解析函数的理解
解析函数的定义
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.
• §2 函数解析的充要条件
• 2. 1 回顾解析函数 • 2.1.1 如果函数 f ( z ) 不仅在点 z 0 处可导， 而且在点 z0 的某邻域内的每一点都可导，则 称 f ( z ) 在点 z0 处解析，并称点 z0是函数的解 析点；如果函数 f ( z )在区域 D 内每一点都解 析，则称 f ( z )在区域 D 内解析或称 f ( z )为区 域 D 内的解析函数，区域 D 称为的 f ( z ) 解析 区域.
例5
2 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 2
h( z ) z 的解析性 . 解 由本节知识可知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
• 例1 求函数 • 解 因为
f ( z) z
n
的导数（ n 为正整数）.
n
k k ( z z )n Cn z (z )nk
(z) C (z)
n 1 n
n1
z C (z)
2 n
k 0
n 2
z C (z)
2 n n
n n
z
n
所以，由导数定义有
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
函数解析式的概念
函数解析式的概念
函数解析式是指用一种或多种数学符号、变量和常量构成的表达式，表示函数的数学规律。
该表达式通常是通过对自变量的运算得到函数值，同时也可以反过来通过给定的函数值推出对应的自变量值。
函数解析式是函数的基本表达形式，可以帮助我们对函数进行数学研究和应用。
在函数解析式中，通常使用字母表示自变量，该字母可以是任何一个符号，同时需要注意函数值的范围和定义域的限制。
如果函数解析式中只有一个自变量，这个函数被称为一元函数，例如y = f(x)；如果函数解析式中有两个或以上的自变量，这个函数被称为多元函数。
例如，y = 2x + 1 和f(x) = x^2 - 3x + 2 都是一元函数的解析式。
而z = x^2 + y^2 和T = f(P, V) 都是多元函数的解析式。
通过函数解析式，我们可以找到函数的零点、导数、积分等相关信息，这对于数学求解和数学建模都具有重要的意义。
数学中的解析几何与解析函数
数学中的解析几何与解析函数数学作为一门基础学科，包含着许多分支领域，其中解析几何与解析函数是数学中非常重要的两个概念。
解析几何研究的是平面和空间中的几何形状，而解析函数则探讨的是复平面上的函数性质。
本文将介绍解析几何和解析函数的概念、方法以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、解析几何解析几何是几何学中的一支重要学科，它将代数方法和几何方法相结合，研究平面和空间中的点、线、面及其相互关系。
解析几何基于坐标系和向量的概念，通过代数和几何的相互映射，解决了很多几何问题。
在解析几何中，最基本的概念是点和向量。
点的坐标表示了其在坐标系中的位置，向量则描述了点之间的方向和长度。
通过定义直线和平面的方程、求解交点和研究共线性等方法，解析几何能够准确地描述和分析几何图形的性质。
解析几何的应用非常广泛。
在物理学中，解析几何可以用来研究物体的运动轨迹和力的作用方向；在计算机图形学中，解析几何可以用来表示和变换二维和三维物体；在经济学和社会科学中，解析几何可以用来建立模型和分析数据等。
解析几何的方法和理论在实际应用中发挥着重要的作用。
二、解析函数解析函数是复变函数中的一个重要概念。
复变函数是指定义在复数域上的函数，解析函数是指在其定义域上处处可导的函数。
解析函数具有许多优良的性质和特点，使得它在数学和物理学中有着广泛的运用。
解析函数的复变数域上的可导性是其最重要的特征之一。
复变函数的可导性可以通过复变函数的柯西-黎曼方程来判断，这个方程与实变函数的导数定义有所不同。
解析函数的可导性可以保证其在整个定义域上的光滑性和无穷次可微性。
通过解析函数的级数展开和解析延拓等方法，我们可以研究解析函数的性质和行为。
解析函数的奇点和极点是解析函数研究的重点，它们能够反映函数在不同点的特殊行为。
解析函数的主值和复积分也是解析函数理论中的重要内容。
解析函数在数学领域的应用非常广泛。
在复数解析几何中，解析函数可以用来表示和变换复平面上的图形；在数论中，解析函数和解析数论可以用来研究数论中的问题；在物理学中，解析函数可以用来解决电磁场和量子力学中的方程等。
解析函数的概念
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象．它在理论和实际中有着广泛的应用．本章在先学习复变函数概念的基础上，讨论解析函数．学习函数解析的的一个充要条件，以及如何用实部、虚部所具有的微分性质表达函数的解析．学习常用的初等复变函数．§2.1 解析函数的概念教学目的：1．理解并掌握复变函数可微和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义；能正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性．2．能理解并掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二 元实函数的关系（C —R 条件）；正确运用解析的充要条 件判断函数的解析性．3．熟练掌握几类初等单值解析函数，并了解几类典型的 初等多值解析函数．重难点：证明函数的可导性与解析性；掌握函数可导与解析的联系 与区别．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.1.1 复变函数的导数解析函数是复变函数论的主要研究对象, 它是一类具有某种特性的可微函数．首先, 我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,记0z z z -=∆且对 00()z z z ∀+∆∈，)()(0z f z f w -=∆)()(00z f z z f -∆+=, 如果z w z ∆∆→∆0lim00)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有 ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dw A dz ==,即 A ＝zw z f z ∆∆='→∆00lim )(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→． 如果z w z ∆∆→∆0lim 00)()(lim 0z z z f z f z z --=→不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注：10. 由于复变函数导数的定义与实函数导数的定义形式一致,容易验证, 实函数求导的基本公式大多可不加更改地移植到复变函数上来．20.由定义2.1易得, 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 讨论z z f =)(在z 平面上的可导性．解 在复平面上任取一点z ,由于当0→∆z 时,zz z z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的 极限不存在, 所以 z z f =)(在点z 不可导．再由z 的任意性, z z f =)(在z 平面上处处不可导．（注意z zz z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在图2 .1）例2 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0． 证明 由于 0000()()()(0)lim lim 0z z z f z f z f z f z z z →→--=--200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例3 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导． 证明 因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z zz z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时00000000Im Im Im Im ()()Re()lim lim 1z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- 考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时00000000Re Re Re Re ()()Re()lim lim 0z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()limz z z z z z →--不存在， 即()f z 在0z 没有导数． 由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．例4 证明: 函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且 1)(-='n n nz z (n 为正整数) ．证明 在z 平面任取一点z , 因为()()()n nf z z f z z z z z z+∆-+∆-=∆∆121(1)2n n n n n nz z z z ----=+∆++∆ 所以 0lim →∆z 1)()(-=∆-∆+n nz z z f z z f , 即n z z f =)(在点z 可 导,且1)(-='n n nz z . 由点z 的任意性知, 结论成立．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示： 22224200()(0)lim lim 01y y x ky x kyf z f xy k z x y k →→==-==-++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.§2.1.2 解析函数的概念与求导法则1.【定义2.2】如果)(z f 在点0z 的某邻域内处处可导, 则称)(z f 在点0z 解析；如果)(z f 在区域D 内可微(即)(z f 在D 内每一点都可导), 则称)(z f 在区域D 解析； 如果)(z f 在区域G 内解析, 而闭区域G D ⊂,则称)(z f 在闭区域D 上解析．如果)(z f 在0z 处 不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.（如图2 .2）说明: 由定义2.2知,10.函数解析一定是与相关区域联系在一起的．即函数在一点解 析不是函数在该孤立点的性质. 函数在一点可导与在一点解析不等价；指函数在此点的某邻域内可导；20. 函数在一个区域D 内解析有时也称此函数为区域D 上的全纯函数或正则函数．函数在区域D 内解析等价于函数在区域D 内处处可导(即在区域D 内每一点都解析)．函数在某闭区域上解析是指函数在包含此闭区域的更大的区域内解析．2.类似于实函数的求导法则, 关于解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z'''⋅=+⋅；2()()()()()[](()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n z nz -'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）．（4）多项式函数n n n a z a za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n z na z p （5）而有理函数m m n nb z b a z a z R ++++=00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的． 2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析, ()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合 函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且 ()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则 ()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''． 提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案: 32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ） 例5 设212)23()(+-=z zz f , 由上述法则知, 2202()21(32)(32)f z z z z z ''=-+-+22021(32)(61)z z z =-+-．例6 求函数 5223()41z z f z z -+=+的解析性区域以及在该区域上的导数．解 设52()23,()41P z z z Q z z =-+=+，则P(z) , Q(z)在全平面上 解析，再由商的求导法则知()0Q z ≠时， ()()()P z f z Q z =在平面上解析，由()0Q z =得2i z =±；故函数)(z f 的解析区域是全平面除点2i z =±外的区域．且由商式求导公式得4222246104241()(41)z z z z f z z ++--'=+． §2.1.3 解析函数的一个充要条件（柯西—黎曼条件）与判别从形式上，复变函数的导数及其运算法则与实函数几乎没有什么差别，但实质上它们之间存在很大的的差异．下面，我们来研究复变函数的可微和解析与其实部、虚部两个二元实函数之间的关系．【定理2. 1】（可微的充要条件）设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）的充要条 件是 ：(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, （ 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ）．证明 必要性:若 )(z f 在点D iy x z ∈+=可微记ib a z f +=')(,v i u w ∆+∆=∆, y i x z ∆+∆=∆, 其中 (,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-由导数的定义知()()()()()w f z z o z a ib x i y o z '∆=∆+∆=+∆+∆+∆()0()(0)a x b y i b x a y z z =∆-∆+∆+∆+∆∆→比较上式两边的实部、虚部得 ),(),(y x u y y x x u u -∆+∆+=∆y b x a ∆-∆=()o z +∆)(0z ∆→）),(),(y x v y y x x v v -∆+∆+=∆)()b x a y o z =∆+∆+∆(0z ∆→）再由实函数中二元实函数可微的定义知, ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微, 且xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,． 充分性: 记xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,, 且),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微,所以 w u i v ∆=∆+∆[()][()]x y x y u x u y o z i v x v y o z ''''=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()()()]x x y y u i v x u i vy o z ''''=+∆++∆+∆ ()()()a b i x b i a y o z=+∆+-+∆+∆ ()()()a b i x i a b i y o z =+∆++∆+∆()()()a b i x i y o z =+∆+∆+∆ ()()f z z o z '=∆+∆. 所以 00()lim lim ()x x o z w a bi f z z z∆→∆→∆∆'=++=∆∆. 说明：10. 定理2.1中条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,称柯西—黎曼条件或柯西—黎曼方程或C R -方程．20. 由定理2.1的证明知，如果),(),()(y x iv y x u z f +=在 点iy x z +=可微， 则有导数公式 yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(． （由C R -方程还可以写出其它形式）30.特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂， 但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导. 在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续的偏导数可以 推得二元函数可微, 由此可得【推论】※ (可微的充分条件) 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在 区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．将上述定理1及其推论运用到区域D 的每一点上，可得函数解析的充要条件．【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上， 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程． 注： 定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性．例7 讨论下列函数的可导性与解析性．（1）()Re f z z =解： 设iy x z +=, 则有()Re f z z x ==,记 (,)u x y x =, 0),(=y x v ． 因1,0u u x y∂∂==∂∂, 0,0=∂∂=∂∂y v x v , 显然它们不满足C —R 条件, 所以 由定理1知, ()Re f z z =在z 平面上处处不可导且处处不解析．（2）2)(zz f =．解： 设iy x z +=, 则有222)(y x zz f +==, 记 22),(y x y x u +=, 0),(=y x v ． 因y y u x x u 2,2=∂∂=∂∂, 0,0=∂∂=∂∂yv x v , 显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需0,0==y x 即可,所以 2)(zz f =仅在原点可导, 但在z 平面上处处不解析． （3）()(cos sin )x f z e y i y =+.解：设iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=,则有 cos ,sin x xu e y v e y ==因为 cos ,sin x x x y y x u e y v u v e y ''''===-=，且四个偏导数存在且连续，所以 ()f z 在z 平面上处处可导且处处解析且)()(z f z f =' ()(cos sin )()x z u v f z i e y i y e f z x x∂∂'=+=+==∂∂． 注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数．说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时, 可先找出实部和虚部实函数,再验证定理2.2或者推论的条件(1)和(2)得出可导性. 但在回答解析性时一定要慎重, 必须再考虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出正确的回答．若C —R 方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不 解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ）7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ） 练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性． 解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yv x v ,显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需,12-=x 即21-=x , 所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性． 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因 2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v v xy y x x y∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的． 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导， 但在z 平面上处处不解析．例8 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数． 解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续， 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩ 故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例9若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析.证明 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例10 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求 (3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上， 所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-． 例11判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立， 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且()f z '＝23z ．例12 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a = 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+ 解得：m =1, 3-==l m .例13 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一,证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂， 故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故 0u u x y∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则 ),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, xv y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ； 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数．（5）设a ≠0，则a bv c u -=，于是有 y y x x v a b u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 .;x y y x v u v u -== 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴u,v 必为常数，即f(z)为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用．例14 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析． 说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义． 练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂． 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂,6u v xy y x ∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件．所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数． 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂． 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.小结：1.函数在一点解析与函数在一点可导不是等价命题；函数在一个区域上解析与函数在一个区域上可导是等价命题.2.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否满足柯西－黎曼条件来判定.3.多项式复函数、整数次幂的幂函数、有理函数（分母不为零时）在整个复平面上解析.解析函数的四则运算解析（作商式运算时分母不为零）.4.函数的导数公式只须记住：()u v f z i x x∂∂'=+∂∂及柯西－黎曼方程，则在求导数时可根据条件写出相应公式.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数.。
解析函数的概念
若 推论 ： u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程,
vy iuy 2x i 2 y 2 x iy 2z
例题2
判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) w z ;
2) w z Re( z )
解： 由w z x iy ,得 ux, vy, 所以 1)
（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）
例3 讨论 w
f ( z) z
2
的可导性。
2 2
w f ( z z ) f ( z ) z z z 解： z z z
w z 0 (z 0) f (0) 0 z 0: z w zz z 0 : 取z x 0 z w zz 取z iy 0 z
容易证明： 可导
可微 ；可导 连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
2.1.5.求导法则 当 f ( z ), g ( z ) 都是复变数的可导函数时， 可以证明下列求导公
式与法则成立：
(1) [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ); (2) [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ); f ( z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) (3) [ ] , ( g ( z ) 0 ); 2 g ( z) g ( z) (4) {f [ g ( z)]} f (w ) g ( z); 其中 w g ( z ) ； (5) 若 z (w ) 是函数 w f ( z ) 的反函数，且 f ( z ) 0, 则 dz 1 (w ) ； dw f [ (w )]
-解析函数的概念
[ f ( z z ) f ( z )] 0 , 因此必有 lim 即 0 0
z 0
z z 0
lim f ( z ) f ( z ) 0
所以， 可导一定连续。
3 求导法则 求导公式与法则： C ) 0 , 其中 C 为常数。 (1) (
n 1 为正整数。 z) nz , 其中 n (2) ( n
( y y ) 2 ( x x ) i y 2 xi lim x 0 x i y
y 0
y 2ix lim x 0 x iy
y 0
由于
y 2ix lim 2 i, x0 x iy
y0
y 2ix lim i x0 x iy
。 A z 在 z 0 处的微分， 记作 dw ，即 dw
f( z )在 z 0 可导，则必在 z 0 因此，一个函数 w
f ( z ) z 。 可微，且 dz 0
反之，设函数在 z 0 处可微，则 w A z ( z ) z
w A lim ( z ) A ,即 因此 lim z 0 z 0 z
第二章
解析函数
§1
解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分 二 解析函数的概念
一 复变函数的导数与微分
1 导数的定义
z0 为 设函数 w f( z )定义在区域 D 内， z 不出 D 的范围， 如果极限 D中的一点。 点 z 0
定义
f ( z z ) f ( z ) 0 0 lim z 0 z f( z )在 z 0 处是可导的，而称这 存在，则说函数 w
数在一个区域 D 上每一点处都是解析的，则称函数为
解析函数定义
解析函数定义解析函数定义，是指对于给定的函数定义，通过对其进行分析和解释，来理解函数的含义、功能和用法。
在计算机编程中，函数是一段可重复使用的代码块，用于封装特定的功能，以便在程序中多次调用。
函数定义通常由函数名、参数列表、返回值类型和函数体组成。
函数名是函数的标识符，用于在程序中调用函数。
函数名应具有描述性，以便程序员能够清楚地理解函数的用途。
参数列表是一组输入参数，用于传递数据给函数。
参数列表可以包含零个或多个参数，每个参数都有一个类型和一个名称。
参数类型指定了参数的数据类型，例如整数、浮点数或字符串。
参数名称是程序员为参数选择的标识符，以便在函数体中引用参数的值。
返回值类型指定了函数返回的数据类型。
函数可以返回一个值，也可以不返回任何值。
如果函数返回一个值，那么返回值类型指定了该值的数据类型。
函数体是函数的主体部分，包含了实现函数功能的代码。
函数体可以包含变量声明、条件语句、循环语句和其他逻辑操作。
函数体中的代码会在函数被调用时执行。
函数定义的目的是为了将一个复杂的任务分解为多个小的、可重复使用的部分。
这样，程序员可以更好地组织和管理代码，并提高代码的可读性和复用性。
函数定义还可以提高程序的模块化和可维护性。
当程序需要执行某个功能时，可以直接调用相应的函数，而不需要重复编写相同的代码。
在解析函数定义时，需要注意函数的语法和语义。
语法是指函数定义的规则和结构，包括正确使用关键字、标识符、括号和分号等。
语义是指函数定义的含义和行为，包括函数的输入、输出和副作用。
解析函数定义的过程可以通过以下步骤进行：1. 首先，识别函数的声明部分。
函数的声明通常包含函数名、参数列表和返回值类型。
通过读取和解析这些信息，可以了解函数的基本信息和用途。
2. 其次，分析函数的实现部分。
函数的实现部分包括函数体和函数内部的代码。
通过分析函数体中的代码，可以理解函数的具体功能和实现方式。
3. 然后，检查函数的参数和返回值。
初中数学的解析函数的定义与像特点解析
初中数学的解析函数的定义与像特点解析解析函数是数学中的一个重要概念，在初中数学中起到了至关重要的作用。
本文将对初中数学中的解析函数进行定义和特点解析，以帮助读者更好地理解和应用解析函数。
一、解析函数的定义解析函数是指在某个区域内解析的、具有可导性的函数。
具体来说，对于给定一个函数f(x)，如果在某个区域内，它的导数f'(x)存在且连续，那么我们称该函数为解析函数。
解析函数可以用复函数的形式表示，例如f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)是实函数。
二、解析函数的像特点解析1. 实部与虚部的连续性：解析函数的实部和虚部都是连续的实函数。
这意味着，解析函数在其定义区域内实部和虚部的值都是连续变化的，没有跳跃点或断裂点。
2. 满足柯西—黎曼方程：解析函数满足柯西—黎曼方程，即其实部和虚部的一阶偏导数满足以下条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x这个方程表明，解析函数的实部和虚部之间具有一定的关系，二者的变化要符合某种规律。
3. 解析函数的导数存在：解析函数在定义区域内的导数存在且连续。
这意味着，解析函数在其定义区域内可以求导，并且导函数也是解析函数。
4. 具有解析性的域：解析函数在其定义区域内具有解析性，也就是说，在解析函数的定义区域内，函数在每一点都能求得导数。
5. 唯一性：在解析函数的定义域内，如果两个解析函数的实部和虚部都相等，那么这两个函数是相等的。
也就是说，解析函数在其定义区域内的值是唯一确定的。
综上所述，初中数学中的解析函数具有实部和虚部的连续性、满足柯西—黎曼方程、导数存在、具有解析性的域以及唯一性等特点。
解析函数在数学中有着广泛的应用，特别是在复变函数理论和物理学中。
例如，解析函数可以用来描述流体力学中的速度场、电场和磁场等物理现象。
其数学性质的研究也为解析函数的应用提供了理论基础。
总结：通过对初中数学中解析函数的定义与像特点进行解析，我们可以更好地理解和应用解析函数。
解析函数的定义
解析函数的定义函数是一种封装了一系列代码的结构，它可以接受输入参数并返回输出结果。
在程序设计中，函数是非常重要的，因为它们可以让我们把程序分解成更小的部分，从而使代码更加模块化、可读性更高、易于维护和重用。
在本文中，我们将详细讨论函数的定义、语法、参数传递方式、返回值类型、作用域和生命周期等方面。
一、函数的定义在Python中，定义一个函数需要使用关键字“def”，其语法如下：def function_name(parameters):"""docstring"""statement(s)其中，“function_name”是自定义的函数名，“parameters”是可选的参数列表，“docstring”是可选的文档字符串（用于描述函数的功能和使用方法），而“statement(s)”则是实现函数功能的语句块。
例如，下面这个简单的Python函数可以计算两个数之和：def add(x, y):"""This function adds two numbers"""return x + y二、参数传递方式Python中有两种参数传递方式：位置参数和关键字参数。
1. 位置参数位置参数指定了每个参数在调用时应该出现的位置。
例如，在上面那个add()函数中，x和y就是位置参数。
调用该函数时必须按照顺序传入两个数值：result = add(3, 5)2. 关键字参数关键字参数是指在调用函数时使用参数名来指定参数。
例如：result = add(x=3, y=5)这里的x和y就是关键字参数。
三、返回值类型Python中的函数可以返回任何类型的值，包括数字、字符串、列表、元组、字典等。
如果函数没有返回值，则默认返回None。
例如，在下面这个函数中，它将一个字符串转换为大写并返回：def to_uppercase(string):"""This function converts a string to uppercase"""return string.upper()四、作用域和生命周期Python中有两种作用域：全局作用域和局部作用域。
函数解析法
函数解析法函数解析法是数学中一种常用的求解问题的方法，它通过对函数进行分析、拆解和推导，来获得问题的解。
函数解析法通常适用于解决各种数学问题，如求函数的极限、导数、积分等。
本文将介绍函数解析法的基本概念和应用，并通过具体例子来说明其实际应用。
函数解析法的基本概念在数学中，函数解析法是指通过对函数的解析和推导，来求解函数的性质和特征。
函数解析法的基本概念包括函数的定义域、值域、连续性、导数、极限和积分等。
这些概念在数学问题中起着重要的作用，通过对函数进行解析和推导，可以更好地理解和描述函数的性质。
函数解析法的应用函数解析法在数学中有广泛的应用。
例如，在求函数的极限时，可以通过对函数进行解析和推导，找出函数在无穷大或无穷小处的极限值。
在求函数的导数时，可以通过对函数的解析和推导，得到函数在每个点的斜率。
在求函数的积分时，可以通过对函数的解析和推导，得到函数在某个区间上的面积。
具体例子为了更好地理解函数解析法的应用，我们来看一个具体的例子。
假设有一个函数f(x)，其定义域为实数集，值域为正实数集。
我们需要求函数f(x)在某个点x=a处的导数。
我们可以对函数f(x)进行解析和推导。
假设函数f(x)可以表示为f(x) = x^2 + 3x + 2。
然后，我们可以求出函数f(x)在点x=a处的导数。
根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a) = lim(h→0) (f(a+h) - f(a))/h。
接着，我们可以代入函数f(x)的表达式，得到导数的具体计算公式。
根据函数f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以计算出f(a) = a^2 + 3a + 2。
将这些值代入导数的计算公式，我们可以得到函数f(x)在点x=a处的导数。
通过这个例子，我们可以看到函数解析法在求解函数的导数问题中的应用。
通过对函数进行解析和推导，我们可以得到函数在每个点的导数值，从而更好地理解函数的性质和特征。
解析函数的理解
解析函数的理解我的理解是解析函数就是一个函数对自变量，也就是取得值在x 轴或者Y轴上面的函数。
这里所说的x轴和Y轴分别指的是对应于所取的自变量，只与自变量自身的一种特定关系的参照物。
1、解析函数都有一个基本性质，即当我们用解析函数解析式表示一个给定的函数时，一般情况下在左边自变量的对应值，会是符合我们要求的解析式中x轴和Y轴的一个函数值。
所以可以使用解析式解答问题。
不需要特别提示的就是y=f(x)， f(x)就是y=f(x)，如果f(x)，f(-x)， f(0)， f(2)……其实f(x)=y。
2、我们再来看解析式x=f(x)在自变量上也可以写成很多种形式，例如： y=f(x)+c。
从自变量角度来说就是把自变量写成含有已知值f的形式。
当然了，只有这些解析式才能用于解析函数，那么，我们把上面的解析式记住之后呢，就会发现，原来解析式不但可以把自变量直接表示出来，还可以通过f(x)，也就是解析式得到自变量的单调区间。
从而也就有了不同的解析函数之间的关系。
2、任意两个解析函数相乘，都是先对应的两个函数值进行相乘。
如果他们有共同点，即都符合x， y满足的关系。
我们称为这两个解析式相乘等于零。
如果没有共同点，或者说有差异，就要看乘积是否在零点上，有无意义。
如果在零点上，则是我们所熟知的二次函数，因为二次函数的图像可以简化为一条直线，与y=f(x)相乘为零，所以二次函数相乘等于零。
如果不在零点上，又是什么情况呢？这就要看， f(x)、 g(x)分别是两个函数在x轴的分界点，有意义的，这两个函数相乘等于零；没有意义，这两个函数相乘等于零。
3、利用对应法则。
对应法则的基本思想是：在求自变量值时，通常把一个实际问题（或函数）的自变量按照某种条件换算成与它有对应关系的另一个实际问题（或函数）的自变量，并对两个实际问题（或函数）求导，利用对应法则求得实际问题（或函数）的解析式。
在指数上有几个实用的解析函数，包括e^x， e^y， f^x， f^y，f^{-x}， g^x， g^y，它们分别对应x=0， x=y=1， y=x=-1， x=-y=-1，y=x=-1， y=0。
解析函数的概念
f (z0 z) f (z0 ) z
z0 z 2 z0 2 z
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z
z0 z0 z0 z z0z zz z0 z0 z
z0
z
z0
z z
(1)
若
z0
0，则
lim
z0
f
(0 z) z
f
(0)
0
(2) 若z0 0,让z0 z沿直线y y0 k(x x0 ) 趋向z0 则
据此定理：1’多项式在复平面内处处解析. 2’有理分式函数在不含分母为 零的点的区域 内解析，使分 母为零的点是其奇点.
注意：f (z)在区域内解析 f (z)在区域 内可导.
f (z)在一点处解析 f (z)在该点 处可导.
例3：讨论函数的 f (z) z2 , f (z) x 2 yi, f (z) z 2 的解析性
解： f (z) z2在复平面内是解析的； f (z) x 2 yi在复平面内是处处 不解析的； f (z) z 2的解析性
２．解析函数的概念
定义：如果函数f (z)在z0及z0的邻 域内处处可导，则称f (z)在z0解析.如 果f (z)在区域D内每一点解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的 一个解析函数.
如果f (z)在z0不解析，则称 z0为f (z)的 奇点.
z z
x xBiblioteka yi yi1 1y
x y
i i
1 ki 1 ki
x
由于k值的任意性，可知当 z 0时，
无极限 .
f (z0 z) f (z0 ) z
因此f (z) z 2 仅在z 0处可导，在其他点处 都不可导，由解析函数 的定义，它在复平面 上处处不解析 .
复变函数中的解析函数与调和函数
复变函数中的解析函数与调和函数复变函数是数学中的一门重要分支，它研究的是具有两个独立变量的函数，其中一个变量是实部，另一个变量是虚部。
复变函数的研究非常有意义，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
在复变函数中，有两个重要的概念，即解析函数和调和函数。
一、解析函数复变函数中的解析函数是指在某个区域内处处可微的函数。
具体来说，如果复变函数在某个区域内的每一点都有导数，那么这个函数就是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，如导数的存在性和唯一性。
根据解析函数的性质，我们可以通过求导来研究其它的解析函数性质，这是解析函数研究中的一种重要方法。
解析函数具有的性质还包括保角映射和调和性。
保角映射指的是解析函数在某个区域内保持角度关系不变，这在几何学中有广泛的应用。
调和性是解析函数的另一个性质，它表示解析函数的实部和虚部都是调和函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，它在物理学中有着重要的应用，如电势场和热传导等领域。
二、调和函数调和函数是解析函数的实部和虚部，它是复变函数中的一个重要概念。
调和函数具有很多重要的性质，如最大值原理和平均值性质。
最大值原理是指调和函数在区域内取得最大值或最小值时，必定位于边界上，这是调和函数研究中的一个重要结论。
平均值性质是指调和函数在区域内每一点的函数值等于其边界上某一点的函数值的平均值，这也是调和函数的一个特性。
调和函数在实际问题中有广泛的应用，如波动方程和扩散方程的求解，都涉及到调和函数的研究。
此外，在物理学中，调和函数也被广泛应用于电势场和热传导等领域。
通过研究调和函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。
三、实例下面我们通过一个实例来说明解析函数和调和函数的应用。
假设有一个矩形区域，边界上施加有电势，我们需要求解这个矩形区域内的电势分布。
首先，我们可以将电势分布表示为复变函数的实部或虚部，即调和函数。
然后，我们可以利用调和函数的性质和边界条件来求解问题。
在实际计算中，我们可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法，来求解调和函数的近似解。
2.2 函数解析的充要条件
后面还将看到对于解析函数的实部(或虚部)本身也有要求。
15
§2.2 函数解析的充要条件
附：知识广角 —— 关于 C - R 条件
第 二 章 解 析 函 数
1746年，达朗贝尔(D’Alemert)研究流体力学时首先提出
如下关系式：
u v , x y
u v - . y x
1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。
P42 例1 (2)
第 解 由 u e x cos y , v e x sin y , 有 二 ux e x cos y , uy - e x sin y , 四个偏导数连续， 章 解 v y e x cos y , vx e x sin y , 且满足 C - R 方程， 析 x 函 故 f ( z ) e (cos y i sin y ) 在全平面上处处可导， 数 x i v e (cos y i sin y ) . 处处解析，且 f ( z ) u x x 注 函数 f ( z ) e (cos y i sin y ) e e 本例结果表明： (e z ) e z . 9
1777年，欧拉的两篇研究报告(1793与1794年才发表)中 ,
证明了条件的必要性，即 若函数 f ( z ) u iv 是解析函数，则上述关系式成立。
16
§2.2 函数解析的充要条件
附：知识广角 —— 关于 C - R 条件
第 二 章 解 析 函 数 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定义的基础，并且在此基础上建立了相应的理论。
o(|z|)
3
§2.2 函数解析的充要条件
复变函数课件2-2函数解析的充要条件
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;
解析函数的实部是虚部的共轭调和函数
解析函数的实部是虚部的共轭调和函数在复变函数的理论中，共轭调和函数是一类非常重要的函数类型。
而解析函数的实部是虚部的共轭调和函数则是其中的一个特殊情况。
1. 解析函数的概念解析函数是指在某个复平面区域内具有导数的复变函数。
就是在这个区域内函数能够展开成幂级数，而且能够计算出导数。
解析函数在物理、工程、数学等领域中有着广泛的应用，因此其性质和特点一直是复变函数理论中的研究重点。
2. 共轭调和函数的概念共轭调和函数是指具有如下性质的函数：对于一个复变函数f(z)，如果其实部u(x, y)和虚部v(x, y)满足柯西-黎曼方程，则称f(z)是共轭调和函数。
具体来说，如果复变函数f(z)满足以下条件：对于z=x+iy，其实部u(x, y)和虚部v(x, y)具有一阶偏导数，满足以下偏微分方程：∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x则称f(z)是共轭调和函数。
3. 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数在特定情况下，解析函数的实部可以是虚部的共轭调和函数。
具体而言，如果一个解析函数f(z)的实部u(x, y)恰好是其虚部v(x, y)的共轭调和函数，那么称f(z)的实部是虚部的共轭调和函数。
4. 实部是虚部的共轭调和函数的性质实部是虚部的共轭调和函数具有一些独特的性质。
它们在共轭平面上具有对称性，使得它们的共轭函数和自身非常相似。
这种特殊性质使得实部是虚部的共轭调和函数有着重要的数学和物理意义。
5. 应用领域解析函数的实部是虚部的共轭调和函数在物理学、工程学和数学领域有着广泛的应用。
在电磁学中，这类函数可以描述电磁场的分布和传播规律；在声学中，可以描述声波的传播和衍射规律；在图像处理和信号处理中，可以描述复杂信号的频谱分析和合成规律。
研究解析函数的实部是虚部的共轭调和函数不仅具有学术上的重要性，更有着非常实际的应用价值。
6. 结语解析函数的实部是虚部的共轭调和函数是复变函数理论中的一个重要分支，其研究不仅对理论物理学和数学理论有着重要意义，更对实际应用有着深远影响。
对多值解析函数的理解与认识
对多值解析函数的理解与认识
多值解析函数是一类允许参数有多种可能的解析函数。
这类函数
可以通过调整参数来确定单个参数是否具有独特属性，或者如何表现
在原始函数上。
一个常见的例子就是机器学习中常用的sigmoid函数，通过调整参数来优化函数性能，以便能够对不同的数据表现出不同的
趋势。
此外，多值解析函数还可以探索数据之间的复杂关系，使研究
人员能够直观地理解各项因素的影响程度。
多值解析函数的基本思想是利用参数来反映数据的特性，可以将
多维数据表述成一维参数集合，以便能够对函数进行调整、估计参数
之间的关系，以及综合评估函数性能。
与其他解析方法相比，多值解
析函数可以很好地满足较低维度的数据需求，而且参数之间的关系也
更容易理解，从而实现函数调整的准确性和效率。
总而言之，多值解析函数可以帮助更好地理解数据，对参数有更
直观的认识，有助于高效的函数调整和高维度数据的探索，最终达到
优化函数性能的目的。
数学解析函数的性质与应用归纳与解析
数学解析函数的性质与应用归纳与解析1、前言数学解析函数是微积分学中的重要概念，它描述了一个变量与其相关函数的关系。
在本文中，我们将介绍解析函数的性质，以及它在实际问题中的应用。
通过归纳与解析的方法，我们将更深入地理解解析函数的特点和用途。
2、解析函数的定义与性质解析函数是指在其定义域内满足某种条件的复数函数。
它的定义与性质如下：（1）定义：对于复数域内的函数f(z)，如果存在z0的领域内f(z)的幂级数展开式，且该幂级数在该领域内收敛于f(z)，则称函数f(z)是解析函数。
（2）性质：解析函数具有以下特性：A. 极限性质：解析函数具有极限的性质，即对于一个解析函数f(z)，当z趋向于某个值z0时，f(z)的极限值也存在。
B. 导数性质：解析函数具有导数的性质，即解析函数f(z)在其定义域内处处可导，导函数是连续函数。
C. 泰勒级数性质：解析函数可以用泰勒级数进行展开，进而精确描述函数的性质和行为。
3、解析函数的应用归纳解析函数的应用非常广泛，以下是几个常见的应用领域：（1）物理学：解析函数在物理学中有广泛的应用，如量子力学、电磁场等领域。
通过解析函数的方法，可以得到物理系统的精确解。
（2）工程学：解析函数在工程学中也具有重要的应用价值。
例如，在电路分析中，利用解析函数可以分析电路中的电压和电流随时间的变化情况。
（3）金融学：解析函数在金融学中具有较大的应用空间。
例如，在对金融市场进行建模时，可以使用解析函数描述市场价格的变化趋势。
4、解析函数与实际问题的解析解析函数在解决实际问题时，可以通过归纳与解析的方法来求解，以下是一个具体的案例：某公司的销售额按照每个月的时间进行统计，我们希望通过解析函数的方法来预测未来几个月的销售额变化情况。
首先，我们将已有的销售额数据进行分析，得到一个数学模型。
假设月份用t表示，销售额用S表示，则可以将销售额表示为一个关于时间的函数S(t)。
然后，通过观察已有数据的趋势，我们可以尝试使用解析函数进行拟合。
若函数在一点处解析,则函数在该点的某邻域内连续。
若函数在一点处解析，则函数在该点的某邻域内连续。
要理解这句话，我们首先需要知道什么是解析函数和连续函数。
解析函数是指在其定义域上具有全局的定义且存在一种能够将函数表达为幂级数的形
式的函数。
简单来说，解析函数是一种能够用幂级数展开表示的函数。
连续函数是指在其定义域内每一个点处都满足极限存在且等于该点的函数。
也就是说，连续函数在每个点附近的取值都非常接近。
现在回到原句，它的意思是：如果一个函数在某一点处是解析的，那么这个函数在该
点的某个邻域内都是连续的。
也就是说，如果函数在某个点处能够表示为幂级数，那么这
个点附近的取值都非常接近。
这个结论的证明可以通过利用幂级数的收敛半径来进行。
收敛半径是指幂级数展开中
所包含的项数无限增加时的收敛半径。
在某一个点处，如果函数可以展开为幂级数，那么
这个点的任何一个邻域内都可以找到一个幂级数收敛半径范围内的展开式。
因此，在这个
点的邻域内，函数就可以用幂级数表示。
而当幂级数收敛半径很小的时候，函数就变得越
连续。
所以，我们可以得到结论：如果一个函数在某个点处解析，那么它在该点的某个邻域
内就是连续的。
这个结论在数学中被广泛地应用于各种分析问题中。
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解析函数的理解
高中的函数知识点中有一块是讲解析函数，它是由不同的函数相加而得到的，具有这样特征的函数就是解析函数。
其实，解析函数应该是一类函数的统称，它的基本性质也很重要，让我们进一步认识它吧！
定义：设;当x=a x^2+bx+c时，设;f(a)=x^2+bx+c，
1、对于有理函数，解析式与自变量的取值无关；
2、对于一般的解析函数，若自变量x的连续可导，则解析式的值域为全体实数，反之亦然。
此外，由于解析函数自变量x的取值范围是其定义域的子集，所以对于非解析函数来说，自变量x的取值范围通常都不会是整个定义域。
2、在一般意义下，解析函数满足：如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。
3、我们把函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)，
y=f(x^n)+f(x)-f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称的函数叫做隐函数。
隐函数的表达式是由隐函数f=f(x)及f的定义而得到的， f=f(x)是函数，它是在一个集合X中选择一个元素y，使得f(y)=f(x)+c。
f(x)是x的函数，我们称它为f的原函数。
4、一般地，如果函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称，那么就称函数y为y=f(x)+c的一般形式。
5、设f(x)： f(x)与函数f：有两种表示法，即原函数及一般形式。
6、函数与其图像在某点有无数多对应点，并且对应点坐标满足f(x) = 0，
则称此函数为可去奇点的函数，可去奇点的函数没有实际意义。
7、对于任何解析函数，当它的图像关于原点对称时，图像总过原点；反之，当它的图像关于原点的某一固定点对称时，图像总不过原点。
8、设： f：可以是不连续的，但一定是解析的。
9、设f(x)是f的图像，是f在x处的一条“虚线”。
如果图像的函数在x处可导，则称此函数为解析函数。
10、对于解析函数来说，一切取值于(0， +∞)上的函数都是解析函数，所以解析函数是有界的。
11、一般地，如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。