工科数学分析多元函数微分学-3多元数量值函数的导数与微分-偏导数
高等数学微积分教程第四章多元函数微分学--偏导数与全微分
∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
例7.求 u = x + sin
y + e yz 的全微分 2 ∂u ∂u 1 y ∂u yz = 1, = ye yz = cos + ze , ∂x ∂z ∂y 2 2 1 y ∴ du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 一元函数 可导 连续 多元函数: 多元函数 可微
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时，我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某个点P(x1,x2, ..., xn)处，对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的，那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d，则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时，方向向量的每个分量只有一个非零分量，其他分量为0，此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时，常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数，求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率；在物理学中，偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下，多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关，是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中，偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容，希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
多元函数微分法
2.偏导数的几何意义 :
z f ( x,y) f x ( x 0, y 0 ) : 表 示 曲 线 在点 y y0 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))处 的 切 线 对 轴 的 斜 率 x .
z f ( x, y) f y ( x0 , y0 ) : 表 示 曲 线 x x0 在 点 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))处 的 切 线 对y 轴 的 斜 率 .
n n
el cos 2 1 cos 2 2 cos 2 n 1.
en 0, ,0,1是R n的一个标准正交基 ; u f x 在点x0 处沿 l 方向的方向导数 f x 0 f l l
x0
f x 0 te l f x 0 lim t 0 t
定理2(可微的充分条件)
f x 内存在偏导数 , i 1, , n, 且所有偏导 x i 数均在点x 0 处连续, 则 f 在点x 0 处可微.
设u f x f x1 , x 2 , , x n 在点 x 0 的邻域
证明：
z f x x , y y f x , y f x x , y y f x , y y
u f x 在点x 0 处对x i 的偏导数
就是它在点 x 0 沿方向 e i i 1,2, , n 的方向导数， 即 f x 0 f x 0 te i f x 0 u lim x0 t 0 x i x i t f x 0 f x 0 x i e i f x 0 lim x i 0 x i x i
是 f x 在点x 0 处关于自变量 x的(一阶)全微分, 记作 du x x0 df x 0 Lx α, Δx
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在微积分中，我们学习了单变量函数的导数和微分，它们描述了函数在某一点的变化率和近似值。
然而，在现实生活中，很多问题都涉及到多个变量的函数，这就需要我们引入多元函数的概念。
多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数性质的重要工具。
一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一点关于某个变量的导数。
对于一个二元函数f(x, y)，它可以表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。
在这种情况下，我们可以计算函数f对于x的偏导数和对于y的偏导数，分别记为∂f/∂x和∂f/∂y。
偏导数的计算方法与单变量函数的导数类似，只是在求导时将其他变量视为常数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y和∂f/∂y = 2x + 2y。
这两个偏导数描述了函数f在某一点上关于x和y的变化率。
偏导数还可以进一步推广到更高维度的情况。
对于一个n元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以计算出关于每个变量的偏导数，分别记为∂f/∂x1，∂f/∂x2，...，∂f/∂xn。
这些偏导数描述了函数f在某一点上关于每个变量的变化率。
二、多元函数的全微分全微分是多元函数在某一点的线性近似。
对于一个二元函数f(x, y)，它的全微分可以表示为df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy。
其中，dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
全微分可以帮助我们计算函数在某一点的微小变化量。
例如，对于函数f(x, y)= x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的全微分可以表示为df = (2·1 + 2·2)·dx + (2·1 + 2·2)·dy = 10·dx + 10·dy。
这个全微分描述了函数f在点(1, 2)附近的线性近似。
多元函数的导数与微分
表示 PP0 (关于 l 的方向)的斜率. 当 t ® 0, x ® x0 , 割线转化为切线.
¶f 它关于 l 方向的斜率是方向导数 ¶ l .
x0
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例3.1 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向 解：当cos q ¹ 0 时，有
? f (0,0) f (t cos q, t sin q) f (0,0) = lim t® 0 ¶l t cos q × sin 2 q sin 2 q = lim = ; 2 2 4 t ® 0 cos q + t sin q cos q
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t ) = f ( x0 + tel ).
因此，f (x)在x0 处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0 处的导数，即
F (t ) - F (0) lim t® 0 t
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) = lim . t® 0 t
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y0
( x0 , y0 )
y
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
的方向导数.
当 cos q = 0 时，由于
f (t cos q, t sin q) - f (0,0) = 0,
¶ f (0,0) = 0. 从而 ¶l
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偏导数的定义
多元函数的偏导数和全微分
多元函数的偏导数和全微分多元函数是数学中非常重要的一类函数，它可以同时依赖于多个变量。
在研究多元函数时，我们需要关注其偏导数和全微分这两个重要概念。
一、偏导数的定义和性质偏导数是指多元函数在某个变量上的导数。
对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以定义为在某一点上，分别关于x和y的导数。
记作∂f/∂x 和∂f/∂y。
同样地，在三元函数中，我们可以定义三个偏导数∂f/∂x，∂f/∂y 和∂f/∂z。
偏导数的计算方法和一元函数的导数类似，只需要固定其他变量，将多元函数当作一元函数对某个变量求导即可。
偏导数有很多重要性质，以下是其中的一些：1. 混合偏导数的次序可以颠倒，即∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x)。
这个性质称为克拉默条件。
2. 如果混合偏导数∂²f/(∂x∂y) 和∂²f/(∂y∂x) 在某个点处连续，那么这两个偏导数必然相等。
3. 如果多元函数的所有偏导数都连续，那么它在定义域内必然是光滑的，也就是处处可微的。
二、全微分的概念和计算方式全微分是多元函数在某个点上的线性近似。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
在三元函数中，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dz。
在计算全微分时，我们将偏导数乘以对应的变量的微分，并将它们相加。
全微分可以帮助我们近似计算函数在某个点的微小变化量。
如果一个函数在某点处连续且具有光滑的偏导数，那么全微分也是唯一确定的。
三、应用举例偏导数和全微分在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 梯度下降法：在机器学习中，我们常常需要优化一个目标函数。
通过计算目标函数关于各个变量的偏导数，可以确定梯度的方向，进而采取适当的步长进行迭代，最终找到目标函数的最小值。
2. 经济学中的边际效用：在经济学中，边际效用是指额外增加或减少一单位某种物品所带来的效用变化。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在数学分析中，偏导数与全微分是研究多元函数的重要概念。
本文将从理论和实际的角度探讨多元函数的偏导数与全微分的定义、性质和应用。
一、偏导数的定义与性质偏导数是用来描述多元函数在某一变量上的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，偏导数是指在其他变量固定的情况下，关于某一变量的导数。
设有函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn是变量，对于i = 1,2,...,n，f对xᵢ的偏导数记作∂f/∂xᵢ。
偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过求极限的方式得到。
偏导数具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f, g，有∂(αf + βg)/∂x = α(∂f/∂x) + β(∂g/∂x)。
2.交换性质：对于任意的i, j，有∂(∂f/∂xᵢ)/∂xⱼ = ∂(∂f/∂xⱼ)/∂xᵢ。
3.对称性质：对于任意的i, j，如果混合偏导数∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)和∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ)在某个区域内存在且连续，那么它们相等。
二、全微分的定义与性质全微分是用来描述多元函数在某一点处的增量与变量之间的关系。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，在某个点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)处的全微分df记作：df = (∂f/∂x₁)dx₁ + (∂f/∂x₂)dx₂ + ... + (∂f/∂xn)dxn全微分的计算方法与一元函数类似，通过对每个变量求偏导数并乘以对应的微小增量得到。
全微分具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f，有d(αf + βg) = αdf + βdg。
2.链式法则：对于复合函数z = f(g(x₁, x₂, ..., xn))，其全微分可以表示为dz = (∂z/∂x₁)dx₁ + (∂z/∂x₂)dx₂ + ... + (∂z/∂xn)dxn。
3.二阶全微分：如果函数f具有二阶连续偏导数，那么df的全微分可以进一步求导得到d²f = (∂²f/∂x₁²)dx₁² + 2(∂²f/∂x₁∂x₂)dx₁dx₂ + ... + (∂²f/∂xn²)dxn²。
多元函数的偏导数与全微分论述与应用
多元函数的偏导数与全微分论述与应用一、多元函数的偏导数与全微分的定义多元函数是指具有多个自变量的函数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1,x2, ..., xn)，其中xi表示第i个自变量，其偏导数指的是在每个自变量上分别求导，而将其他自变量视为常数。
偏导数表示函数在某个特定自变量上的变化率。
以二元函数f(x, y)为例，分别对x和y求偏导数，可以得到偏导数表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
这表示当y是常数时，函数f关于x的变化率；当x是常数时，函数f关于y的变化率。
全微分是对于多元函数在某一点的线性近似表示。
对于一个二元函数f(x, y)，全微分表示为df=f_x dx + f_y dy，其中f_x和f_y表示分别关于x和y的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某一点处的微小变化量。
具体而言，对于自变量的微小变化dx和dy，函数f在该点产生的微小变化df可以通过全微分来表示。
二、多元函数偏导数的计算方法多元函数的偏导数的计算方法与一元函数的导数的计算方法类似，可以使用基本的微分法则进行计算。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，分别对每个自变量求偏导数，可以按照以下步骤进行计算：1. 将所有与求导无关的自变量视为常数。
2. 对于每个自变量，分别对其求偏导数。
对于每个自变量x_i，偏导数表示为∂f/∂x_i。
3. 求得的偏导数可以用来计算函数在不同自变量上的变化率。
三、多元函数偏导数与全微分的应用1. 最优化问题：多元函数的偏导数可以用于最优化问题的求解。
通过对各个自变量求偏导数，可以找到函数的最大值或最小值。
这在经济学、工程学和物理学等领域有广泛的应用。
2. 偏导数与曲面切平面：偏导数可以用来表示曲面在某一点处的斜率，从而可以求出曲面在该点处的切平面。
这对于三维几何和图形绘制具有重要意义。
3. 方向导数：偏导数可以用来计算函数在给定方向上的变化率。
通过对每个自变量求偏导数，然后将其与给定方向的单位矢量相乘，可以得到函数在该方向上的方向导数。
偏导数与多元函数微分
偏导数与多元函数微分偏导数和多元函数微分是微积分中重要的概念和工具。
它们在物理学、经济学、工程学等多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍偏导数和多元函数微分的概念及其应用，并探讨它们在解决实际问题中的重要性。
一、偏导数的定义与性质偏导数是指多元函数关于其中一个变量的导数。
对于函数$f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，我们可以定义它们的偏导数。
对于$f$关于$x$的偏导数，我们记作$\frac{\partial f}{\partial x}$，它表示$f$在点$(x, y)$上关于$x$的变化率。
同理，对于$f$关于$y$的偏导数，我们记作$\frac{\partial f}{\partial y}$，它表示$f$在点$(x, y)$上关于$y$的变化率。
偏导数具有以下性质：1. 线性性质：$\frac{\partial (af + bg)}{\partial x} = a\frac{\partialf}{\partial x} + b\frac{\partial g}{\partial x}$，其中$a$和$b$是常数。
2. 乘法法则：$\frac{\partial (fg)}{\partial x} = g\frac{\partialf}{\partial x} + f\frac{\partial g}{\partial x}$。
3. 链式法则：对于复合函数，如果$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，那么$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partialu}\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partialh}{\partial x}$。
二、多元函数微分的定义与性质多元函数微分是指多元函数在某点上的切线近似与函数变化的关系。
多元函数偏导数与全微分
多元函数偏导数与全微分多元函数的偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念。
在研究多元函数的变化率和近似值时，偏导数和全微分起着至关重要的作用。
本文将对多元函数的偏导数和全微分进行详细讨论。
1. 偏导数偏导数是指多元函数对于其中某个变量的导数，其他变量视为常数。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)，则函数f关于x的偏导数记为∂z/∂x，表示在给定y的值下，函数z对于x的变化率。
类似地，关于y的偏导数记为∂z/∂y。
对于多元函数来说，偏导数有多个，可以依次求取。
2. 偏导数的计算计算偏导数的方法与一元函数类似，将其他变量视为常数，对目标变量求导即可。
例如，对于函数z=x^2+y^2，我们分别求偏导数。
关于x的偏导数为∂z/∂x=2x，关于y的偏导数为∂z/∂y=2y。
求导的过程中，将其他变量视为常数，对目标变量进行求导计算。
3. 偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数为例，对于函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数∂z/∂x表示函数图像在该点处关于x轴的切线斜率，而∂z/∂y则表示关于y轴的切线斜率。
通过偏导数的计算，我们可以了解函数在不同方向上的变化率和趋势。
4. 全微分全微分是用线性逼近来描述函数值的微小变化。
对于函数z=f(x,y)，其全微分可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
这里的dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量。
全微分主要用于函数值的近似计算和误差分析。
5. 全微分与偏导数的关系全微分与偏导数之间存在着密切的关系。
对于二元函数而言，全微分dz可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中，∂z/∂x和∂z/∂y分别是偏导数，dx和dy是自变量的微小变化量。
可以看出，全微分dz与偏导数有着相似的表达形式，但全微分考虑了两个自变量的微小变化。
6. 全微分的应用全微分在实际问题中有着广泛的应用。
通过使用全微分，我们可以对函数值进行近似计算，从而得到函数在某一点的近似值。
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同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y
).
2021/3/18
5
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
f x ( x ,y ,z ) lx 0 if( m x x ,y ,z x ) f( x ,y ,z ) , fy (x ,y ,z ) ly i0fm (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ), fz (x ,y ,z ) lz i 0fm (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z ).
多元函数中在某点偏导数存在 ？ 连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 ) 处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
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4、偏导数的几何意义 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一 如图
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
解 fx(0,0)lx i0m |xx 0|00 fy(0,0).
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３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fy纯y(x偏,y)导 y x zx2zyfxy(x,y) ,x y zy2 zxf混yx (合x,偏y)导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
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例5 设zx3y2 3xy3 xy1， 求x2z2、y2zx、x2zy、y2z2及x3z3 .
xy
yx
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问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对x的
偏导数，记为
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x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
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例 3设 z arcx si， n 求 z， z. x 2y 2 x y
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
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几何意义:
偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的
斜率.
偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的
斜率.
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二、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
9
z y
1 1x2x2y2
x x2
y2
y
x2y2 (xy)
| y|
(x2y2)3
x2
x
y2
sgn1 y
(y0)
z
不存在．
y x0
y0
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例 4 已知理想气体的状态方程pV RT （R为常数），求证：p V T 1.
V T p
证
p
RT V
p V
VR2T;
V RT V R ; T pV T V ;
p T p
R p R
p VT V T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
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有关偏导数的几点说明：
１、 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
y0
y
记为z y
，f xx0 y
，zy
xx0
xx0或fy(x0,
yy0
y0).
yy0
yy0
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如果函数z f(x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z f(x, y)对 自变量x的偏导数， 记作xz，fx，zx或fx(x, y).
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例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
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例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
偏导数
偏导数的计算 高阶偏导数
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一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在y0 而 x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2
x
z
2
6xy2,
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z xy
6x2y9y21,
2z yx
6x2y9y21.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
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导二 函阶 数混 图合 形偏
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例 6设 u e ac xb o ， 求 y s 二 阶 偏 导 数 .
解 uaeaxcobsy, x
x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobs y,
2u abaexsinby, 2u abaexsinby.