(完整版)解直角三角形总结

解直角三角形总结

解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路

在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是

（1）边角之间的关系：

sinA＝cosB＝a

c

， cosA＝sinB＝

b

c

，tanA＝cotB＝

a

b

，cotA＝tanB＝

b

a

。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

（3）三条边之间的关系：

。

以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法

我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？

事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：

已知条件解法

一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=

sin

a

A

斜边c及锐角A B＝90°-A，a＝c·sinA，b＝c·cosA

两边

两条直角边a和b ，B＝90°-A，

直角边a和斜边c sinA=a

c

，B＝90°-A，

例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。

分析一：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC 中只知一个锐角A＝α，暂不可解。而在Rt△ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。

解法一：在Rt△ADE中，∵cosA=AE

AD

，且∠A＝α，AE＝1，∴AD=

cos

AE

A

=

1

cosα

，

在Rt△ADC中，∵cosA=AD

AC

,∴AC=

cos

AD

A

=

1

cos

cos

α

α

=

2

1

cosα

，

在Rt△ABC中，∵cosA=AC

AB

,∴AC=

cos

AC

A

=

2

1

cos

cos

α

α

=

3

1

cosα

.

分析二；观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。

解法二：同解法一得，∴AD=

1 cosα

，

在Rt△ACD中，∵AD2=AE.AC∴AC=

2

AD

AE

=

2

1

cosα

，

在Rt△ABC中，∵AC2=AD.AB∴AB=

2

AC

AD

=

3

1

cosα

。

说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形（图3），它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。

例2、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。

（1）若BD＝2，∠B＝30°，求AD的长；

（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：tanβ＝2tan α。

（1）分析：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD。而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解。

解：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，

∴AC＝BC ·tanB＝

3

2

26

，

在Rt△ADC中，∵DC＝BD2，

∴AD=22AC BC +=423

。 （2）分析：α和β分别为Rt △ABC 和Rt △ADC 中的锐角，且都以直角边AC 为对边，抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明tan β＝2tan α。 证明：在Rt △ABC 中，∵tan ∠ABC=AC BC

,∠ABC=α,∴AC=BC.tan α, 在Rt △ADC 中，∵tan ∠ADC=

AC DC

,∠ADC=β,∴AC=DC.tan β,又∵BC ＝2DC, ∴tan β＝2tan α。 例3、如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线。

（1）若AB ∶BD ＝3，求∠B ；

（2）又若BD ＝4，求。 分析：已知AD 是∠BAC 的平分线，又知两条线段的比AB ∶BD 3应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt △ADC 中，先求出∠DAC 即可求得∠B 。 解：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，∴AB AC =BD CD ,即AB BD =AC CD

3即 在Rt △ADC 中，∵cot ∠DAC=AC CD

3,∴∠DAC ＝30°, ∴∠BAC ＝2∠DAC ＝60°, ∴∠B ＝90°-∠BAC ＝30°.

（2）∵

AB BD 3＝4，∴AB 3＝3B ＝30°，∴AC ＝12

AB ＝3，又∵BC ＝AB ·cosB ＝6，∴ABC S ∆＝12BC ·AC ＝12×6×33