流函数和势函数公式
第15讲势流理论2
（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动
渗流力学课件第三章(复势)
dy dx
x
vx vy
y
沿流线，流函数的全微分也为零：
d dx dy 0 x y
（10）
则流线上任一点处的切线斜率为：
k2
dy dx
x
vx vy
y
k1k2
vx vy
vy vx
1
（11） （12）
所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭 调和函数。
（6）式积分有： L vydx vxdy
则Ψ 称为流函数， Ψ 为常数时表示流线方程，给 定不同的常数可得不同的流线。
由（6）式知渗流速度与流函数关系：
vx
y
vy
x
（7） 因渗流场为有势场，其旋度
i jk
rot v o
即
rotv x y z
y
v
S
M ds vy dx vx dy
在M点沿流线S取一微小增量
dS，则在x、y方向的增量为dx、
x
dy，由相似关系有：
dx dy vx vv
即 vydx vxdy 0 （4）
（4）为流线方程。
因无源渗流场中， divv 0
即
vx vy 0
x y
vx vy x y
vx ivy
v
即
v dw
dz
（15）
例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的 绝对值。
解： w(z) az C a(x iy) C1 C2i
ax C1 ay C2
5.7_流函数势函数
从水汽的输送来看,夏季印度风环流和南 夏季印度风环流和南 海夏季风是向江淮流域输送水汽的主要 通道。梅雨期内,中层大气中的水汽主要 中层大气中的水汽主要 是垂直上升运动对低层水汽的抬升作用, 是垂直上升运动对低层水汽的抬升作用
同时,低纬大洋上的水汽也可途经青藏高 低纬大洋上的水汽也可途经青藏高 原后再从西边界向东输入到江淮地区,它 原后再从西边界向东输入到江淮地区 的输送有可能增大江淮流域上空对流层 中层大气中的水汽含量,从而有利于强梅 中层大气中的水汽含量 雨在江淮流域的发生。 雨在江淮流域的发生
[4 ] 丁一汇. 天气动力学中的诊断分析方法 北京:科学出版 天气动力学中的诊断分析方法. 社,1989 ,293pp [5 ] 周玉淑. 梅雨锋系的空间结构特征 梅雨锋系的空间结构特征、形成机理及湿位涡 异常的研究. 中国科学院大气物理研究所博士学位论 文,2002 ,189pp [6 ] Gao Shouting ,Zhou Yushu ,Lei Ting. The structure features of the Meiyu front system. Acta MeteorologicSinica ,2002 ,16 :195～ ～204 [7 ] Xu Xiangde ,Miao Qiuju ,Wang Jizhi ,et al . Transport model at the regional boundary during the Meiyu period. Advances in Atmospheric Sciences ,2003 ,20 :333 :333～342 [8 ] 仪清菊,徐祥德. 不同尺度云团系统上下游的传播与 不同尺度云团系统上下游的传播与1998 年长江流域大暴雨. 气候与环境研究 气候与环境研究,2002 ,6 :129～145
《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式讲解
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρp=-1dVVdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-VdpdpdV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdVT=1VdT=-1dρρdT2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0t=ρ1+βt，其中β=1273。
3T=±μAdudy 或τ=TduA=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631E)⨯10-4f1∂p⎫x-ρ∂x=0⎪fr-1∂p=0⎫⎪ρ∂r⎪⎪4．欧拉平衡微分方程式： f⎪y-1∂pρ∂y=0⎪⎬和fθ-1∂pρ=0⎬ f1∂p⎪r∂θρ∂z=0⎪⎪⎪⎭f1∂p⎪z-z-ρ∂z=0⎪⎭欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0frdr+fθrdθ+fzdz=06pγ+z=C 或 p1γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz27p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式：ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r22g-z)；等压面方程式：ω2r22-gz=C；自由液面方程式：ω2r22-gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。
压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)AIxcycA或yD-yc=IxcycA。
当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 6411．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
流函数和势函数公式(一)
流函数和势函数公式(一)资深创作者列举流函数和势函数公式的相关公式，并进行例解释。
流函数公式二维空间中的流函数公式在二维空间中，流函数用于描述流体的运动状态。
对于二维流动，在直角坐标系下，流函数的公式可以表示为：ψ = ∫(Vx dy - Vy dx)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
ψ表示流函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = x*y和Vy = x^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x*y dy - x^2 dx)三维空间中的流函数公式在三维空间中，流函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，流函数可以表示为：ψ = ∫(Vx dy dz - Vy dx dz + Vz dx dy)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
ψ表示流函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x^2 dy dz - y^2 dx dz + z^2 dx dy)势函数公式二维空间中的势函数公式在二维空间中，势函数用于描述流体的势能分布。
对于二维流动，在直角坐标系下，势函数的公式可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
φ表示势函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = 2x和Vy = 3y。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(2x dx + 3y dy)三维空间中的势函数公式在三维空间中，势函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，势函数可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy + Vz dz)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
φ表示势函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(x^2 dx + y^2 dy + z^2 dz)总结：•流函数公式和势函数公式分别用于描述流体的运动状态和势能分布。
流函数与势函数.docx
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得du dv--- =—―dx dy平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:(1)dr dddy/流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为¥ r w 辛q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](SA A["字 + v(-务问二j (T -vdx)AB\(1屮=屮2_屮\A在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，dv du .----- —=0对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy口2 才屮 d 2i// 门VV=—r + —r=0也可得dx创即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为d 2u/ 1 du/ 1 d 2u/ c+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02二、速度势函数屮】对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
流体主要计算公式
1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。
1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。
1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。
1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。
1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。
1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。
19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。
1904年普朗特提出了边界层理论。
20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。
流体力学内涵不断地得到了充实与提高。
理想势流伯努利方程（3-14）或（3-15）物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。
（应用条件：“”所示）符号说明二、沿流线的积分1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有2.恒定流中流线与迹线重合：沿流线（或元流）的能量方程：（3-16）注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。
一般不同流线各不相同（有旋流）。
（应用条件：“”所示，可以是有旋流）流速势函数（势函数）观看录像>>•存在条件：不可压缩无旋流，即或必要条件存在全微分d直角坐标（3-19）式中：——无旋运动的流速势函数，简称势函数。
•势函数的拉普拉斯方程形式对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有：或（3-20）适用条件：不可压缩流体的有势流动。
点击这里练习一下极坐标（3-21）流函数1.流函数存在条件：不可压缩流体平面流动。
直角坐标连续性微分方程：必要条件存在全微分d y（3-22）式中：y——不可压缩流体平面流动的流函数。
适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流体力学中的流函数可以用来描述流体的速度场。
速度场表示流体在空间中各点的速度分布情况。
对于无旋的流动，可以引入流函数，流函数可以唯一地确定流线。
流线是流体在给定时刻通过各点的轨迹线。
在无旋的流动中，速度场可以通过流函数的梯度得到。
流函数可以按照如下公式定义：ψ=ψ(x,y,z)其中，ψ是流函数，表示速度场在其中一截面上的流函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
流函数满足拉普拉斯方程：∇²ψ=0其中，∇²是拉普拉斯算子，表示流函数对坐标的二阶混合偏导数的和，等于零表示流函数满足拉普拉斯方程。
流函数的物理意义是流线沿着这个函数的等值线的方向运动。
通过给定流函数值，可以确定流线的轨迹。
势函数是流体力学中另一个重要的数学工具。
势函数用来描述无旋的流动场中的速度场。
对于无旋的流动，速度场可以通过势函数的梯度得到。
势函数可以按照如下公式定义：φ=φ(x,y,z)其中，φ是势函数，表示速度场在其中一截面上的势函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
势函数满足亥姆霍兹方程：∇²φ=0势函数的物理意义是速度场是势函数的梯度。
通过给定势函数值，可以确定速度场的分布情况。
流函数和势函数是流体力学中流动的描述工具。
通过流函数和势函数，可以方便地描述流体的流动和速度场。
流函数适用于无旋流动，通过流函数的梯度可以得到速度场。
势函数适用于无旋流动，通过势函数的梯度可以得到速度场。
流函数和势函数是相互对偶的工具，二者之间有一个互逆的关系。
在实际应用中，流函数和势函数在求解流体问题中起着重要的作用。
通过流函数和势函数，可以方便地计算速度场和流线，从而解决各种涉及流体流动的问题。
总结起来，流函数和势函数是流体力学中用来描述流动的两个重要的数学工具。
流函数用来描述无旋流动的速度场，势函数用来描述无旋流动场中的速度场。
二者分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
流函数和势函数在解决流体流动问题中具有重要的作用。
流体力学主要公式及方程式
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：pp V V d d 1d d 1p ρρβ=-= 流体的体积弹性系数计算式：ρρd d d d pV p VE =-= 流体的体积膨胀系数计算式：TT V V d d 1d d 1T ρρβ-==2．等压条件下气体密度与温度的关系式：t βρρ+=10t ， 其中2731=β。
3．牛顿内摩擦定律公式：y u AT d d μ±= 或 yuA T d d μτ±== 恩氏粘度与运动粘度的转换式：410)0631.00731.0(-⨯-=EE ν 4．欧拉平衡微分方程式： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z p f y p f x pf z y x ρρρ 和 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z pf r p f r p f z r ρθρρθ 欧拉平衡微分方程的全微分式： )d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρ )d d d (d z f r f r f p z r ++=θρθ 5．等压面微分方程式： 0d d d =++z f y f x f z y x0d d d =++z f r f r f z r θθ6．流体静力学基本方程式：C z p=+γ或2211z p z p +=+γγ或2211z g p z g p ρρ+=+相对于大气时：Cz g p a m =-+)(ρρ 或2211)()(z g p z g p a m a m ρρρρ-+=-+7．水静力学基本方程式：h p p γ+=0，其中0p 为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：)(0gz ax p p +-=ρ；等压面方程式：C z g ax =+；自由液面方程式：0=+z g ax 。
注意：p 0为自由液面上的压力。
9．等角速度旋转液体静压力分布式：)2(220z gr p p -+=ωγ；等压面方程式：C z g r =-222ω；自由液面方程式：0222=-z g r ω。
流函数势函数
大气中充沛的水汽和水汽持续的输送是 形成强降水的必需条件,丁一汇等[3 ] 分 析了1998 年中国大洪水时期的全球水汽 背景,得到中国大洪水时期部分水汽收支 图像,揭示了水汽循环的一些规律。 由于2003 年强降水发生的区域和大环境 与1998 年不尽相同,分析对应时期的大范 围的水汽输送特征对理解2003 年江淮流 域暴雨洪涝的形成和维持也是有必要 的。
[4 ] 丁一汇. 天气动力学中的诊断分析方法. 北京:科学出版 社,1989 ,293pp [5 ] 周玉淑. 梅雨锋系的空间结构特征、形成机理及湿位涡 异常的研究. 中国科学院大气物理研究所博士学位论 文,2002 ,189pp [6 ] Gao Shouting ,Zhou Yushu ,Lei Ting. The structure features of the Meiyu front system. Acta MeteorologicSinica ,2002 ,16 :195～204
流函数、势函数的计算
1、对于无旋运动一定存在一个速度势 ，也称
势函数，该运动在任意方向的分速度即在此方 向的微分，对于x,y两个方向应有：
u
（1）
v
x y
只要找到势函数场，则与其对应 的无旋运动场的特点就清楚了。
2 2 u v D ( 2 2 ) 2 x y x y
（8）
实际工作中，常先规定一个误差标准值 运用(9)、（10）、(11)式反复迭代:
R =
n i,j
0
n i+1,j
in1, j in, j 1 2 2 ( 2 2 )in, j Di , j (9) 2 x y 2 x y
n i,j+1
流体力学4.4 简单流动的速度势、流函数及复势
第四章
不可压理想流体平面无旋流动
4.4若干简单流动的速度势
流体力学第四章
令通过原点的流函数及势函数的值为零，则
120
cos sin sin cos c c xV yV V x yV
i W V ze
cos sin sin cos cos sin W i xV yV i V x yV V i x iy
4C
相应的流动图谱如图4-4-7所示。
流体力学第四章
流体力学第四章
n
W Az
4.4.6 任意拐角绕流
已知复势
其中A 为实数,n >1/2
cos sin n in n
n
W Ar e
Ar n iAr n
cos sin n
n Ar n Ar n
此复势又可写成
与此相应的势函数与流函数为
上述复势代表下列物理平面上相交壁面上的流动（对
应为绕锐角或绕钝角的流动）。
流体力学第四章
这些复势除了均
匀流外，它们都
是具有奇点的复
势。
122《高等渗流力学》—势函数部分
y xa
y , θ 2 = arctg x+a
y y y y ' arctg = arctg x a x + a = C 0 θ 1 θ 2 = arctg xa x+a y2 1+ (x a )(x + a )
直角 坐标
y y x a x + a = C '' 0 y2 1+ (x a )(x + a )
4,无限大地层等产量一源一汇的渗流场
红色—流线 蓝色—等势线 X轴 —流线 Y轴 —等势线
6,等势线方程
( x a)2 + y 2 rB = = C0 为任意常数 令 2 2 rA ( x + a) + y
( x a ) + y C0 [( x + a ) + y ] = 0
2 2 2 2 2
1 + C02 2 2aC0 2 2 (x ) +y =( ) 2 2 1 C0 1 C0
x0
R
圆的方程……
6,等势线方程
1 + C02 2 2aC0 2 2 (x ) +y =( ) 2 2 1 C0 1 C0
x0
R
C0 = 1时,x0 → ∞, R → ∞, rA = rB
同理,可得流线方程为
整理
x +y
2 2
2a C0
''
y a2 = 0
配方,整理
a 2 x + y '' C0
2
'' 2 a 1 + C0 = '' C0
2
它是一个圆心都在y轴上的圆族方程,其圆心坐标为:
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式一、流函数的公式流函数是描述二维流动中速度分布情况的数学函数。
在笛卡尔坐标系下，流函数的公式可以表示为：Ψ(x,y)=Ψ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，Ψ表示流函数。
流函数的物理意义是沿着流线的流体质点速度分量的积分，即在流体的其中一位置，流函数的数值表示沿着该位置流线的任一质点在单位时间内浸入或流出以单位长度为界的穿过该位置的流线的质量。
在极坐标系下，流函数的公式为：Ψ(r,θ)=Ψ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，Ψ表示流函数。
流函数具有以下性质：1.流函数是速度场的偏微分方程的解；2.流函数在各处连续可微，即满足流函数的充要条件为满足连续性方程的速度场。
二、势函数的公式势函数是描述速度场的另一种数学函数。
在二维流动中，势函数的公式可以表示为：φ(x,y)=φ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，φ表示势函数。
势函数的物理意义是在流体中任意一点，流速的大小等于该点的势函数的梯度的模，即V=∇φ。
在极坐标系下，势函数的公式为：φ(r,θ)=φ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，φ表示势函数。
势函数具有以下性质：1.势函数是速度场的偏微分方程的解；2.势函数在各处连续可微，即满足势函数的充要条件为满足无旋条件的速度场。
三、流函数和势函数的关系υ=r∂Ψ/∂rυ=−1/r∂φ/∂θ其中，υ表示速度场的极坐标下的径向速度分量。
根据以上关系，可以得出以下推论：1.如果流函数为常数，则速度场满足旋度为零，即速度场满足无旋条件；2.如果势函数为常数，则速度场满足收敛性条件，即速度场满足连续性方程。
因此，流函数和势函数可以分别用于描述无旋的速度场和无散的速度场。
总结起来，流函数和势函数是描述二维流动中速度场的重要数学函数。
流函数描述流体沿流线方向的速度分布情况，势函数描述速度的梯度与流速的关系。
速度势函数和流函数课件
d dx dy dz
x y z
(udx vdy wdz)
(V d r )
d (V d r ) 0
Vd r 0
可知：（1 ）速度矢与等势面垂直。 （2 ）流动（或说速度矢）是从高位势 流向低位势。（3）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此 疏松的地方，速度值小。
2
② 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
9
流函数与体积通量：
图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在 该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是
平面运动比一般的空间运动简单，具体说来速度只有二个方向的 分量u,v，所有物理量只是x,y的函数。
4
在大气中，常用 XOY 平面运动作为大气运动的一种近似模型，前 提条件是：
研究的问题中XY方向的尺度 >> Z 方向的尺度，Z 方向的速度分量 及物理量沿Z方向的变化比起其它方向小的多，可以近似认为Z 方 向的速度分量为零，其它物理量沿Z方向的变化也为零。
势函数与散度：
散度：
势函数与速度分量：Biblioteka 称为 三维拉普拉斯算符，则：
是一个二阶偏微分方程—— 泊松方程
（Poisson），由此可得到【势函数】与【速度矢】之间的互求关
系。
3
流函数与平面运动：
【平面运动】需要满足下列两个条件： ① 在所有平行于某个A 面的平面上，流体质点的运动都是在该平面
上进行的。 ② 在A 面的垂线上，各物理量都相等。 若取A 面为XOY平面，z 轴垂直向上，以上两个条件就是：
常用化学状态函数公式总结
常用化学状态函数公式总结化学状态函数是描述物质在不同状态下物理性质的数学表达式。
以下是一些常用的化学状态函数及其公式的总结：1. 内能（U）：- 内能是系统状态的函数，与系统所经历的过程无关。
- 公式：\[ \Delta U = Q - W \]- 其中，\( Q \) 是系统吸收的热量，\( W \) 是系统对外做的功。
2. 焓（H）：- 焓是系统在恒压条件下的能量状态函数。
- 公式：\[ H = U + PV \]- 其中，\( P \) 是压力，\( V \) 是体积。
3. 熵（S）：- 熵是描述系统无序程度的状态函数。
- 公式：\[ \Delta S = \int \frac{dQ}{T} \]- 其中，\( T \) 是温度，\( dQ \) 是微小的热量变化。
4. 吉布斯自由能（G）：- 吉布斯自由能是描述在恒温恒压条件下系统能量变化的状态函数。
- 公式：\[ G = H - TS \]- 在恒温恒压下，自发过程的方向是吉布斯自由能减少的方向。
5. 化学势（μ）：- 化学势是描述在恒温恒压下，不同组分的化学能量状态函数。
- 公式：\[ \mu_i = \left( \frac{\partial G}{\partial n_i}\right)_{T,P} \]- 其中，\( n_i \) 是第 \( i \) 种组分的摩尔数。
6. 活度（a）：- 活度是描述非理想溶液中组分的化学势与理想溶液的偏差。
- 公式：\[ \mu_i = \mu_i^0 + RT \ln a_i \]- 其中，\( \mu_i^0 \) 是标准状态下的化学势，\( R \) 是理想气体常数，\( T \) 是温度。
7. 热容（C）：- 热容是描述系统在恒温下吸收或释放热量时温度变化的状态函数。
- 公式：\[ \Delta H = C \Delta T \]- 其中，\( \Delta T \) 是温度变化。
流函数及势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
流函数与势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
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流函数和势函数公式
流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质
流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数
Ψ(x,y)定义为：
V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)
其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：
1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质
势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：
V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)
其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：
1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系
在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：
Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)
φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)
其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法
求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析
法和数值法。
4.1分离变量法
分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏
微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
常用的方法是使用偏微分方程
的分离变量法进行求解。
4.2解析法
解析法是通过推导流场的基本方程，建立适当的变量分布规律，并通
过求解极值问题来确定流函数和势函数。
解析法适用于简单的流动情况，
如圆柱绕流、理想气体压缩等问题。
4.3数值法
数值法是通过离散化流体运动的方程，将偏微分方程转化为代数方程，然后采用数值方法求解的方法。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法、经验公式法等。
综上所述，流函数和势函数是描述流体运动的重要概念。
通过流函数
和势函数的引入，可以简化流动问题的求解，并且满足流体的连续性和运
动方程。
选择适当的方法求解流函数和势函数，并应用于具体实际问题，
将会在流体力学领域有着广泛的应用和研究。