裂项相消法求和ppt课件
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高考数学一轮复习-裂项相消法求和课件
归纳总结
若an (an b) qn
令：an A(n 1) B qn1 (An B) qn bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
①
an
1 n(n
4n2 1
2n 1 2n 1
解：令an A(n 1) B 2n1 (An B) 2n
则an 2An 2A 2B 2n (An B) 2n
2An 2A 2B An B 2n An 2A B 2n
A1 2A B 0 A 1 B 2
an (n 1) 2 2n1 (n 2) 2n (n 1) 2n1 (n 2) 2n
第六章 数列
第四节 数列求和—裂项相消法
必备知识·整合
〔知识梳理〕
等差数列
1.通项公式：
2.前n项和公式：
等比数列
1.通项公式： 2.前n项和公式：
a1(1 qn ) q 1 1 q
(1).公式法（已知等差或等比或特殊数列） (2).分组求和法 (3).倒序相加法 (4).错位相减法 (5).裂项相消法
角度4 差比型
例题 已知an n 2n，求数列n bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
(n 1) 2n1 2
1 1 an b an1 b
拓展2 混合型
(1)
n(n
1 1)(n
2)
1
2
1 n(n
1)
(n
1 1)(n
2)
(2) n 1 1 1 n2 (n 2)2 n2 (n 2)2
数列求和裂项PPT课件
2.数列求和时，先研究其通项公式，根据通项公 式的特点选择相对应的求和方法；
3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能 否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进 行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定 是第一项和最后一项，还可能有其他情况；
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心， 以防出错。
n
解an
1
n n1
n 1
n
sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1
练习2、sn
lg 2
lg
3 2
lg
4 3
lg
n 1 n
第4页/共11页
练习2、Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
12Βιβλιοθήκη 1 3nan
1 n(1 n)
2 n(1 n)
2 1 n
1 n 1
2
第5页/共11页
常见的裂项式子有：
1 [(1 1) ( 1 1 )] 3 1 1 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4
这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。 第9页/共11页
点评小结：
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 相消法求和，关键是裂项成功，
（2）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.
（3）求Sn方法的前提条件：找出通项，观察 加以分析，看看适合哪一类型的求法。
第10页/共11页
谢谢您的观看！
第11页/共11页
-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
( 3n1-1
3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能 否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进 行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定 是第一项和最后一项，还可能有其他情况；
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心， 以防出错。
n
解an
1
n n1
n 1
n
sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1
练习2、sn
lg 2
lg
3 2
lg
4 3
lg
n 1 n
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练习2、Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
12Βιβλιοθήκη 1 3nan
1 n(1 n)
2 n(1 n)
2 1 n
1 n 1
2
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常见的裂项式子有：
1 [(1 1) ( 1 1 )] 3 1 1 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4
这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。 第9页/共11页
点评小结：
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 相消法求和，关键是裂项成功，
（2）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.
（3）求Sn方法的前提条件：找出通项，观察 加以分析，看看适合哪一类型的求法。
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-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
( 3n1-1
高三理科数学数列求和裂项相消法.ppt
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 a 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
2n 2n b 2n1 b
1 1 2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
1 22
b
1 23 b
1 2n b
1 2n1 b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、 第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
裂项相消求和+课件-2025届高三数学一轮复习
数列求和 裂项相消求和
一、学习目标
1.掌握裂项相消求和的基本方法和形式. 2.在用裂项相消法求数列和的过程中，掌 握适用题型的特征及相消后所余项的判断.
一、复习数列相关知识：
12、、等等差比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式和和前前nn项项和和公公式式：：
二、裂项相消法定义：
裂项相消求和法是把数列的通项 拆开（一般拆成两项之差），正负相 消，剩下首尾若干项，再求和。
三、常见的几种裂项变形：
典型例题：
学生练习:
链接高考
拓展提升：
课堂小结: 通过这节课的学习你有什么收货？
作业布置：
不去耕耘，不去播种，再肥 沃的土也长不出庄稼，不去奋斗， 不去创造，再美的青春也结不
一、学习目标
1.掌握裂项相消求和的基本方法和形式. 2.在用裂项相消法求数列和的过程中，掌 握适用题型的特征及相消后所余项的判断.
一、复习数列相关知识：
12、、等等差比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式和和前前nn项项和和公公式式：：
二、裂项相消法定义：
裂项相消求和法是把数列的通项 拆开（一般拆成两项之差），正负相 消，剩下首尾若干项，再求和。
三、常见的几种裂项变形：
典型例题：
学生练习:
链接高考
拓展提升：
课堂小结: 通过这节课的学习你有什么收货？
作业布置：
不去耕耘，不去播种，再肥 沃的土也长不出庄稼，不去奋斗， 不去创造，再美的青春也结不
高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT
常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
裂项相消法微课堂.pptx
第7页/共10页
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
第8页/共10页
归纳小结 裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － 1 k n n+k
）
1
1( 1 1 )
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的 前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
第4页/共10页
数学运用 练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
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【解析】
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
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感谢您的观看！
第10页/共10页
=
第6页/共10页
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
n
1
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
n
1
) 2
1 (1 1 1 1 ) 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
1数列求和之裂项相消法优质课件PPT全
1
nn
k
1 k
1 n
n
1
k
变式4：
求和：
Sn
1+ 1 1+2
1 1+2+3
1
1+2+3
n
例2 数列an的前n项和Sn , 通项公式an 2n1,
设bn
=
an +1 Sn Sn+1
，求:数列bn
的前项和Tn
bn
2n 2n 1 2n1 1
1
1
2n 1 2n1 1
1
Tn =1 2n1 1
1 n 1
n ,求其前n项和为Sn.
知识归纳
裂项相消法 分式型
裂项相消法的一般步骤 求通项 裂项 相消
裂项相消法常见裂项公式
求和
变式4：数列的通项公式an
nn
1
1 n
2
, 求其前n项和Sn.
n
n
1
1
n
2
1 2
n
1
n 1
n
1
1
n
2
Sn
=
1 2
1 2
n
1
1
n
2
变式1： 已知数列an为等差数列,a1 1 ,a1 a2 a3
S 数列 bn
满足 bn
2n 1
anan1 2
求：数列 bn
的前n项和
n
bn
2n
n2 n
1
12
1 n2
1 n 1 2
提升
数列an的前n项和Sn ,通项公式an
1 n2
,
证明: Sn 2
小结
裂项相消法课件(微课堂)
三角函数中的应用实例
总结词
简化三角函数计算
详细描述
裂项相消法在三角函数中也有着重要的应用。对于一些复杂的三角函数式，如三角函数的乘积、除法 等，可以利用裂项相消法将其拆分成易于处理的形式，从而简化计算过程。这种方法在解决三角函数 相关问题时，如求值、化简等，能够大大提高解题效率。
数列求和中的应用实例
04裂项相消法的进阶技巧裂相消法的变形技巧变形技巧一
将通项公式变形为两个部分，使 得相邻的项能够相互抵消，从而 简化求和过程。
变形技巧二
通过调整系数或变量的形式，使 得相邻的项具有相同的部分，以 便于相消。
裂项相消法的组合技巧
组合技巧一
将多个裂项相消法的实例组合在一起 ，以解决更复杂的问题。
THANKS
感谢观看
求 (1/3 - 1/6 + 1/9 1/12 + ...) 的值。
这道题同样可以利用裂项 相消法进行求解，但需要 注意相邻两项之间的符号 变化规律，正确拆分并相 消各项。
高阶练习题与解析
总结词
练习题1
解析
练习题2
解析
挑战裂项相消法的复杂 应用
求 (1/2 - 1/3 + 1/4 1/5 + ...) 的值。
组合技巧二
将裂项相消法与其他数学方法结合使 用，以获得更广泛的应用。
裂项相消法的拓展技巧
拓展技巧一
通过推广裂项相消法的应用范围，将 其应用于更广泛的数学问题中。
拓展技巧二
探索裂项相消法的深层次原理，进一 步深化对这一数学方法的理解。
05
裂项相消法的练习题与解析
基础练习题与解析
总结词
练习题1
解析
这道题是裂项相消法的 复杂应用，相邻两项之 间的符号变化规律较为 复杂，需要仔细观察并 正确拆分各项，才能得 到最终结果。
裂项相消ppt课件
精选
1
小试身手
应该怎样拆项？
精选
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数列)
精选
3
裂项法求和
例：求数列 1 ,1, 1, 1 , , 1 , (n N * ) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n
3 3n1 3n精选1
7
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.
[思路点拨]
精选
8
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
的前n项和
提示： a n 1 2 1 nn (n 2 1 )2 (1 nn 1 1 )
S n 2 [ 1 1 2 1 2 1 3 1 n n 1 1 2 1 n 1 1 n 2 n 1
精选
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)(2n1)12n112
(1 1) 2n1 2n1
(3) 1 n(n 2)
高三理科数学数列求和裂项相消法ppt课件
28
1 { } * an=f(n+1)+f(n),n ∈ N , 记数列 an 的前 n 项和为 Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 A.110 B.120 ( ) C.130 D.140
17
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
18
1 1 1 1 类型三：an n n( n n1 ) n 1 2 b 2 b 2 2 b 2 b
例 3.已知
an 2
n
1 1令 bn an an1 ，
Tn 是数列 bn 的前 n 项和，
1 Tn 证明： 6．
19
1 bn n n 1 证明： 2 1 2 1
6
1 （3）an n 1 n n 1 n ( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 1 1
7
1 （3）变式an nk n
nk n an k ( n k n )( n k n ) 1 ( n 1 n) k
*
3 m (3)设 bn= an an 1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
24
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.
由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，
∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上， 得 S n ＝ 3 n 2－ 2 n .
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(4)an
log
a (1
1) n
__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝ ｛的n前 项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的 列通项 （2）若 bn an1an1,求数列bn｝ ｛的n前 项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝ ｛的n前 项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式 （2）设 bn ana1n1,求数列bn｝ ｛的n前 项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n
1 n(n
k)
( )
__k___n__ nk
(2)an
1 4n2 1
___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝ ｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛ ｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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20
12
13
14
正项数{a列 n}满足 an2 (2n1)an 2n0
(1)求数{列 an}的通项公 an; 式
(2)令bn
1 (n1)an
,求数{列 bn}的前 n项和 Tn
15
16
17
在数a列 n｝｛ 中a， 11若 ,an12an3(n1), (1)证明数 an 列 3｝ ｛ 为等比数列 (2)求数 an的 列通项公式
9
10
在数a列 n｝｛ 中 a1 ， 1,当 n2时，n其 项前 S和 n2an(Sn1 2) (1)求数 Sn的 列表达式 （ 2）b设 n2nS n1,求b｛ n｝的 n项 前T 和 n
11
已知等{a差 n}满 数足 a列 3： 7,a5a72,6{an}的n前 项和 Sn (1)求 an及 Sn (2)令 bnan211(nN*)求 , 数 {bn}列 的n前 项T 和 n