三角形单元整理与复习.
2022-2023学年人教版八年级上册《全等三角形》单元复习
2022年人教版八年级上册第12章《全等三角形》单元复习一．全等三角形的性质1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED 2．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30B．27C．35D．403．已知△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A＝70°，∠B1＝50°，则∠C的度数为（）A．70°B．50°C．120°D．60°4．如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC ＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（）A．6cmB．8cmC．7cmD．5cm5．图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点AB．点BC．点CD．点D6．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝50°，AB＝18cm，则∠C′＝，A′B′＝．7．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝120°，∠F＝20°，则∠D＝°．8．如图，△EFG≌△NMH，EH＝2.4，HN＝5.1，则GH的长度是．9．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．10．如图所示，已知△ABE≌△ACD．（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．二．全等三角形的判定11．下列说法不正确的是（）A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等C．底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等D．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等12．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（）A．AC＝3，AB＝4，BC＝8B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2 C．∠C＝90°，AB＝90D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°13．如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD 的是（）A．∠C＝∠D＝90°B．∠BAC＝∠BADC．BC＝BDD．∠ABC＝∠ABD14．如图，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝85°，则∠E的度数是（）A．30°B．40°C．65°D．85°15．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（）A．EC＝FAB．DC＝BAC．∠D＝∠BD．∠DCE＝∠BAF16．如图，已知∠1＝∠2、AD＝AB，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE≌△ABC成立，则这个条件是．17．如图，点A，B，D在同一条直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90o，请你只添加一个条件，使得△ABC≌△DEB．（1）你添加的条件是．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定△ABC与△DEB全等的理是．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当△BPD与△CQP全等时，则点Q运动速度可能为厘米/秒．19．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．20．如图，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE．垂足为F．（1）线段BF＝（填写图中现有的一条线段）；（2）证明你的结论．三．全等三角形的应用21．利用全等三角形测量距离的依据是（）A．全等三角形的对应角相等B．全等三角形的对应边相等C．大小和形状相同的两个三角形全等D．三边对应相等的两个三角形全等22．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A．SSSB．ASAC．AASD．SAS23．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去24．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS25．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸到里边直接测，于是她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，那么△OAB≌△OCD理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边26．如图，把两根钢条的中点连在一起，就可以做成一个测量工件内槽宽AB的卡钳．其测量的依据是．27．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是米．28．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH＝∠FDH，ED＝FD＝a，EH＝b，则四边形风筝的周长是．29．公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB 于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？30．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE ＝CB；连接DE并测量出它的长度．（1）求证：DE＝AB；（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？四．角平分线的性质与判定31．已知EF是△EBC的角平分线，FD⊥EB于D，且FD＝3cm，则点F到EC的距离是（）A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm32．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定33．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A、B，若PA＝3，则PB＝（）A．2B．3C．1.5D．2.534．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3B．4C．5D．635．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点36．如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是．37．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是．38．如图，已知△ABC的周长是10cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝0.8cm，△ABC的面积为cm2．39．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．40．如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．41．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）DM⊥AM．参考答案一．全等三角形的性质1．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．2．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．3．解：∵△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A＝70°，∠B1＝50°，∴∠B＝∠B1＝50°，则∠C的度数为：180°﹣50°﹣70°＝60°．故选：D．4．解：∵△ABC≌△DCB，AC＝7cm，∴AC＝BD＝7cm．故选：C．5．解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．6．解：∵△ABC≌△A′B′C′，∠C＝50°，AB＝18cm，∴∠C′＝∠C＝50°，A′B′＝AB＝18cm，故答案为：50°；18cm．7．解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝40°，故答案为：40．8．解：∵△EFG≌△NMH，∴EG＝HN＝5.1，∴GH＝EG﹣EH＝5.1﹣2.4＝2.7，故答案为：2.7．9．解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，∴DF＝12﹣5＝7．10．解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BE＝6，DE＝2，∴CE＝4，∴BC＝BE+CE＝6+4＝10；（2）∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°．二．全等三角形的判定11．解：A、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以A 选项的说法正确；B、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，所以B选项的说法正确；C、底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等，所以C选项的说法正确；D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，所以D选项的说法不正确．故选：D．12．解：A、3+4＝7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；B、根据∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2能画出唯一△ABC，故此选项正确；C、根据∠C＝90°，AB＝90不能画出唯一三角形，故本选项错误；D、根据AC＝4，AB＝5，∠B＝60°不能画出唯一三角形，故本选项错误；故选：B．13．解：A、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；B、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；C、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；D、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；故选：D．14．解：∵AD＝BE，∴AB＝DE，且AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠FDE＝65°，∠C＝∠F＝85°，∴∠E＝180°﹣∠FDE﹣∠F＝30°，故选：A．15．解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°，∵DE＝BF，∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．故选：B．16．解：增加的条件为DE＝BC，理由：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∵AD＝AB，DE＝BC，∴△ADE≌△ABC不一定成立，故答案为：DE＝BC．17．解：（1）∵∠A＝∠CBE＝∠D＝90o，∴∠C＝∠DBE，当添加AB＝DE或BC＝BE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△DEB；当添加AC＝DB，则可根据“ASA”判断△ABC≌△DEB；（2）有（1）得判定△ABC与△DEB全等的理是“AAS”或“ASA”．故答案为AB＝DE或BC＝BE或AC＝DB；AAS”或“ASA”．18．解：∵AB＝16cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，∴BD＝×16＝8cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（10﹣2t）cm①当BD＝PC时，10﹣2t＝8，解得：t＝1，则BP＝CQ＝2，故点Q的运动速度为：2÷1＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝10cm，∴BP＝PC＝5cm，∴t＝5÷2＝2.5（秒）．故点Q的运动速度为8÷2.5＝3.2（厘米/秒）．故答案为：2或3.2．19．证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（ASA）．20．解：（1）BF＝AE，故答案为：AE；（2）证明：∵CF⊥BE，∴∠A＝∠BFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，在△AEB和△FBC中，，∴△AEB≌△FBC（AAS），∴BF＝AE．三．全等三角形的应用21．解：利用全等三角形测量距离的依据是全等三角形的对应边相等，故选：B．22．解：观察图形发现：AC＝DC，BC＝BC，∠ACB＝∠DCB，所以利用了三角形全等中的SAS，故选：D．23．解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．最省事的方法是应带③去，理由是：ASA．故选：C．24．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．25．证明：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD．故选：A．26．解：∵O是AA′，BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，∴∠AOB＝∠A′OB′．在△AOB和△A′OB′中，∵，∴△AOB≌△A′OB′（SAS），∴AB＝A′B′．故答案为SAS．27．解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝20．故答案为：20．28．解：△DEH和△DFH中ED＝FD，∠EDH＝∠FDH，DH＝DH∴△DEH≌△DFH∴EH＝FH＝b又∵ED＝FD＝a，EH＝b∴该风筝的周长＝2a+2b故填2a+2b29．解：∵∠DHC＝90°，∴∠AHD+∠CHB＝90°，∵DA⊥AB，∴∠D+∠AHD＝90°，∴∠D＝∠CHB，在△ADH和△BHC中，，∴△ADH≌△BHC（AAS），∴AD＝BH＝15千米，AH＝BC，∵A，B两站相距25千米，∴AB＝25千米，∴AH＝AB﹣BH＝25﹣15＝10千米，∴学校C到公路的距离是10千米．答：H应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米．30．（1）证明：在△CDE和△CAB中，，∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE＝AB；（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，∴AB＝8m．答：AB的长度是8m．四．角平分线的性质与判定31．解：∵FD⊥EB于D，且FD＝3cm，∴点F到EB的距离为3cm，∵EF是△EBC的角平分线，∴点F到EB和EC的距离相等，∴点F到EC的距离是3cm．故选：B．32．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：A．33．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，∴PB＝PA＝3，故选：B．34．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．35．解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．36．解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OPOP平分∠AOB，（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．37．解：过P作PE⊥OA于点E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2，∴点P到边OA的距离是2．故答案为2．38．解：连接OA，作OE⊥AB于点E，用OF⊥AC于点F，∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝0.8cm，∴OD＝OE＝OF＝0.8cm，∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC＝＝＝故答案为4．39．解：如图，点P为所作．40．证明：∵∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB，∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴OP平分∠MON．41．（1）AM平分∠DAB．证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵DM平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC＝MB，∴ME＝MB，∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．天天向上独家原创（2）DM⊥AM．证明：∵∠B＝∠C＝90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB，∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠1＝∠CDA，∠3＝∠DAB（角平分线定义）∴2∠1+2∠3＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AMD＝90度．即DM⊥AM．31/ 31。
人教版八年级数学上册第12单元全等三角形单元复习课件
精典范例
9.【例 1】如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边
长，则∠α 的度数为( C )
A．50°
B.58°
C．60°
D.62°
小结：全等三角形的对应角相等.
变式练习
16.如图，△ABC≌△AEF，且点 F 在 BC 上，若 AB＝AE，
∠B＝∠E，则下列结论错误的是( B )
A．AC＝AF B.∠AFE＝∠BFE C．EF＝BC D.∠EAB＝∠FAC
10.【例 2】(2020 北京模拟)已知△ABC≌△DEF，且△ABC
的周长为 20，AB＝8，BC＝3，则 DF 等于( C )
A．3
B.5
C．9
D.11
小结：全等三角形对应边相等.
13.【例 5】如图，点 B，E，C，F 在同一直线上，AB＝DE，
BE＝CF，AC＝DF，∠A＝62°，∠DEF＝40°，则∠F＝ 78°.
小结：由 BE＝CF 可得 BC＝EF，即可判定△ABC≌△ DEF(SSS)，再利用全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝62°， 再由三角形的内角和定理即可得出答案.
证明：(1)如图，过点 D 作 DH⊥AB 于 H，
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE＝DH， ∵BF∥AC，DE⊥AC，∴BF⊥DF， ∵BC 平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，
∴DH＝DF，∴DE＝DF，∴点 D 为 EF 的中点．
(2)∵BF∥AC， ∴∠C＝∠DBF，且∠CDE＝∠BDF，DE＝DF， ∴△DCE≌△DBF(AAS)，∴CD＝BD，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠D＝∠B.
(2)解：∵E，F 分别是 DC，BC 的中点，DC＝BC，
2024八年级数学上册第一部分期末单元复习复习1三角形习题课件新版新人教版
长，试证明：( a2＋ b2－ c2)2－4 a2 b2的值一定为负.
证明：( a2＋ b2－ c2)2－4 a2 b2
＝( a2＋ b2－ c2＋2 ab )( a2＋ b2－ c2－2 ab )
＝[( a ＋ b )2－ c2][( a － b )2－ c2]
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①当∠ DAF ＝4∠ D 时，∠ D ＝22.5°，
∴∠ ABO ＝2∠ D ＝45°.
②当∠ DAF ＝4∠ F 时，∠ F ＝22.5°，
则∠ D ＝67.5°，∴∠ ABO ＝2∠ D ＝
135°(不合题意，舍去).
OQ 上运动，点 B 在射线 OM 上运动，点 A ， B 均不
与点 O 重合.
(1)如图①， AI 平分∠ BAO ， BI 平分∠ ABO ，若∠ BAO
＝40°，求∠ AIB 的度数；
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解：∵ MN ⊥ PQ ，∴∠ AOB ＝90°.
∵∠ OAB ＝40°，
∴∠ ABO ＝90°－∠ OAB ＝50°.
明将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于
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75°
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10. 已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，其中 a ， b 满足｜ a
－7｜＋( b －2)2＝0， c 为奇数，则△ ABC 的周长
为
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湘教版数学八级上《第章三角形》单元复习与小结
湘教版数学八年级上册单元复习与小结第二章：三角形__ __ __一、知识构建二、知识点拨★考点1：三角形三边的关系三角形的任意两边之和第三边。
例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是〔〕A．1<C<5 B．4≤C≤6C．4<C<6 D．1<C<6★考点2：三角形的高、角平分线和中线①从三角形的一个向它的所在直线作，和之间的线段．．叫做三角形的高线，简称三角形的高；②在三角形中，一个角的与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线．段．叫做三角形的角平分线；③在三角形中，连接一个顶点和它的对边的线段．．叫做三角形的中线。
例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是〔〕A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是★考点3：三角形的内角和三角形的内角和等于。
例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=____。
★考点4：三角形按角分类三角形中，三个角都是的三角形叫做锐角三角形；有一个角是的三角形叫做直角三角形；有一个角是的三角形叫做钝角三角形。
例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？(1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC 是；(2)1123A B C ∠=∠=∠，则△ABC 是 (3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC 是★考点5：三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；②性质：三角形的一个外角等于。
例5：在△ABC 中，∠A 的外角是80°，则∠B+∠C=〔 〕A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°★考点6：命题与逆命题①一般地，对某一件事情做出的语句〔陈述句〕叫做命题，命题常写成“如果……，则……〞的形式，其中“如果〞引出的部分是，“则〞引出的部分是；②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，则这两个命题称为，其中一个叫做，另一个叫做。
三角形单元复习与巩固
三角形单元复习与巩固知识点一：三角形的有关的概念（一）三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的，相邻两边上的公共点叫做三角形的，相邻两边所组成的角叫做三角形的，简称三角形的 .注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：（1）三条线段；（2）不在直线上；（3）首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.（二）三角形的表示方法：“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC”.（三）三角形的分类不等边三角形（1）按边分类：底边和腰不相等的等腰三角形（2）按角分类：三角形三角形三角形三角形等腰三角形（四）三角形的三边关系（1）三边关系：三角形的任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：（1）这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；（2）三角形的三边关系是“”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线（一）三角形的高：从三角形的一个向它的对边所在的直线作，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 注意：（1）三角形的高线是一条；（2）锐角三角形的三条高都在三角形，三条高的交点也在三角形部；钝角三角形有两条高落在三角形的部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的 .（3）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的 .（二）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的的线段叫做三角形的中线.注意：（1）三角形的中线是一条；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积的三角形；（3）三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的 .（三）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：（1）三角形的角平分线是一条；（2）三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的.知识点三：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于.（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，n边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）. （二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.类型一：数学思想方法的应用（一）分类思想例1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°举一反三：☆【变式1】已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为 .【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种（二）转化思想例2．（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证.21EDCBA21EDCBA21EDCBA图1图2图321ECBAC21EDBA图4图5解析：举一反三：【变式1】如下图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝。
人教版四年级下册三角形单元复习教学设计
《三角形整理和复习》教学设计教学内容:义务教育课程标准实验教科书四年级下册第五单元《三角形的整理和复习》教学目标：1、通过系统地整理和复习，使学生进一步巩固三角形的有关知识点，加深对知识内在联系的认识，提高运用知识解决实际问题的能力。
2、通过系统地整理和复习，让学生初步掌握自主复习的一般方法，自主建构知识网络。
3、让学生在学习过程中，学会运用不同的思维方法解决同一个问题，体验成功，增强学好数学的信心。
教学重点：三角形高的画法和三角形内角和的应用。
教学难点：灵活应用各种知识解决三角形的有关问题.教学准备：课件教学过程一、整理与交流这一单元，你学会了什么？请学生把自己整理知识点的作品进行展示汇报（出示老师整理的复习提纲）PPT二、复习与应用由四个小组组长展示各块面的知识点,并出题考考大家.（一）复习三角形的特性（生1：下面由我和大家一起来复习“三角形的特性”这部分内容。
）PPT出示标题①三角形的意义.请同学说说什么样的图形是三角形？那么，这句话说得对吗？（重点突出“围成”）PPT②三角形的三边的关系.是不是任意的三条线段都能围成三角形呢？判断哪组中的三条线段可以围成三角形？（同桌交流并说一说你是怎样判断的）PPT通过汇报出示：三角形两边长度之和大于第三边。
③复习底和高.出示图，小明画了三角形的一条高，他画对了吗？ PPT追问什么是三角形的高？指着锐角三角形问有几条高？PPT 依次直角三角形（重点强调直角边互为底和高）PPT、钝角三角形（教师示范画钝角一条边上的高，它在三角形外边）各有几条高？PPT⑤复习三角形的稳定性（出示人字形房梁、三角形车架等）PPT 三角形在我们的生活中运用十分广泛，你能说说三角形的什么特性在我们生活中运用吗？同学们说的非常好，距今已有4500多年历史的古埃及金字塔中也运用了有关三角形的知识。
大家一起看大屏幕——PPT金字塔的基底是一个正方形，四个侧面的形状都是三角形，巧妙的运用三角形的稳定性特征将来自塔身的巨大压力均匀地分散开来。
全等三角形单元复习(一线三等角模型)课件 (共18张PPT)2023-2024学年人教版八年级上学期
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
第五单元三角形整理和复习(课件)四年级下册数学人教版
情况二：底是4厘米，另两条是腰 （18-4）÷2=7（厘米）
课堂练习
（一）填空。1、一个等腰三角形的一个底角是450， 它的顶角是（ ）度，这是一个（ ）三角形。2、 一个正三角形的周长是120厘米，它的每条边长是 （ ）厘米，每个角是（ ）度，它还是（ ）三 角形。3、把一个大三角形平均分成两个小三角形， 每个小三角形的内角和是（ ）度。4、在锐角三角 形中，任何两个内角的度数的和一定（ ）900。
课堂练习
（三）画图。 画一个三角形，标出它的边、角、顶点。
情况一：腰是8厘米，底是5厘米。 8+8+5=21（厘米） 情况二：腰是5厘米，底是8厘米。 5+5+8=18（厘米）
课堂练习
③一个等腰三角形周长是18厘米，一 条腰长6厘米，底是多少厘米？
18-6-6=6（厘米）
结论：等边三角形三条边相等
课堂练习
②一个等腰三角形周长是18厘米，其 中一条边长4厘米，另外两条边的长 度各是多少厘米？（从两种情况分析）
课堂练习
(二)、抢答题。（判断说理）1、一个三角形不 能有两个钝角。（ ）2、等腰三角形一定是 锐角三角形。（ ）3、由三条线段组成的图 形叫做三角形。（ ）4、钝角三角形只有一 条高。（ ）5、由2厘米、3厘米、5厘米这样 三根小棒可以围成一个三角形。（ ）6、自 行车的三角架是应用了三角形的稳定性的特性。 （）
小学数学四年级下册第五单元
《三角形》整理与复习
探究新知
探究新知
探究新知
探究新知
课堂练习
1、任何三角形中都有两个角。（ ）
2、钝角三角形中的两个锐角之和大于 90° 。( )
2022-2023学年初中数学北师大版七年级下册第四章三角形单元复习课课件
本章知识梳理
/
目 录
1.
目录
2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会 画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三 角形的对应边、对应角.
3． 如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列 结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4． 如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选 项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利 用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D
苏教版四年级数学下册第7单元《三角形、平行四边形和梯形》单元复习知识点归纳总结
一、三角形1.认识三角形:(1)生活中的三角形:生活中的三角形无处不在,如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。
生活中一些物体的包装盒的面,一些积木的面等都是三角形。
(2)画三角形:(步骤)①先画一条线段。
②再以第一条线段的一个端点为端点画第二条线段。
③最后连接另两个端点,围成封闭图形。
(3)三角形的特点:①三角形有3条边、3个角和3个顶点。
②三角形的3条边都是线段。
③三角形的三条线段要首尾相接地围起来。
(4)三角形的定义:三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。
(5)三角形各部分的名称:①围成三角形的三条线段就是三角形的边,每两条边所组成的角就是三角形的角,每个角的顶点就是三角形的顶点。
②三角形有3个顶点、3条边和3个角。
要点提示:三角形具有稳定性。
三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。
易错点:过同一条直线上的3个点不能画出三角形;围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上。
要点提示:如果有三条线段,而没有说是首尾相接围成的图形,就不是三角形。
(6)认识三角形的底和高:①从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
(7)三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。
①把三角尺的一条直角边与指定的底边重合。
②沿底边平移三角尺,直到另一条直角边与该底边相对的顶点重合。
③再从该顶点沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段,这条虚线段就是三角形的高。
④最后标上直角符号。
(8)解决问题:①运用类推法解决数三角形的问题:从三角形的一个顶点向对边引若干条线段,将三角形分成了若干个小三角形,所分成的三角形的个数与对边上的线段的条数相等。
如果对边被分成n段,则三角形有【n+(n-1)+(n-2)+…+1】个。
②运用分析法解决求用时最短的路线问题:要想使每次走的路线最短,就应从每个顶点向与对面路垂直的方向走,即点到对边的垂直线段最短。
2.三角形的三边关系:(1)在拼成的三角形中,任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。
单元复习01 三角形 2022-2023学年八年级数学上册单元复习过过过(人教版)(解析版)
单元复习01 三角形一、单选题1．（2022·湖南怀化·八年级期中）下列说法正确的是（）A．过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成（n﹣3）个三角形B．三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性没有利用价值C．将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°D．一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变【答案】D【分析】根据矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角和定理与外角和定理即可得到结论．【详解】A、过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成(n-2)个三角形，故不符合题意；B、三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性也有利用价值，故不符合题意；C、将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°或180°或360°，故不符合题意；D、一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键．2．（2020·湖北荆门·八年级期中）正六边形的对角线共有( )A．9条B．15条C．12条D．6条【答案】An（n-3）计算可得．【分析】根据对角线条数的公式12×6×（6-3）=9条，【详解】解：正六边形的对角线共有12故选：A．【点睛】此题考查了多边形对角线的计算公式，熟记公式是解题的关键．3．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）如图，将△ABC沿AC边所在直线平移至△EDF，ED交BC于点H，则①AE＝CF，②AB＝ED，③AB ED∥，④∠HCF＝∠HEC+∠B中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据平移的性质及三角形外角性质进行判断即可．【详解】由平移可知，AE=CF，AB=ED，AB ED∥，∠A=∠HEC，∵∠HCF＝∠A+∠B，∴∠HCF＝∠HEC+∠B，∴正确的有：①②③④，共4个．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，三角形外角性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．4．（2021·河北沧州·八年级期中）下图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形C ．M 表示三边均不相等的三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形D ．M 表示三边均不相等的三角形，N 表示等边三角形，P 表示等腰三角形【答案】D【分析】根据三角形按边分类得到三边都不相等的三角形和等腰三角形两类，其中等腰三角形分为腰与底相等的等腰三角形（等边三角形）和腰与底不相等的等腰三角形即可求解．【详解】解：三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形分为腰与底相等的等腰三角形（等边三角形）和腰与底不相等的等腰三角形两类． 故选：D【点睛】本题考查了三角形分类，熟知三角形分类标准是解题关键，注意对三角形分类要标准统一，做到不重不漏．5．（2022·广西来宾·八年级期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，则与∠A 互余的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A 互余的角．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高线，∴∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°，∴与∠A 互余的角有2个，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．6．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角△ABC 上，使得该三角板的两条直角边DE 、DF 恰好分别经过点B 、C ．若∠A ＝43°时，点D 在△ABC 内，则∠ABD +∠ACD 的值是( )A ．43°B ．47°C ．53°D ．57°【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝137°，∠DBC +∠DCB ＝180°﹣∠BDC ＝90°，进而可求出∠ABD +∠ACD 的度数．【详解】解：在△ABC 中，∵∠A ＝43°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣43°＝137°，在△DBC 中，∵∠BDC ＝90°，∴∠DBC +∠DCB ＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD +∠ACD ＝137°﹣90°＝47°；故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．7．（2021·福建·厦门市湖里中学八年级期中）如图，在ABC 中，50A ∠=︒，60C ∠=°，BD 平分∠ABC ，则∠DBC 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．70°【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得70ABC ∠=︒，利用角平分线计算即可得出结果．【详解】解：∵50A ∠=︒，60C ∠=︒，∴18070ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴1352DBC ABC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查利用角平分线计算和三角形内角和定理，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．8．（2022·贵州贵阳·八年级期末）如图，在ABC 中，85B ∠=︒，40ACD ∠=︒，AB ∥CD ，则ACB ∠的度数为（ ）A ．90°B ．85°C ．60°D ．55°【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠ACD =40°，∴∠A =∠ACD =40°，∴∠ACB =180°-∠A -∠B =180°-40°-85°=55°，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键．9．（2021·广东·道明外国语学校八年级阶段练习）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．梯形B ．长方形C ．等腰三角形D ．平行四边形 【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【详解】解：根据题意，等腰三角形具有稳定性，其他四边形都没有稳定性；故选：C【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．10．（2021·湖南株洲·八年级期中）如图，线段AD 把ABC 分成面积相等的两部分，则线段AD是（）A．ABC的中线B．ABC的高C．ABC的角平分线D．以上都不对【答案】A【分析】作三角形ABC的高AE，根据三角形面积公式，分别表示出S△ABD和S△ACD，即可得出BD=CD，即线段AD是三角形的中线．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，根据题意得：ABD ACDS S，∵12ABDS BD AE∆=⨯⨯，12ABDS CD AE∆=⨯⨯，∴1122BD AE CD AE⨯⨯=⨯⨯，∴BD=CD，∴线段AD是ABC的中线．故选：A【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分．11．（2021·重庆梁平·八年级期中）下列说法错误的是（）A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部D．三角形的高，中线和角平分线都有三条【答案】A【分析】根据三角形的角平分线、高、中线的定义判断即可．【详解】A、三角形的三条高的交点在三角形内部、外部或顶点上，本选项说法错误，符合题意；B、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；C、三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；D、三角形的高，中线和角平分线都有三条，本选项说法正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的角平分线、高、中线，解题的关键是根据三条高线可以交在三角形的内部或外部或一角的顶点上．12．（2021·北京市昌平区东方红学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF【答案】B【分析】利用三角形的高的定义可得答案．【详解】解：在△ABC中，BC边上的高为AE，故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．13．（2021·吉林·八年级期末）小东要从下面四组木棒中选择一组制作一个三角形作品，你认为他应该选（）组．A．2，3，5B．3，8，4C．2，4，7D．3，4，5【答案】D【分析】利用三角形的三边关系，即可求解．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：+=，不能组成三角形，不符合题意；A、235B、348+<，不能够组成三角形，不符合题意；+<，不能够组成三角形，不符合题意；C、247+>，能够组成三角形，符合题意．D、345故选：D【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边只差小于第三边是解题的关键．二、填空题14．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）如果多边形的内角和是2160º，那么这个多边形的边数是________．【答案】14【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n−2）·180°＝2160°，解得：n＝14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14．【点睛】此题考查了多边形内角和，比较简单，结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解是关键．15．（2022·湖南怀化·八年级期中）一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则它是_____边形．【答案】八【分析】根据题意可得这个多边形的内角和为33601080，再根据多边性的内角和定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：这个多边形的内角和为33601080，设这个多边形的边数为n，n-⨯︒=︒，∴()21801080解得：n=8，即它是八边形．故答案为：八【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和综合题，熟练掌握多边形的内角和与外角和定理，多边形的外角和等于360°是解题的关键．16．（2022·陕西延安·八年级期末）若一个正多边形的每个外角度数都为60°，则从该多边形的一个顶点一共可以引出___________条对角线.【答案】3【分析】根据多边形外角和均为360︒，结合题中条件求出正多边形的边数，进而根据对角线的构成特点即可得出结论．【详解】解：一个正多边形的每个外角度数都为60°，∴根据n边形的外角和均为360︒，这个正多边形为正六边形，∴根据对角线的定义，从该多边形的一个顶点出发引出对角线的话，除了它自己与自己，还有它与左右相邻的两点，共三个点的连线不能形成对角线，则从该六边形的一个顶点一共可以引出633-=条对角线，故答案为：3．【点睛】本题考查根据多边形外角和为360︒及外角度数求正多边形的边数，解决问题的关n-．键是掌握多边形一个定点引出的对角线条数为317．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．（4）ABC、ACD△、ADE这三个三角形的面积之比等于_______．【答案】 6 ABD △，ACD △，ADE ABC ，ACD △，ACE ACD △ BAD ∠ BC ：CD ：DE【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形；（2）观察图形可找到以线段AC 为公共边的三角形；（3）观察图形可知线段CD 所在的三角形以及BD 边所对的角；（4）通过111,,,222ABC ACD ADE S BC AD S CD AD S DE AD === 可得出结果． 【详解】（1）由图可知，图中三角形有△ABC 、△ADB 、△AEB 、△ACD 、△ACE 、△ADE ， ∴图中有6个三角形，由图可知，直角三角形有ABD △，ACD △，ADE ；（2）由图可知，以线段AC 为公共边的三角形是ABC ，ACD △，ACE ；（3）由图可知，线段CD 所在的三角形是ACD △，BD 边所对的角是BAD ∠；（4）111,,,222ABC ACD ADE SBC AD S CD AD S DE AD === ::::ABC ACD ADE S S S BC CD DE ∴=．故答案为：6；ABD △，ACD △，ADE ；ABC ，ACD △，ACE ；ACD △；BAD ∠；BC ：CD ：DE ．【点睛】本题主要考查三角形和直角三角形的识别，三角形的角以及面积比，属于基础题，熟练掌握三角形的概念是解题关键． 18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把一张直角△ABC 纸片沿DE 折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为_______．【答案】46°【分析】由题意得∠C ′＝90°，由折叠得∠CDE ＝∠C ′DE ，那么∠CDE ＝180°﹣∠1＝112°，故∠C ′DE ＝∠C ′DA +∠1＝112°，进而推断出∠C ′DA ＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2．【详解】解：由题意得：∠C ′＝90°， 由折叠得∠CDE ＝∠C ′DE ． ∵∠1＝68°，∴∠CDE ＝180°﹣∠1＝112°． ∴∠C ′DE ＝∠C ′DA +∠1＝112°． ∴∠C ′DA ＝112°﹣68°＝44°． ∴∠2＝180°﹣∠C ′﹣∠C ′DA ＝46°． 故答案为：46°．【点睛】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．19．（2021·全国·八年级课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等于_______度． 【答案】18020．（2022·全国·八年级）如图，E 为△ABC 的重心，ED ＝3，则AD ＝______.【答案】9【分析】根据重心的性质可求得AE=6，即可求得AD【详解】∵E为△ABC的重心，ED ＝3，∴AE＝2ED ＝6，∴AD＝AE ＋ED ＝6＝3＝9 【点睛】本题考查重心的性质，解题的关键是掌握重心的性质.21．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，如果2AD BC =，那么:BC AB 的值是________． 【答案】14【分析】画出图形，根据中线的定义结合题意可得4AB BC =，即得出1:4BC AB =．【详解】如图，∵CD 是AB 边上的中线， ∴2AB AD =． ∵2AD BC =， ∴4AB BC =， ∴1:4BC AB =．故答案为：14【点睛】本题考查三角形中线的定义．掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段是解题关键．22．（2022·广西河池·八年级期末）若ABC 中，ACB ∠是钝角，AD 是BC 边上的高，若2AD =，2BC =，则ABC 的面积等于______．【答案】2【分析】根据三角形面积公式进行计算即可．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高，2AD =，2BC =，∴12222ABC S ∆=⨯⨯=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．23．（2022·湖北咸宁·八年级期末）若一个三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是___． 【答案】15【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的取值，即可求解． 【详解】解：设该三角形的第三边的长为x ，根据题意得：5353x -<<+，即 28x <<，∵第三条边的长是整数， ∴x 取3，4，5，6，7， ∴第三边最长为7，∴该三角形周长的最大值是3+7+5=15． 故答案为：15【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．24．（2021·新疆和田·八年级期中）已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长x 的取值范围是____．若x 是奇数，则x 的值是______． 【答案】 17cm x cm << 3cm 或5cm【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长．【详解】解：设第三边长为x ，根据三角形的三边关系，得：4343x -<<+， 即17x <<，又∵三角形的第三边长是奇数， ∴满足条件的数是3或5， ∴x 的值是3cm 或5cm ．故答案为：17cm x cm <<；3cm 或5cm ．【点睛】本题考查三角形三边关系，一元一次不等式组的整数解，注意奇数这一条件．掌握三角形三边关系是解题的关键．三、解答题25．（2022·广西来宾·八年级期中）如果一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，那么这个多边形是几边形？求这个多边形的每一个内角是多少度．【答案】这个多边形是四边形，它的每一个内角是90°【分析】首先求得外角的度数，根据正多边形外角和=360°，利用360°除以外角的度数即可解决问题．【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，∴每个外角的度数是180°÷2=90°，则边数是360°÷90°=4．故这个多边形的每一个内角是90°，它是四边形．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，正确理解多边形的内角和是解本题的关键．26．（2020·湖北荆门·八年级期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：(1)如图1，请你计算出的∠ABC的度数．(2)如图2，若AE BC∥，请你计算出∠AFD的度数．【答案】(1)∠ABC＝75°(2)∠AFD＝75°【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数；（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，∵AE BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．一、单选题1．（2022·全国·八年级课时练习）数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路．如图是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论．这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（）A．建模思想B．分类讨论思想C．数形结合思想D．转化思想【答案】D【分析】根据题意即可得到结论．【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割成（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想，同理可得其他的做法也是将多边形转化为多个三角形，因此应用的是转化思想． 故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，数学思想，熟练掌握数学思想是解题的关键． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，数轴上-6，-3与6表示的点分别为M 、A 、N ，点B 为线段AN 上一点，分别以A 、B 为中心旋转MA 、NB ，若旋转后M 、N 两点可以重合成一点C （即构成△ABC ），则点B 代表的数可能为（ ）A ．-1B ．0C ．2.5D ．3【答案】C【分析】设B 代表的数为x ，则AC =3，AB 和BC 可以用x 表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x 的取值范围即可得到解答．【详解】解：设B 代表的数为x ，则由题意可得：AC=AM =3，AB=x -（-3）=x +3， BC=BN=NA-AB =9-(x +3)=6-x ，∴由三角形的三边关系可得： 363336x x x x +->+⎧⎨++>-⎩解之可得：0<x <3， 故选C ．【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题关键．果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC 中，M 是BC 上一点，则有ABM BMACM CM =，如图②，△ABC 中，M 是BC 上一点，且BM ＝14BC ，N 是AC 的中点，若△ABC 的面积是1，则△ADN 的面积是（ ）A ．320B ．310C ．38D ．920【答案】B【分析】连接CD，有中线的性质得S △ADN ＝S △CDN ，同理S △ABN ＝S △CBN ，设S △ADN ＝S △CDN ＝a ，则S △ABN ＝S △CBN ＝12，再求出S △CDM ＝34S △BCD ＝34×（12﹣a ）＝38﹣34a ，S △ACM ＝34S △ABC ＝34，然后由面积关系求出a 的值，即可解决问题．【详解】解：连接CD ，如图： ∵N 是AC 的中点， ∴ADN CDN S S ∆∆＝ANCN＝1， ∴S △ADN ＝S △CDN ， 同理：S △ABN ＝S △CBN ， 设S △ADN ＝S △CDN ＝a ， ∵△ABC 的面积是1， ∴S △ABN ＝S △CBN ＝12， ∴S △BCD ＝S △ABD ＝12﹣a ， ∵BM ＝14BC ，∴BMCM＝13， ∴BDM CDM S S ∆∆＝BM CM ＝13，ABM ACM S S ∆∆＝BMCM＝13， ∴S △CDM ＝3S △BDM ，S △ACM ＝3S △ABM ，∴S △CDM ＝34S △BCD ＝34×（12﹣a ）＝38﹣34a ，S △ACM ＝34S △ABC ＝34，∵S△ACM＝S四边形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，即：34＝38﹣34a+a+a，解得：a＝3 10，∴S△ADN＝3 10，故选：B．【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．教材P84页探究了三角形中边与角之间的不等关系如下：如图，在△ABC中，若AB>AC>BC，则∠C>∠B>∠A．若∠C>∠B>∠A，则AB >AC >BC．根据上述材料得出的结论，判断下列说法，不正确的是（）A．在△ABC中，AB >BC，则∠A >∠BB．在△ABC中，AB >BC >AC，∠C=89°，则△ABC是锐角三角形C．在Rt△ABC中，若∠B=90°，则最长边是ACD．在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则AB=BC【答案】A【分析】根据三角形的边与角之间的关系对各选项进行分析即可．【详解】解：A、在△ABC中，AB>BC，则∠C>∠A，A说法错误，故A符合题意；B、在△ABC中，AB>BC>AC，∠C=89°，说法正确，则△ABC是锐角三角形，故B不符合题意；C、在Rt△ABC中，若∠B=90°，则最长边是AC，说法正确，故C不符合题意；D、在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则∠C=55°，得∠A=∠C，则AB=BC，故D说法正确，故D不符合题意．故答案为A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理等知识点，解答的关键是三角形的内角和定理的掌握与应用．二、填空题5．（2022·北京昌平·八年级期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的______．【答案】不稳定性【分析】根据四边形的不稳定性，即可求解．【详解】解：它能伸缩是利用了四边形的不稳定性．故答案为：不稳定性【点睛】本题主要考查了四边形的不稳定性，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键．上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD ______（填“增大”或“减小”）________°．【答案】增大 10【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．7．（2022·上海市张江集团中学八年级期末）梯形的四条边长分别为4、5、6、7，这样不同形状的梯形可以画出___个．【答案】1【分析】假设存在上下底边长分别4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7分类讨论，再根据三角形三边关系判段即可得出结果．【详解】所示，假设存在上下底边长分别为4，5的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，6的平行四边形和一个三角形，则这个三角形三边长分别为7，6，1，+=617,∴这个三角形不存在，∴假设不成立，这个梯形不存在．假设存在上下底边长分别为4，6的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，则这个三角形三边长分别为7，4，1，527,+=∴这个三角形不存在，∴假设不成立，这个梯形不存在．假设存在上下底边长分别为4，7的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，则这个三角形三边长分别为7，4，1，+>537,∴这个三角形存在，∴假设成立，这个梯形存在．假设存在上下底边长分别为5，6的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，则这个三角形三边长分别为7，4，1，+<417,∴这个三角形不存在，∴假设不成立，这个梯形不存在．假设存在上下底边长分别为5，7的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，5的平行四边形和一个三角形，则这个三角形三边长分别为7，4，1，+=426,∴这个三角形不存在，∴假设不成立，这个梯形不存在．假设存在上下底边长分别为6，7的梯形，则将梯形分割为一个邻边长分别为4，6的平行四边形和一个三角形，则这个三角形三边长分别为7，4，1，+=415,∴这个三角形不存在，∴假设不成立，这个梯形不存在．综上所述，这样不同形状的梯形可以画1个，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角形三边的三边关系，应用分类讨论的思想是解决此题的关键．8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝____°．【答案】48【分析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°，则∠B4B3D=72°，由平行线的性质得出∠EDA3=∠B4B3D=72°，再由四边形内角和即可得出答案．【详解】设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6是正六边形，六边形的内角和=（6-2）×180°=720°，∴∠A 1A 2A 3=∠A 2A 3A 4= 720=1206︒︒， ∵五边形B 1B 2B 3B 4B 5是正五边形，五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠B 2B 3B 4= 540=1085︒︒， ∴∠B 4B 3D =180°-108°=72°，∵A 3A 4∥B 3B 4，∴∠EDA 3=∠B 4B 3D =72°，∴α=∠A 2ED =360°-∠A 1A 2A 3-∠A 2A 3A 4-∠EDA 3=360°-120°-120°-72°=48°， 故答案为：48．【点睛】本题考查了正六边形的性质、正五边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．．（2022·全国·八年级课时练习）如图，连接DE ，将A ∠沿DE 折叠得到A '∠，DA '交AC 于点F ，过点F 作FG DE ∥，交AB 于点G ，已知80GFC ∠=︒，20A ADE '∠-∠=︒，那么A ∠=______°．【答案】50【分析】由折叠可得A A ∠'=∠，由FG DE ∥可知80DEC GFC ∠=∠=︒，由DEC ∠为ADE 的外角，得出80DEC A ADE ∠=∠+∠=︒，故20A ADE A ADE '∠-∠=∠-∠=︒，得出20A ADE ∠-∠=︒ ， 80A ADE ∠+∠=︒ ，即可求出A ∠的度数．【详解】解：∵FG DE ∥，且80GFC ∠=︒∴80DEC GFC ∠=∠=︒∵DEC ∠为ADE 的外角∴80DEC A ADE ∠=∠+∠=︒由折叠可得A A ∠'=∠∴20A ADE A ADE '∠-∠=∠-∠=︒∴8020A ADE A ADE ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩解得：50A A '∠=∠=︒，故答案为：50．【点睛】本题考查图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角，解题的关键是找出题中的等量关系，利用方程思想来解决问题．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点O 是△ABC 的三条角平分线的交点，连结AO 并延长交BC 于点D ，BM 、CM 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角，直线MC 和直线BO 交于点N ，OH ⊥BC 于点H ，有下列结论：①∠BOC +∠BMC ＝180°；②∠N ＝∠DOH ；③∠BOD ＝∠COH ；④若∠CBA ＝∠CAB ，则MN ∥AB ；其中正确的有 _____．（填序号）【答案】①③④【分析】由平分可知：①∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，即∠OBM ＝90°，∠OCM＝90°，可知∠BOC+∠BMC＝180°；②利用外角定理，角平分线性质进行计算分析即可；③根据∠BOD＝∠BAD+∠1＝12∠BAC+12∠ABC＝12（180°﹣∠ACB）＝90°﹣12∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣12∠ACB，可知∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则∠1＝∠2＝12∠BAC，由于∠N＝12∠BAC，可知∠1＝∠N，即MN∥AB．【详解】解：如图所示，延长AC与E，∵点O是△ABC的三条角平分线的交点，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∴∠2+∠3＝∠OBM＝90°，∠6+∠7＝∠OCM＝90°，∵∠OBM+∠OCM+∠BOC+∠BMC＝360°，∴∠BOC+∠BMC＝180°，故①正确；∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCE，∠N+∠2＝∠7，∴∠N＝∠7﹣∠2＝12∠BCE﹣12∠ABC，∵∠BCE＝∠ABC+∠BAC，∴∠N＝12∠BAC，∵∠ODH＝∠BAD+∠ABC＝12∠BAC+∠ABC，OH⊥BC，∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣12∠BAC﹣∠ABC，∵∠ABC+∠BAC≠90°，∴90°﹣12∠BAC﹣∠ABC≠12∠BAC，∴∠N ≠∠DOH ，故②错误；∵∠BOD ＝∠BAD +∠1＝12∠BAC +12∠ABC ＝12（180°﹣∠ACB ）＝90°﹣12∠ACB ，∠COH ＝90°﹣∠6＝90°﹣12∠ACB ，∴∠BOD ＝∠COH ，故③正确；∵∠CBA ＝∠CAB ，∴∠1＝∠2＝12∠BAC ，∵∠N ＝12∠BAC ，∴∠1＝∠N ，∴MN∥AB ，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查的是三角形与角平分线的综合运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．n 边形(n ≥3)的内角和是___________外角和是______正n 边形的每个外角的度数是______，每个内角的度数是___________ ． 【答案】 (2)180n -︒ 360︒ 360n ︒ 360180n︒︒- 【分析】根据多边形的内角和定理和外有和定理求解即可．【详解】解：n 边形(n ≥3)的内角和是(2)180n -︒n 边形(n ≥3)的外角和是360︒正n 边形的每个外角的度数是360n ︒的，每个内角的度数是360180n︒︒- 故答案为：(2)180n -︒；360︒；360n ︒；360180n ︒︒- 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和与外角．。
《第五单元三角形复习》教案
-三角形的两边之和大于第三边：理解并应用这一基本性质，判断三角形的成立。
-全等三角形的判定：掌握SSS、SAS、ASA、AAS等全等三角形的判定方法，并能灵活运用。
-等腰三角形的性质与判定：理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质及判定方法。
-勾股定理及其应用：熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长，解决实际问题。
此外，在课堂总结环节，虽然学生们表示对三角形的知识点有了更深刻的理解，但我认为自己在课堂上的提问和互动还可以进一步加强。在今后的教学中，我将更加关注学生的反馈，及时调整教学方法和节奏，提高课堂教学效果。
（8）三角形的面积计算。
二、核心素养目标
1.培养学生几何直观与空间想象能力，能通过观察、操作、推理等手段，理解三角形的性质与判定方法；
2.提升学生逻辑思维与分析问题的能力，掌握三角形内角和、勾股定理等基本概念，并能运用其解决实际问题；
3.培养学生运用数学语言进行表达与交流的能力，学会用准确、简洁的语言描述三角形的相关性质和定理；
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示勾股定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
全等三角形单元知识复习与总结
（2）全等三角形单元知识复习与总结一、概念：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.二、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 三、三角形全等的条件：注意：①ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆, ②ABC ∆沿直线BC 翻折0180，得到DBC ∆, ③ABC ∆旋转0180，得到AED ∆, 两三角形全等1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）.如图（2），△ABC ≌ △CDA ，则对应边是_____________，对应角是_______________；2. 已知ABC ∆≌'''C B A ∆，A 与'A ，B 与'B 是对应顶点，ABC ∆的周长为10cm ，AB =3cm ，BC =4cm. 则''B A ，''C B ，''C A3. 已知ABC ∆≌DEF ∆，A 与D ，B 与E 分别是对应顶点，052=∠A ， 067=∠B ，BC =15cm ，则F ∠= ，FE = cm.4、如图5所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD ≌△BAC 的条件是； ( ) A. ∠D ＝∠C ，∠BAD ＝∠ABC B ．∠BAD ＝∠ABC ，∠ABD ＝∠BAC C ．BD ＝AC ，∠BAD ＝∠ABC D ．AD ＝BC ，BD ＝AC5、如图6，E 、B 、F 、C 四点在一条直线上，EB=CF ，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是( )A.AB=DEB. DF ∥ACC. ∠E=∠ABCD. AB ∥DE6.如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？7.如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.8.如图所示，直线AD 、BE 相交于点C ，AC=DC ，BC=EC.求证：AB=DE9.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：AD=AE10.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2.求证：AB=ADAB FD第6第5题B11. 如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C.求证: ∠A=∠D12. 如图，△ABC ≌ ADE ∆，B ∠和D ∠是对应角，AB = AD 是对应边，写出另外两组对应边和对应角.13.如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ．求证：ABC DEF △≌△．14.如图：在△ABC 中，点D ，E 在BC 上，且AD=AE ，BD=CE ，∠ADE=∠AED ，求证：AB=AC.15.如图，C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，．求证：AB DE =．16.已知点A 、E 、F 、D 在同一条直线上,AE=DF,BF ⊥AD,CE ⊥AD, 垂足分别为F 、E,BF=CE,求证:AB ∥CD.17. 已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD ＝CD.求证：D 点在∠BAC 的平分线上 ABC FED CE BF DAA F E BD ABCBCDN18. 如图，△ABD ≌ △EBD , △DBE ≌ △DCE , B , E , C 在一条直线上. （1） BD 是∠ABE 的平分线吗？为什么？ （2） DE ⊥BC 吗？为什么？（3） 点E 平分线段BC 吗？为什么？19．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6，则△DEB 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1020.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的度数是 ．21. 如图，AB =CD ，AD =BC ，O 为BD 上任意一点，过O 点的直线分别交AD ，BC 于M 、N 点.求证：21∠=∠22.如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE.DC图1 图2图3E图5图6图4 23. 填空题：(1)如图1，已知:AC =DB ，要使ABC ∆≌DCB ∆，只需增加一个条件是_____ ____.(2)如图2,已知:ABC ∆中，090=∠C ，AM 平分CAB ∠，CM =20cm 那么M 到AB 的距离是 .(3)如图3,已知:在ABC ∆和DEF ∆中，如果AB =DE ，BC =EF ，只要找出∠ =∠ 或 = 或 // ，就可证得ABC ∆≌DEF ∆.（4）. 已知:如图4，AB =EB ，∠1=∠2，∠ADE =120°，AE 、BD 相交于F ，则∠3的度数为___ ___． （5）. 如图5, 已知：∠1 =∠2 , ∠3 =∠4 , 要证BD =CD , 需先证△AEB ≌△A EC , 根据是_________再证△BDE ≌△__ ____ , 根据是__ ________．（6）. 已知：如图6 , AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 , 则AD =___________．轴对称型【 知识点】证明三角形全等的思路：(ASA)(AAS)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 【 知识点】全等三角形的常见模型： 平移型翻折轴对称型旋转型大山型组合型（平移+旋转）等边三角型DCBAEDCBA EDBA ODCBADBAEDCBA ODCBA E父字型翻折型轴对称型蝶型EDBAFED BAEDCBA变式图1C变式图21、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D 不重合）， 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H 。
2022-2023学年八年级上册《三角形》单元复习
八年级上册第11章《三角形》单元复习一．三角形的三边关系1．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤82．三角形的两边长为6cm和3cm，则第三边长可以为（）A．2B．3C．4D．103．以下各组线段长能组成三角形的是（）A．1，5，6B．4，3，5C．2，5，8D．5，5，124．已知三条线段长度分别为1、2、4，能否组成三角形？．（填“能”或“不能”）．5．已知三角形的两边长分别是2cm和7cm，其周长的数值为偶数，则此三角形的周长为．6．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是．7．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c ﹣a﹣b|．8．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？二．三角形的高、中线及角平分线9．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．10．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（）A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN11．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线B．高线C．中线D．无法确定12．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点13．若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是三角形．14．如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是cm．15．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC 的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？16．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD 把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．三．三角形的内角17．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰直角18．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A．35°B．70°C．85°D．95°19．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC ＝（）A．60°B．100°C．120°D．150°20．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC ＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝°．21．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，根据三角形按角进行分类，这个三角形是三角形．∠A＝度．22．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A、点C都与点B重合，折痕分别为DE、FG，此时测得∠EBG＝36°，则∠ABC＝°．23．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，求∠BDC的度数．24．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝．（用含α、β的式子表示）四．三角形的外角25．如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．110°B．30°C．150°D．90°26．如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（）A．∠1＝∠A+∠BB．∠1＝∠2+∠AC．∠1＝∠2+∠BD．∠2＝∠A+∠B27．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75°B．105°C．135°D．165°28．如图，BC⊥ED于点O，∠A＝50°，∠D＝20°，则∠B＝度．29．如图∠1，∠2，∠3分别是△ABC的外角，则∠1+∠2+∠3＝°．30．如图，求x的值．31．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB 的度数．32．如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE 的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．五．多边形及其内角和33．内角和为720°的多边形是（）A．B．C．D．34．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°35．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．736．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形37．一个多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形共有条边．38．如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为．39．如图，已知正五边形ABCDE，连接BE，则∠CBE的大小为°．40．如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为．41．若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求多边形的边数．42．如图，五边形ABCDE的内角都相等，EF平分∠AED，求证：EF ⊥BC．43．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）“多边形内角和为2022°”，为什么不可能？（2）佳佳求的是几边形的内角和？（3）错当成内角和那个外角为多少度？44．如图所示：求∠A+∠D+∠B+∠E+∠C+∠F的度数．六．三角形的稳定性45．下列图形中不具有稳定性是（）A．B．C．D．46．下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三脚架D．放缩尺47．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．两定确定一条直线D．三角形的稳定性48．如图，木匠在做门框时防止门框变形，用一根木条斜着钉好，这样门框就固定了，所运用的数学道理是．49．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．50．如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状，说明三角形具有②四边形木架的形状说明四边形没有．参考答案一．三角形的三边关系1．解：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，解得：2＜c＜8，故选：C．2．解：设第三边为x，则3＜x＜9，所以符合条件的整数可以为4，故选：C．3．解：根据三角形任意两边的和大于第三边．A、1+5＝6，不能组成三角形，故本选项错误；B、4+3＝7＞5，能组成三角形，故本选项正确；C、5+2＝7＜8，不能够组成三角形，故本选项错误；D、5+5＝10＜12，不能组成三角形，故本选项错误．故选：B．4．解：根据三角形的三边关系，1+2＝3＜4，不能组成三角形；故答案为：不能．5．解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：7﹣2＜a＜7+2．即：5＜a＜9，∵2+7＝9，周长为偶数，∴第三边的长为奇数数，则a可以为7cm．∴三角形的周长是2+7+7＝16cm故答案为：16cm6．解：5﹣2＜a＜5+2，∴3＜a＜7．故答案为：3＜a＜7．7．解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c．8．解：（1）由三角形的构造条件，得2＜x＜10，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤4．（2）当x＝4时，三角形的周长最大，且最大值是4+6+4＝14．二．三角形的高、中线及角平分线9．解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．故选：A．10．解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，∴AN⊥BC，由垂线段最短可知，AM≥AN，故选：B．11．解：由于BD＝CD，则点D是边BC的中点，所以AD一定是△ABC的一条中线．故选：C．12．解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．故选：D．13．解：若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是钝角三角形．故答案为：钝角．14．解：如图，∵AC⊥BC，∴BD边上的高为线段AC．又∵AC＝4cm，∴BD边上的高是4cm．故答案是：4．15．解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．16．解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即，解得：，当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC＝48，AB＝28．三．三角形的内角17．解：设∠A＝∠B＝∠C＝x°，则∠B＝∠C＝2x°，根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，故该三角形为锐角三角形．故选：A．18．解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝35°．∵在△ABD中，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD．∴∠BDA＝180°﹣60°﹣35°＝85°故选：C．19．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵CD和BE是△ABC的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故选：C．20．解：∵∠BAC＝180°﹣66°﹣34°＝80°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝40°，∵∠ABC＝66°，AD是BC边上的高．∴∠BAD＝90°﹣66°＝24°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°．故答案为：16．21．解：设三角分别是a，2a，3a．则a+2a+3a＝180°，解a＝30°．所以三角分别是30°，60°，90°．故这个三角形是直角三角形，∠A＝30°．22．解：∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，∴∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，∵∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBG+∠EBG，∴∠ABC＝∠A+∠C+36°＝180°﹣∠ABC+36°，∴∠ABC＝108°，故答案为：108．23．解：∵∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣20°﹣25°﹣50°＝85°，在△BCD中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣85°＝95°．24．解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝×50°＝25°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；（2）∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝×（180°﹣70°）＝55°；（3）∠ABC＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣α﹣β），∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD═（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）＝（β﹣α）．故答案为（β﹣α）．四．三角形的外角25．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣20°＝110°，故选：A．26．解：∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＝∠A+∠B，A选项说法一定成立；∠1与∠2+∠A的关系不确定，B选项说法不一定成立；∠1与∠2+∠B的关系不确定，C选项说法不一定成立；∠2与∠A+∠B的关系不确定，D选项说法不一定成立；故选：A．27．解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：D．28．解：根据题意，在△AEO中，∠A+∠D＝∠BEO＝70°．在△BEO中，BC⊥ED，即得∠B＝20°．29．解：∵三角形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°，故答案为：360°．30．解：由三角形的外角性质可知，x+70＝x+x+10，解得，x＝60．31．解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝35°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．32．解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE 的平分线，∴∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∴2∠2＝2∠1+∠A，而∠2＝∠1+∠D，∴2∠2＝2∠1+2∠D，∴∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，（1）当若∠A＝50°，则∠D＝25°；（2）若∠A＝80°，则∠D＝40°；（3）若∠A＝130°，则∠D＝65°．（4）若∠D＝36°，则∠A＝72°，故答案为25°，40°，65°，72°；（5）综上所述，∠D＝∠A；五．多边形及其内角和33．解：依题意有（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．该多边形为六边形，故选：D．34．解：正十二边形的每个外角的度数是：，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故选：B．35．解：设所求正n边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：C．36．解：一个四边形沿对角线截一刀后得到的多边形是三角形，一个四边形沿平行于边的直线截一刀后得到的多边形是四边形，一个四边形沿除上述两种情况的位置截一刀后得到的多边形是五边形，故选：A．37．解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°＝30°，∴边数n＝360°÷30°＝12．故答案为：十二．38．解：设边数为n，根据题意，n＝72÷8＝9，则α＝360°÷9＝40°．故答案为：40°．39．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝，∵BA＝BC，∴∠ABE＝36°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，故答案为：72．40．解：连接BE．∵△CDM和△BEM中，∠DMC＝∠BME，∴∠C+∠D＝∠MBE+∠BEM，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F ＝∠A+∠F+∠ABE+∠BEF＝360°．故答案为：360°．41．解：设这个多边形是n边形，，解得：n＝2，答：这个多边形是12边形．42．证明：五边形内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．∵5个内角都相等，∴∠A＝∠B＝∠AED＝＝108°．∵EF平分∠AED，∴∠1＝∠2＝54°．∵四边形的内角和为360°，在四边形ABFE中，∠3＝360°﹣（108°+108°+54°）＝90°．∴EF⊥BC．43．解：（1）设多边形的边数为n，180°（n﹣2）＝2022°，解得，∵n为正整数，∴“多边形的内角和为2022°”不可能．（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2022°﹣y+x，∵﹣180°＜x﹣y＜180，∴2022°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2022°+180°，解得，又∵n为正整数，∴n＝13，n＝14．故佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和．（3）十三边的内角和：180°×（13﹣2）＝1980°，∴y﹣x＝2022°﹣1980°＝40°，又x+y＝180°，解得：x＝70°，y＝110°；十四边的内角和：180°×（13﹣2）＝2160°，∴y﹣x＝2160°﹣2022°＝140°，又x+y＝180°，解得：x＝160°，y＝20°；所以那个外角为110°或20°．44．解：由图可得，∠A+∠D+∠B+∠E+∠C+∠F的和正好是中间小三角形的三个外角之和，∵三角形的外角和是360°，∴∠A+∠D+∠B+∠E+∠C+∠F＝360°．六．三角形的稳定性45．解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然B选项中有四边形，不具有稳定性．故选：B．46．解：放缩尺是利用了平行四边形的不稳定性，而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选：D．天天向上独家原创47．解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故选：D．48．解：结合图形，为防止变形钉上一根木条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．49．解：根据三角形的稳定性，得如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．50．解：①由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；②四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．31/ 31。
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回忆本单元学习了哪些知识？
1、三角形的认识 (1)三角形的定义、组成 (2)三角形特性 (3)三角形的底和高 2、三角形三条边的大小关系 3、三角形的分类 4、三角形的内角和
什么叫三角形？
由三条线段围成的图形叫做三角形。 （每相邻两条线段的端点相连）
A
B
C
三角形有（ 3 ）条边，（ 3 ）个角，（ 3 ） 个顶点。三角形具有（稳定性边）三角形。 等边三角形的三条边 （ 相等 ），三个底角 （ 相等），都是（ 60 ） 度。 等边三角形是特殊的等腰三角形。
三角形内角和 180°
3
1
2
平角：1800
A
底
高 高 高 底
B
底
C
底 高
高
底
底
高
底 高
高 ∟ 底
底 高
任意三条线段都能围成一个三角形吗？
三角形任意两边之和要大于第三边。 简便判断方法：两条短边之和大于 最长边 。
有3根小棒，它们的 长度如下，能围成一个三角形吗？
1、3cm ，8cm， 5cm （×） 3 + 5=8 2、3cm ，1cm， 7cm （×） 3 + 1<7 3、4cm ，6cm， 3cm （√ ）
什么叫做高和底?
从三角形的（一个顶点 ）到它的对边 做一条（ 垂线 ），（ 顶点）和（ 垂足 ）之 间的线段叫三角形的高，这条对边叫做三 角形的（ 底）。 每个三角形都有（ 三 ）组底和高，每 一组的底和高都相互（垂直）。
小明画了三角形的一条高，他画的对吗？
顶点 高
×
一个三角形最多可以画几条高？
4 + 3>6
挑战自我
（1） 以长为3cm、5cm、7cm、10cm、 12cm的五条线段中的三条线段为边，可构 5 个三角形。 成____
锐角三角形 （ 3 ）个锐角 直角三角形 （ 1 ）个直角、 （ 2 ）个锐角，两个 锐角的和（ 等于 ）90° 钝角三角形 （ 1 ）个钝角、 （ 2 ）个锐角，两个 锐角的和（ 小于 ）90°
顶角
腰
有两条边相等的三角形 叫做（ 等腰）三角形。 腰 等腰三角形的两个底角 （ 相等）。
底角 底角
底
顶角
腰
腰
底角 底角
底
底角
根据顶角的不同，等腰 三角形可能是（锐角 ） 三角形、（直角）三角 形或者（ 钝角 ）三角 形。
腰
顶角
底 腰
底角 底角
顶角
腰
底角
腰
底
底角
腰
顶角
底
底角
有一个直角的等腰三角 形叫做（ 等腰直角 ） 三角形，它的每个底角 都是（ 45 ）度。