材料力学弯曲变形(强度)
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学-第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
知识资料材料力学知识资料弯曲变形应力状态分析和强度理论(一)(新版)
需要课件请或弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。
（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。
沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。
v=f(x)2．转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。
小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。
(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。
挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。
积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来决定。
当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。
于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。
为了决定所有积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。
用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满意： 1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。
（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。
2．梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
3．叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。
中职机械计算梁的弯曲变形强度
知识链接 任务5 计算梁的弯曲变形强度
3、采用等强度梁
本模块小结
◇静力学介绍了物体的受力分析、力系的等效替换（或 简化）、建立各种力系的平衡条件等。
◇将工程结构和机械中的简单构件简化为一维杆件，计 算杆中的应力、变形，以保证结构能承受预定的载荷。
◇选择适当的材料、截面形状和尺寸，以便设计出既安 全又经济的结构构件和机械零件。
任务5 计算梁的弯曲变形强度
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力
2 .梁纯弯曲时的变形特点，如图2-2-31。 可得出平面假设：两横截面变形前为平面，变形后仍为平
面；横截面始终垂直于轴线；横截面无相对错动。 由平面假设可以判断纯弯曲梁横截面上只有正应力 ， 无 剪
应力。 中性层：梁内既不缩短也不伸长(不受压不受拉)的一层。中
任务5 计算梁的弯曲变形强度
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 4 .梁纯弯曲时正应力的计算公式
在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正 应力为:
任务5 计算梁的弯曲变形强度
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 4 . 梁纯弯曲时正应力的计算公式
在中性轴上y=0，所以σ=0；当y=ymax 时，σ=σmax。最大正 应力产生在离中性轴最远的边缘处。
性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 中性轴：中性层与横截面的交线。变形时横截面绕中性轴
旋转。
任务5 计算梁的弯曲变形强度
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 3 .梁纯弯曲时横截面上正应力的
分布规律
如图2-2-32所示，正应力分布规 律为：横截面上各点正应力的大小， 与该点到中性轴的距离成正比。中 性轴处正应力为零。
任务实施 任务5 计算梁的弯曲变形强度
(1)确定最大弯矩，由图2-30可知梁的最大弯矩为: (2)确定抗弯截面模量。 (3)校核强度。
材料力学教程-7.弯曲变形
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
吉林大学考研材料力学题型二：弯曲强度及变形
（2000）六、图示梁由三块等厚木板胶合而成，载荷P可以在ABC梁上移动。
已知板的许用弯曲正应力为[σ]=10Mpa，许用剪应力[τ]=1Mpa，胶合面上的许用剪应力[τ]胶=0.34Mpa，a=1m，b=10cm，h=5cm，试求许可荷载[P]。
（10分）
（2001）八、已知如图，（1）、试列出求解AB梁弯曲变形所需的挠曲线近似微分方程。
（不必积分）（2）、列出确定积分常数所需的全部条件。
（6分）
（2002）三、铸铁梁上作用有可移动的荷载P，已知：y1=52mm，y2=88mm，I z=763cm4，铸铁拉伸时的σb=120Mpa，压缩时的σb=640Mpa，安全系数n=4。
试确定铸铁梁的许可荷载P；并求τmax（10分）
（2003）八、列出求解AB梁弯曲变形所需的挠曲线近似微分方程（不必积分）；写出确定积分常数所需的全部条件；画出挠曲线的大致形状。
已知：q、a、弹簧刚度K，EI为常数。
（10分）
（2006）三、有一长L=10M，直径D=40CM的原木，[σ]=6MP A,欲加工成矩形截面梁，且梁上作用有可移动荷载F，试问：1、当H、B和X 为何值时，梁的承载能力最大？2、求相应的许用荷载[F]。
（15分）。
《材料力学》第六章-弯曲变形
当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
x1
l2 0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w Mx
EI
积分
挠曲线近似微分方程
w E 1IM xd x C
积分
转角方程
w E 1IM xd x CD x 挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
令
w1 10 F 2lx b12-F 6lb l2-b2 0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wm若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 -b2 3
wmax-
Fb 9
材料力学组合变形的强度计算第3节 弯曲与扭转的组合变形
1）外力分析
=
+
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— A+ 截面
M max Fl M T M B Fa
k、k 两点为危险点
M max
Wz
MT
WP
3）强度计算
危险点的应力是二向应力状态，轴类零件一般都采 用塑性材料——钢材，因此应选用第三或第四强度理 论建立强度条件，即：
r3
32
F
l2 πd 3
R2
[ ]
按第四强度理论得到强度条件为
r4 32 F
l 2 0.75 R2 πd 3
[ ]
例9-3 卷扬机结构尺寸如图所示，l = 0.8m，R =0.18m，AB轴径 d = 0.06m。已知电动机的功率 P = 22kW，轴AB的转速 n =150r/min，轴材料的许用
应力[ ] = 100MPa，试校核AB轴的强度。
解： 1）外力分析 — 计算电动机输入的力偶矩 M0
M0
9550
P n
9550 22 150
Nm
1.4
k
N m
卷扬机的最大起重量 G M0 1.4 kN 7.78 kN R 0.18
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— C_截面
1 3
2
2
2
2
2 0
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]
WZ
d3
32
，WP
弯曲强度单位
弯曲强度单位材料力学弯曲强度（抗弯强度）是指材料抵抗弯曲不断裂的能力，主要用于考察陶瓷等脆性材料的强度。
一般采用三点抗弯测试或四点测试方法评测。
其中四点测试要两个加载力，比较复杂；三点测试常用。
其值与承受的额定压力成正比。
又称挠曲强度或抗弯强度，在试件的两支点之间施加载荷，至试件破坏时的单位面积载荷值。
1.抗弯强度-特点机械性能：当材料受外力时表现出来的各种力学性能。
2.应力：当材料受外力时材料内部对外力的反应。
应力的大小用下述公式表示：应力（δ）＝作用（F）/材料单位面积（A），单位为Pa。
3.应变：当材料受外力作用时引起的形变。
应变的大小用下述公式表示：应变（ε）＝变化长度（△L）/初始长度（L）。
4.拉应力或张应力：材料受到拉伸时的内部应力。
5.压应力或压缩应力：材料受到压缩时的内部应力。
6.剪应力：材料受到切错作用力时，相互平行的部分发生滑动时的内部应力。
但当某一段材料或修复体受力时，往往是三种应力形式同时存在。
例如：咀嚼压力作用于固定桥时，桥体倪面受到的力为压应力，桥体的龈底则为拉应力，基牙修复体与桥体连接处为剪应力。
7.抗拉强度或抗张强度。
8.压缩强度或抗压强度：在试件上施加压缩载荷，至试件破坏时的单位面积载荷值。
9.弯曲强度：又称挠曲强度或抗弯强度，在试件的两支点之间施加载荷，至试件破坏时的单位面积载荷值。
10.硬度：材料抵抗其它硬物压入引起凹陷变形的能力。
常用的硬度单位有布氏硬度（HB或BHN），维氏硬度（Hv或VHN），洛氏硬度（HRA、HRC或RHN）奴氏硬度（HK或KHN）。
材料的表面硬度是其强度、比例极限、韧性、延展性及抗磨损、抗切割能力等多种性质综合作用的结果。
材料力学弯曲强度（抗弯强度）试验机，PY-H609弯曲挺度测定仪，深圳市普云电子有限公司11.冲击强度）：材料在冲击力作用下折断所需的能量。
12.延性和展性：延性是材料在拉力作用下不折断而经受恒久变形的能力。
展性是材料在压力作用不折断而经受恒久变形的能力。
挠曲强度和弯曲强度
挠曲强度和弯曲强度挠曲强度和弯曲强度是材料力学性能评估中两个重要的指标。
在材料受到外力作用下，当其形状发生变化时，会产生挠曲和弯曲两种形变方式。
挠曲和弯曲强度分别反映了材料在挠曲和弯曲状态下所能承受的最大外力大小。
本文将从挠曲和弯曲强度的定义、测量方法、影响因素等几个方面进行讨论。
一、挠曲强度的定义挠曲强度是指在弯曲时，材料断裂之前所能承受的最大应力。
挠曲强度是一个很重要的指标，对于弹性、刚性和韧性等方面的影响非常大。
在材料的挠曲强度达到一定的数值之后，材料就会发生塑性变形或者破断。
二、挠曲强度的测量方法挠曲强度的测量方法比较简单，一般可以采用悬臂梁实验来测量。
悬臂梁实验是指在一端固定的梁上，向梁的另一端施加一个外力，然后记录下梁的变形情况，通过计算来确定材料的挠曲强度。
1、三点弯曲法：用一个定力器夹住样品，然后在样品上施加向下弯曲的力，使其发生挠曲变形，然后观察样品的断裂情况，计算出挠曲强度。
三、挠曲强度的影响因素1、材料的性质：不同材料的挠曲强度不同，强度高的材料具有较好的受力性能。
2、试件的形状：试件的长宽比、悬挂长度等因素均会对材料挠曲强度产生影响。
3、试样制备工艺：如制备温度、加工方式、试样表面状态、制备工艺、试样尺寸等。
4、试样质量：试样的材质质量、断裂面形态、表面状态等也会影响挠曲强度的测试结果。
弯曲强度是材料在弯曲状况下所能承受的最大外载荷大小。
材料受到弯曲作用时，产生的应力分布不均匀，材料中心的应力最大，当应力超过材料弯曲强度时，材料就会破裂。
弯曲强度的测量方法与挠曲强度不同，需要用到一些特殊的设备和实验方法。
综上所述，挠曲强度和弯曲强度是材料受力性能评估的重要指标，通过不同的实验方法和计算公式可以衡量材料的性能。
同时，影响两者强度的因素也非常重要，实验人员需要选择适当的工艺和设备来保证测试结果的准确性。
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
材料弯曲强度
材料弯曲强度材料的弯曲强度是指材料在受到外力作用下，抵抗弯曲变形和破坏的能力。
它是材料力学性能中的重要指标之一，对于工程材料的选择和设计具有重要意义。
在实际工程中，我们常常需要对材料的弯曲强度进行测试和分析，以确保材料的可靠性和安全性。
材料的弯曲强度受多种因素影响，其中包括材料的组织结构、化学成分、加工工艺等。
在进行弯曲强度测试时，我们需要考虑这些因素，并采取相应的措施进行测试和分析。
首先，我们需要选择合适的测试方法和设备。
常用的测试方法包括三点弯曲测试和四点弯曲测试。
在进行测试时，我们需要根据具体情况选择合适的测试方法，并确保测试设备的精度和稳定性。
其次，我们需要准备好测试样品。
测试样品的准备需要严格按照标准规范进行，包括样品的尺寸、形状、表面处理等。
在样品准备过程中，我们需要注意避免引入人为因素，以确保测试结果的准确性和可靠性。
测试过程中，我们需要严格控制测试条件，包括加载速度、加载方式、环境温湿度等。
在测试过程中，我们需要实时监测样品的变形和破坏情况，并记录测试数据。
在测试结束后，我们需要对测试数据进行分析和处理，得出样品的弯曲强度指标。
最后，我们需要根据测试结果进行评估和应用。
根据样品的弯曲强度指标，我们可以对材料的选择和设计进行指导，以确保工程的可靠性和安全性。
总之，材料的弯曲强度是材料力学性能中的重要指标，对于工程材料的选择和设计具有重要意义。
在进行弯曲强度测试时，我们需要选择合适的测试方法和设备，准备好测试样品，严格控制测试条件，对测试结果进行分析和评估。
只有这样，我们才能得出准确可靠的测试结果，并为工程设计和实践提供有力的支持。
材料力学第四章弯曲变形
习题： 182页，5-11、13、15
第4章
弯曲变形
叠加法
§4-4 梁的刚度校核提高梁的刚度 的措施
1、梁的刚度校核
保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生 的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
wmax w l l
w 其中， 与 l
qmax q
第4章
弯曲变形
叠加法
2、提高刚度措施
除外加载荷外，梁的位移w、q还与梁的弯曲刚 度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高 刚度的措施有：
1）升高EI。 各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。
2）减少梁的跨度或增加支承。 如下图所示结构：
从以上两例题知: 转角及挠度方程中的积分常数C,D的几何意义为: C EIw ' x 0 EIq 0
D EIw0
θ0和w0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。 梁的刚度条件
wmax w
q max q
其中[q]称为许用转角；[w]称为许用挠度。
习题： 180页，5-2、3、5
Fl q B1 q C1 2 EI
2
（顺时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
对图b，可得D截面的挠度和转角为：
F
·
(b)
wD2
直线
wD 2
wD2
F 2l 3EI
F 2l 2 EI
3
qD2
qD2 BD qB 2
wB2
2
qD2
同理可得此时B截面的挠度和转角为：
wB 2
8Fl3 4 Fl 2 14Fl3 wD 2 q D 2 BD l （向下） 3EI 2 EI 3EI
材料力学课件—— 弯曲强度计算
q Ba YB QB左 B MB左
B左截面
C YA - QB左 0
qa 2 YAa - M B左 0
Q B左
YA
3 qa 2
M B左
1 qa2 2
（2）计算各截面内力（续）
qa 2
A
a
YA
q
Ba C YB
QB右 q
MB右B
aC
B右截面
QB右 - qa 0
M B右
qa
1 2
a
0
Q
B右
第五章 弯曲强度计算
第一部分 弯曲内力 (Bending forces)
第一节 概述 第二节 静定梁的基本形式 第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力 第四节 剪力图和弯矩图 第五节 剪力、弯矩和分布载荷间的关系 第六节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第七节 刚架的弯矩图、轴力图
第一节 概述
构件 （Component, Structural member） 杆 （bar） 梁 （beam）
RB
r
M0b/l M0a/l
m0/l
aM0= Par b
Ax C
B
RA
l
RB
Q
(+)
x
M
(+)
(-)
x
例 为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考 虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图所示。试 作轴的剪力图和弯矩图。
a
b
aP b
A
C
RA x
l
RB
aP b
A
C
RA x
l
RB
Q
(+)
qa
M B右
1 qa 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弯曲变形
F
1.绘制压板简图，如右图所示： 2.计算压板所受外力：
A
C
B
FNA 3.6kN
3.计算最大弯矩：
FNB 2.4kN
40 FNA
60 FNB
M max FNAl 3.6 103 40 10 3 144 N m y
4.计算截面C处的抗弯截面系数：
δ
W b 2 / 6 d 2 / 6 3 2
弯曲变形
56
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
思考与联系-2.校核梁的强度
弯曲变形
1.计算梁所受外力：
FA FB F 2
2.计算最大弯矩：
l Fl M max FA 2 4
3.计算抗弯截面系数：
W bh2 6
4.计算最大正应力：
F
A
B
l/2
l/2
7
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
相关知识
弯曲变形
❖一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 ▪ 梁纯弯曲的概念 ▪ 梁纯弯曲时的变形特点 ▪ 梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 ▪ 梁纯弯曲时正应力的计算公式
▪ 常用截面的I、W计算公式
❖二、梁纯弯曲时的强度条件
8
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
q=60kN弯/曲m变形
A
B
3m
+
67.5(kNm)
M
最大弯矩下降了：
67.5671.51.560.82 8 2%
梁内最大正应力同样 下降了82%。
27
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
28
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
29
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
10
机械基础-材料力学-弯曲变形
22002211//33//33
相关知识
弯曲变形
❖一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 ▪ 梁纯弯曲的概念 ▪ 梁纯弯曲时的变形特点 ▪ 梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 ▪ 梁纯弯曲时正应力的计算公式
▪ 常用截面的I、W计算公式
❖二、梁纯弯曲时的强度条件
11
机械基础-材料力学-弯曲变形
相关知识-梁纯弯曲的概念
内力
弯矩M 剪力F
正应力 切应力
M
纯弯曲: F =0 ， M≠0
横力弯曲：F≠0， M≠0
9
机械基础-材料力学-弯曲变形
弯曲变形
F
2021/3/3
相关知识-梁纯弯曲的概念
弯曲变形
Fa
C A
F F
- -F
a F 纯弯曲(Pure Bending)
D B
F+
x
M
x
-
-Fa
AB段纯弯曲(Pure Bending)
▪ 常用截面的I、W计算公式
❖二、梁纯弯曲时的强度条件
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
相关知识-梁纯弯曲时的强度条件 弯曲变形
弯矩最大的截
F
面就是危险截
面
A
h
其上下边缘各点的弯曲正 应力即为最大工作应力，
B
该点称为危险点。
l
max≤
M
max
max
M max Wz
≤
22
纵向线的伸长区，梁的宽度减少。
m a b n
m a b
n
12
机械基础-材料力学-弯曲变形
m a
b n
m
M
a
b
n
2021/3/3
相关知识-纯弯曲时的变形特点
弯曲变形
2、平面假设：
① 横截面变形后仍为平面。
② 横截面始终垂直于轴线。
③ 横截面无相对错动。
断定：纯弯曲梁横截面上只有 正应力，无剪应力。
M
① 纯弯曲时梁横截面上的正应力
➢ 利②用强正度应条力件强进度行条强件度校核并设计构件 ③ 提高梁的弯曲强度的一些措施
5
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
任务描述
❖ 确定压板厚度δ ▪ 已知：
• F=6kN • [σ]=110MPa
φ14
32 δ
弯曲变形
F
A
C
B
40 FNA
60 FNB
y
z 14 32
2021/3/3
弯曲变形
48
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
49
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
蔡甸汉江公路大桥 弯曲变形
110m+180m+110m预应力混凝土连续刚构桥
50
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
51
机械基础-材料力学-弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
22002211//33//33
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖知识链接 ❖思考与练习
① 将压板简化为受集中力作用的简支梁。 ② 作剪力图和弯矩图，确定危险截面。
③ 计算最大弯曲正应力，通过强度计算来确 定压板厚度。
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖知识链接 ❖思考与练习
确定压板厚 度。
F
A
C
B
40 FNA
60 FNB
δ
y
z 14 32
23
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
任务实施
矩形
b
实心圆
空心圆
z
d
z
Dd
z
y
I
z
bh3 12
ym
a
x
h 2
y
I
z
d 4
64
y
m
a
x
d 2
y
I
z
D 4
64
(1
4
)
D ymax 2
bh2 Wz 6
20
Wz
d 3
32
Wz
D3
32
(1
4
)
d D
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
相关知识
弯曲变形
❖一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 ▪ 梁纯弯曲的概念 ▪ 梁纯弯曲时的变形特点 ▪ 梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 ▪ 梁纯弯曲时正应力的计算公式
弯曲变形
考虑弯曲切应力强度，则梁高的最小值为：
max
3FS 2bhm
in
≤
[ ]
F
hmin
3F
2b[
]
x
F F
x
x l
40
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
400kN
弯曲变形
5m
900
200
400kN 5m
300
900
200
41
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
42
2021/3/3
弯曲变形
38
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
知识链接-采用等强度梁
F b
M (x)
h
max(x) W (x) [ ]
M (x) Fx
M
又 W (x) bh2 (x) 6
F
h(x)
6Fx
b[ ]
x
弯曲变形
l － Fl
39
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
中性层
中性轴
14
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
相关知识
弯曲变形
❖一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 ▪ 梁纯弯曲的概念 ▪ 梁纯弯曲时的变形特点 ▪ 梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 ▪ 梁纯弯曲时正应力的计算公式
▪ 常用截面的I、W计算公式
❖二、梁纯弯曲时的强度条件
15
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
内蒙古磴口黄河大桥
52
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
53
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
54
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖知识目标 ❖能力目标 ❖任务描述 ❖任务分析 ❖相关知识 ❖任务实施 ❖知识链接 ❖思考与练习
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
43
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
44
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
45
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
46
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/3/3
弯曲变形
47
机械基础-材料力学-弯曲变形
弯曲变形
在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面
z
h
b
z
z