流函数与势函数
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
5.7_流函数势函数
从水汽的输送来看,夏季印度风环流和南 夏季印度风环流和南 海夏季风是向江淮流域输送水汽的主要 通道。梅雨期内,中层大气中的水汽主要 中层大气中的水汽主要 是垂直上升运动对低层水汽的抬升作用, 是垂直上升运动对低层水汽的抬升作用
同时,低纬大洋上的水汽也可途经青藏高 低纬大洋上的水汽也可途经青藏高 原后再从西边界向东输入到江淮地区,它 原后再从西边界向东输入到江淮地区 的输送有可能增大江淮流域上空对流层 中层大气中的水汽含量,从而有利于强梅 中层大气中的水汽含量 雨在江淮流域的发生。 雨在江淮流域的发生
[4 ] 丁一汇. 天气动力学中的诊断分析方法 北京:科学出版 天气动力学中的诊断分析方法. 社,1989 ,293pp [5 ] 周玉淑. 梅雨锋系的空间结构特征 梅雨锋系的空间结构特征、形成机理及湿位涡 异常的研究. 中国科学院大气物理研究所博士学位论 文,2002 ,189pp [6 ] Gao Shouting ,Zhou Yushu ,Lei Ting. The structure features of the Meiyu front system. Acta MeteorologicSinica ,2002 ,16 :195～ ～204 [7 ] Xu Xiangde ,Miao Qiuju ,Wang Jizhi ,et al . Transport model at the regional boundary during the Meiyu period. Advances in Atmospheric Sciences ,2003 ,20 :333 :333～342 [8 ] 仪清菊,徐祥德. 不同尺度云团系统上下游的传播与 不同尺度云团系统上下游的传播与1998 年长江流域大暴雨. 气候与环境研究 气候与环境研究,2002 ,6 :129～145
流函数及势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
流函数和势函数公式(一)
流函数和势函数公式(一)资深创作者列举流函数和势函数公式的相关公式，并进行例解释。
流函数公式二维空间中的流函数公式在二维空间中，流函数用于描述流体的运动状态。
对于二维流动，在直角坐标系下，流函数的公式可以表示为：ψ = ∫(Vx dy - Vy dx)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
ψ表示流函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = x*y和Vy = x^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x*y dy - x^2 dx)三维空间中的流函数公式在三维空间中，流函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，流函数可以表示为：ψ = ∫(Vx dy dz - Vy dx dz + Vz dx dy)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
ψ表示流函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x^2 dy dz - y^2 dx dz + z^2 dx dy)势函数公式二维空间中的势函数公式在二维空间中，势函数用于描述流体的势能分布。
对于二维流动，在直角坐标系下，势函数的公式可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
φ表示势函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = 2x和Vy = 3y。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(2x dx + 3y dy)三维空间中的势函数公式在三维空间中，势函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，势函数可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy + Vz dz)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
φ表示势函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(x^2 dx + y^2 dy + z^2 dz)总结：•流函数公式和势函数公式分别用于描述流体的运动状态和势能分布。
流函数与势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
流函数与势函数.docx
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得du dv--- =—―dx dy平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:(1)dr dddy/流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为¥ r w 辛q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](SA A["字 + v(-务问二j (T -vdx)AB\(1屮=屮2_屮\A在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，dv du .----- —=0对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy口2 才屮 d 2i// 门VV=—r + —r=0也可得dx创即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为d 2u/ 1 du/ 1 d 2u/ c+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02二、速度势函数屮】对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
速度势函数和流函数
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
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流函数与体积通量：
图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在 该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是
上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体 的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。
称为无辐散涡旋流(流函数对应)
称为无旋辐散流(势函数对应)
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速度矢的分解
已知速度矢，如何得到速度的分解： 1）根据速度求出涡度和散度，即： 2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与 涡度】的关系，如下： 这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数
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3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为：
（1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一 样的。对（1.76 ）积分，得： 上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线， 或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。
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注意：
① ②
流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
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流函数：
我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。即：
由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函 数写成ψ ，ψ 的全微分为：
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流体力学中的流函数可以用来描述流体的速度场。
速度场表示流体在空间中各点的速度分布情况。
对于无旋的流动，可以引入流函数，流函数可以唯一地确定流线。
流线是流体在给定时刻通过各点的轨迹线。
在无旋的流动中，速度场可以通过流函数的梯度得到。
流函数可以按照如下公式定义：ψ=ψ(x,y,z)其中，ψ是流函数，表示速度场在其中一截面上的流函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
流函数满足拉普拉斯方程：∇²ψ=0其中，∇²是拉普拉斯算子，表示流函数对坐标的二阶混合偏导数的和，等于零表示流函数满足拉普拉斯方程。
流函数的物理意义是流线沿着这个函数的等值线的方向运动。
通过给定流函数值，可以确定流线的轨迹。
势函数是流体力学中另一个重要的数学工具。
势函数用来描述无旋的流动场中的速度场。
对于无旋的流动，速度场可以通过势函数的梯度得到。
势函数可以按照如下公式定义：φ=φ(x,y,z)其中，φ是势函数，表示速度场在其中一截面上的势函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
势函数满足亥姆霍兹方程：∇²φ=0势函数的物理意义是速度场是势函数的梯度。
通过给定势函数值，可以确定速度场的分布情况。
流函数和势函数是流体力学中流动的描述工具。
通过流函数和势函数，可以方便地描述流体的流动和速度场。
流函数适用于无旋流动，通过流函数的梯度可以得到速度场。
势函数适用于无旋流动，通过势函数的梯度可以得到速度场。
流函数和势函数是相互对偶的工具，二者之间有一个互逆的关系。
在实际应用中，流函数和势函数在求解流体问题中起着重要的作用。
通过流函数和势函数，可以方便地计算速度场和流线，从而解决各种涉及流体流动的问题。
总结起来，流函数和势函数是流体力学中用来描述流动的两个重要的数学工具。
流函数用来描述无旋流动的速度场，势函数用来描述无旋流动场中的速度场。
二者分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
流函数和势函数在解决流体流动问题中具有重要的作用。
流函数势函数
大气中充沛的水汽和水汽持续的输送是 形成强降水的必需条件,丁一汇等[3 ] 分 析了1998 年中国大洪水时期的全球水汽 背景,得到中国大洪水时期部分水汽收支 图像,揭示了水汽循环的一些规律。 由于2003 年强降水发生的区域和大环境 与1998 年不尽相同,分析对应时期的大范 围的水汽输送特征对理解2003 年江淮流 域暴雨洪涝的形成和维持也是有必要 的。
[4 ] 丁一汇. 天气动力学中的诊断分析方法. 北京:科学出版 社,1989 ,293pp [5 ] 周玉淑. 梅雨锋系的空间结构特征、形成机理及湿位涡 异常的研究. 中国科学院大气物理研究所博士学位论 文,2002 ,189pp [6 ] Gao Shouting ,Zhou Yushu ,Lei Ting. The structure features of the Meiyu front system. Acta MeteorologicSinica ,2002 ,16 :195～204
流函数、势函数的计算
1、对于无旋运动一定存在一个速度势 ，也称
势函数，该运动在任意方向的分速度即在此方 向的微分，对于x,y两个方向应有：
u
（1）
v
x y
只要找到势函数场，则与其对应 的无旋运动场的特点就清楚了。
2 2 u v D ( 2 2 ) 2 x y x y
（8）
实际工作中，常先规定一个误差标准值 运用(9)、（10）、(11)式反复迭代:
R =
n i,j
0
n i+1,j
in1, j in, j 1 2 2 ( 2 2 )in, j Di , j (9) 2 x y 2 x y
n i,j+1
速度势函数和流函数
-地球物理流体力学》2012.02-05
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l 3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
-地球物理流体力学》2012.02-05
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拉普拉斯流动
l 满足以下条件的为【拉普拉斯流动】： ① 两维平面运动（u,v 不为零，w=0 ） ② 理想流体（不考虑粘性， 0 = μ） ③ 无辐散流（D=0 ）；无旋流
-地球物理流体力学》2012.02-05
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拉普拉斯流的特点：
l 特点一: 势函数和流函数都是调和函数 l 特点二：等势线与等流函数线垂直
-地球物理流体力学》2012.02-05
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证明：
l 因为：矢量与本身的叉乘恒为零，则： l 而拉普拉斯流动无旋无辐散，则速度矢：
l 因为是二维运动，则：
l 所以：
-地球物理流体力学》2012.02-05
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注意：
① 流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。
② 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
-地球物理流体力学》2012.02-05
无旋运动与势函数
l 1 、势函数存在的条件 l 无旋运动： l 按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零，
l 负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）
-地球物理流体力学》2012.02-05
1
梯度：
l 标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯 度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
流函数和势函数
流函数（stream function）和势函数（potential function）是描述流体力学中二维流场的数学工具。
流函数：流函数是一个标量函数，用于描述二维流场中的流线。
在一个二维平面上，流函数的等值线与流线垂直。
流函数在二维流场中具有以下性质：
流函数沿流线是常数，即在沿着同一流线的任意点上，流函数的值是相同的。
流函数的梯度与速度场之间有关系，即速度场的分量可以表示为流函数的偏导数。
势函数：势函数是一个标量函数，用于描述二维流场的速度势。
在一个二维平面上，速度场的梯度等于势函数的梯度。
势函数在二维流场中具有以下性质：
速度场可以通过势函数的梯度来计算。
速度场的旋度为零，即速度场是无旋场。
流函数和势函数之间存在一定的关系，这种关系由二维流场的速度分布决定。
在某些情况下，可以通过已知的流函数或势函数来计算出速度场。
流函数和势函数在流体力学和电磁学等领域中具有广泛的应用。
它们是求解流场问题和研究流体运动特性的重要数学工具。
122《高等渗流力学》—势函数部分
y xa
y , θ 2 = arctg x+a
y y y y ' arctg = arctg x a x + a = C 0 θ 1 θ 2 = arctg xa x+a y2 1+ (x a )(x + a )
直角 坐标
y y x a x + a = C '' 0 y2 1+ (x a )(x + a )
4,无限大地层等产量一源一汇的渗流场
红色—流线 蓝色—等势线 X轴 —流线 Y轴 —等势线
6,等势线方程
( x a)2 + y 2 rB = = C0 为任意常数 令 2 2 rA ( x + a) + y
( x a ) + y C0 [( x + a ) + y ] = 0
2 2 2 2 2
1 + C02 2 2aC0 2 2 (x ) +y =( ) 2 2 1 C0 1 C0
x0
R
圆的方程……
6,等势线方程
1 + C02 2 2aC0 2 2 (x ) +y =( ) 2 2 1 C0 1 C0
x0
R
C0 = 1时,x0 → ∞, R → ∞, rA = rB
同理,可得流线方程为
整理
x +y
2 2
2a C0
''
y a2 = 0
配方,整理
a 2 x + y '' C0
2
'' 2 a 1 + C0 = '' C0
2
它是一个圆心都在y轴上的圆族方程,其圆心坐标为:
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式一、流函数的公式流函数是描述二维流动中速度分布情况的数学函数。
在笛卡尔坐标系下，流函数的公式可以表示为：Ψ(x,y)=Ψ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，Ψ表示流函数。
流函数的物理意义是沿着流线的流体质点速度分量的积分，即在流体的其中一位置，流函数的数值表示沿着该位置流线的任一质点在单位时间内浸入或流出以单位长度为界的穿过该位置的流线的质量。
在极坐标系下，流函数的公式为：Ψ(r,θ)=Ψ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，Ψ表示流函数。
流函数具有以下性质：1.流函数是速度场的偏微分方程的解；2.流函数在各处连续可微，即满足流函数的充要条件为满足连续性方程的速度场。
二、势函数的公式势函数是描述速度场的另一种数学函数。
在二维流动中，势函数的公式可以表示为：φ(x,y)=φ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，φ表示势函数。
势函数的物理意义是在流体中任意一点，流速的大小等于该点的势函数的梯度的模，即V=∇φ。
在极坐标系下，势函数的公式为：φ(r,θ)=φ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，φ表示势函数。
势函数具有以下性质：1.势函数是速度场的偏微分方程的解；2.势函数在各处连续可微，即满足势函数的充要条件为满足无旋条件的速度场。
三、流函数和势函数的关系υ=r∂Ψ/∂rυ=−1/r∂φ/∂θ其中，υ表示速度场的极坐标下的径向速度分量。
根据以上关系，可以得出以下推论：1.如果流函数为常数，则速度场满足旋度为零，即速度场满足无旋条件；2.如果势函数为常数，则速度场满足收敛性条件，即速度场满足连续性方程。
因此，流函数和势函数可以分别用于描述无旋的速度场和无散的速度场。
总结起来，流函数和势函数是描述二维流动中速度场的重要数学函数。
流函数描述流体沿流线方向的速度分布情况，势函数描述速度的梯度与流速的关系。
流函数势函数-第一章
kdyl
x
(dyi
dxj )
/
dl
dl
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
Q
B A
y
dy
x
dx
或
Q B A
表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该
两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
（3）表征流体涡度
习题1-6-4 平面流动的流线方程为：dx / u dy / v ； 由流函数全微分 d vdx udy ；
当取 常值时，也可以得到 dx / u dy / v
试问两式是否等价？请说明理由？
本节总结
§6速度势函数和流函数 （概念、理解） ①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
（1）减少表征流动的变量
（2）表征流体通量
在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线
流体自右侧向左侧的通量Q：
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
流速在曲线法向方向上的分量
曲线法向n方向k的单d位l 矢量定义为：
A
B
dl
而： dl i dx jdy
u ,v
引用流函数，并考虑：n
由流速场与势函数的关系可知：V
流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势 面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处 ，位势梯度小，相应的流速小。
例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如
速度势函数和流函数
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拉普拉斯流的特点：
特点一: 势函数和流函数都是调和函数 特点二：等势线与等流函数线垂直
第19页1，9本讲稿共20页
证明：
因为：矢量与本身的叉乘恒为零，则：
而拉普拉斯流动无旋无辐散，则速度矢：
因为是二维运动，则减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 流函数还可以用来表示流体体积通量。
11 第11页，本讲稿共20页
流函数与体积通量：
图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在该线上 任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是
上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体的体 积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。
第12页1，2本讲稿共20页
流函数与涡度的关系
即流函数的二维拉普拉斯运算等于流体涡度的垂直分量
13 第13页，本讲稿共20页
一般的二维流动
（1 ）速度矢的分解
一般的二维流体运动，不一定无旋或无辐散，而是既有旋又有辐散， 此时我们可以把一般的二维流体运动的速度矢分成两部分，一部分是 有旋无辐散 ，另一部分是无旋有辐散 ，即有：
势函数与散度：
散度：
势函数与速度分量：
称为 三维拉普拉斯算符，则：
是一个二阶偏微分方程—— 泊松方程（Poisson），
由此可得到【势函数】与【速度矢】之间的互求关系。
第5页，5本讲稿共20页
流函数与平面运动：
【平面运动】需要满足下列两个条件：
① 在所有平行于某个A 面的平面上，流体质点的运动都是在该平面上进行的。
是可以由函数
的梯度来表示的，
这个函数
就称为速度矢
的【（位）势函数】。
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一、流函数
流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得
平面流动的流线微分方程为
式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即
于是
很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：
流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量q
v
通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为
在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，
对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：
也可得
即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为
二、速度势函数
对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流
动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有
对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知
即：
上式是成为某一函数的全微分
的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
当以t作为参变量时，即流体作定常流动时，速度势函数的全微分可写成
于是可以得到
写成矢量形式，有上式说明了速度势函数的一个基本性质：速度在笛卡尔直角坐标系
中三个坐标轴x、y、z方向上的分量等于速度势函数关于相应坐标的偏导数。
那么这一性质是否可以用于流场中任何方向呢？答案是肯定的，证明过程如下：
流场中任取一点M的速度为，它在方向s上的分量为V s。
由于流场中有速度势 存在，它关于方向s的偏导数为：
上式中、、和、、分别表示速度矢量和方向矢量对于x、y、z轴的方向余弦。
在圆柱坐标系下，径向速度、切向速度、轴向速度分别为：
速度势函数仅仅是一个数学上的概念，没有所对应的物理意义。
在定常流动中速度势与时间无关，仅是空间位置的函数。
当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，这种流动又被称为有势流动，即无旋流动等同于有势流动。
在有势流动中，沿曲线AB的切向速度线积分等于终点B与起点A的速度势之差。
沿任一曲线AB切向速度的线积分可写成
在有势流动中，沿任一封闭周线（A、B点重合）的速度环量为：
如果速度势是单值的和连续的，则沿任一封闭周线的速度环量等于零。
对于不可压缩流体，有，有
上式中为拉普拉斯算子。
当不可压缩流体作有势流动时，速度势满足拉普拉斯方程。
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。
由于拉普拉斯方程是线性齐次方程，该方程的不同解的叠加后仍然是该方程的解。
设和是调和函数，则（其中和为任意常数）也是调和函数。
因此，简单的调和函数可以叠加成复杂的调和函数，这为简单无旋流动的叠加提供理论基础。
对于圆柱坐标系，拉普拉斯方程变为
应当指出的是，速度势函数满足拉普拉斯方程的前提条件是不可压缩流体的无旋流动，而并未限制流动是定常或非定常，速度势函数ϕ也可以是时间的函数。
三、流网
对于不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同时存在
速度势函数ϕ和流函数ψ。
根据它们与速度分量u、v的关系，可以得到ϕ和ψ之间的重要关系式：
上式称为柯西-黎曼条件。
流函数线ψ=C1，ψ=X2…等，构成一簇流线，它们和等势线ϕ=K1,ϕ=K2…等构成一张描述平面流动特征的网，称为流网。
流线和等势线的交点为M。
在等势线上，有
由此可得等势线的斜率为
在流线上，有
由此可得流线的斜率为
可得到等势线和流线线簇的斜率的乘积
可见，在流线与等势线在其交点处相互正交。
习惯上，采用相等的流函数增量来画流线，用相等的速度势函数增量来画等势线，由及可知，流场中速度越大，则对应的流线之间及等势线之间的距离越小，因此，流网可以比较直观地描绘出流动的特征。