(课件)三角形内角和的证明与应用

A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
同学们你们掌握了吗， 课后认真复习哦
P A
1 3 2
Q
C 所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要在 证明时首先 叙述出来.
开启
智慧
已知：如图，△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
还有其他证明方法吗？
B
C
试一试P211
☞
根据下面的图形,写出相应的证明. A Q B R Q C
S
―行家” 看“门 道”
A
S
P
随堂练习
☞
3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结 PB、PD，交CD于E点。 则∠ B、 ∠ D、 ∠ P 之间是否存在一定的大小关系？ 他们是怎样的，并加以证明？ A C P E B
D
☞ 读一读P207
用运动变化的观点 理解和认识数学
在△ABC中,如果BC不动,把点A―压”向BC,那么当点A越 来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
∴四边形AQPR是平行四边形
（平行四边形的定义）
A Q R P C
∴ ∠ QPR= ∠ A
（平行四边形的对角相等） B
∠ RPC= ∠ B（两直线平行，同位角相等）
∠ QPB= ∠ C（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ QPB+ ∠ QPR + ∠ RPC=180 ° （1平角=180 ° ）
∴ ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 ° （等量代换）
“行家” 看“门道”
A
1
3 2
E
C
D
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成 虚线.
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.议一议P208Fra bibliotek一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角 “凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可 以吗? 请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), B 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换). 小明的想法已经变为现实,由此你 受到什么启发?你有新的证法吗?
1 2 B C D
三角形内角和定理的证明
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 1 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B 2 C D 其它方法可以 达到同 样的效果?
A A
B
C B C
如果BC不动,把点A―拉离”BC,那么当A越来越远离BC 时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大, 它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有 AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你 能想到什么?
回味无穷 掌握几何命题证明的方法,步 骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理. 结论: 直角三角形的两个锐 角互余. 探索证明的思路的方法: 由“
解得 X=180 °
即三角形的内角和为180 °
三种语言
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三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0-∠A. ∠B+∠C=180 ∠A+∠C=1800-∠B.
证明：
过A点作射线AD，过Ｂ点作BE ∥ AD，过C 点作CF∥AD 则BE ∥ CF（平行与同一条直线的两直线平行）
∴∠1=∠2，∠3=∠4 （两直线平行，内错角相等). ∠EBC+ ∠FCB=180 ° （两直线平行，同旁内角互补） A E F 即∠1+ ∠ABC+ ∠ACB+∠4= 180 ° 又∵ ∠BAC= ∠2+ ∠3 ∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 °1 2 3 4 （等量代换）
随堂练习
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1、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角 形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
C A
A
B
B
C
结论: 直角三角形的两个锐角互余；等边三 角形每个内角60° 以后可以直接运用.
随堂练习
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已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理） ∠C= 90゜（已知） B ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质） 即∠A+∠B=90゜ A
一、复习“三角形内角和定理”
我们已经知道：
三角形的三个内角之和等于180゜。
A
A
即：在△ABC中， 有 ∠A+∠B+∠C=180゜
BB C C
二、论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形 的三个角的和等于180°呢？？
在前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上， 把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就 可得∠ACB和∠1和∠2组成了一条直线， 得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说 明∠A+∠B+∠C=180゜了。 A
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
例题欣赏P207
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已知:如图, ∠A、∠B、∠C 是△ABC 的三内角. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作 射线CE∥AB,这样,就相当于 B 把∠A移到了∠1的位置,把 ∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C 作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
N
R
P (1)
Q
B
P
N
M
A R C
(3)
(2)
T
C
M
B
T
你还能想出其它证法吗?
开启
智慧
证明：过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) E A
B
C
证明：过点P作PQ ∥ AC交AB于Q点， 作PR ∥ AB交AC于R点。
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P208
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A
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?请证明你的结论. A
B A B C B C D E
C
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500..
结论: 直角三角形的两个锐角互余. 以后可以直接运用.
你试过了吗？.
1 2 B C D E
–
但是组成的BC和CD真的就是一条直 线吗？
很明显，这是无法确定的
A E
1 2 B C D
如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如 在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再 分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证 ∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
A E
C
随堂练习
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2、已知:如图在△ABC中， DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500
证明： ∵ DE ∥ BC （已知）
∴ ∠ AED= ∠ C（两直线平行，同位角相等） D ∵ ∠ C=700（已知） ∴ ∠ AED= 700 （等量代换） B A E C
（第2题） ∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800（三角形的内角和定理） ∠ A=600（已知） ∴ ∠ ADE=1800—600—700=500（等量代换） 即∠ ADE= 500
小结 拓展
因”导“果”,执“果”索“因 ”.
与同伴交流,你是如何提高证
小结
拓展
小结：本节课你有什么收获？ 我们证明了三角形内角和定理。 证明的基本思想是：运用辅助线将原 三角形中处于不同位置的三个内角集 中在一起，拼成一个平角，辅助线是 联系命题的条件和结论的桥梁。
三种语言
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三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0-∠A. ∠B+∠C=180 ∠A+∠C=1800-∠B.