§4 矩阵分块法
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
4 矩阵的分块运算
A2 B2 0
它们还是准对角阵.
10
返回
准对角阵的行列式具有如下性质:
A A1 A2 As . 由此可知,若 Ai 0 ( i 1,2, , s), 则 A 0, 从而A可逆, 且有
A11 1 0 A 0 0 A2
1
0
11
0 0 0 . 1 0 As 0
2
返回
例如，把A分成若干子块
a11 a A 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 A11 a24 A 21 a34 A12 A22 A13 . A14
当然，还有其它分块法. 比如：
a11 a A 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
A11 A1 s B11 B1t , B . A Ar 1 Ars Bs 1 Bst C11 C1t , 于是有 AB C r 1 C rt 其中 C ij Ai 1 B1 j Ai 2 B2 j Ais Bsj
其中子块Aij与Bij的行数相同, 列数也相同, 则有
4
返回
A11 B11 A B 21 21 A B Ar 1 Br 1
A12 B12 A22 B22 Ar 2 Br 2
A1 s B1 s A2 s B2 s . Ars Brs
( i 1,2,, r; j 1,2,, t ).
6
返回
注意: 在分块矩阵的乘积中,左矩阵列的分 法必须与右矩阵行的分法一样.
线性代数-矩阵分块法
一 、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结 思考题
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
a 0
0 b
0 1
=
C1 C3
C2 C4
0 1 1 b
a 1 0 0
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
= A E
O B
,
其中OBEA
=
a0b1 01
01 0ba1
a 1 0 0
a10
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
=
( A1
A2
A3
A4
),其中A2413=
例
a
A
=
0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0
1 b
=
B1 B2 B3
,
即
a
A
=
0 00
1 a
1 1
0 0
1 1
0
0 bb
B1 = BB23
a 1 0 0
A
=
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
= C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A
=
0 1
AAsTsTrr
(5) 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对 角线
分块矩阵的方法,技巧与应用
分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。
特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。
这就是矩阵的分块。
设A 是一个m*n 矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵111212121212s s r r rs A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中ij A 表示一个矩阵。
关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵1. 导言在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。
对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。
分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。
本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。
2.1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。
例:在矩阵21210000010012101101E A A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭中,2E 代表2级单位矩阵,而11211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0000O ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵111221221032120124111153B B B B B ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭中,111012B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,123201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,211011B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ,224120B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是21112111212212211121112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中11121121010111211341024021111A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222123241110120304111332053A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭把上述计算结果作为小块的元素代入,得到1032120124011153AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
§4 矩阵分块法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1 n
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA ,A必须是方阵.
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子 式构成的矩阵
0 E
B11 E B B 22 21
所以
AB＝
E B B 21 22
B11 E AB B A B 1 11 21 1 22
其中
1 A1 B11 B21 1 3 0 1 A1 B22 1
伴 随 矩 阵
A
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
概 念
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩 阵 用伴随矩阵 A 求 法
1
1 A A
0 1 B
分块对 A 角矩阵 0
记
ij ) mn , ( a A=
x1 x2 x= , x n
b1 b2 b= , b m
B=
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 . a a m1 m 2 amn bm
将A按列分块,得
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列.
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
4 矩阵的分块
0 0 3 2
A 0 例2 设 D = C B 其中A，B都是可逆矩阵,
证明D可逆并求 D −1 解: 由A，B都是可逆矩阵, A ≠ 0 且 B ≠ 0 又 D = A B X 11 X 12 −1 得 D ≠ 0 所以D可逆的. 设 D = X 21 X 22 AX 11 AX 12 A 0 X 11 X 12 −1 DD = = CX + BX X CX 12 + BX 22 21 C B 21 X 22 11 X 11 = A−1 AX 11 = E E 0 AX = 0 −1 DD = E = X 12 = 0 得 12 得 0 E CX 11 + BX 21 = 0 X 21 = − B −1CA−1 −1 A 0 CX + BX = E −1 故D = 12 22 X 22 = B −1 −1 −1 −1 − B CA B
L L L
A1 A1 B A2 *: A2 B 1 Am×n Bn×s = B= M M Am Am B 有相应的重要结论(关于行的 关于行的)： 关于行的 (1) 乘积的第 i 行等于第一个矩阵的 i 行乘以第二个矩阵 第一个矩阵的
A11 ± B11 A21 ± B21 = M Am1 ± Bm1
A1n ± B1n L A2 n ± B2 n L Amn ± Bmn
其中
Aij
与
Bij (1 ≤ i ≤ m ,1 ≤ j ≤ n )
是同型矩阵
（二）矩阵数乘中矩阵分块 1 矩阵的数乘对矩阵的分块的要求：无要求 2 运算： ：
分块矩阵
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
分块矩阵
引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。
类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
第四节 矩阵分块法
1 A1 (5) , A1 ; 5 3 1 1 1 1 A2 2 1 , A2 2 3 ;
三、两种常用的分块法
1. 按行分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
a11 a12 a1n 1T T a a a 21 22 2n 2 A . a T a a mn m m1 m1
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax = b . (1) 的解向量. (2) 方程（2）以向量 x 为未知元，它的解称为方程组
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方
程组 Ax = b 可记作
1T 1T x b1 , b1 T T b 2 2 x b2 , 2 x 或 T b T m m m x bm ,
(3)
这就相当于把每个方程
ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi
记作
x bi (i 1, 2, , m) .
T i
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，则与 A 相
乘的 x 应对应地按行分成 n 块，从而记作
x1 x2 (a1 , a2 , , an ) b, x n
T s1
则
. T Asr
5. 分块对角矩阵
设 A 为 n 阶方阵, 若 A 的分块矩阵只有在主对
角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零 子块都是方阵, 即
A1 A
对角矩阵.
A2
, As
第二章§4 分块矩阵
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
4-5矩阵的分块
则 DAmn
§4.4 矩阵的分块
24/32
B1
B2
§4.4 矩阵的分块
a11 a12 a21 a22 Bm a m1 am 2 B1 B2 A B1 B n
a1n B1 a 2 n B2 amn Bn
§4.5
矩阵的分块
一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、准对角矩阵
一、分块矩阵的概念
设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一些线， 把这个矩阵分成若干小块．
例
a 0 A 1 0
1 0 0 a 0 0 A O 0 b 1 E B , 1 1 b
A的列的分法 与 B的行的分法 一致
其中C ij Aik Bkj
§4.4 矩阵的分块
i 1,, s; j 1, , r .
6/32
例1
设
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1 0 1 1 2 B 1 0 1 1 1 0 0 1 , 4 1 2 0
A11 A1r A . A Asr s1
§4.4 矩阵的分块
5/32
3、乘法 把矩阵 A (aik )mn , B (bkj )n p 分块成
A11 A A s1
的行数, 则
A1t , Ast
B11 B B t1
B1r , Btr
其中Ai 1 , Ai 2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Bij
C11 AB C s1
线性代数 §4 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
(Block matrix)
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算
(1)(加)法 设矩 A 与 B 阵 的行数 ,列相 数,同 相 采用相同 ,有 的分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A
, B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B E
CO,其中OBEA ab10001
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
A11B11 A1r B1r
AB
.
As1Bs1 AsrBsr
(2)
(数乘)
设A
A11
A1r
,为数,那末
As1 Asr
A11 A1r
A
.
As1 Asr
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A,B分块成 11 00 00 00
2-4 矩阵分块法
§4 矩阵分块法本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。
一、分块矩阵的概念设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43⨯矩阵111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 我们可以把它分成如下的四块111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。
在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。
例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的111121a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1213122223a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 312141a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3233224243a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们可以把A 简单地写成11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（1）分块矩阵的加法设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，采用同样的分块方法得1111r s sr A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r s sr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则11111111r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭（2）数乘分块矩阵设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，λ为实数，则1111r s sr A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）分块矩阵的乘法设()ij m l A a ⨯=，()ij l n B b ⨯=，分别分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则1111r s sr C C AB C A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1tij ik kj k C A B ==∑（1,2,,i s = ，1,2,,j r = ）例1 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求乘积AB解 为了求乘积AB ，我们可以对A 、B 进行如下的分块1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1E O A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭112122B E B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭按分块矩阵的乘法可得11111212211121122E O B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 11121121010111211A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2411-⎛⎫= ⎪-⎝⎭122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1010120124331131AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）分块矩阵的转置设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则1111T T s T T T r srA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（5）分块对角阵在n 阶方阵A 的分块矩阵中，如果只有在主对角线上有非零的小方阵，而其余子块均为零矩阵，即12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 称为分块对角阵。
第四节 分块矩阵
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
上页 下页 返回 结束
A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
上页 下页 返回 结束
例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
上页
下页
返回
结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 1 C 3 C4 b
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即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B1 0 B2 b B 3 b
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3 3
第二章 矩阵及其运算
a 0 又如 A 1 0
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9 9
第二章 矩阵及其运算
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6设 A A2 , As
o
o
A21
若 Ai 0 i 1, 2,
A11 A 1
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中 A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
5 5
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第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、矩阵分块的运算法则
1
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的
运算. 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线
分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
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2 2
第二章 矩阵及其运算
a 0 例如 A 1 0 a 0 A 0 0
1 0 0 B1 a 0 0 B2 , 0 b 1 B3 1 1 b
B1r , Btr
ms m
其中Ai1, Ai 2, , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , , Btj的行数
那么
C11 C1r l1 l2 lt l AB n1 n2 nr n C C s1 sr t Cij Aik Bkj i 1, , s; j 1, , r . 其中
第二章 矩阵及其运算
（2）设
A11 A A s1
A1r , Asr
为数，那么
A11 A A s1
A1r
. Asr
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k 1
m1 m2
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8 8第二章 矩阵Fra bibliotek其运算 A11 4 设 A As1
T T A A 1r As1 11 T . , 则 A AT AT Asr sr 1r
4 4
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第二章 矩阵及其运算
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
1 0 0 a 0 0 A O a b 1 0 1 0 , 其中O B E A 0 b 1 E B 0 0 1 b a 1 1 1 b
, s , 则 A 0,
并有
o
o
. 1 As
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1010
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第二章 矩阵及其运算
二、分块矩阵的运算规则 (1)设矩阵A与B的行数相同， 列数相同， 采用相同 的分法， 有
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
（5）设A为n阶矩阵， 若A的分块矩阵只有在主对角
线上有非零矩阵， 其余子块都为零矩阵， 且非零子块
都是方阵， 即 A1 O A2 其中 Ai i 1,2, s 都是方阵， A , 那么称A为分块对角矩阵. O A s
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那么 其中 Aij 与 Bij 的行数相同，
A11 B11 A B A B s1 s1
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A1r B1r . Asr Bsr
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（3）设A为 m l 矩阵，B为 l n 矩阵， 分块成
l1 m1 A11 A ms As1 lt A1t , Ast n1 l1 B11 B lt Bt1 nr
第二章 矩阵及其运算