同济大学有限元讲义08_1二维单元

同济大学地下结构有限元8_二维单元庄晓莹

X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
19
请构造图示6结点举行单元的形函数按C0变结点单元构造方法
③ 结点6
6 3
2
5
1

4
X. ZHUANG
弹性力学中的有限元
20
2
5
1
④ 结点7
6 3

7
4
N7
1 2
2 1
1 1 ˆ N3 N3 N 6 N 7 2 2 1 ˆ N4 N4 N7 2
N8 2 1 1 ˆ N 4 N 4 N 7 N8 2 2 1
⑤ 结点8
2 6
5
8结点二次单元
1 8
1
2
3
X. ZHUANG
7
4
1 1 ˆ N1 N1 N5 N8 2 2
21
弹性力学中的有限元
2
6
5
8结点二次单元
1 8
3
7
4
1 1 ˆ N 4 N 4 N 7 N8 2 2

1 1 1 4
2 2 4 1 1 1 1 1 N3 2 2 4 1 1 1 N4 1 1 2 2 4
1 1 1

j 1, j i

n
(x x j ) ( xi x j )
i 1, 2,
x x1 l

,n
(1 0, , n 1)
, n 1)
0 1
引入无量纲坐标
2 x ( x1 xn ) l
1 1

有限元入门ppt课件

有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法（Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。弹性力学固有弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件

(同济大学)第1讲_弹性力学及有限元方法概述

有限元分析
的一般规律物体在空间的位置随时间的改变
对象内容
任务
对象内容
任务
概述
ANSYS 静力分析z起重机械有限元应用
整机模态分析
车辆安全性
工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布(NSHT3D)
同济大学
同济大学
金属反挤压成型：温度分布和变化铸造成型：温度变化和气泡
速度
压力导流管分析
超音速飞行压力分布汽车气动分析
高速导弹气动
同济大学
两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况
子结构方法分析大型结构的早期应用法
梁单元
建模时充分利用重复性。

(同济大学)第8讲_非单元节点偏置_总刚度方程介绍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎧Q ⎫ ⎥⎨ x⎬ ⎥ ⎩0 ⎭ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Y je j lj Ai Xm m
e
X
j
e
y li Aj i
Qx X Yi
e e i
Ym
e
x
根据形函数与面积坐标的性质，在 d 点有：
N i = Li = Ai / A = l i / l N j = Lj = Aj / A = l j / l Nm = 0
用形函数表示单元内部任意点的虚位移，有:
{ f } = [ N ] {Δ }
* e
T * e e T * e T b T s
* e
({Δ } ) {F} = ({Δ } ) ([ N ] {Q} + ∫ [ N ] {P } hds + ∫∫ [ N ] {P } hdxdy)
T A A V
{Δ }
沿单元边界作用分布面力：
{ PA } = { X , Y }
T
单元中间某点 b 作用集中力： {Q} = {Qx , Q y }T
y m Y X i O
e i e Ym e Xm
y Y m X j Xj Y x
e j e
* vm * um
v* u* i i O u* j vi* (b) x vj* u* j
⎡ Ni 0 ⎤ ⎢0 N⎥ i ⎥ ⎢ ⎢ N j 0 ⎥ ⎧0 ⎫ ⎥ ⎨ ⎬ hdxdy = ∫∫ ⎢ A 0 N j ⎥ ⎩−wy ⎭ ⎢ ⎢ ⎥ N 0 ⎢ m ⎥ ⎢ ⎣ 0 Nm ⎥ ⎦ = ∫∫ −wy {0 Ni 0 N j 0 Nm} hdxdy
T A
e Xm
wy Ym
e
i Yi
荷载移置会带来误差，但由圣维南原理，其对整体结构的影响不大，并且随着单元逐渐加密，影响逐渐减小。静力等效原则是指原来作用在单元上的载荷与移置到节点上的等效载荷在单元的任何虚位移上所作得虚功

(同济大学)第9-12讲-有限元操作

有限元分析
Training Manual
November 3, 2003 Inventory #001968 1-23
INTRODUCTION TO ANSYS 8.0 - Part 1
有限元分析
Training Manual
November 3, 2003 Inventory #001968 1-24
ANSYS 静力分析
ANSYS中国
http：///
Training Manual
同济大学
November 3, 2003 Inventory #001968 1-9
INTRODUCTION TO ANSYS 8.0 - Part 1
MSC/Nastran
• • 1963年，R. MacNeal博士和R. Schwendler创办MSC公司 1964年，MSC承担美国航空航天局（NASA）项目，主持 NASTRAN的开发
同济大学
November 3, 2003 Inventory #001968 1-13
INTRODUCTION TO ANSYS 8.0 - Part 1
DYNA3D
• • • 1976年由Lawrence Livermore 国家实验室的John Hallguist博士发布
Training Manual
– 然而，对该问题还没有一个容易的解决方案。这完全依赖于你所模拟的对象和模拟方式。我们将尽力通过这次培训为你提供指导。
物理系统
有限元模型
November 3, 2003 Inventory #001968 1-2
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 8.0 - Part 1

有限元基础教学课件PPT

ε E T u （几何线性）
为梯度矢
ε u 一一对应,多连通域中未必一一对应. 在单连通域中：
31
§0.2 应力分析
取P点处一微平行六面体与xyz平行，决定P点应力状态的6个分量记为
ζ x y z yz zx xy
f f x fy fz
T
T
ε E u,
T
u : u u : P E ν ζ

p

物体表面 u , 取未知函数 u ，经代换
: E DE u f 0 : u : u u
T
Px, y, z
: P E ν DET u （位移表示的应力边界条件）
14
应用领域：机械工程
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
15
液压挖掘机
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
16
驾驶室受侧向力应力云图
接触问题结构件应力云图
17
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
称为弹性矩阵
34
ζ Dε 或 ε D 1ζ
1 1 1 D E 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 21 0 0 21 0 0 0 0
i 1
RB
m
(Gu g ) 0
i 1
m
为了消除残差，通常引进内部权函数 WI 和边界权函数WB ，将它们分别与 RI 和 RB 相乘，列出消除内部残值方程式及消除边界方程式分别如下： RIWI dv 0 V C j ( j 1,2,, n) m S RBWB ds 0

《有限元基础》课件

广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠。
有限元方法对初值和边界条件的选取比较敏感，不同的初值和边界条件可能导致截然不同的结果。
高阶偏微分方程的离散化困难
对于一些高阶偏微分方程，有限元方法的离散化过程可能会变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为离散的数值，以便进行数值计算。

第1章有限元基本理论ppt课件

x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ

有限元 ansys 二维单元

i Y j Yk j YK Yi k Yi Y j
i X k X j j Xi Xk k X j Xi
三角形形函数与其它形函数具有同样的基本性质。
三角形单元的自然坐标：考虑三角形区域内坐标为（x，y）的点p。将p点与节点i， j和k相连，将会把三角形的面积分为三个更小的面积A1， A2和A3。
1
将以下条件应用到方程中得到b1，b2，b3，b4：
b1 Ti b3
1 w (Tn Ti )
b4
l 1
lw
(Ti T j Tm Tn )
与一维单元相同，可以得到对于典型单元由形函数表示的温度分布：
Ti T j sn T m Tn
类似得到其它中间节点的形函数为：
sk sl so sp
1 2 1 2 1 2 1 2
(1 )(1 )
2
(1 )(1 )
2
(1 )(1 )
2
(1 )(1 )
2
4.3 线性三角形单元
三角形单元由三个节点定义，可以用下式表示三角形区域内独立变量的变化：
F1 ( , ) (1 )(1 )(1 )
由于方程F1三项的乘积将产生线性和非线性的项，所以第二个函数F2必须是常数。
F2 ( , ) c1
应用边界条件：
得到：
so
2c1 1
so 1 2
( 0, 1)
1
(1 )(1 )(1 )
第四章二维单元

矩形单元平面四边形单元线性三角形单元平面三角形单元等参单元二维积分：高斯－勒让德多项式

有限元课件ppt

整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可以用于分析各种类型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场的问题，如热传导、热对流和热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也有广泛应用，可以用于求解流体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量

有限元基本概念ppt课件

i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：位移法：以位移为基本未知量力法：应力为基本未知量混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n

有限元方法课件演示文稿

其中，
，单元[xi1, xi ] 的中点为于是有
第24页，共56页。
如果把单元刚度矩阵 K和(i) 单元荷载向量 “F扩(i) 大”，便得到
和为 K(i)
F(i)
类似地，可写出和 K(3) .K(4)
第25页，共56页。
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
第26页，共56页。
依边界条件
2
fuh
)dx
1 n
2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
13
第13页，共56页。
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元ei [xi1, xi ]上，uh可写成
或写成
uh (x)
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
其中这就是总荷载向量.
(7.17)
第18页，共56页。
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的K计算，
实际上是把中K四(i个) 元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算b也是如此．我们引入，只是B为(了i) 叙述方便，实际上
3 第3页，共56页。

同济大学有限单元法课件

2.1.1 等效积分的“弱”形式等效积分的“
在很多情况下可以对(3.2.8)式进行分部积分得到另一种形式式进行分部积分得到另一种形式在很多情况下可以对 (3.2.9) 其中C,D,E,F是微分算子，它们中所包括的导数阶数较(3.2.8)式的低，这样对于是微分算子，它们中所包括的导数阶数较式的A低其中是微分算子式的函数u只需要求较低阶的连续性就可以了只需要求较低阶的连续性就可以了。式中降低u的连续性要求是以函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在(3.2.9)式中降低的连续性要求是以式中降低提高v及的连续性要求为代价的，由于原来对v及在式中)并无连续要求提高及 v 的连续性要求为代价的，由于原来对及v (在(3.2.8)式中并无连续要求式中但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中连续性要求的作法在近似计算中，这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。式称为微分方程(3.2.1)和边界条件和边界条件(3.2.2)的等效积分“弱”形式。值的等效积分“ 形式。重要的。(3.2.9)式称为微分方程式称为微分方程和边界条件的等效积分得指出的是，从形式上看“ 形式对函数u的连续性要求降低了的连续性要求降低了，得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数的连续性要求降低了，但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了过分“平滑”的要求。过分“平滑”的要求。下面我们仍以前面已提出的例题中的二维热传导方程为例，下面我们仍以前面已提出的例题中的二维热传导方程为例，写出它们的等效积分形式和等效积分“ 形式。中由二维稳态热传导方程(3.2.3)和边界条件和边界条件(3.2.4)式，式和等效积分“弱”形式。例1中由二维稳态热传导方程中由二维稳态热传导方程和边界条件式我们可以写出相当于(3.2.8)式的等效积分形式我们可以写出相当于式的等效积分形式 3.2.10

有限元法基础讲稿-第8讲

青岛大学讲稿讲授内容备注第8讲(第11周)2. 应变矩阵确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。

作为平面问题，单元内具有3个应变分量εx 、εy 、γxy （各符号的意义见附录1），用矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x v y u y v x u xy y x γεεε将（2.1.4）式代入上式中，得到e m mjjiim j i m j ib c b c b c c c c b b b A δε⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=00000021 或eδB ε = (2-1-7)式中B 称为应变矩阵，写为分块形式，即B =[B i B j B m ] (2-1-8)而其子阵为),,( 0021m j i b c c b A i ii ii ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B (2-1-9)3节点三角形单元的B 是常量阵，所以称为常应变单元。

在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。

上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分，无关的应变ε0又称为初应变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000xy y x γεεεε0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起，对工程结构一般只考虑温度应变，无论线性和非线性温度，计算时可近似地采用平均温度33refT T T T T m j i -++=式中，T i 、T j 、T m 分别为节点i 、j 、m 的温度，T ref 为参考温度。

对于平面应力问题，温度T 引起的初始应变为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00TT ααε其中，α为线膨胀系数。

由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形，所以γxy 0=0。

以后所述问题，除非特别说明，都指各向同性介质。

对平面应力问题，温度T 引起的初始应变为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=0)1(0TT ααμε 当不考虑温度的影响时，当前温度即为参考温度。

同济大学有限单元法课件2

这种方法相当于简单地强迫余量在域内n个点上等于零。
2. 子域法（Subdomain method）
在n个子域 i 内， i I 在子域 i 以外 Wi 0 。此方法的 W 实质是强迫余量在n个子域 i 的积分为零。 3. 最小二乘法（Least squares method） n n A( Ni ai ) 当近似解取为 u Ni ai 是，权函数W j a j i 1 i 1
取权函数代入式得到0192401707这个问题的精确解为用加权余量的几种方法得到的近似解与精曲解的比较见下表由表可见在此具体问题中取两项近似解已能得到较好的近似结果各种方法得到的近似解误差均在3以内其中伽辽金法的精度最高误差小于05
(2) 若选择场函数时，已满足强制边界条件，即在 q 边界上满足 0 则可以通过适当选择v，使在 q 边界上v=0而略去(3.2.15)式中沿 q 边界积分项，使相应的积分“弱”形式取得更简洁的表达式.
选择近似解的待定系数 ai ，使余量在全域的积分值达到极小。因此必有
用⑨式对 ai 求导得到
由此得到n个方程，用以求解n个待定参数 ai 。将⑩ 式与④式比较可知，最小二乘法的权函数选择为
一项近似解
代入⑩式得到
积分后得到 a1 0.2723 一项近似解为两项近似解为
代入⑩式后得到两个程
此方法的实质是使得函数
I 0 取最小值。即要求 a j
（i＝1，2，…，n）
4. 力矩法（Method of Moment）
以一维问题为例，微分方程 A(u) 0，取近似解 u 并假 2 定已满足边界条件。令 W j 1, x, x 得到：
此方法是强迫余量的各次矩等于零。通常又称此法为积分法。 5. 伽辽金（Galerkin）法取 W j N j ，在边界上 W j W j N j ，近似积分形式（2.2.12）式可写成

有限元ppt课件

17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有

1
I (1,2 ,3,

2
I (1,2 ,3,
力,它反映了内力在截面上的分布密度。
z
y
o
zx
xz
z zy
yz
切应力互等定律 xy yx , xz zx , yz zy
y
应力矩阵
x xy
yx
T
x y z xy yz zx
y
x
z
微分体的应力分量

v y w z u v

0

0

yz

zx
y x y

v

w
0
y
0
x
0

z

u v

0

w
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:

第5章有限元法基础——二维单元

1 1 1 Sm (1 )(1 )( ) 4 4 4
同样，可以确定其它三个节点的形函数：
1 Si (1 )(1 )(1 ) 4 1 S j (1 )(1 )(1 ) 4 1 S n (1 )(1 )(1 ) 4
第五章有限元法基础 ——二维单元
本章介绍二维单元及其形函数
矩形单元二次四边形单元三角形单元
5.1 矩形单元
第四章中分析了一维问题。我们研究了悬臂梁的热传递问题，使用了一维线性函数来近似温度沿单元的分布，但在实际问题中，若温度在x方向和y方向均会产生变化，这就需要用二维函数去近似求解。一维解是由线段近似的，二维解是由平面片近似的。
a3 1 ( X k X j )Ti ( X i X k )T j ( X j X i )Tk 2A
这里A是三角形单元的面积
2 A (Y j Yk ) X i (Yk Yi ) X j (Yi Y j ) X k
将
a1 ， a3
S F1 ( , ) F2 ( , ) 1, 1 1
S F1 ( , ) F2 ( , ) 1, 0 0
S F1 ( , ) F2 ( , ) 0, 1 0
得到
c1 1 4
1 c2 4
1 c3 4
节点m 的形函数为
应用边界条件
0
确定 c1
1 2
. 1
So 1
1 So (1 )(1 )(1 ) 2
同样可以得到中间节点
p
，k 和
l
的形函数
1 2 So (1 )(1 ) 2