立体几何证明方法总结及经典3例(可编辑修改word版)

立体几何证明方法总结及典例

例1：平行类证明

【平行类证明方法总结】

线线平行的证明方法：

三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱

柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：

面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等

面面平行的证明方法：

面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥面BCE.

证法一：

如图（1），作PM∥AB交BE于M，

作QN∥AB交BC于N,连接MN,

因为面ABCD∩面ABEF=AB,

则AE=DB.

又∵AP=DQ,

∴PE=QB.

又∵PM∥AB∥QN,

∴ PM =PE , QN =BQ .

AB AE DC BD

∴ PM =QN .

AB DC

∴PM∥QN.

四边形PMNQ为平行四边形.

∴PQ∥MN.

又∵MN ⊂面BCE，PQ ⊄面BCE，

∴PQ∥面BCE.

证法二：

如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.

∵AD∥BC,

∴ DQ =AQ .

QB QK

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，

∴ AQ =AP .则PQ∥EK.

QK PE

∴EK ⊂面BCE，PQ ⊄面BCE.

∴PQ∥面BCE.

例2：垂直类证明

【垂直类证明方法总结】

证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等

【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G ．

求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ．

证明：∵ SA ⊥平面ABCD，

∴ SA ⊥BC ．

∵ AB ⊥BC ，

x 2 + y 2 + z 2 2 2 2 ∴ BC ⊥ 平 面

SAB ． 又∵ AE ⊂ 平面

SAB ，

∴ BC ⊥ AE ．

∵ SC ⊥ 平面 AEFG ，

∴ SC ⊥ AE ．

∴ AE ⊥ 平面 SBC ．

∴ AE ⊥ SB ．

同理证 AG ⊥

SD ． 例3：向量法解立

体几何类

【量法解立体几何类公式总结】

基本公式

若 a = (x 1 , y 1 , z 1

), b = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 ① a ⋅ = x x + y y + z z ； b 1 2 1 2 1 2

②| a |=

x 2 + y 2 + z 2 ,| b |= ；

1 1 1 ③ a ⋅ = x x + y y + z z b 1

2 1 2 1 2

④ cos < a , b >=

夹角公式： cos

= -

n 1 ⋅ n 2 . 1 2 距离公式：

d =| CD |= | AB ⋅ n |

| n | 【例】已知两个正四棱锥 P －ABCD

与 Q －ABCD 的高都为 2，AB ＝4．

（1） 证明：PQ ⊥平面 ABCD ；

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 1 1 1 2 2 2

⎧⎪ 得 2x 2 AD PQ ⎧n （2） 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；

（3） 求点 P 到面 QAD 的距离．

简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且 AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面 ABCD ，故可分别以直 线CA ， DB ， QP 为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图 1），易得

AQ = (-2 2， 0， - 2)， PB = (0， 2 2， - 2) ， cos < AQ ， PB >= AQ PB = 1 ．

所求异面直线所成的角是arccos 1

． 3

AQ PB （3）由（2）知，点 D (0， - 2 2，0)， = (-2 2， - 2 2，0)，

= (0，0， - 4) 设 n =（x ，y ，z ）是平 面 QAD 的一个法向量，则 ⎨n = 0， ⎨ + z = 0， x + y = 0， 取 x ＝1，得 n = (1， -1， - 2) ． 点 P ⎪⎩ AD

⎪⎩ 到平面 QAD 的距离 d = = 2 ．

3

PQ n n

6 立体几何证明经典习题

平行题目

1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.

求证：PC∥面BDQ.

2、如图（1），在直角梯形 P1DCB 中，P1D//BC，CD⊥P1D，且 P1D=8，BC=4，DC=4 ，A 是 P1D 的中点，沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B 成45°，设 E、F 分别是线段 AB、PD 的中点.

求证：AF//平面 PEC；

垂直题目

3、如图 2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面

PBC．求证：BC⊥平面PAC．