两点之间线段最短专题训练 ppt课件
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初三数学复习专题课件：两点之间线段最短的应用
结合图形和数学表达式，将抽象的数学问 题具体化，有助于理解和解答问题。
分类讨论
反证法
对于一些复杂的问题，根据不同的情况进 行分类讨论，可以更全面地考虑所有可能 的情况。
在解题过程中，有时可以通过反证法来证 明某个结论，这种方法可以有效地解决一 些难以直接证明的问题。
解题策略分享
01
02
03
04
理解题意
在开始解题之前，首先要仔细 阅读题目，理解题目的要求和
条件，明确问题的目标。
分析问题
对题目进行分析，找出关键信 息，并尝试将问题分解为更小
的部分，以便逐一解决。
寻找规律
在解题过程中，要注意寻找规 律，这有助于发现更有效的解
题方法。
归纳总结
在解决问题后，要对解题过程 进行归E的五个顶点分别为 A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)、D(7,5)、E(9,8)，点F是 直线DE外一点，连接AF、BF、CF、DF、EF，其 中哪条线段最短？为什么？
题目1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(1,3)、B(3,1)、C(5,4)、D(2,6)，点E是直线CD 外一点，连接AE、BE、CE、DE，其中哪条线段 最短？为什么？
复习目标
掌握两点之间线段最 短定理的基本概念和 证明方法。
培养学生的逻辑思维 和问题解决能力。
能够运用这个定理解 决实际问题，如最短 路径问题、时间最少 问题等。
02 两点之间线段最短的定义 与性质
定义解释
两点之间线段最短
在平面上，任意两点A和B之间的 所有连线中，线段AB是最短的。
定义证明
根据欧几里得几何，任意两点之 间的线段是两点之间所有连线中 最短的。
深入理解概念
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
《两点之间线段最短》课件
Floyd算法
1
算法步骤
深入了解Floyd算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析Floyd算法的时间复杂度。
3
算法优化
介绍一些对Floyd算法进行优化的方法。
分支界定算法
1
算法步骤
详细讲解分支界定算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析分支界定算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对分支界定算法进行优化，提高 效率。
时间复杂度分析
简单算法的时间复杂度如何？我 们来一起分析。
缺点与局限性
了解简单算法的缺点和局限性， 为后续算法做铺垫。
Dijkstra算法
1
算法步骤
详细介绍Dijkstra算法的执行步骤。
2
时间复杂度分析
分析Dijkstra算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对Dijkstra算法进行优化，提高效率。
2 如何根据实际问题选择合适的算法
提供一些建议，帮助你根据实际问题选择合适的算法。
3 未来发展方向展望
展望两点之间线段最短问题的未来发展方向。
《两点之间线段最短》 PPT课件
欢迎来到《两点之间线段最短》课件！本课程将介绍如何解决两点之间线段 最短问题，并深入探讨不同算法的优缺点以及适用场景。让我们一起开始吧！
问题描述
1 两点之间线段最短问题
我们将探讨什么是两点之间线段最短问题，以及为什么需要解决这个问题。
简单算法
勾股定理求解
使用勾股定理来计算两点之间的 距离。
综合比较
算法的时间复杂度和 空间复杂度对比
比较各算法的时间复杂度和空间 复杂度，找到最适合问题的算法。
两点之间线段最短PPT
线段的计算
长度计算
线段的长度等于两点之间的水平或垂直距离。
斜率计算
线段具有固定的斜率，斜率等于线段两端点之间 的高度差除以水平距离。
角度计算
线段与水平线之间的角度等于tan-1(斜率)，或者 使用三角函数计算。
线段的作图方法
确定端点
确定线段起止的两个点，可以是坐标系中的任意位置。
连接两点
使用直线或曲线工具连接两个端点，形成线段。
微积分
在微积分中，可以利用两 点之间的线段性质来研究 函数的增减性和极值问题。
理论证明中的应用
欧几里得几何
变分法
在欧几里得几何中，两点之间的线段 是唯一最短的路径，这是欧几里得几 何的基本公理之一。
在变分法中，可以利用两点之间的线 段性质来推导和证明最小作用量原理 和Euler-Lagrange方程等重要结论。
推论
如果存在一条曲线连接A和B，使 得曲线的长度小于线段AB的长度， 那么这条曲线是不存在的。
03
证明两点之间线段最短
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过几何图形，利用两点之间的直线段最短，可以直观地证明两点之 间线段最短。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数方法，通过建立坐标系，设两点坐标，然后计算两点之间各种路径的距离，最终推导出两点之间线段最 短。
两点之间线段最短
目录
• 引言 • 两点之间线段最短的定义 • 证明两点之间线段最短 • 两点之间线段最短的应用 • 两点之间线段最短的扩展知识
01
引言
主题引入
01
两点之间线段最短是几何学中的 基本定理之一，也是日常生活中 经常遇到的现象。
两点之间_线段最短精品PPT课件
点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多
少？
A
5
A
3
1
5
C
12
B ∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13.
B
课堂练习
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底
面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少
两点之间 线段最短
看图思考
为什么大家都喜欢走捷径呢？
绿地里本没有路，走的人多了… …
你来做一做
在纸上任意点两点，用线联接它们，量 一下它们的长短，比较一下谁最短？
得出结论：
两点之间，线段最短！
定义概念
两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成:两点之间,线段最短.
连接两点间的线段的长度,叫做这两 点的距离。
∴AB=13(m) .
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
一只蚂蚁要从正方体 的一个顶点A沿表面 爬行到顶点B，怎样 爬行路线最短？如果 要爬行到顶点C呢？
拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
蚊子 ●
举例一
●
壁虎
糖果
举例二
蚂蚁
蚊子
●
糖果
提分专题十二 利用“两点之间,线段最短”求最值中考复习课件
的中点，则 + 的最小值为____．
第2题图
（2）线段差最大问题
模型
展示
续表
问题：两定点 ， 位于直线 同侧，在直 问题：两定点 ，
线 上找一点 ，使 − 的值最大.
位于直线 异侧，在Fra bibliotek解决：根据三角形任意两边之差小于第三
直线 上找一点 ，
分析 之差小于第三边
针对训练
3.如图，在矩形 中， = 3 ， = 4 ，连接
， 是 的中点， 是 上一点，且 = 1 ，
是 上一动点，则 − 的最大值为(
A. 10 −
5
2
B.
85
2
5
C.
2
)
D.
√
13
2
第3题图
4.如图，已知 △ 为等腰直角三角形，
知， + 的最小值即为线段
的长，连接 交直线 于点
点 ，使得 + 的值最
小.
解决：将同侧点转化为异侧
即可解决
模型 对于“两定一动”线段和最小问题，利用两点之间，线段最短即可解
分析 决
针对训练
1.如图， △ 的面积为12， = ， = 4 ， 的
续表
要使 △ 的周长最小，即 + + 的值最小.根据两点之
间，线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可.分别作点 关
模型
于 ， 的对称点 ′ ， ″ ，连接 ′″ ，分别交 ， 于
分析
点 ， ，点 ， 即为所求， △ 周长的最小值即为线段
是 ∠ 内一点，在 上找一点 ， 上找一点 ，
课件_人教版数学八年级上册1 最短路径问题优秀精美PPT课件
A
B
于点C． 则点C 即为所求．
C
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
B'
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
A
在△AB′C′中，
·
AB′＜AC′+C′B′， ∴ AC +CB＜AC′+C′B．
C′ C
B
·
l
即 AC +CB 最短．
B′
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
利用了轴对称的有关知识， 把两点在直线同侧问题转化为 两点在直线异侧问题。从而用 “两点之间，线段最短”
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则A到B地的路程为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
13.4课题学习 最短路径问题 根据：两点之间线段最短.
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
三是实际背景问题，来求最优化问题．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
B
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，
A
所以AC+BC < AC′+B′C′.
由点 C′ 的任意性可知，ACቤተ መጻሕፍቲ ባይዱBC 的值是
C′ C
l
最小的，故点 C 的位置符合要求.
练习 4 如图,要在街道 l 设立一个牛奶站 O,向居民区 A,B 提供牛奶,
情况”.那么在直线 l 上使得满足
l
BC=B′C 的点应该怎么找呢？
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在 直线同一侧的问题吗？
作法：
B
(1) 作点 B 关于直线 l 的对
A
称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交
C
l
于点 C．则点 C 即为所求． 你能证明这
个结论吗？
B′
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
A
B
l
你可以将这个实际问题抽象为数学问题吗？
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在公路上找一点C，使AC+AB最短
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
变式训练：
某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，
现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所 大学的距离相等，到两条公路的距离也 等，请你确定该点。
A M
O
C
BN
如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相
等，并且点P在∠ACB的平分线上。
A
P
B C
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
求BC的长。
A
D E
B
C
有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学 校，要求学校到三个村庄的距离相等， 请你确定学校的位置。
A
B
C
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）. 现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向 这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所用 管道最短?
在煤气管道上找一点C，使AC+AB最短 B 小区
A小区
煤气主管
）
道）
要在公路L上修建一个站台，站台建在公路道的 什么地方，可使居民出行乘车所走的路程最短？
A
B
l是一条河流，河流同旁有两个村庄 A、B，现要在河上建一个抽水站，使 抽水站到两个村庄的距离相等。请问： 抽水站的位置在何处？
l
C
A
B
• 某地有两所大学M和N和两条相交叉的公路 OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望
仓库到两所大学的距离相等，到两条
公路的距离也相等，请你确定该点。
A
M
O
N
B
同侧问题
A C
A，
异侧问题
B
要在公路L上修建一个站台，站台建在公 路道的什么地方，可使居民出行乘车所走的 路程一样长？
在公路上找一点C，使AC=AB
异侧问题
A，B是路边两个新建小区，要在路边增设 一个公共汽车站。使两个小区到车站的路程最 短，该公共汽车站应建在什么地方？
在公路上找一点C，使AC+AB最短
求证：PA=PB=PC。
A
P
C B
结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点，这个点到三角形三个顶点 的距离相等。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂 直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2， 求∠B的度数。
C
EHale Waihona Puke BDA如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的
垂直平分线， △BCE的周长为26cm，
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
变式训练：
某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，
现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所 大学的距离相等，到两条公路的距离也 等，请你确定该点。
A M
O
C
BN
如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相
等，并且点P在∠ACB的平分线上。
A
P
B C
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
求BC的长。
A
D E
B
C
有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学 校，要求学校到三个村庄的距离相等， 请你确定学校的位置。
A
B
C
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）. 现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向 这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所用 管道最短?
在煤气管道上找一点C，使AC+AB最短 B 小区
A小区
煤气主管
）
道）
要在公路L上修建一个站台，站台建在公路道的 什么地方，可使居民出行乘车所走的路程最短？
A
B
l是一条河流，河流同旁有两个村庄 A、B，现要在河上建一个抽水站，使 抽水站到两个村庄的距离相等。请问： 抽水站的位置在何处？
l
C
A
B
• 某地有两所大学M和N和两条相交叉的公路 OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望
仓库到两所大学的距离相等，到两条
公路的距离也相等，请你确定该点。
A
M
O
N
B
同侧问题
A C
A，
异侧问题
B
要在公路L上修建一个站台，站台建在公 路道的什么地方，可使居民出行乘车所走的 路程一样长？
在公路上找一点C，使AC=AB
异侧问题
A，B是路边两个新建小区，要在路边增设 一个公共汽车站。使两个小区到车站的路程最 短，该公共汽车站应建在什么地方？
在公路上找一点C，使AC+AB最短
求证：PA=PB=PC。
A
P
C B
结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点，这个点到三角形三个顶点 的距离相等。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂 直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2， 求∠B的度数。
C
EHale Waihona Puke BDA如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的
垂直平分线， △BCE的周长为26cm，