高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)学案苏

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

3.2.2 空间线面关系的判定(一)

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一直线的方向向量与平面的法向量

思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

梳理(1)用向量表示直线的位置

条件

直线l上一点A

表示直线l方向的向量a(即直线的________)

形式在直线l上取AB

→

＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP

→

＝________

作用定位置点A和向量a可以确定直线的________ 定点可以具体表示出l上的任意________

(2)用向量表示平面的位置

①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：

条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O

形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b

②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：

平面的法向量直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向

量

确定平

面位置

过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量能平移到直线上的________向量a，叫做直线l 的一个方向向量

平面的法向量直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面α的法向量

(4)空间中平行关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行l∥m⇔________⇔a＝k b(k∈R)

线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔________

面面平行α∥β⇔μ∥v⇔________

知识点二利用空间向量处理平行问题

思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.

(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？

(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？

梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.

类型一 求直线的方向向量、平面的法向量

例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量.

引申探究

若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量.

反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z ). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →

. (3)列方程组：由⎩⎪⎨

⎪⎧ n ·AB →＝0，

n ·AC →＝0列出方程组.

(4)解方程组：⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·AB →＝0，

n ·AC →＝0.

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.

跟踪训练1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形.平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 是边长为1的正三角形，ABCD 是菱形.∠ABC ＝60°，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF 的一个法向量.

类型二 利用空间向量证明平行问题

例2 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .

反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.

跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面

ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12

AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.

1.若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________.

2.已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________.(填序号)

①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1).

3.已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点.P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________.

4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，2，

则m 为________.

5.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________.

1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.

(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.

2.证明面面平行的方法

设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R ).