工科数学分析多元函数微分学-3多元数量值函数的导数与微分-偏导数
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２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
解 fx(0,0)lx i0m |xx 0|00 fy(0,0).
2021/3/18
12
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
2021/3/18
14
几何意义:
偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的
斜率.
偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的
斜率.
2021/3/18
15
二、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y
).
2021/3/18
5
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
f x ( x ,y ,z ) lx 0 if( m x x ,y ,z x ) f( x ,y ,z ) , fy (x ,y ,z ) ly i0fm (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ), fz (x ,y ,z ) lz i 0fm (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z ).
V T p
证
p
RT V
p V
VR2T;
V RT V R ; T pV T V ;
p T p
R p R
p VT V T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
2021/3/18
11
有关偏导数的几点说明：
１、 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fy纯y(x偏,y)导 y x zx2zyfxy(x,y) ,x y zy2 zxf混yx (合x,偏y)导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
2021/3/18
16
例5 设zx3y2 3xy3 xy1， 求x2z2、y2zx、x2zy、y2z2及x3z3 .
偏 导 函 数 图 形
2021/3/18
导二 函阶 数混 图合 形偏
18
例 6设 u e ac xb o ， 求 y s 二 阶 偏 导 数 .
解 uaeaxcobsy, x
x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobs y,
2u abaexsinby, 2u abaexsinby.
xy
yx
2021/3/18
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问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
y0
y
记为z y
，f xx0 y
，zy
xx0
xx0或fy(x0,
yy0
y0).
yy0
yy0
2021/3/18
4
如果函数z f(x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z f(x, y)对 自变量x的偏导数， 记作xz，fx，zx或fx(x, y).
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
偏导数
偏导数的计算 高阶偏导数
2021/3/18 2
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在y0 而 x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
多元函数中在某点偏导数存在 ？ 连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 ) 处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
2021/3/18
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4、偏导数的几何意义 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一 如图
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2
x
z
2
6xy2,
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z xy
6x2y9y21,
2z yx
6x2y9y21.
2021/3/18
17
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
9
z y
1 1x2x2y2
x x2
y2
y
x2y2 (xy)
| y|
(x2y2)3
x2
x
y2
sgn1 y
(y0)
z
不存在．
y x0
y0
2021/3/18
10
例 4 已知理想气体的状态方程pV RT （R为常数），求证：p V T 1.
2021/3/18
6
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
2021/3/18
7
例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对x的
偏导数，记为
2021/3/18
3
x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
2021/3/18
8
例 3设 z arcx si， n 求 z， z. x 2y 2 x y
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
2021/3/18
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
解 fx(0,0)lx i0m |xx 0|00 fy(0,0).
2021/3/18
12
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
2021/3/18
14
几何意义:
偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的
斜率.
偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0 所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的
斜率.
2021/3/18
15
二、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y
).
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5
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
f x ( x ,y ,z ) lx 0 if( m x x ,y ,z x ) f( x ,y ,z ) , fy (x ,y ,z ) ly i0fm (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ), fz (x ,y ,z ) lz i 0fm (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z ).
V T p
证
p
RT V
p V
VR2T;
V RT V R ; T pV T V ;
p T p
R p R
p VT V T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
2021/3/18
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有关偏导数的几点说明：
１、 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fy纯y(x偏,y)导 y x zx2zyfxy(x,y) ,x y zy2 zxf混yx (合x,偏y)导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
2021/3/18
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例5 设zx3y2 3xy3 xy1， 求x2z2、y2zx、x2zy、y2z2及x3z3 .
偏 导 函 数 图 形
2021/3/18
导二 函阶 数混 图合 形偏
18
例 6设 u e ac xb o ， 求 y s 二 阶 偏 导 数 .
解 uaeaxcobsy, x
x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobs y,
2u abaexsinby, 2u abaexsinby.
xy
yx
2021/3/18
19
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
y0
y
记为z y
，f xx0 y
，zy
xx0
xx0或fy(x0,
yy0
y0).
yy0
yy0
2021/3/18
4
如果函数z f(x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z f(x, y)对 自变量x的偏导数， 记作xz，fx，zx或fx(x, y).
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
偏导数
偏导数的计算 高阶偏导数
2021/3/18 2
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在y0 而 x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
多元函数中在某点偏导数存在 ？ 连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 ) 处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
2021/3/18
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4、偏导数的几何意义 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一 如图
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2
x
z
2
6xy2,
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z xy
6x2y9y21,
2z yx
6x2y9y21.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
9
z y
1 1x2x2y2
x x2
y2
y
x2y2 (xy)
| y|
(x2y2)3
x2
x
y2
sgn1 y
(y0)
z
不存在．
y x0
y0
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例 4 已知理想气体的状态方程pV RT （R为常数），求证：p V T 1.
2021/3/18
6
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
2021/3/18
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例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对x的
偏导数，记为
2021/3/18
3
x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
2021/3/18
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例 3设 z arcx si， n 求 z， z. x 2y 2 x y
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
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