2023年北京高考数学真题实战复习(三年高考+一年模拟)专题13 概率统计综合题(解析版)

专题13 概率统计综合题1．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50)m 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：):m 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX ；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率42105=． （Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为3162=，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为2142=， X 的所有可能取值为0，1，2，3，则3113(0)52220P X ==⨯⨯=，21131131182(1)522522522205P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，2112113117(2)52252252220P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 21121(3)5222010P X ==⨯⨯==，387270123202020205EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）丙获得冠军的概率估计值最大．2．（2021•北京）在核酸检测中，“k 合1”混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确． （Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测． （ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数： （ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111．设X 是检测的总次数，求X 的分布列与数学期望()E X ．（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设Y 是检测的总次数，试判断数学期望()E Y 与（Ⅰ）中()E X 的大小．（结论不要求证明） 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次； 又两名患者在同一组，需要再检查10次， 因此一共需要检查20次． （ⅱ）由题意可得：20X =，30． 1(20)11P X ==，10(30)11P X ==． 可得分布列：()2030111111E X =⨯+⨯=． （Ⅱ）由题意可得：25Y =，30．2329851004(25)2099C C P Y C ==⨯=，95(30)99P Y ==．可得分布列：()25309999999911E Y =⨯+⨯=>=． ()()E X E Y <．另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为1p ，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为2p ，则12p p >， 此时有111()2030(1)3010E X p p p =+-=-；而22211()2530(1)3053053010()E Y p p p p p E X =+-=->->-=，()()E X E Y ∴<．3．（2020•北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ．试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件A ，“该校女生支持方案一”为事件B ， 则20013003(),()20040033001004P A P B ====++；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，13(),()34P A P B ==，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C ， 则221221311313()()(1)(1)3433436P C C C =-+⋅⋅-⋅=； （Ⅲ）01p p >．理由如下： 035015013502501502502p +==+++，设该校总人数为a ，则该校支持方案二的人数约为12a ，由表可知，男生支持方案二的概率为350735025012P ==+男，女生支持方案二的概率为150********P ==+女，所以一年级支持方案二的人数约为73500300404128⨯+⨯≈，故除一年级外其他年级支持方案二的概率为101404808800128002(800)2(800)2a a a p p a a a ---≈=<==---．4．（2022•东城区一模）根据Z 市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01)如下表所示：口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； （Ⅱ）从Z 市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z 市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a 年和b 年，依据表中的数据直接写出a 与b 的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85%0.060.051⨯=； （Ⅱ）该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.230.060.010.3++=，x 的可能取值为0，1，2，则0022(0)(0.3)(10.3)0.49P X C ==⨯⨯-=， 12(1)0.3(10.3)0.42P X C ==⨯⨯-=， 2202(2)(0.3)(10.3)0.09P X C ==⨯⨯-=，故X 的分布列为：（Ⅲ）a b >．5．（2022•朝阳区一模）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X 表示其成绩在[90，100]中的人数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用Y 表示其成绩在[80，90)的人数，试判断方差()D X 与()D Y 的大小．（直接写结果） 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由直方图可得第二组的频率为10.060.180.320.200.100.14-----=，∴全校学生的平均成绩为：450.06550.14650.18750.32850.20950.1072.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）由题可知成绩在80分及以上的学生共有50(0.200.10)15⨯+=人， 其中[90，100]中的人数为5，所以X 可取0，1，2，3，则321101053315152445(0),(1)9191C C C P X P X C C ======，|231055331515202(2),(3)9191C C C P X P X C C ======， 故X 的分布列为：()0123191919191E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）由题意可知随机变量X 服从超几何分布， 故2222244520252()(01)(11)(21)(31)9191919191D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， 同理，2204524()0123291919191E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 2222220452452()(02)(12)(22)(32)9191919191D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， 故()()D X D Y =．6．（2022•东城区二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年）到高中三年级(2021年）每年的视力平均值，如图所示．（1）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求X的分布列和数学期望，（3）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（1）由折线图可知：从2011年到2021年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，∴所求概率311P=；（2）从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，X∴所有可能的取值为0，1，2，∴2112884422212121214161 (0);(1);(2)333311C C C CP X P X P XC C C=========；则X的分布列为：X ∴的数学期望141612()0123333113E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由折线图知：自2017年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，∴自2017年开始的连续三年，200名学生的视力平均值波动幅度最小，则自2017年开始的连续三年，200名学生的视力平均值方差最小．7．（2022•房山区一模）良好的生态环境是最普惠的民生福祉．北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破．下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．月和9月中各任选一天，设随机变量X 表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X 的分布列；（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为21s ，空气质量污染天数的方差为22s ．试判断21s ，22s 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）记事件A 为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”， 由统计数据可知288()365P A =； （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，方法1：记事件B 为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”， 事件C 为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”， 事件D 为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”， 由题意知，事件B ，C ，D 相互独立， 且279217()(),()30103010P B P D P C =====，所以1313(0)()()()()1010101000P X P BCD P B P C P D ====⨯⨯=， (1)()()()()()()()()()()P X P BBC BCD BCD P B P C P D P B P C P D P B P C P D ==++=++931171139611010101010101010101000=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (2)()()()()()()()()()()P X P BCD BCD BCD P B P C P D P B P C P D P B P C P D ==++=++9719391793691010101010101010101000=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 979567(3)()()()()1010101000P X P BCD P B P C P D ====⨯⨯=， 所以X 的分布列为：方法2:(0)3030301000P X ===⨯⨯， 27933213392761(1)3030301000P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯，272132792732127369(2)3030301000P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯， 272127567(3)3030301000P X ⨯⨯===⨯⨯， 所以X 的分布列为：（Ⅲ）12s s =．8．（2022•丰台区一模）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的(098)a a <<人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2.s 当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明） 【答案】见解析【详解】()I 由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为560250014001000⨯=．()II 由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=． 用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以00331164(0)()(1)55125P X C ==-=，1231148(1)()(1)55125P X C ==-=， 2231112(2)()(1)55125P X C ==-=， 3303111(3)()(1)55125P X C ==-=， 所以X 的分布列为：()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=． ()III 易知五种毕业去向的人数的平均数为 200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a =．9．（2022•石景山区一模）某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如表（单位：小时）:（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率： （3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1x ，表格中的数据平均数记为0x ，试判断0x 与1x 的大小．（结论不要求证明） 【答案】见解析【详解】（1）抽出的20名学生中，来自高三的有8名， 根据分层抽样方法，估计高二的学生人数为： 830012020⨯=（人)． （2）设事件i A 表示“高一年级的第i 名学生”， 1i =，2，3，4，5，事件j C 表示“乙是高二年级的第j 名学生”， 1j =，2，3，4，5，6，7，由题意1()5i P A =，1()7j P C =，111()()()5735i j i j P AC P A P C ==⨯=， 设事件M 表示“该周甲的课后学习时间大于乙的课后学习时间”，由题意2131()()()(P M P A C P A C P =++4151425216)()()()63535A C P A C P A C P A C +++=⨯=， ∴该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为：29()1()35P M P M =-=． （3）77.588.5985x ++++==高一，78910111213107x ++++++==高二，6 6.578.51113.51718.5118x +++++++==高三，三组总平均值04070889.920x ++==，加入的三个数8，9，10的平均数为9，比0x 小，拉低了平均值，∴01x x >．10．（2022•西城区二模）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容． 某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．（Ⅰ）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率； （Ⅱ）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小．（结论不需要证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）样本中男生的人数为110010%110⨯=人，样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ， 则该学生选考乒乓球的概率110508()11001000105P A +==+； （Ⅱ）设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ， 从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ， 由题意P （B ）0.4=，P （C ）0.5=，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人， 估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为122220.4(10.4)0.50.4(10.5)0.32C C ⨯⨯-⨯+⨯⨯-=；（Ⅲ）11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>．11．（2022•西城区一模）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营．地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）:概率；（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X ，求随机变量X 的分布列以及数学期望；（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用1ξ表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“11ξ=”表示上车，“10ξ=”表示下车．相应地，用2ξ，3ξ分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ大小关系．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客60人，对应乘客在牛街站下车的20人，∴从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率201603P ==； （Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X ，可得取值为0，1，2，3，1~(3,)3X B ．318(0)(1)327P X ==-=，1231112(1)(1)3327P X C ==⨯⨯-=，223116(2)()(1)3327P X C ==⨯⨯-=， 33311(3)()327P X C ==⨯=． X ∴的分布列为：()313E X =⨯=．（Ⅲ）213D D D ξξξ<<．12．（2022•丰台区二模）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．（Ⅰ）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率； （Ⅱ）记随机变量X 为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件A ，则4811()70P A C ==， 所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为170； （Ⅱ）解：依题意随机变量X 的所有可能取值为0、5、10，则22444818(0)35C C P X C ⋅===， 313144444816(5)35C C C C P X C ⋅+⋅===，40044444481(10)35C C C C P X C ⋅+⋅===，所以X 的分布列为：所以()10503535357E X =⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）解：记随机变量Y 为消费者在一次抽奖活动中的收益， 则3Y X =-，所以183()(3)()33077E Y E X E X =-=-=-=-<， 所以我不愿意再次参加该项抽奖活动．13．（2022•昌平区二模）某产业园生产的一种产品的成本为50元/件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示．（Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X ，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为21s ，22s ，比较21s ，22s 的大小．（请直接写出结论）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）在样本空间中， 随机抽取一件产品为优等品的频率为3015%200=， 故若从流水线上随机抽取一件产品， 估计该产品为优等品的概率为15%； （Ⅱ）由题意得，样本空间中单件产品利润大于20元的频率为30500.4200+=， 故~(3,0.4)X B ，0033(0)0.40.60.216P X C ==⋅⨯=， 1123(1)0.40.60.432P X C ==⋅⨯=，2213(2)0.40.60.288P X C ==⋅⨯=，3303(3)0.40.60.064P X C ==⋅⨯=，故X 的分布列为（Ⅲ）每件产品的销售价格均降低了5元，∴产品的平均销售价格也降低了5元，故由方差的定义知，降价前后这200件样本产品的利润的方差不变，即2212s s =．14．（2022•门头沟区一模）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？ （Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是110，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为ξ，求ξ的分布列与期望．（Ⅲ）2.7万名志愿者中，1835-岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明） 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务， 且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中， 故乙可被分配的志愿服务共11， 所以乙被分配到场馆运行服务的概率为1:11（Ⅱ）由已知可得随机变量的可能取值为0，1，2，故02021181(0)(1)()1010100P C ξ==⨯-⨯=， 111211189(1)(1)()101010050P C ξ==⨯-⨯==， 2022111(2)(1)()1010100P C ξ==⨯-⨯=， 分布列如下：期望()012100501005E ξ=⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为09019190514100p +==+++，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为190189190519100p ==>+， 故10p p >．15．（2022•通州区一模）某单位有A ，B 两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如表：（Ⅰ）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ； （Ⅲ）试判断甲、乙员工在晚餐选择B 餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A 餐厅就餐，并说明理由． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设事件C = “一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”，事件D = “一天中乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”．由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40， 所以30()0.3100P C ==，40()0.4100P D ==； （Ⅱ）甲员工午餐、晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1；乙员工午餐、晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2．X 的所有可能取值为1，2．(1)0.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，(2)1(1)0.9P X P X ==-==． X 的分布列为12工晚餐选择B 餐厅就餐”， 1M = “甲员工在午餐时选择A 餐厅就餐”， 2M = “乙员工在午餐时选择A 餐厅就餐”，则11202(|)303P M N ==，22255(|)6513P M N ==． 因为1122(|)(|)P M N P M N >，所以在已知晚餐选择B 餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A 餐厅就餐．16．（2022•海淀区校级一模）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a 的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；（Ⅱ）现从年龄在[50，60)，[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[30，50)的概率为(0k P k =，1，2，⋯，20)，当k P 最大时，写出k 的值．（不用说明理由）【答案】见解析【详解】()I 由频率分布直方图可知，(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=，解得0.02a =， 故a 的值为0.02，设该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数为x ， 则500.40.20.510x -+⨯=，解得55x =． ()II 年龄在[50，60)内的人数为0.031010030⨯⨯=，年龄在[70，80)内的人数为0.011010010⨯⨯=，根据分层抽样，可知年龄在[50，60)内的抽取6人，年龄在[70，80)内的抽取2人，X 所有可能取值为0，1，2，36385(0)14C P X C ===，21623815(1)28C C P X C ===，1262383(2)28C C P X C ===，故X 的分布列为：数学期望()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=． ()III 设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50)内的人数为Y ，则Y 服从二项分布，由频率分布直方图得年龄在[30，50)内的频率为(0.0050.035)100.4+⨯=， 故~(20,0.4)Y B ，2020()0406(0kk k P Y k C k -==⋅⋅=，1，2，⋅⋅⋅，20)， 设20201121200406()2(21)422(1)040633kk k k k k C P Y k k k t P Y k C k k----⋅⋅=--=====-⋅⋅，当1t >时，8.4k <，(1)()P Y k P Y k =-<=， 当1t <时，8.4k >，(1)()P Y k P Y k =->=， 当8k =时，()P Y k =最大， 故当k P 最大时，8k =．17．（2022•西城区校级模拟）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取100个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．a ，b 的值．（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了2个，求2个灯泡中恰有一个是优等品的概率． （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由频率分布表的数据可知：180.18100a ==， 1000.2020b =⨯=．（Ⅱ）由表中数据可知，从灯泡样品中随机抽取一个优等品的概率为0.25，故2个灯泡中恰有1个是优等品的概率是12(0.25)(10.25)0.375p C =⨯⨯-=． （Ⅲ）X 的所有取值为0，1，2，3，由题意，够买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.020.180.2+=， 从这次批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，033(0)080.512P X C ==⨯=，123(1)0.2080.384P X C ==⨯⨯=，223(2)020.80.096P X C ==⨯⨯=，333(3)020.008P X C ==⨯=．所以随机变量X 的分布列为：0.0080.6⨯=．18．（2022•顺义区模拟）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下(x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）:（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；（Ⅱ）若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀(1k =，2，⋯，8)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ的大小关系（不必写出证明过程）．【答案】见解析【详解】()I 抽取的80人中，身体素质监测成绩达到优秀的有8694759856+++++++=人，故从高一年级学生中任意抽测1人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率5678010P ==． ()II 由散点图可知，高一（4）班的10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4人，X 所有可能取值为0，1，2，262101(0)3C P X C ===，11642108(1)15C C P X C ===，242102(2)15C P X C ===，故X 的分布列为：故()012315155E X =⨯+⨯+⨯=．1()(1)105III P ξ===，1(0)105P ξ===，则1414()5525D ξ=⨯=， 263(1)105P ξ===，242(0)105P ξ===，则2326()5525D ξ=⨯=， 39(1)10P ξ==，31(0)10P ξ==，则3919()1010100D ξ=⨯=， 442(1)105P ξ===，463(0)105P ξ===，则4236()5525D ξ=⨯=， 故2413()()()()D D D D ξξξξ=>>．19．（2022•海淀区二模）PMI 值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI 值趋势图．将每连续3个月的PMI 值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测．。