流函数势函数-第一章

第六节 速度势函数和流函数
速度势函数 速度流函数 二维流动的表示
一、速度势函数
① 定义（速度势函数的引入及存在条件）
如果在流体域内涡度为零，即: V 0
无旋流动；
否则，则称之为涡旋流动：V 0
流体运动
无旋流动 涡旋流动
据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：
0 对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
V
或
V grad
无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数
x, y, z, t 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表
示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。
②引入势函数的优点
流速矢描述流体运动 需要给定三个变量
含有三个变量； 刻画流体的运动情况。
而引进了势函数后：
其流线方程为： dx dy 或vdx udy 0 uv
根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可 知，满足无辐散条件下:
vdx udy 0
d x, y, t vx, y, t dx ux, y, tdy 0
流速与该函数满足： u , v y x
矢量形式：
V k
V ui vj wk
u ,v , w
x
y
z
只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，
大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。
③用势函数来描述流体运动
对于某一固定时刻
x, y, z, t =常数
为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。
上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。
由涡度的定义
v x
u y
，可得到用流函数来表
示的涡度表达式： 2 2 x2 y2
可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。
同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。
三、二维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即满足：
v x
u y
0
D
u x
v y
0
V V V
①②
①无辐散涡旋流 ②无旋辐散流
V V
•V 0
V 0
•V •V
V k
V
2
x
2
2
y 2
2
x
2
2
y 2
D
V k
u
y x v
x y
上式为大气动力学中广泛采用的形式。
课 后习 题
习题1-6-1 已知二维流速场为：
由流速场与势函数的关系可知：V
流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势 面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处 ，位势梯度小，相应的流速小。
例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如
图所示（其中，0 < 1< 2 ）的，请判断并在图
中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。
kdyl
x
(dyi
dxj )
/
dl
dl
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
Q
B A
y
dy
x
dx
或
Q B A
表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该
两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
（3）表征流体涡度
（1）减少表征流动的变量
（2）表征流体通量
在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线
流体自右侧向左侧的通量Q：
B
B
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V • n dl
A
A Vn dl
流速在曲线法向方向上的分量
曲线法向n方向k的单d位l 矢量定义为：
A
B
dl
而： dl i dx jdy
u ,v
引用流函数，并考虑：n
积分以上的全微分形式，可以得到：
=常数 x, y, t
对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。
流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢 的方向是相吻合的。
上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等
值线。
将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函
数线。
②引入流函数的优点
（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方 程，最终得到势函数。
二、速度流函数
①定义及存在条件 引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
流体运动
无辐散流 辐散流
•V 0
•V 0
考虑二维无辐散流动，即满足：
w0
u ux, y, t , v vx, y, t
u / x v / y 0
④ 势函数的求解 假如流体的散度为：D u v w x y z
根据势函数的定义有：2 D
其中， 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
为三维拉普拉斯算子。
可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方 程，即可求得势函数。
求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：
（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。
习题1-6-4 平面流动的流线方程为：dx / u dy / v ； 由流函数全微分 d vdx udy ；
当取 常值时，也可以得到 dx / u dy / v
试问两式是否等价？请说明理由？
本节总结
§6速度势函数和流函数 （概念、理解） ①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
①
u ax by v cx dy
u (2a x) y
②
v
b( x2
y2)
分别求势函数和流函数存在的条件。
习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无 旋条件的流动？如存在，请举例说明。
习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函 数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程) （2）等势函数线和等流函数线正交。