浙江省杭州二中10-11学年高二上学期期末试卷(数学理)
2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣5x +4≥0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{2，3}C ．{1，4}D ．{0，1，4}2．已知（2+i ）z ＝i ，i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．15B ．13C ．√55D ．√533．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(−1，1)，且（m a →−b →）∥（a →+b →），则m ＝（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．1±√324．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若双曲线左支上存在点P 使得|PF 2|=32c −2a ，则离心率的取值范围为（ ）A ．[6，+∞）B ．（1，6]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）5．已知2cos 2θ﹣cos θ＝1，θ∈（0，π），则|sin θ|＝（ ） A ．0B ．12C ．√32或0 D ．√326．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx +γ（x ∈N *，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（ ） A ．ln 30B ．ln 3C ．﹣ln 3D ．﹣ln 307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜14”是“cosα+sinβ＜14”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆C ：x 2﹣2x +y 2＝0与直线l ：y ＝mx +2m （m ＞0），过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A 和B ，若线段AB 长度的最小值为√2，则实数m 的值为（ ） A ．2√77B ．√77C ．√142D ．√147二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
10学年第一学期高二期末考数学卷(理)
杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考试数学试卷〔理〕时间 90分钟命题陈洁校对张先军审核孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，那么直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x 2．A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，以下条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++ 3．平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值〞，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B为焦点的椭圆〞，那么A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“假设220(,)a b a b R +=∈，那么0a b ==〞的逆否命题是A ．假设0(,)a b a b R ≠≠∈，那么220a b +≠ B ．假设0(,)a b a b R =≠∈，那么220a b +≠C ．假设0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，那么220a b +≠ D ．假设0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，那么220a b +≠ 5．βα,是两个不同平面，n m ,是直线，以下命题中不正确的选项是．．．．．．． A ．假设//m n ，m α⊥，那么n α⊥ B ．假设//m α，n αβ=，那么//m nC ．假设m α⊥，m β⊥，那么//αβD ．假设m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x y C ．149422=-x y D ．149422=-y x 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么2||PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，那么点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是．2 D ．29.四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形〔如图，其 中BC 为水平线〕，那么其侧视图的面积是A.2B.22 D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，假设M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，那么MO MT -与b a -的大小关系为 A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定 二．填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.11.假设焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，那么m =. 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13.在正ABC ∆中,D E 、分别为AB AC 、的中点,那么以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为. 14．假设,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，那么z x y =+的最小值为．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、分别为AC BD 、的中点，那么以下命题中正确的选项是〔将正确的命题序号全填上〕：①//EF AB ；②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直；③当四面体ABCD 的体积最大时，AC =；④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.二．填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在题中的横线上． 11． 12． 13． 14． 15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．〔本小题总分值12分〕圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点.〔1〕求证：OAB ∆的面积为定值；〔2〕设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，假设OM ON =，求圆C 的方程.17．〔本小题总分值12分〕曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l 的参数方程是2565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.〔1〕求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．〔本小题总分值12分〕如图，BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，2,3,BC CD ==3,AB E F =、分别为AC AD 、上的动点.〔1〕假设AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； 〔2〕假设1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．〔本小题总分值14分〕过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ． (1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标； (3)设APQ ∆的面积为S ，当SPQ最小时，求AQ AP ⋅的值． 杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考试数学答案〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 答案CDBDBDCDA B11．3212．280x y +-=1331 14．12-15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分.OQPA y x16．解：〔1〕由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． 〔2〕,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ．21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：〔1〕22:1,4x C y +=:260l x y +-= 〔2〕设(2cos ,sin )M θθ，那么M 到直线l的距离d =∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．〔1〕证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣12．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．53．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−234．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＜0，S 4＝S 8，则（ ） A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 12＝0D ．S n ≥S 76．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n ≥n+22（n ∈N *）的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，f （k +1）比f （k ）共增加了（ ） A ．1项B ．2k ﹣1项C ．2k +1项D ．2k 项7．若数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a na n +2，且a 1＝2，则a 2024＝（ ） A ．11012B ．22023C ．11011D ．220218．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．limΔx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则（ ） A ．数列{Sn n}是等差数列B ．数列{3a n }是等比数列C ．数列{lnT n }是等差数列D ．数列{T n+2T n}是等比数列 11．已知O 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线x =−p2作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B ．若直线l 过焦点F ，则PF ⊥QFC ．若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则直线l 过定点（4p ，0）D ．若OM ⊥ON ，则直线l 恒过点（2p ，0）12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 ．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为 ．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意正整数n都有a n+1＝a n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，b n=n−(−1)n a n，（n∈N*），若A={n|n≤100且T n≤100，n∈N∗}，求集合A中所有元素的和．22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣1解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以2p ＝4，即p ＝2，所以p2=1，所以准线方程y ＝﹣1，故选：D ．2．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5解：化圆x 2+y 2﹣4x ＝0为（x ﹣2）2+y 2＝4，得圆心坐标为（2，0），半径为2． 圆心到直线3x ﹣4y +9＝0的距离d =|6+9|√3+4=3．∴圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为d ﹣r ＝3﹣2＝1． 故选：A ．3．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−23解：因为A ，B ，C 三点不共线，点P 是平面α外一点，D 在平面α内， 由共面向量基本定理可得：存在唯一一对实数λ，μ，使得AD →=λAB →+μAC →， 即PD →−PA →=λ(PB →−PA →)+μ(PC →−PA →)，整理为PD →=(1−λ−μ)PA →+λPB →+μPC →， 与PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →相比较，可得{1−λ−μ=xλ=2−x μ=3x，解得x =−13．故选：C ．4．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2解：设BC 的中点为D ，则D （1，1，1），故AD →=(0，1，1)，则|AD →|=√2，即BC 边上的中线长为√2． 故选：B ．5．设{a n}是公差为d的等差数列，S n是其前n项和，且a1＜0，S4＝S8，则（）A．d＜0B．a7＝0C．S12＝0D．S n≥S7解：根据题意，{a n}是公差为d的等差数列，若S4＝S8，则S8﹣S4＝a5+a6+a7+a8＝0，变形可得：a6+a7＝0，则有a1+a12＝a6+a7＝0，又由a1＜0，则a12＞0，其公差d＞0，A错误；而a6+a7＝0，则a6＜0，a7＞0，B错误；Sn的最小值为S6，D错误；S12=(a1+a12)×122=0，C正确．故选：C．6．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（）A．1项B．2k﹣1项C．2k+1项D．2k项解：根据题意，证明f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22时，f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．故选：D．7．若数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a na n+2，且a1＝2，则a2024＝（）A．11012B．22023C．11011D．22021解：∵a n+1=2a na n+2，∴1a n+1=a n+22a n，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a1＝2，∴1a1=12，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+12(n−1)=12n，∴a n=2 n ，∴a2024=22024=11012．故选：A ．8．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]解：不妨设A 在第一象限，A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆O 与Γ的交点． 设Γ的左焦点为X ，则∠XOA ＝∠OAB +∠OBA ≥4∠OBA ，∠AFO =12∠XOA ≥2∠OBA ，即∠F AB ≥∠FBA ，F A ≤FB ，在圆O 上取一点C ，使FC ＝FB ，则FC ≥F A ， 由双曲线的定义知CX ﹣CF ≤2a （a 是实半轴长）， 即（2a +CF ）2≥CX 2＝4c 2﹣CF 2（c 是半焦距），代入CF =FB =c 2，得(2a +c 2)2≥4c 2−c 24，解得e ∈(1，2+2√157]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．lim Δx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 解：A ：lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)△x =−lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)−△x =−f ′（x 0），故A 错误；B ：lim△ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)2△ℎ=lim △ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)(t+△ℎ)−(t−△ℎ)=lim △ℎ→0f(t+2△ℎ)−f(t)2△ℎ=f ′（t ），故B 正确；C ：根据极限与导数的定义可判断C 正确；D：lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)f(x0+△x)−f(x0)=lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)△xf(x0+△x)−f(x0)△x=△x→0limg(x0+△x)−g(x0)△x△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=g′(x0)f′(x0)，故D正确．故选：BCD．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，正项等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．数列{S nn}是等差数列B．数列{3a n}是等比数列C．数列{lnT n}是等差数列D．数列{T n+2T n}是等比数列解：根据题意，设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则S n=d2n2+(a1−d2)n⇒S nn=d2n+(a1−d2)，依次分析选项：对于A，S nn−S n−1n−1=d2(n≥2)是常数，故A正确；对于B，易知3a n3a n−1=3a n−a n−1=3d(n≥2)是常数，故B正确；对于C，由lnT n﹣lnT n﹣1＝lnb n（n≥2）不是常数，故C错误；对于D，T n+2T n÷T n+1T n−1=b n+2b n=q2(n≥2)是常数，故D正确．故选：ABD．11．已知O为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线x=−p2作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切B．若直线l过焦点F，则PF⊥QFC．若M，N两点的纵坐标之积为﹣8p2，则直线l过定点（4p，0）D．若OM⊥ON，则直线l恒过点（2p，0）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l过焦点F（p2，0）时，设其方程为x＝ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣p2，所以x1+x2＝t（y1+y2）+p＝2pt2+p，对于选项A，线段MN中点坐标为（x1+x22，y1+y22），即（pt2+12p，pt），其到y轴的距离为pt2+12p，弦长|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p，因此以MN为直径的圆的半径为|MN|2=pt2+p≠pt2+12p，所以以MN 为直径的圆与y 轴不相切，即选项A 错误； 对于选项B ，由题意知，P （−p 2，y 1），Q （−p2，y 2），所以PF →⋅QF →=（p ，﹣y 1）•（p ，﹣y 2）＝p 2+y 1y 2＝p 2﹣p 2＝0，即PF ⊥QF ，故选项B 正确； 当直线l 不过焦点F （p2，0）时，设其方程为x ＝ty +m （m ≠0），联立{x =ty +m y 2=2px，得y 2﹣2pty ﹣2pm ＝0，所以y 1y 2＝﹣2pm ，所以x 1x 2=y 122p ⋅y 222p =4p 2m 24p2=m 2， 对于选项C ，若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则y 1y 2＝﹣2pm ＝﹣8p 2，所以m ＝4p ， 所以直线l 的方程为x ＝ty +4p ，过定点（4p ，0），即选项C 正确；对于选项D ，若OM ⊥ON ，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣2pm ＝m （m ﹣2p ）＝0， 因为m ≠0，所以m ＝2p ，所以直线l 的方程为x ＝ty +2p ，过定点（2p ，0），即选项D 正确． 故选：BCD ．12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17解：因为CQ →=CB →+BQ →=−AD →+2BA 1→=−AD →+2（AA 1→−AB →）＝﹣2AB →−AD →+2AA 1→， 所以QC →=−CQ →=−（﹣2AB →−AD →+2AA 1→）=AD →+2AB →−2AA 1→，故A 正确；如图以A 1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B （0，1，﹣1），D 1（﹣1，0，0），D （﹣1，0，﹣1），Q （0，﹣1，1），C （﹣1，1，﹣1），A （0，0，﹣1），P （1，﹣1，0），F （1，0，0），BD →=(−1，−1，0)，CQ →=(1，−2，2)，AD 1→=(−1，0，1)，CP →=(2，−2，1)，CF →=（2，﹣1，1），对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM →=λCQ →，λ∈[0，1]， 则BM →=BC →+CM →=（﹣1，0，0）+λ（1，﹣2，2）＝（λ﹣1，﹣2λ，2λ）， 所以BM →•BD →=−（λ﹣1）+2λ＝λ+1，所以当＝1时，(BM →⋅BD →)max =2，故B 正确； 对于C ：|CF →|=√22+(−1)2+12=√6，CF →⋅CQ →|CQ →|=222=2， 所以点F 到直线CQ 的距离d =√|CF →|2−(CF →⋅CQ→|CQ →|)2=√2，故C 错误；对于D ：因为cos ＜CQ →，AD 1→＞=CQ →⋅AD 1→|CQ →|⋅|AD 1→|=13√2=√26， 所以sin ＜CQ →，AD 1→＞=√1−(√26)2=√346，所以tan〈CQ →，AD 1→〉=√17，即异面直线CQ 与 AD 1所成角的正切值为√17，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ e sin x •cos x ． 解：根据题意，可得f '（x ）＝e sin x •（sin x ）′＝e sin x •cos x ． 故答案为：e sin x •cos x ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 3 ．解：平面内两定点A，B间的距离为3，设A（−32，0），B（32，0），P（x，y），由|PA||PB|=2，得√(x+3)2+y2√(x−2)2+y2=2，所以(x−52)2+y2=4，所以要使△P AB的面积最大，只需点P到AB的距离最大，如图所示：由图可知当点P到AB的距离h＝r＝2 时，△P AB面积的最大值，故S△P AB的最大值为12×3×2=3．故答案为：3．15．已知点P是抛物线y2＝4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为√22．解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），A（﹣1，0）在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得|PF|＝|PD|，在△P AD中，|PD||PA|=cos∠DP A＝cos∠P AF，所以|PD||PA|最小时，则cos∠P AF最小，则∠P AF最大，而∠P AF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P（x，y）在第一象限，y＞0，由y2＝4x可得y＝2√x，y'=√x，所以在P处的切线的斜率为√x =y−0x+1=2√xx+1，整理可得：2x＝x+1，解得x＝1，代入抛物线的方程可得y＝2，即P（1，2），所以|PF||PA|的最小值为|PD||PA|=√[1−(−1)]2+22=√22．故答案为：√2 2．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=2698．解：由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被4除所得的余数构成数列{b n}，可得数列{b n}的各项分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即数列{b n}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以数列{b n}在一个周期内的和为1+1+2+3+1+0＝8，因为2024＝337×6+2，所以∑2024i=1b i=337×8+b1+b2＝2698．故答案为：2698．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．解：（1）设切点为（x0，f（x0）），切线斜率k=f′(x0)=3x02−1，∴切线方程为y−(x03−x0+1)=(3x02−1)(x−x0)，∵所求切线过点A（1，0），∴−x03+x0−1=3x02−1−3x03+x0，解得：x0＝0或x0=3 2．当x0＝0时切线方程为y＝﹣x+1；当x0=32时切线方程为y=234x−234．（2）由f′（x）＝3x2﹣1＝2，解得x＝±1，∴B（1，1）或B（﹣1，1）．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．解：（1）由于圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点，故|r﹣3|＜5＜r+3，整理得：2＜r＜8，即r∈（2，8）．（2）∵OD＝r＝4，所以：x2+y2＝16，根据圆与圆的位置，CD＝3，OC＝5，所以△OCD为直角三角形，利用面积相等，所以DE=2⋅3⋅45=245．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）根据题意，n≥2时，a n=s n−s n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，故a n＝2n﹣1；（2）由（1）的结论，可知b n=2n⋅22n−1=n⋅22n=n⋅4n，故T n=b1+b2+⋯+b n=1⋅41+2⋅42+⋯+n⋅4n，可得4T n=1⋅42+2⋅43+⋅⋯⋅(n−1)⋅4n+n⋅4n+1，两式相减，得3T n=n⋅4n+1−(41+42+⋯+4n)=n⋅4n+1−1−4n1−4⋅4=n⋅4n+1−43⋅(4n−1)=(n−1 3)4n+1+43所以T n=(n3−19)⋅4n+1+49．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：由题意知，点O既是AC的中点，也是BD的中点，因为P A＝PC，PB＝PD，所以PO⊥AC∵PB＝PD，PO⊥BD⇒PO⊥AC又AC ∩BD ＝O ，AC 、BD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为坐标原点，OD ，OC ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （−√2，0，0），C （0，√2，0），P （0，0，1），E （2√23，0，13）， 所以PB →=(−√2，0，−1)，BC →=(√2，√2，0)，CE →=(2√23，−√2，13)， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，即{−√2x −z =0√2x +√2y =0， 取x ＝1，则y ＝﹣1，z =−√2，所以n →=(1，−1，−√2)， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|=|2√23+√2−√23|√89+2+19×2=2√69， 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2√69． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b n =n −(−1)n a n ，（n ∈N *），若A ={n|n ≤100且T n ≤100，n ∈N ∗}，求集合A 中所有元素的和．解：（1）由a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1，即a n +1﹣a n ＝n +1， 可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+2+3+...+n =12n （n +1）；（2）b n =n −(−1)n ⋅n(n+1)2，显然，当n 为偶函数，n −n(n+1)2＜0， T 2k =(1+2+⋯+2k)+12⋅[1⋅2−2⋅3+3⋅4−4⋅5+⋯+(2k −1)⋅2k −2k ⋅(2k +1)]=k ⋅(2k +1)+12⋅[−2⋅2−2⋅4−⋯−2⋅2k]＝2k 2+k ﹣（2+4+⋯+2k ）＝2k 2+k ﹣k （k +1）＝k 2，由k 2≤100， ∴k ≤10．则T 2，T 4，…，T 20满意题意；T 2k+1=k 2+(2k +1)+(2k +1)⋅(k +1)=3k 2+5k +2≤100，可得k ≤4， ∴T 1，T 3，T 5，T 7，T 9满足．∴A 中所有元素和为（1+3+5+7+9）+（2+4+⋯+20）＝25+110＝135． 22．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F ．点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，过点M 的直线与椭圆交于A 、B 两点（点B 在点A 右侧），直线AN 、BN 分别与椭圆相切且交于点N ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，则M 点与N 点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．解：（1）椭圆C 的长轴长为4，则2a ＝4，所以a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，所以b =√3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知，x 24+y 23=1，由点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，设M （﹣1，y μ），则直线AB 的方程为y ﹣y μ＝k （x +1），联立直线和椭圆的方程，可得{y =kx +k +y μ3x 2+4y 2=12，则3x 2+4(kx +k +y μ)2=12，所以(4k 2+3)x 2+8(k +y μ)⋅kx +4⋅(k +y μ)2−12=0， 所以{x 1+x 2=−8(k+y μ)k4k 2+3x 1x 2=4(k+y μ)2−124k 2+3，所以k AF =k BF ⇔y 1x 1+1=−y 2x 2+1， 所以（x 2+1）•y 1+（x 1+1）•y 2＝0，所以（x 2+1）（kx 1+k +y μ）+（x 1+1）•（kx 2+k +y μ）＝0， 所以2（2x 1x 2+（2k +y μ）（x 1+x 2）+2（k +y μ）＝0，2k 2+3ky μ+y μ2⇔2k[4(k 2+y μ)2−12]−8k(2+k μ)(2k +y μ)+2⋅(k +y μ)⋅(4k 2+3)=0 ⇔8k 2+16k 2y μ+8ky μ2−24k −16k 3−24k 2y μ−8ky μ2+8k 2+6k +8k 2y μ+6y μ=0，所以6y μ＝18k ，所以y μ＝3k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线AN 的方程为x⋅x 14+y⋅y 13=1，所以x =4x 1⋅(1−y⋅y 13)， 直线BN 的方程为x⋅x 24+y⋅y 23=1，所以x =4x 2⋅(1−y⋅y 23)，所以1−y⋅y 13x 1=1−y⋅y 23x 2，所以x2（3﹣y•y1）＝x1•（3﹣y•y2），3（x2﹣x1）＝（x2y1﹣x1y2）•y N，所以y N=3(x2−x1)x2y1−x1y2．因为x2y1﹣x1y2＝x2（kx1+k+yμ）﹣x1（kx2+k+yμ）＝（k+yμ）（x2﹣x1），所以y N=3k2+yμ=34k，所以yμ⋅y N=94为定值．。
浙江省杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷
浙江省杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A .B .C .D . 与b有关2. （2分）(2018·武邑模拟) 命题“ ”的否定为（）A .B .C .D .3. （2分）直线与圆相切，则实数等于（）A . 或B . 或C . 或D . 或4. （2分）设l ， m ， n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若mÌβ，n是l在β内的射影，m⊥l ，则m⊥n；③若mÌα，m∥n ，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题为A . ①②B . ①②③C . ①②③④D . ③④5. （2分） (2015高二上·莆田期末) 已知椭圆 +y2=1上一动点P，F为其右焦点，椭圆内一定点A（0，），则|AP|+ |AF|的最小值（）A .B . 1C .D . 26. （2分）已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（）A . 1B .C .D .7. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且 =-2 ，则|AB|=（）A . 3B . 6C . 9D . 128. （2分）已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）已知实数，满足某一前提条件时，命题“若，则”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数，应满足的前提条件是________．10. （1分） (2018高二上·哈尔滨月考) 点关于直线的对称点的坐标为________.11. （1分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________.12. （1分） (2016高二下·浦东期末) 设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是________．13. （1分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是________14. （1分） (2016高一上·厦门期中) 设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2017高一下·盐城期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点．（1）证明：AC1∥平面BDE；（2）证明：AC1⊥BD．16. （5分） (2016高二上·台州期中) 已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．17. （10分）(2018·全国Ⅰ卷文) 如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM 折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA（1）证明:平面ACD⊥平面ABC:（2） Q为线段AD上一点,P为线段BC上点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.18. （5分）(2018高二上·锦州期末) 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.19. （15分） (2018高一上·沈阳月考) 如图，在正方体中.E，F分别是，CD的中点。
杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷C卷
杭州市数学高二上学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）“－3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的（）．A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知集合,集合,那么集合等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二上·安徽期末) 曲线+=1.(m<6) 与+=1.(5<m<9)的（）A . 准线相同B . 离心率相同C . 焦点相同D . 焦距相同4. （2分）(2018·鸡西模拟) 在△ABC中，若，则△AB C的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰且直角三角形D . 等边三角形5. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x 轴，则k=（）A .B . 1C .D . 26. （2分）已知直线与平面α平行，P是直线上的一定点，平面α内的动点B满足：PB与直线成60°．那么B点轨迹是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 抛物线D . 两直线7. （2分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A . ﹣B .D .8. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知为实数，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分） (2016高二下·洞口期末) 下列判断错误的是（）A . “am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件B . 命题“∀x∈R，x3﹣x2≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C . “若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D . 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题10. （2分）设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则的值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知A点的坐标是(-1,-2,6)，B点的坐标是(1,2,-6)，O为坐标原点，则向量的夹角是（）B .C .D .12. （2分）正四棱锥所有棱长均为2，则侧棱和底面所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60 °D . 90°二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二下·福州期中) 如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用 = ， = ， = 表示为________．14. （1分）(2016·温岭模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为________，目标函数4x2+y2的最小值为________．15. （1分） (2019高二上·集宁月考) 给出以下四个命题：⑴命题，使得，则，都有；⑵已知函数f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；⑶若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；⑷已知定义在上的函数满足函数为奇函数，则函数的图象关于点对称．其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）16. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量 =（﹣cosB，sinC）， =（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．18. （5分） (2016高二上·呼和浩特期中) 已知{an}是等差数列，{bn}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an+bn};的前n项和Sn．19. （5分） (2016高一下·海珠期末) 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：原料磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）种类甲420乙220现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？20. （10分）(2018·郑州模拟) 已知等差数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .21. （10分） (2017高二上·龙海期末) 已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：MQ∥平面PCB；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；（3）求点A到平面MCN的距离．22. （10分） (2015高二上·怀仁期末) 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
浙江省杭州二中高二上学期期末测试题(数学理).doc
浙江省杭州二中高二上学期期末测试题（数学理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分，共 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷相应空格中）1.双曲线221916x y -=的渐近线方程是 （ ）A.430x y ±=B.1690x y ±= C ．340x y ±= D. 9160x y ±=2.抛物线252x y=的焦点到准线的距离是（ ）A. 58B. 52C. 25D.543.若()1nx +展开式的二项式系数之和为64,则n 的值为 （ ） A.4 B.5 C.6 D.74.随机抽取某班n 个学生,得知其数学成绩分别为12,,na a a ⋅⋅⋅,则右边的程序框图输出的s 表示样本的数字特征是 （ ） A.中位数 B.平均数 C. 方差 D.标准差5．在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,2σ)(0)σ>,若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在(0,1)内取值的概率为 （ ） A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 6.已知七位评委为某民族舞蹈参赛演员评定分数的茎叶图 如右，图中左边为十位数，右边为个位数.去掉一个最高分 和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A.84, 4.84 B.84, 1.6C.85, 1.6D.85,4（ 第6题 ）7．从圆O:224x y+=上任意一点P向x轴作垂线,垂足为P',点M是线段PP'的中点,则点M的轨迹方程是（）A.1416922=+yxB.1416922=+xyC.1422=+yxD.1422=+yx8.直线l的极坐标方程为2cos sin3ρθρθ=+，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+.则直线l和圆C的位置关系为（）A.相交但不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离9．有一矩形纸片ABCD,按右图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点B都落在边AD上,将B的落点记为B',其中EF为折痕,点F也可落在边CD上,过B'作B'H∥CD交EF于点H,则点H的轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为e，焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点.设P为两条曲线的一个交点，若12PFePF=，则e的值为（）A. 12B.D. 2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答卷中相应横线上）11．从集合{1-，1，2，3}中任意取出两个不同的数记作,m n，则方程122=+nymx表示焦点在x轴上的双曲线的概率是．12．如图,在一个边长为2的正方形中随机撒入100粒豆子, 恰有60粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为. （第12题）（第9题）13.已知随机变量1(2,)3B ξ,31ηξ=-.则E η的值为 .14.直线122x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）截抛物线24y x =所得 弦长为 . Ks5u15. 右边程序运行后输出的结果是 .16．过点Ｐ（5，4）作与双曲线14522=-y x 有且只有一个公共点的直线共有 条 .三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（Ⅰ）画出散点图；（Ⅱ）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程； （Ⅲ）若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少？（参考公式： 其中：211112,200nni ii i i x yx ====∑∑ ）18. （本小题满分10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P （4，m ）到焦点的距离为6.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若抛物线C 与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.19. （本小题满分10分）已知参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.（ 第15题 ）（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（Ⅱ）设1号，2号射箭运动员射箭的环数为ξ,其概率分布如下表：①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率； ②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的平均水平高？并说明理由．（本小题满分12分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，且原点O 到直线1x y a b +=的距离为7d =．（Ⅰ）求椭圆的方程 ；（Ⅱ）过点M 作直线与椭圆C 交于,P Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值.参 考 答 案一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 41 . 12. 125 . 13. 1 .14. 8 . 15. b= 3732 . 16. 3 .5,30/56,17/5 3.4n x y ===== 3.40.560.4a =-⨯=（3分）则线性回归方程为ˆ0.50.4yx =+ （2分） (3) 将x=10代入线性回归方程中得到ˆ0.5100.4 5.4y =⨯+=（千万元）（2分）18. 解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为px y 22=，其准线方程为2px =-， （2分）∵P （4，m ）到焦点的距离等于A 到其准线的距离,4642p p ∴+=∴=∴抛物线C 的方程为x y 82= （2分） （Ⅱ）由⎩⎨⎧-==282kx y xy 消去y ，得 22(48)40k x k x -++= （2分）∵直线2-=kx y 与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有0,64(1)0k k ≠∆=+> ，解得01≠->k k 且, （2分）又1222422x x k k ++==，解得 2,1k k ==-或（舍去）∴所求k 的值为2 （2分）19. 解：（1）从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有14C 种方法，另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为3124824414==⋅=A C P （3分） （2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为 P=（1-0.2）（1-0.32）=0.544∴至少有一人命中8环的概率为p=1-0.544=0.456 （2分）②6.704.0103.092.083.0706.0604.0506.041=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE75.702.01032.0932.082.0705.0605.0504.042=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（3分）12E E ξξ<，所以2号射箭运动员的射箭的平均水平高 （2分）解：⑴∵12c e a == ∴222244()a c a b ==-，即2243b a = （1） （2分）又∵直线方程为1x y a b +=，即bx ay ab +=∴d ==，即2222712()a b a b =+ （2） （2分）联立（1）（2） 解得24a =,23b = ∴椭圆方程为22143x y += （2分）⑵由题意，设直线:PQ x my =+代人椭圆C ：223412x y +=化简，得22(34)30m y ++-=222)12(34)48(31)0m m ∆=++=+> ，则OPQ ∆的面积为12221223434S OP y y m m =-==++ （3分）S ∴=≤=所以，当222313,3m m +==时，OPQ ∆ （3分）。
浙江省杭州市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）若，，则的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且 =-2 ，则|AB|=（）A . 3B . 6C . 9D . 123. （2分） (2018高二下·台州期中) 若满足约束条件，则的最大值是（）A .B .C . 5D . 74. （2分） (2016高二上·吉林期中) 在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解5. （2分）等比数列中，，前3项之和，则数列的公比为（）A . 1B . 1或C .D . -1或6. （2分）(2017·日照模拟) 函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A . {x|x＞2或x＜﹣2}B . {x|﹣2＜x＜2}C . {x|x＜0或x＞4}D . {x|0＜x＜4}7. （2分）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（）A . 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B . 2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C . 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D . 2x－y＋＝0或2x－y－＝08. （2分） (2016高二上·桓台期中) 已知2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D . 29. （2分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A . 6B . 9C . 12D . 1810. （2分） (2016高二上·公安期中) 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，则AA1与平面AEF所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·双流期中) 已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题：） (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+ ）=________．14. （1分）(2012·江西理) 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．15. （1分） (2018高二上·泸县期末) 某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________16. （1分） (2016高一上·盐城期中) 下列四个命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（﹣2）=f（2），则f（x）不是奇函数②定义在R上的函数f（x）恒满足f（﹣x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数③一个函数的解析式为y=x2 ，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个④设函数f（x）=lnx，则对于定义域中的任意x1 ， x2（x1≠x2），恒有，其中为真命题的序号有________（填上所有真命题的序号）．三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分） (2016高二下·上饶期中) 在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1．18. （5分）数列中，，求，并归纳出．19. （5分） (2016高二上·郑州开学考) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．20. （10分）(2014·四川理) 已知函数f（x）=sin（3x+ ）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）= cos（α+ ）cos2α，求cosα﹣sinα的值．21. （10分） (2018高三上·广东月考) 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．22. （10分）已知焦点在x轴上的椭圆C： + =1，其离心率为，过椭圆左焦点F1与上顶点B的直线为l0 ．（1）求椭圆的方程及直线l0的方程；（2）直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，点P是椭圆上异于M，N的一点．①求证：当直线PM，PN存在斜率时，两直线的斜率之积为定值，即kPM•kPN为定值；②当直线l与点P满足什么条件时，△PMN有最大面积？并求此最大面积．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12、答案：略二、填空题：） (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16、答案：略三、解答题： (共6题；共45分)17、答案：略18、答案：略19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
杭州市高二上学期期末数学试卷(理科)B卷(测试)
杭州市高二上学期期末数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则|a|＞|b|B . 若a＞b，则C . 若|a|＞b，则a2＞b2D . 若a＞|b|，则a2＞b22. （2分）已知抛物线方程为，直线l的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线L的距离为，则的最小值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0,3)，则k的值是（）A . 1B .C .D . －15. （2分）设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A . ②和③B . ①和②C . ③和④D . ①和④6. （2分） (2018高三上·昭通期末) 椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，抛物线x2=4by 的焦点为B，且．则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）椭圆中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（）A .B .C .D . -8. （2分） (2016高二上·湖北期中) 在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ +μ ，则λ+μ的值为（）A .B .C .D . 19. （2分）已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A .B . 2C .D . 410. （2分） (2016高二上·西安期中) 已知向量 =（﹣1，1，﹣1）， =（2，0，﹣3），则• 等于（）A . ﹣2B . ﹣4C . ﹣5D . 111. （2分） (2016高二上·台州期中) 圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0和圆x2+y2+6x﹣2y+6=0的公切线条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）下列函数是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=lnxB . y=x+C . y=x2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·丰台模拟) 己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为________.14. （1分） (2016高一下·武城期中) 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα= ；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④ 是函数的一条对称轴方程；⑤函数的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是________（填序号）．15. （1分） (2020高二上·那曲期末) 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是________。
#浙江省杭州二中11-12年度高二上学期期末试题数学理
杭州二中2011学年第一学期高二年级期末试考数学试卷（理科）审核：高一备课组一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1.“1=a ” 是“直线()02=++y x a a 和直线012=++y x 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2.设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若b a ,与α所成角相等，则b a //B ．若βαβα//,//,//b a ，则b a //C ．若b a b a //,,βα⊂⊂，则βα//D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥3. 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B , ||AB 的最小值为( ) A ．285 B ．125C ．4D ．24.设P 为双曲线221916x y -=上的一点且位于第一象限。
若1F 、2F 为此双曲线的两个焦点，且1:3:21=PF PF ，则12FPF ∆的周长为 ( ) A ．22 B ．16 C ．14 D ．125.若直线b x y +=与曲线262x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．]231,231[+---B ．]2,231[--C ．]231,2[+-D ．]2,4[-6. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．43 B ．45 C ．47 D ．437. 设抛物线x y 42=的焦点为F ，过点⎪⎭⎫⎝⎛0,21M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=( ) A ．54 B ．58 C ．47D ．28.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积为（ ）A ．331cmB ．332cmC ．334cmD ．338cm9. 设F 是抛物线()02:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线1:22222=-by a x C ()0,0>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．25B ．5C ．3D ．2 10.已知A ,B 是椭圆()012222>>=+b a by a x 长轴的两个顶点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为12,k k ，且021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为（ ）8题A ．12BC ．23D ．32二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11.若命题“R x ∈∃，使得()0112<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12.已知实数x 、y 满足：101010x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22y x z +=的最小值为 .13.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的方程为 .14. 椭圆中心为坐标原点，焦点位于x 轴上，B A ,分别为右顶点和上顶点，F 是左焦点；当AB BF ⊥时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为215-．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率为 .15.三棱锥ABC S -中,90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线SB 与AC 所成的角为90； ② 直线⊥SB 平面ABC ； ③ 面⊥SBC 面SAC ； ④ 点C 到平面SAB 的距离是2a. 其中正确结论的序号是 _______________ .16. 如图，在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为16题15题三、解答题（本大题共4小题，共36分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分8分）已知命题:P 函数()12+=x xx f 在区间()12,+a a 上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分8分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？19.（本小题满分8分）在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ，11===AA BC AC ，E D ,分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱1AA 上的点。
浙江省杭州市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·榆林期中) 在中，角，，所对的边分别是，， .若，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形2. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（）A . 8B .C . 1D .3. （2分） (2017高二上·大连期末) 设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A . 2B . ﹣4C . ﹣2D . 44. （2分） (2016高一下·玉林期末) 设F1,F2是椭圆的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则E的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）设集合则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2020·南昌模拟) 已知中角所对的边分别为，若，则角A等于（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·衡阳模拟) 设不等式组，表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）下列不等式中正确的是（）A . 若,则B . 若x,y都是正数，则lgx+lgyC . 若x<0,则D . 若,则9. （2分） (2017高二上·红桥期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0）的一个焦点坐标为（2 ，0）则实数a的值为（）A . 8B . 2C . 16D . 410. （2分）设a>0,b>0,A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0) ，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A .B .C . 6D .11. （2分） (2019高二上·安徽月考) 把边长为2的正沿边上的高线折成直二面角，则点到的距离是（）A . 1B .C .D .12. （2分） (2016高二上·沙坪坝期中) 双曲线的渐近线方程是（）A . y=±xB .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高三上·合肥月考) 中，内角所对的边分别为，若是与的等比中项，且是与的等差中项，则 ________ , ________.14. （1分） (2016高二上·上海期中) 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是________．15. （1分）命题“， sinx＜1”的否定是________ 命题．（填“真”或“假”）16. （1分）(2016·兰州模拟) 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2 是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1•e2 的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二下·绵阳期中) 已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的实数根，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．若p∧q为假，若p∨q为真，求m的取值范围．18. （10分）(2018·昌吉月考) 如图，在中，内角的对边分别为 .已知，，，且为边上的中线，为的角平分线.（1）求线段的长；（2）求的面积.19. （10分）(2017·扬州模拟) 如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．20. （10分） (2017高一下·扬州期末) 水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）= ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．21. （5分）(2017·江西模拟) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，且满足2Sn=2n+1+λ（λ∈R）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．22. （10分）(2017·长春模拟) 已知F1 ， F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1 ， A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1 ， A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
浙江省杭州高中11-12学年高二数学上学期期末试题(无答案) 理 新人教A版
杭高2011学年第一学期期末考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本卷考试时间为90分钟，满分为100分。
2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共30分）： 1．已知i 为虚数单位，则复数2i i+= ( ) A ．1- B ．i C ．i - D ．12. 在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的 （ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．下列命题中，真命题是 （ ） A ．0,,sin cos 22x x x π⎡⎤∃∈+≥⎢⎥⎣⎦B ．2(3,),21x x x ∀∈+∞>+ C ．2,1x R x x ∃∈+=-D ．,,tan sin 2x x x ππ⎛⎫∀∈>⎪⎝⎭4. 焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，则此椭圆的标准方程是 ( )A.13610022=+y xB.16410022=+y xC.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线 （ ）(A) 只有一条，不在平面α内 (B) 有无数条，不一定在平面α内 (C) 只有一条，且在平面α内 (D) 有无数条，一定在平面α内6． 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 （ ）（A ） 36 cm 3 （B ） 48 cm 3（C ） 60 cm 3 （D ） 72 cm 37. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为 （ ）323(D)138．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ,11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1ABE 9．已知点(,)m ny =上，则22(1)m n +-的取值正视(第6题)侧视俯视范围是 （ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]1,910. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP (O 为双曲线的中心)的对称点在Y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 （ ） A．)+∞B．)+∞C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4 分，共24分）：11. 已知圆224x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p = . 12． 已知直线ax ＋y ＋2＝0与双曲线2214y x -=的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 ．13．已知平面,αβ和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. 当满足条件 时，β⊥m (填符合条件的序号)14．实数,x y 满足222410x y x y ++-+=，则34x y -的最大值为 。
杭州师大附中2010-2011学年高二上学期期末考试(数学理)
杭师大附中2010学年第一学期期末考试高二数学试卷（理）命题时间：2011.1一、选择题（每题4分，共40分）1、抛物线24y x =的焦点坐标是 （ ） A ．（1,0） B.（-1,0） (0,116) D. (0,116-) 2、 “椭圆的方程为2212516x y +=”是“椭圆的离心率为53”的 （ ）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、G F E ,,分别为正方体1111D C B A ABCD -面1111,,CD C B C A 的对角线交点,则AE 与FG 所成的角为 （ ）A. 060B. 090C. 030D. 0454、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 （ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥5、函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是 （ ） A ．5 B ． 0 C ． 1 D ． 66、过点)8,6(-C 作圆2522=+y x 的两条切线，切点为B A 、，则点C 到直线AB 的 距离为 （ ） A ．5 B ．152C ．10D ．157、如图，底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+8、已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且12NF MN =，则=∠NMF （ ） A. 45 B. 30 C. 75 D. 60A BCD A 1B 1C 1D 11B 1A 1CA9、右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增. 则正确命题的序号是 （ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④10、已知1F 、2F 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，O 是坐标原点，直线AB 过1F ，且垂直于x 轴，并与双曲线交于A 、B 两点，若2AO BF ⊥，则双曲线的离心率=e （ ） ABCD 二、填空题（每题3分，共18分）11、已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与032)3(2:2=+--y x k l 平行，则k 的值是________12、椭圆192522=+y x 的焦点F 1 、F 2，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则21PF F ∆的面积为_______________13、已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的全面积为________14x命题q b2a 与 75k =，则下列结论：①“p 或q ”为假；②“p 且q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真.则正确结论的序号为 （把你认为正确的结论都写上）；15、设双曲线221m y x -=离心率不小于3，此双曲线焦点到渐近线的最小距离为_____16、设函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点，则实数a 的取值范围是______ 三、解答题（17、18、19每题10分，20题12分）17、已知命题p ：“椭圆2212x y m+=的焦点在x 轴上”命题()()m x m mx x x f q --+-=34234:23在()+∞∞-,上单调递增，若p q 或为假，求m 的取值范围． 18、如图，在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知AA 1=2,2=AB ,11,3BC BCC π=∠=（1）求证：1C B ABC ⊥平面；正视图 侧视图俯视图（2）试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥； (3) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角11A EB A --的平面角的正切值.19、已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =.(1) 若a=2，求函数()()()F x f x g x =+的单调区间 (2)()()()0g x h x a h(x )f x ==若，求当时的最值(3) 若关于x 的方程()()22g x f x e x=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值. 20、已知圆o ：222y x b+=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （0，1），F 为椭圆的左焦点，直线AF 被圆所截得的弦长为1.（1）求椭圆方程。
浙江省杭州高中10—11学年高二数学上学期期末考试
杭高2022学年第一学期期末考试高一数学试卷考前须知：1．本卷答题时间90分钟，总分值100分。
2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。
一、选择题：本大题共10小题,每题3分,共30分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的( )A.平均状态B.频率分布C.波动大小D.最大值和最小值 2.如果3log 3log b a <<0成立，那么〔 〕A.0<a<b<1B.0<b<a<1C. 1<a<bD. 1<b<a 3.100.3≈2，那么(45)10≈( ) A.12 B.10 C.8 D.5 4.函数f(x)=4x 3x )1x ln(2+--+的定义域是( )A.[–4, 1]B.[–4, –1)C.(–1, 1)D.(–1, 1]5.关于函数y=f(x)与函数y=f(x+1)的表达一定正确的选项是( ) A.定义域相同 B.对应关系相同C.値域相同D.定义域、値域、对应关系都可以不相同6.对甲、乙两组青年进行体检，得到如下图的身高数据(单位：cm)的茎叶图，那么甲、乙两组青年的身高平均数为x 甲、x 乙，方差为S 2甲、S 2乙 ， 那么下面结论正确的选项是( ) A. x 甲>x 乙 S 2甲>S 2乙 B. x 甲<x 乙 S 2甲>S2乙C. x 甲<x 乙 S 2甲<S 2乙D. x 甲>x 乙 S 2甲<S 2乙7.函数f(x)=1212x x +-的图像关于( )对称A.x 轴B.y 轴C.原点D.y=x8.总体已经分成A, B, C 三层, A, B, C 三层个体数之比为2:3:5,现从总体中抽取容量为20的一个样本, A 层中用简单随机抽样抽取样本时，甲被抽到的概率为41,那么总体的个体个数为( )A.40B.80C.120D.1609.从4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片中任取2张，至少有一张黑白照片的概率( )A.72B.75C.76D.4310.函数f(x)=x x a +-(a ∈N *), 对定义域内任意x 1, x 2，满足|f(x 1)–f(x 2)|<1, 那么正整数a 的取值个数是( )A.2B.3C.5D.7二、填空题：本大题共5小题,每题4分,共20分.11. 集合A={x||x|≤2，x ∈R }，B={x|x ≥a}，且A B ，那么实数a 的取值范围是_____.12. 某学生对质点P 的运动过程观测了8次, 获得了描述质点P 运动 速度的一些数据，记第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示.该同学对上述统计数据进行进一步分析中，其中的一局部计算 见如下图的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，那么运 行该程序输出的S 的值是_13.函数f(x)=⎩⎨⎧<≥ax ,0a x ,1, g(x)=x 2–x+1, 那么函数y=g(x) –f(x)有两个零点的实数a 的取值范围是______________.14.酒店用餐时顾客要求：将温度为10oC 、质量为0.25kg 的同规格某种袋装黄酒加热到30o C~40o C. 效劳生将n 袋该种袋装黄酒同时放入温度为80oC 、质量为2.5kg 的热水中，5分钟后取出可以供顾客饮用，此时袋装黄酒的温度与水的温度恰好相等. 假设m 1kg 该规格袋装黄酒提高的温度∆t 1o C 与m 2kg 水降低的温度∆t 2oC 满足关系：m 1⨯∆t 1=0.8⨯m 2⨯∆t 2，那么n 的最小值是_________.15.假设不存在整数x 使不等式(kx –k 2–4)(x –4)<0成立，那么实数k 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题,共50分.解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤-+1x ,421x ,1)2x (f x. (1)求f(–3)的值；(2)A={x|–1<x ≤4},B={x| f(x)≤3}, 求A B.i 1 2 3 4 5 6 7 8 a i404143434446474817.函数f(x)=|x|(x – 4)(1)画出函数y=f(x)的图象；(2)根据函数图像指出函数y=f(x)(3)讨论关于x 的方程|x|(x –1)=k 实数解的个数18.某校从高一年级期中数学考试的学生中抽出60名学生,学生的成绩均为整数,并把成绩分成六组,作出了成绩 频率分布直方图如下图.(1)求这次考试的及格率(60分及以上为及格)； (2)求这次考试成绩的中位数与平均数,并说明这次考试 成绩中位数与平均数大小关系的统计意义； (3)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人，求他们在同一组的概率.19.函数f(x)=x 2+ax+b 2, 分别在以下条件下求不等式f(x)>0的解集为R 的概率. (1)a, b ∈Z,且–2≤a ≤4, –2≤b ≤4；(2)假设a, b ∈R,且0<a ≤2, 0<b ≤2.20.函数f(a x)=x ，g(x)=2log a (2x+t –2)，其中a>0且a ≠1，t ∈R. (1)求函数y=f(x)的解析式,并指出其定义域；(2)假设t=4, x ∈[1, 2], 且F(x)=g(x)–f(x)有最小值2,求实数a 的值； (3)0<a<1,当x ∈[1, 2]时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.杭高2022学年第一学期期末考试高一数学答卷页试场号_________ 座位号________ 班级_________ 姓名____________ 学号_________…………………………………装……………………………………订………………………线………………………………………。
浙江省杭州高中10—11学年高二数学上学期期末考试 理
杭高2022学年第一学期期末考试高二数学试卷(理科)考前须知：1.本卷考试时间90分，总分值100分。
2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否那么无效。
不能使用计算器。
一．选择题1．命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，那么〔 〕A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，假设||5z =，那么1z的虛部是〔 〕 A. 13- B. 13i - C. 15i - D. 15-3．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间〔1，2〕上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．假设“P 且Q 〞是真命题，那么实数a 的取值范围是 〔 〕 A ． 01<≤aB ．12≤<aC ． 02≤≤aD ．012<<≥或a a4．直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出以下四个命题：①假设;,//m l ⊥则βα②假设;//,βα则m l ⊥③假设;//,m l 则βα⊥④假设.,//βα⊥则m l其中正确的命题是〔 〕A ．①④B ． ②④C ．①③④D ．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形； 俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,那么异面直线PB 与CD 所成角的正切值是〔 〕。
.A 1 .B 2 .C 12.D 126．,,,S A B C 是球O 外表上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，那么球O 的外表积等于(球的外表积为24R S π=)〔 〕 A ．4π B ．3π C ．2π D ． π7．直线l 经过A 〔2，1〕、B 〔1，m 2〕(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃8．假设圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l 对称，那么l 的方程是〔 〕.0A x y += .20B x y +-= .20C x y --= .20D x y -+=9. 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔 〕A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．2(0,)2D ．2[,1)2 10．双曲线)0,(12222>=-b a a x b y 的一条渐近线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于点M 、N ，那么MN = 〔 〕A. )(222b a -B. )(222b a +C. a 2D. a +b二．填空题 11．假设复数()12im R m i-∈-在复平面上对应的点位于第一象限，那么m 的取值范围是 。
杭州市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
杭州市高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若，且，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·四川期中) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . 不存在，3. （2分）已知数列满足，，则此数列的通项等于A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·赣州期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos C= ，b=atan C，则等于（）A . 2B .C .D .5. （2分）设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为（）A . y＝－3xB . y＝－2xC . y＝3xD . y＝2x6. （2分）已知是实数，则““是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）已知在区间上是减函数，那么2b+c（）A . 有最小值9B . 有最大值9C . 有最小值-9D . 有最大值-98. （2分）若a，b 是函数的两个不同的零点，且a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于（）A . 6B . 7C . 8D . 99. （2分）(2017·重庆模拟) 从双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A . c﹣aB . b﹣aC . a﹣bD . c﹣b10. （2分）已知命题p：函数有极值；命题q：函数且恒成立．若为真命题，为真命题，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·天水期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，．设点F在线段CC'上，直线EF与平面A'BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·泉港期末) 若 =（2，3，m）， =（2n，6，8）且，为共线向量，则m+n=________．14. （1分） (2016高二上·葫芦岛期中) 设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为________．15. （1分） (2015高二上·菏泽期末) 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________米．16. （1分）(2018·临川模拟) 已知，数列满足，则 ________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·海南期中) 设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1 ， S2 ， S4成等比数列，a5=9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明： + +…+ ＜（n∈N*）．18. （10分） (2016高二上·南昌开学考) 在△ABC中，AC=6，cosB= ，C= ．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．19. （15分） (2015高二上·黄石期末) 已知抛物线y2=4 x的交点为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．（1）求椭圆标准方程；（2）求四边形ADBC的面积的最大值；（3）若M（x1，y1）N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满x1x2+2y1y2=0，动点P满足（其中O为坐标原点），是否存在两定点F1，F2使得|PF1|+|PF2|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．20. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．21. （10分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为 .（1）求的解析式；（2）若常数，求函数在区间上的最大值.22. （5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C 经过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、。
浙江省杭州市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） l (-A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，是直线的一个方向向量， (-l所以直线的斜率 l k =所以直线的倾斜角为． l 120︒故选：C ．2．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）．A ．150，15B ．150，20C ．200，15D ．200，20【答案】A【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容A B C 10%量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数. C 15%50%C 【详解】由图得样本容量为，1()35020045015%100015%150++⨯=⨯=抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户． 20015%30⨯=C 300.515⨯=故选：A.3．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1111ABCD A B C D -1，且两两夹角为，则的长为（ ）60︒1ACAB ．2C D【答案】D【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. AB a =AD b =1AA c = 1AC a b c =++ 1AC 【详解】解：记，，，AB a =AD b =1AA c = 由题意可知，，1a b c === ,,,60a b b c c a ︒〈〉=〈〉=〈〉=所以，11cos 601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭所以1AC =1AC 故选：D.4．设空间两个单位向量与向量，则()(),,0,0,,OA m n OB n p == ()1,1,1OC = （ ）,OA OB =A ．B ．C ．D ．π6π4π3π2【答案】C【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由n m p===即可求结果.2cos ,OA OB n =【详解】由题意可得，即，222211cos ,cos ,m n n p OA OCOB OC ⎧+=⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪==⎪⎩222211m n n p m n n p ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩n m p ==又，即，且， 2cos ,OA OB n = 1cos ,2OA OB = ,[0,π]OA OB ∈ 所以.π,3OA OB =故选：C5．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，记垂足为，点在双曲线上，且22221x y a b-=F P Q 满足，则双曲线的离心率为（ ）FP PQ =ABCD ．2【答案】A【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由P b y x a =-FP ()ay x c b =+2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案. FP PQ = 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：设在渐近线上，直线的方程为，P b y x a=-FP ()ay x c b =+由，得，即，()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，得为的中点，又因为 FP PQ =P FQ (),0F c -所以， 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在双曲线上，所以化简得： Q 2222222()41,2c a a a c c --=225,c a =所以 ce a==故选：A6．已知函数在处有极值0，则的值为（ ） 322()3f x x ax bx a =+++=1x -a b +A ．4 B ．7C ．11D ．4或11【答案】C【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求()f x =1x -'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩,a b 得答案【详解】解：由，得， 322()3f x x ax bx a =+++'2()36f x x ax b =++因为在处有极值0，()f x =1x -所以，即，解得或，'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩2130360a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩13a b ==⎧⎨⎩29a b =⎧⎨=⎩当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍13a b ==⎧⎨⎩'22()3633(1)0f x x x x =++=+≥()f x R 去，当时，，令，得或，经检验 和都为函29a b =⎧⎨=⎩'2()3129f x x x =++'()0f x ==1x -3x =-=1x -3x =-数的极值点，综上， 29a b =⎧⎨=⎩所以， 2911a b +=+=故选：C7．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准22221x y a b-=(6,A 221259x y +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．221142x y -=221133-=x y 221106x y -=221124x y -=【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方(6,A 22221x y a b-=222c a b =+程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 221259x y +=()4,0±双曲线焦点为，且， ∴()4,0±4c =将代入双曲线，(6,A 22221x y a b-=得， 223681a b-=又， 22216c a b =+=解得，，212a =24b =故双曲线的方程为，221124x y -=故选：D.8．已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是,()0x ∈+∞e ln 1ax x x ax ++<（ ） A ．B ．C ．D ．21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),e -∞-(),1-∞-【答案】B【分析】将不等式化为，构造进而化为，利用导数研究e ln e 1ax ax x x +<()lnf x x x =+(e )(1)ax f x f <单调性，再得在上恒成立，构造研究其最值，即可得参数范围. ()f x 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =【详解】由题设，即，e ln ln e 1ax ax x x ++<e ln e 1ax ax x x +<令且，上述不等式等价于，()ln f x x x =+,()0x ∈+∞(e )(1)1ax f x f <=而，故在上递增，则有在上恒成立， 1()10f x x'=+>()f x (0,)+∞e 1ax x <(0,)+∞所以在上恒成立，记，令，则，11ln a x x <(0,)+∞1t x=∈(0,)+∞()ln g t t t =()1ln g t t =+'当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，10et <<()0g t '<()g t 1e t >()0g t '>()g t 所以在上递减，在上递增，则，故.11ln y x x =(0,e)(e,)+∞min e 1|e x y y ===-1e<-a 故选：B.【点睛】关键点点睛：由并构造函数并研究单调性，将问题转化为e ln e 1ax ax x x +<()ln f x x x =+在上恒成立，再次构造研究最值求范围. 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()124,0,4,0F F -221259x y +=B ．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()125,0,5,0F F -221169x y -=C ．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P 的轨迹方程(),P x y ()5,0F (),P x y :5l x =-为220y x =D ．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 ()()2,0,2,0A B -(),P x y 12PA AB =(),P x y 0x =【答案】AC【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案. 【详解】选项A ：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，，210a =5a =4c =x 29b =所以动点P 的轨迹方程为，A 对；221259x y +=选项B ：由双曲线定义可知，， 1228PF PF a -==所以，，，4a =5c =29b =所以动点P 的轨迹方程为，，B 错；221169x y -=()0x >选项C ：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，， 52p=所以动点P 的轨迹方程为，C 对； 220y x =选项D ：因为， 122PA AB ==由圆的定义可知，圆心，半径， ()2,0A -2r =所以动点P 的轨迹方程为，D 错； ()2224x y ++=故选：AC.10．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，将沿DE 翻折到的位置，22AB AD ==ADE V 1A DE △1A ∉平面ABCD ，M 为的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ） 1AC A ．恒有平面 //BM 1A DE B ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥 1A DEM -D ．存在某个位置，使得平面平面 1A DE ⊥1ACD 【答案】CD【分析】对选项A ：取的中点,可得，所以平面；（也可以延长1A D N //BM EN //BM 1A DE ,DE CB 交于,得,从而平面）H 1//MB A H //BM 1A DE 对选项B ：在可求得为定值，所以为定值；DNE △EN BM 对选项C ：三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，当平面平面1C A DE -1M A DE -1A DE ⊥ABCD 时，求得三棱锥体积的最大值，可求得三棱锥的体积的最大值；1C A DE -1A DEM -对选项D ：假设平面平面，由面面垂直可得，求得，故,,三1A DE ⊥1ACD 11A E A C ⊥11A C =1A C D 点共线，与平面矛盾.1A ∉ABCD【详解】对选项A ：取的中点,连结，，可得且，所以四边形是平1A D N MN EN =MN BE //MN BE BMNE 行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故选项A 结论正//BM EN BM ⊄1A DE EN ⊂1A DE //BM 1A DE 确；（也可以延长交于,所以，所以,又平面，平面,DE CB H HB BC =1//MB A H BM ⊄1A DE 1A H ⊂1A DE ，从而平面） //BM 1A DE对选项B ：因为，， 12DN =DE =145A DE ADE ∠=∠=︒根据余弦定理得，得 211522424EN =+-=EN =因为，故，故选项B 结论正确； EN BM =BM =对选项C ：因为为的中点，M 1AC 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，1C A DE -1M A DE -故三棱锥的体积，其中表示到底面的距离，1C A DE -1113C A DE A DEC CDE V V S h --==⋅A h 1A ABCD当平面平面时，达到最大值，此时 1A DE ⊥ABCD h h此时 111121332A DEC CDE V S h -=⋅=⨯⨯⨯=A所以三棱锥C 结论错误； 1A DEM -对选项D ：假设平面平面，平面平面，，平面1A DE ⊥1ACD 1A DE 11A CD A D =11A E A D ⊥1A E ⊂，1A DE 故平面，又平面，所以， 1A E ⊥1ACD 1AC ⊂1ACD 11A E A C ⊥则在中，，. 1A CE △190EA C ∠=︒11,A E EC ==11A C =又因为，，所以，故,,三点共线，11A D =2CD =11A D A C CD +=1A C D 所以，得平面，与题干条件平面矛盾，故选项D 结论错误； 1A CD ∈1A ∈ABCD 1A ∉ABCD 故选：CD11．已知曲线分别是曲线C 的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）2212:1,,9x y C F F m+=A ．若，则曲线C 的两条渐近线所成的夹角为3m =-2π3B ．若曲线C 的离心率，则2e =27m =-C ．若，则曲线C 上不存在点P 使得 6m =12π2F PF ∠=D ．若，P 为曲线C 上一个动点，则面积的最大值为 4m =12F PF △【答案】BC【分析】对于A 选项：求出双曲线的渐近线，求出两渐近线的夹角； 对于B 选项：根据双曲线的离心率求即可；m 对于C 选项：先判断出短轴顶点与两焦点连线夹角为锐角，可知不成立； M 12π2F PF ∠=对于D 选项：当P 在短轴顶点时面积的最大值.12F PF △【详解】对于A 选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程3m =-22:193x y C -=x为， y =故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A 选项错误；π5π,66C π3对于B 选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故， 2e =C x 3,2a e ==6c =所以，所以，故B 选项正确；2236927m c a -=-=-=27m =-对于C 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，6m =22:196x y C +=x 2229,6,3a b c ===设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，C (M 则，故为锐角，222122461cos 02183a a c F MF a +-∠===>12F MF ∠所以曲线上不存在点，使得，故C 选项正确；C P 12π2F PF ∠=对于D 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，4m =22:194x y C +=x 此时，为上一个动点，2229,4,5a b c ===P C则面积的最大值为D 选项错误. 12PF F △112222S c b =⨯⨯=⨯⨯=m ax 故选：BC12．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（ ） ()ln f x x x =()212g x x =A ．若方程有两个不同的实数根，则；()f x k =1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．若方程恰好只有一个实数根，则；()2kf x x =0k <C ．若，总有恒成立，则； 120x x >>()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦m 1≥D ．若函数有两个极值点，则实数．()()()2F x f x ag x =-10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交()y f x =y k =点，即可判断A 选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有1x =1x ≠y k =ln xy x=一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增1122()()()()mg x f x mg x f x ->-()()y mg x f x =-(0,)+∞函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C 选项；m 有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 2()ln (0)F x x x ax x =->【详解】解：对于A ，的定义域，， ()f x (0,)+∞()ln 1f x x '=+令，有，即，()0f x '>ln 1x >-1x e>可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，()f x 1(0,)e 1+e ∞（，），且当时，又，min 11()()f x f e e∴==-0x →()0f x →(1)0f =从而要使得方程有两个不同的实根，()f x k =即与有两个不同的交点，所以，故A 正确；()y f x =y k =1(,0)k e∈-对于B ，易知不是该方程的根，1x =当时，，方程有且只有一个实数根， 1x ≠()0f x ≠2()kf x x =等价于和只有一个交点， y k =ln xy x=，又且， 2ln 1(ln )-'=x y x 0x >1x ≠令，即，有，0'>y ln 1x >>x e知在和单减，在上单增， ln xy x=0,1（）1e （，）+e ∞（，）是一条渐近线，极小值为, 1x =e 由大致图像可知或，故B 错误； ln xy x=0k <=k e 对于C ，当时，恒成立， 120x x >>[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-等价于恒成立， 1122()()()()mg x f x mg x f x ->-即函数在上为增函数， ()()y mg x f x =-(0,)+∞即恒成立， ()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥即在上恒成立， ln 1+≥x m x (0,)+∞令，则，ln 1()x r x x+=2ln ()xr x x -'=令得，有，()0r x '>ln 0x <01x <<从而在上单调递增，在上单调递减， ()r x (0,1)(1,)+∞则，于是，故C 正确； max ()(1)1r x r ==m 1≥对于D ，有两个不同极值点， 2()ln (0)F x x x ax x =->等价于有两个不同的正根， ()ln 120F x x ax +-'==即方程有两个不同的正根， ln 12x a x+=由C 可知，，即，则D 正确. 021a <<102a <<故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．三、填空题13．甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是______． 【答案】815【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可. 【详解】解：分两种情况讨论如下：甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为1223515⨯=；甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；232355⨯=综上，所求概率为. 22851551+=故答案为：． 81514．已知，，，点Q 在直线OP 上运动，则当取得最(1,2,3)OA = (2,1,2)OB = (1,1,2)OP =QA QB ⋅ 小值时，点Q 的坐标为（O 为坐标原点）__________.【答案】448,,333⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. QA QB ⋅【详解】设，则，(,,)Q x y z (,,)OQ x y z =因为点Q 在直线OP 上运动，所以， OP OQ∥所以，即，， 112x y z==y x =2z x =所以， (,,2)OQ x x x =所以()()(1,2,32)(2,1,22)QA QB OA OQ OB OQ x x x x x x ⋅=-⋅-=---⋅---=， 2(1)(2)(2)(1)(32)(22)61610x x x x x x x x --+--+--=-+所以当时，取得最小值，此时点Q 的坐标为. 164263x -=-=⨯QA QB ⋅ 448,,333⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.448,,333⎛⎫⎪⎝⎭15．已知直线，若∥，则与之间的距离为__________. 12:2320,:640l x my m l mx x +-+=+-=1l 2l 1l 2l【详解】∵∥，∴∴，∴直线的方程分别为,1l 2l ()23120{62120m m m -=-++≠2m =12,l l 30,320x y x y +=+-=1l与2l. 16．已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 m n ()e 1x f x mx n =-+-()0f x ≥R x ∀∈n mm-______. 【答案】1-【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小0m >值，依题意可得，即可得到，从而得到()min ln 10f x m m m n =-+-≥ln 1n m m m ≥-+，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出1ln 2n m m m m -≥-+()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞函数的最小值，即可求出的取值范围. n mm-【详解】解：因为，所以，()e 1x f x mx n =-+-()e x f x m '=-若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题0m ≤()0f x '>()f x R x →-∞()f x →-∞意，所以，令，解得，当时，当时， 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<ln x m >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),ln m -∞()ln ,m +∞所以， ()()min ln ln 10f x f m m m m n ==-+-≥所以，则， ln 1n m m m ≥-+ln 21n m m m m -≥-+则， 1ln 2n m m m m-≥-+令，， ()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞则，所以当时，当时， ()22111x g x x x x-'=-=1x >()0g x '>01x <<()0g x '<即在上单调递减，在上单调递增，所以， ()g x ()0,1()1,+∞()()min 11g x g ==-所以，即的最小值为. 1n mm -≥-n m m-1-故答案为：1-【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： ，得到如下的频率分[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,,90,100⋯布直方图．(1)求出频率分布直方图中m 的值：利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的的概率． 【答案】(1)，平均数为71，众数为75，中位数为； 0.030m =73.33(2) 310【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，利用频率分布直方图求出平均数，众0.030m =数和中位数；（2）先求出一等品和二等品频率之比，进而利用分层抽样得到抽出10个口罩中，一等品和二等品的个数，再利用超几何分布求出答案.【详解】（1），解得， ()100.0050.0100.0150.0150.0251m ⨯+++++=0.030m =估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为，()450.010550.015650.015750.030850.025950.0051071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为的频率为，频率最大，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的众数[)70,800.030100.3⨯=为， 7080752+=因为，，100.0100.10.5⨯=<()100.0100.0150.250.5⨯+=<，，()100.0100.0150.0150.40.5⨯++=<()100.0100.0150.0150.0300.70.5⨯+++=>故该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数落在内， [)70,80设估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为， x 则，解得，()700.0300.50.4x -⨯=-73.33x ≈故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为.73.33（2）由频率分布直方图得，质量指标值小于70的口罩为二等品的频率为，故一等品的频率为，()100.0100.0150.0150.4⨯++=10.40.6-=故一等品和二等品频率之比为，0.6:0.43:2=故采用分层抽样可得从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩中，一等品个数为310632⨯=+个，二等品个数为4个，所以从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 1264310C C 3C 10=18．已知直线和圆．():12530,R l m x my m m -+-+=∈()()22:214C x y -+-=(1)证明：圆C 与直线l 恒相交；(2)求出直线l 被圆C 截得的弦长的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)【分析】（1）求出直线过的定点A ，得到在圆C 内，证明出圆C 与直线l 恒相交； ()3,1A （2）数形结合得到直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小AC 值.【详解】（1）变形为，():12530l m x my m -+-+=()0253m x y x -+-=+令，解得，25030x y x +-=⎧⎨-+=⎩31x y =⎧⎨=⎩故直线过定点，l ()3,1A 因为，故在圆C 内，故圆C 与直线l 恒相交；()()22321114-+-=<()3,1A （2）因为直线过定点，且在圆C 内， l ()3,1A ()3,1A 故当直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小， AC其中，1CA ==圆的半径为2， ()()22:214C x y -+-=故弦长最小值为=19．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋6x －a .92（1）若对任意实数x ，≥m 恒成立，求m 的最大值； ()f x '（2）若函数f (x )恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）－；（2）(－∞，2)∪. 345(,)2+∞【分析】（1）求出导函数，结合二次函数性质可得参数范围；（2）由导函数确定函数的单调性，极值，由极小值大于0或极大值小于0得参数范围． 【详解】（1）＝3x 2－9x ＋6＝，()f x '23333(244x --≥-由≥m 恒成立，可得m ≤－， ()f x '34即m 的最大值为－. 34（2）＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)， ()f x '由>0⇒x >2或x <1，由<0⇒1<x <2，()f x '()f x '∴f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f （1）＝－a ，f (x )极小值＝f （2）＝2－a . 52∵f (x )恰有一个零点，∴－a <0或2－a >0， 52即a <2或a >， 52所以a 的取值范围为(－∞，2)∪.5(,)2+∞20．如图①，在等腰梯形ABCD 中，，将沿AC 折起，使得,222AB CD AB AD CD ===∥ADC △，如图②．AD BC ⊥(1)求直线BD 与平面ADC 所成的角；(2)在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角的平面角的大小为?若存在，指出点E 的E AC D --π4位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1). π4(2)存在,分析见解析.【分析】（1）通过线面垂直的判定证明平面ADC ，直线BD 与平面ADC 所成的角，即为BC ⊥，通过即可求出结果. （2）以为坐标原点，所在的直线为轴，BDC ∠tan BCBDC DC∠=C CA x CB 所在的直线为轴，过点作垂直于平面ABC 的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用向量法求y C z 出满足的点E ，使得二面角的平面角的大小为，并能求出相应的()01BE tBD t =≤≤ E AC D --π4实数的值.t 【详解】（1）等腰梯形ABCD 中，，,222AB CD AB AD CD ===∥由平面几何知识易得，∴π3B = , 22222π21221cos33AC AB BC ∴=+-⨯⨯⨯==-,又，，平面ADCAC CB ∴⊥ AD BC ⊥ AD AC A = BC ∴⊥直线BD 与平面ADC 所成的角，即为， ∴BDC ∠. 1πtan 1,14BC BDC BDC DC ∠===∴∠= 直线BD 与平面ADC 所成的角为.∴π4（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为. E AC D --π4由（1）知，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作AC CB ⊥ C CA x CB y C 垂直于平面ABC 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.z平面ADC ，又平面ABC ，平面ADC 平面ABC ，是顶角为的等腰三BC ⊥ BC ⊂ ∴⊥ADC ∠2π3角形，知轴与底边上的中线平行， z ADC △则 ())()10,0,00,1,02C AB D ⎫⎪⎪⎭，，，，,令，则 11,)2CA BD ∴==- ()01BE tBD t=≤≤ ,2t E t ⎫-⎪⎪⎭，，设平面ACE 的法向量，则 ,2t CE t ⎫∴=-⎪⎪⎭ (),,m x y z = 00CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，， ()0210t y tz =-+=⎪⎩y t =()21z t =-()0,,22m t t ∴=- 平面ADC 的一个法向量为.要使二面角的平面角的大小为，()0,1,0n = E AC D --π4则或（舍去）. πcos 4m n m n ⋅===⋅ 23t =2t =所以在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为，此时E 在线段BD 上靠E AC D --π4近D 的三等分点处.21．已知，为椭圆：的左、右焦点.点为椭圆上一点，当取1F 2F C ()222210x y a b a b+=>>M 12F MF ∠最大值时，.π3()1216MF MF MF +⋅= (1)求椭圆的方程；C (2)点为直线上一点（且不在轴上），过点作椭圆的两条切线，，切点分别为P 4x =P x P C PA PB ，，点关于轴的对称点为，连接交轴于点.设，的面积分别为A B B x B 'AB 'x G 2AF G △2BF G △1S ， ，求的最大值.2S 12S S -【答案】(1)22143x y +=【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求与的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中a c ，即可求得与，也就得出椭圆方程.222a b c =+a b (2)利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线的定点坐标，然后解AB 设的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点的坐标，由此求出的关系AB G 12S S -式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意有当为椭圆短轴端点时M 最大，此时，则 12F MF ∠12π3F MF ∠=为正三角形，则12F MF △2a c =且()1211π22cos66MF MF MF MO MF b a +⋅=⋅=⋅==，，∴ba =222a b c =+∴2a =b =1c =故椭圆方程为.22143x y +=（2）设，，， ()11,A x y ()22,B x y ()()4,0P t t ≠若，则切线方程为，10y =1x x =若，则在处的切线的斜率必定存在， 10y ≠A 设该切线的方程为，()1111y k x x y kx y kx =-+=+-由可得， 11223412y kx y kx x y =+-⎧⎨+=⎩()22113412x kx y kx ++-=整理得， ()()2221111348()4120k x k y kx x y kx ++-+--=故， ()()2222111164()4344120k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦整理得到：，故，2211211390216x x k k y y ++=1134x k y =-故切线方程为：， 211111111333124444x x x y x y x y y y y =-++=-+故：， PA 11143x x y y+=综上，：，同理： PA 11143x x y y +=PB 22143x x y y +=因，都过点，则，PA PB ()4,P t 1113y t x +=2213y tx +=则方程为，即过定点. AB 13ytx +=AB ()1,0故设方程为，，AB 1x my =+0m ≠联立， 2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩ ∴()2234690m y my ++-=，，又 ∴122634m y y m -+=+122934y y m -=+()22,B x y '-直线方程为：，令得 AB '()211121y y y y x x x x ---=--0y =()()122112211212121212112G my y my y x y x y my y y y x y y y y y y ++++++===+++， 21212293421214634y y m m m m y y m -+=⋅+=⋅+=-++∴()4,0G ∴12212122613322234mS S F G y y y y m -=⋅-=+=⋅+2994343m m m m==≤=++当且仅当即，43m m =243m=m =故最大值为12S S -22．设，，已知和在处有相同的切线.()()1xf x ae x =+()22g x x bx =++()f x ()g x 0x =（1）求，的解析式；()f x ()g x （2）求在上的最小值；()f x [],1(3)t t t +>-（3）若对，恒成立，求实数的取值范围. 2x ∀≥-()()kf x g x ≥k 【答案】（1）；.()2(1)x f x e x =+2()42g x x x =++（2）． 2min2,32()2(1),2x e t f x e t t ⎧--<<-=⎨+≥-⎩（3）.2[1,e ]【详解】试题分析：（1）先求的导函数，再由题设得：.2()(1),()2x f x ae x g x x bx =+=++，从而可列方程组解得的值；,a b （2）利用导数判函数的单调性，进而求出函数在上的最小值；()(1)x f x ae x =+()f x [,1](3)t t t +>-要注意对 的取值分类讨论；t （3）令，利用导数研究此函数的极值，由其极小值非()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---负可求实数的取值范围.k 试题解析：解：（1）()(2)x f x ae x '=+()2g x x b =+'依题意，即， 2{2a a b ==2{4a b =∴= ()2(1)x f x e x =+（2）()2(2)x f x e x +'=在上递减，在递增()f x (,2)-∞-(2,)-+∞3t >- 12t ∴+>-①当时32t -<<-在递减，在递增()f x [,2]t -[2,1]t -+2min ()(2)2f x f e -=-=-②当时 在递增2t ≥-()f x [,1]t t +min ()()2(1)tf x f t e t ==+ 2min2 32(){2(1) 2t e t f x e t t --<<-∴=+≥-（3）令()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---由题意时 恒成立2x ≥-()0F x ≥()0220,1F k k ∴=-≥∴≥()()()221x F x x ke =+-'在 上只可能有一个极值点 ()2,x F x ≥-∴ [)2,-+∞1lnk①当 即 时， 在递增 1ln2k<-2k e >()F x [)2,-+∞不合题意 ()()()22min 22F x F e k e ∴=-=-②当 ，即 时 符合题意 1ln2k =-2k e =()()min 20F x F =-=③当，即 时 1ln 2k=-21k e ≤<在 上递减，在 上递增； ()F x 12,ln k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1ln ,k ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ 符合题意 ()()min 1ln ln 2ln 0F x F k k k ⎛⎫==⋅-> ⎪⎝⎭综上所述实数的取值范围是：k 21e ⎡⎤⎣⎦，【解析】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想与分类讨论的思想.。
2023-2024学年浙江省杭州高级中学高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题。
（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若数列{a n }的通项公式为a n =n 2+n ，则1a 1+1a 2+⋯+1a 100=（ ）A ．100101B ．1101C ．101100D ．99100 3．若数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝a n ﹣1，则a 2024＝（ ） A ．3B ．2C ．12D ．﹣14．在空间四边形ABCD 中，DA →=a →，DB →=b →，DC →=c →，且DM →=MA →，BN →=2NC →，则MN →=（ ） A ．12a →−13b →−23c →B ．−12a →+23b →+13c →C ．−12a →+13b →+23c →D ．−12a →+12b →+12c →5．以下四个命题中，正确的是（ ）A ．若OP →=12OA →+13OB →，则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →，b →，c →}为空间的一个基底，则{a →+b →，b →+c ，c →+a →}构成空间的另一个基底C ．(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．若a →•b →=a →•c →，且a →≠0，则b =c6．已知圆C 1：(x −2)2+(y +4)2=16，圆C 2：x 2+y 2+2x −3=0，则两圆的公切线的条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51 B ．﹣20C ．27D ．408．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线左支上一点，∠F 1MF 2＝90°，直线MF 2交双曲线的另一支于点N ，|MN |＝2|NF 2|，则双曲线的离心率（ ） A ．3B ．9C ．√5D ．2二、多选题。
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杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间 90分钟 命题 陈洁 校对 张先军 审核 孙惠华 注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x2．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 3．已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么 A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠5．已知βα,是两个不同平面，n m ,是直线，下列命题中不正确．．．的是 A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ B ．若//m α，n αβ=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x yC ．149422=-x yD ．149422=-y x7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = A ．23 B ．3C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是C ．2D ．29. 已知四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC 为水平线），则其侧视图的面积是 A. 2 B. 22C.D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a-的大小关系为A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m = . 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13. 在正ABC ∆中, D E 、分别为AB AC 、的中点,则以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为 .14．若,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，则z x y =+的最小值为 ．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全填上）：①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直； ③当四面体ABCD 的体积最大时，AC =；④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．（本小题满分12分）已知圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点. （1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM ON =，求圆C 的方程.17．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l的参数方程是6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分12分）如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面B C D ，2,BC CD ==AB E F 、分别为AC AD 、上的动点.（1）若AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．（本小题满分14分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ．(1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标；(3)设APQ∆的面积为S，当SPQ最小时，求AQ AP的值．杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答案（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上．11．32 12．280x y +-= 131 14．12- 15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分. 16．解：（1）由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． （2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：（1）22:1,4x C y += :260l x y +-=（2）设(2cos ,sin )M θθ，则M 到直线l 的距离d∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．（1）证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
又,CD BC CD ⊥∴⊥平面ABC .AE AFEC FD=，//EF CD ∴。
EF ∴⊥平面ABC ， EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC 。
（2）解法1：如图建立空间直角坐标系C xyz -则(2,0,0),B D A,1,(1,0,2AE E EC =∴,22,()33AF F FD =∴34(1,0,),(,2333BE BF ∴=-=-,设(,,),n x y z n =⊥平面BEF ，则0403x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，。
设1n ⊥平面BCD ，则1n 可取(0,0,1)，12cos ,2n n ∴<>= 所以，平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角为45︒。
法2：延长EF ,交CD 的延长线于G ，连结BG ， 过E 作EH BC ⊥于,H 则EH ⊥平面BCD ， 过H 作HK BG ⊥于K ，连结EK ,则EK BG ⊥，EKH ∴∠即为所求二面角的平面角。
11,2AE AE ABEC =∴==, 在Rt BCD ∆中，可以解得2HK =， ∴在Rt BCD ∆中，45EKH ∠=︒，即平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角为45︒。
19．解：（Ⅰ）设过)0,(a A 与抛物线12+=x y 的相切的直线的斜率是k ，则该切线的方程为：()y k x a =-，由()21y k x a y x ⎧=-⎨=+⎩得()210x kx ka -++= ()2241440k ka k ak ∴∆=-+=--=，则12,k k 都是方程2440k ak --=的解，故124k k =-。
（Ⅱ）法1：设()()1122,,,P x y Q x y ，故切线AP 的方程是：1112y y x x +=+，切线AQ 的方程是：2212y yx x +=+， 又由于A 点在AP 上，则1112y x a =+，2212yx a =+，1122y x a ∴=+，2222y x a =+则直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2.法2：设221122(,1),(,1)2424k k k k P Q ++， 所以,直线PQ：1212211121112()()41()()2()422222k k k k k k k k k k y x x a x k k -++--=-=-=--，即2211114421244k k ak y ax ak ax -+=-++=+，由（1）知211440k ak --=， 所以，直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2. （3）要使||APQ S PQ ∆最小，就是使得A 到直线PQ 的距离最小，而A到直线PQ的距离221122d ⎛⎫⎫===≥=即212a =时取等号.设()()1122,,,P x y Q x y ，由2221y xa y x =+⎧⎨=+⎩得2210x xa --=，则12122,1x x a xx +==-∴()()()()()()121212112222AQ AP x a x a y y x a x a ax ax ⋅=--+=--+++()()()2222212129143414324332a x x a x x a a a a a a =+++++=-++⋅++=+=.。