B
1
D
E2
∠1= ∠2 （对顶角相等） P
所以∠ B=∠P +∠D (等量代换）
3、如图所示Fra Baidu bibliotekAD、BC相交于O点，若∠A＝
35°， ∠B＝56°， ∠D＝46°，则∠C的度数
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
已知：三角形三个内角的度数之比为 1:3:5，求这三个内角的度数。
A
B
C
A
B 图1
BA
B
A
C
B
B
图2 C
(2)根据前面的公理和定理,
你能用自己的语言说说这
一结论的证明思路吗?你能
用比较简捷的语言写出
这一证明过程吗?.
C 图3
结论：三角形的内角和等于1800.
如果一个图形是三角形
E
A
F
那么这个三角形三个内角和是180
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
是（ B ）
A、 31°
A
B
B、 45°
O
C、 41° D、 76°
C
D
这种图形称、“又”字型
结论：∠A +∠B =∠C+∠D
拓广探究
第一关
练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5 的度数。
A1
A4 A3
1
A2
2 A5
第二关 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的
度数。
A
F
1
6. 三角形全等的判断公理：SAS ASA SSS。 7.全等三角形性质公理：对应角相等，
对应边相等。 8：等式的有关性质和不等式的有关性质
都可以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以 用它的等量来代替例如,如果 a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看 作公理,称为“等量代换”.
证明：运用学过的公理、定理、定义、性质,
思路总结：
为了证明三角形三个内角的和为 180°,通常应用转化思想。转化为：
平角或利用两直线平行，同旁内角互补
结论：三角形的内角和等于1800.
L
A
B
C
已知：△ABC.
证明：过点A作AE∥BC，
求证：
∠A +∠B +∠C =180° 则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠BAC+∠C=180°
∵ CE∥AB,
∴ ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∴ ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
1
32
C
D
这里的 CD,CE称 为辅助线, 辅助线通
常画成虚 线.
你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
《数学》(北师大.八年级 上册)
你还记得上节课学过的常
见公理及证明、证明的步 骤吗？
公理：人们在长期实践中总结出的大家公认为正 确的道理, 叫做公理。
1.直线公理：两点确定一条直线。 2. 线段公理：两点之间线段最短。 3.平行公理：过直线外一点有且只有一条直 线与已知直线平行。 4.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直。 5.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所 截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
B
2E
C
3D
思维拓展： 第三关
1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之
和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
A
A E
D
A
B
E
D
C
B
C
C
D 相等
(甲)
(乙)
B
E
(丙)
第四关
在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来 越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C, 越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
B
证明：过点A作EF∥BC
∵ EF∥BC ∴ ∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1 ∵∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）
∴ ∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
C
这里EF 称为辅助 线, 通常 画成虚线.
在这里，为了证明的需要，在原来的 图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面 几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说 明所加辅助线的位置、名称和性质。