(824)求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)
--求二次函数解析式专项练习60题（有答案)１．已知二次函数图象的顶点坐标是(1,﹣4)，且与y轴交于点(0,﹣3)，求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x２＋bｘ+c的图象经过点Ａ(﹣1,1２），B(2，﹣3).(1)求这个二次函数的解析式.(２)求这个图象的顶点坐标及与ｘ轴的交点坐标．3.在平面直角坐标系ｘOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线ｌ与二次函数y=x2+bx+２图象的一个交点为（m,3),试求二次函数的解析式.4.已知抛物线ｙ=ax２+bｘ＋c与抛物线形状相同,顶点坐标为（﹣2，4)，求ａ,b，c的值.５．已知二次函数y=aｘ２＋bx＋ｃ,其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式;（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x …﹣2 0 ２…y …﹣１１１１…6.已知抛物线y=x2+(m+1)x+ｍ,根据下列条件分别求m的值.(1）若抛物线过原点；（２)若抛物线的顶点在ｘ轴上；(3）若抛物线的对称轴为x=2．7.已知抛物线经过两点Ａ（1,０）、Ｂ(0，3)，且对称轴是直线x=２,求其解析式.8．二次函数y=ax2+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题:（1)写出y>０时,x的取值范围_＿__＿__＿_ ；(２）写出y随x的增大而减小的自变量ｘ的取值范围_＿＿__＿__＿；(3)求函数y=ax2+bx＋ｃ的表达式.９.已知二次函数y=x2+bx+ｃ的图象经过点A(﹣2，5），B（1，﹣4）.（1）求这个二次函数解析式；(2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（３)画出这个函数的图象.1０．已知:抛物线经过点Ａ(﹣1,7)、Ｂ（2,１)和点C(０，1).(1)求这条抛物线的解析式;（2)求该抛物线的顶点坐标.１1．若二次函数y＝ａx2+ｂｘ+c的图象与y轴交于点Ａ（0,3),且经过B(1,0)、C（2,﹣1）两点,求此二次函数的解析式．12.二次函数y=x2＋ｂx+ｃ的图象过Ａ(2，3)和Ｂ(﹣1，0)两点，求此二次函数的解析式．13.已知：一抛物线y=aｘ2+ｂx﹣2（a≠０）经过点(3，4)和点（﹣1,0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴.１4．二次函数y=2ｘ2＋bx＋c的图象经过点(０，﹣6)、(３,0），求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标．１5．如图,抛物线y＝﹣x２+5x+m经过点A(1，０）,与ｙ轴交于点B，（1)求m的值;（2)若抛物线与x轴的另一交点为C，求△ＣAB的面积；（3）P是ｙ轴正半轴上一点，且△PAＢ是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.16．如图，抛物线ｙ=﹣ｘ2+ｂｘ+c与ｘ轴的两个交点分别为Ａ(１，0）,B(3,0).(1）求这条抛物线对应函数的表达式;（2)若Ｐ点在该抛物线上,求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．１７.已知二次函数的图象经过点（0,﹣１)、（1，﹣3）、（﹣1，3）,求这个二次函数的解析式.并用配方法求出图象的顶点坐标．18.已知:二次函数的顶点为A(﹣１,4）,且过点B（２，﹣5），求该二次函数的解析式.19.已知一个二次函数y=x２＋bx＋c的图象经过(1,2)、（﹣1，6）,求这个函数的解析式．２0．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2,０）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与ｘ轴的另一个交点.21.已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线ｘ=﹣1,且过点（1,﹣5）,求其解析式.22.已知二次函数图象顶点坐标为（﹣２,3），且过点（1,0),求此二次函数解析式．２3．已知抛物线y=﹣x2＋bｘ+c,它与x轴的两个交点分别为（﹣1，０），(3,0)，求此抛物线的解析式.24．一个二次函数的图象经过点（0，0）,（﹣1,﹣１），(１,9）三点,求这个函数的关系式．25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点Ａ(２,﹣３)，B（１,﹣４)．（1)求这个函数的解析式;(２)求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．2６.已知二次函数ｙ=ax２+bx﹣3的图象经过点A(2,﹣3）,B(﹣1,0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y＝ａx2+ｂx+c,当ｘ=0时，函数值为5,当x＝﹣１或﹣5时,函数值都为0，求这个二次函数的解析式．2８．已知抛物线的图象经过点A（１,0),顶点P的坐标是.(l)求抛物线的解析式；(2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积.２９．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分,它经过A(﹣１,0）,Ｂ（0,3)两点.(1）求抛物线的解析式；(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移１个单位,求平移后的抛物线的解析式.30．已知二次函数y=﹣x２+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为（﹣１，0），与ｙ轴的交点坐标为（0,３)．（１）试求二次函数的解析式;(2)求y的最大值;（3）写出当ｙ＞0时，x的取值范围.31．已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x＋1上，并且图象经过点（２，1），求二次函数的解析式．３2．抛物线y=﹣ｘ２+bx+ｃ的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，０)，求此抛物线的解析式.33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3)，且顶点坐标为（﹣1,﹣４）.（1）求该二次函数的解析式；(2）设该二次函数的图象与ｘ轴的交点为A、B，与ｙ轴的交点为C，求△ABＣ的面积．34．如图,直线y=ｘ+ｍ和抛物线y＝x２+ｂｘ+c都经过点A(2，0),B(５，３)．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+ｍ的解集(直接写出答案)；(3）若抛物线与y轴交于C,求△ＡBＣ的面积．35．二次函数的图象经过点(１，2)和(0,﹣1）且对称轴为ｘ=2，求二次函数解析式.36．如图所示,二次函数y=﹣x２+bx+c的图象经过坐标原点O和A(４，0).（1)求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B,试求出△AＢＯ的面积；（3）当1<x＜4时,y的取值范围是____＿____ ．3７．已知：一个二次函数的图象经过(﹣1,10),(1,4）,（2,7）三点．(1)求出这个二次函数解析式;(２）利用配方法,把它化成ｙ=a（x+h)２+k的形式,并写出顶点坐标和y随ｘ变化情况．38.已知抛物线ｙ=x2﹣2(k﹣2）x+1经过点A(﹣１,２)(1）求此抛物线的解析式；(2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39.根据条件求下列抛物线的解析式：(1）二次函数的图象经过(0，1)，（２，1）和(3，4）;(2）抛物线的顶点坐标是（﹣2,１）,且经过点(1,﹣2）．40.已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,﹣2）且与ｙ轴交于（0，)（1）求函数的解析式;（２)当x为何值时,ｙ随x增大而增大.41．已知二次函数的图象经过点(0,﹣2)，且当ｘ=1时函数有最小值﹣３．（1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点（﹣2，y1),（1，ｙ2）和（3，y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2，y3的大小.4２．已知二次函数y=x2+bｘ＋c的图象经过点(０,3）、（4,3)（1）求二次函数的解析式,并在给定的坐标系中画出该函数的图象(不用列表）；（2)直接写出x２+bx＋ｃ＞3的解集.43.不论m取任何实数，ｙ关于x的二次函数y=x２+2mｘ+m2＋2m﹣１的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44.抛物线ｙ=ax2+bx+c过点A（﹣2,１），B(2,3），且与ｙ轴负半轴交于点C，S△ABＣ=12，求其解析式.45．直线ｙ＝kx+b过x轴上的A(2，0)点,且与抛物线y=ax２相交于B、Ｃ两点,已知B点坐标为（1,1),求直线和抛物线所表示的函数解析式,并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x２+ｂx＋c的图象经过点P（2，7）、Q（０，﹣5)．（1)试确定b、c的值;（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点Ｂ的左侧),试求△PＡB的面积．４7．抛物线y=ａｘ2﹣3ａx+b经过A（﹣1，0），C（3,﹣２）两点．（１）求此抛物线的解析式;（２)求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标.4８．已知二次函数ｙ=ｘ2+bx+ｃ的图象经过点A(０,4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式.４9.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，３），且图象过点（ｌ,﹣2)．(1）求这个二次函数的关系式;（２）写出它的开口方向、对称轴．５0．如图，A(﹣1,０)、B(2，﹣３)两点在一次函数y1＝﹣x＋ｍ与二次函数y2=ａx２+ｂx﹣3的图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式.（2)二次函数交y轴于C,求△AＢC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线ｘ=1.5,并且图象过A(０，﹣４)和Ｂ(4，０）（1）求此二次函数的解析式；(2）求此二次函数图象上点Ａ关于对称轴对称的点A′的坐标.52．若二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c中，c=3,图象的顶点坐标为（２,﹣1),求该二次函数的解析式.５3.过点A(﹣1，4）,B（﹣3,﹣8)的二次函数ｙ1=ax2＋bｘ+c与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54.二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点(﹣3，8).求:（１）这个二次函数的解析式；（２)试判断点A(﹣１,２)是否在此函数的图象上．5５．已知二次函数y=aｘ2＋bx+c的图象经过点（０，﹣９)、（1,﹣8）,对称轴是y轴．(1）求这个二次函数的解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与ｙ轴的交点为C,顶点为P，求△POC的面积．５６.如图，抛物线ｙ=aｘ２+bx经过点Ａ(４,０)、B(2，2）,连接OＢ、ＡB.（1）求抛物线的解析式；（2)求证：△OＡB是等腰直角三角形.57．如图，抛物线ｙ=x2+ｂｘ﹣２与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于C点,且A（﹣１,０）.（１）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2）若将上述抛物线先向下平移３个单位,再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式.5８.已知二次函数y=﹣x2+ｂx+c的图象经过Ａ(２,0）,B(０,﹣６）两点.(１）求这个二次函数的解析式;（2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△AＢC的面积和周长.５9．如图,已知二次函数y=aｘ2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．6０.已知函数y=x2+bx+c过点A(2,２），B（5,2）．（1)求b、c的值;（2）求这个函数的图象与ｘ轴的交点C的坐标;(３)求S△ＡBC的值．二次函数解析式60题参考答案:1.∵顶点坐标是(１，﹣4）因此,设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x﹣１)2﹣4，∵抛物线与ｙ轴交于点(０，﹣3)把（0，﹣３）代入解析式:﹣3=a(0﹣１）2﹣4解之得：a=1(１４分）∴抛物线的解析式为:y＝x2﹣2x﹣3．2.（１）把点A（﹣1，12)，B(2,﹣3）的坐标代入ｙ=x２+bｘ＋c 得得∴y=ｘ2﹣6x+５.(2）ｙ=x2﹣6x＋5,ｙ=（ｘ﹣３)2﹣4，故顶点为（３，﹣４)．令x2﹣6ｘ＋５＝０解得ｘ1=1，x２=5.与x轴的交点坐标为（1，0）,（5，0)．3．由题意，直线l的解析式为y=x,将（ｍ，3）代入直线l的解析式中，解得m＝3.将（３,3)代入二次函数的解析式，解得,∴二次函数的解析式为4．抛物线ｙ=ax2+bx+c 与抛物线形状相同,则a ＝±. 当a ＝时，解析式是:y=(ｘ+2）２+4=ｘ2＋x＋5.即ａ=,b=１，ｃ=５；当a ＝﹣时，解析式是：y=﹣（x+2)2+４=﹣x２﹣x+3.即a=﹣,b＝﹣１,c=3.５．（1)依题意,得,解得;∴二次函数的解析式为：y=ｘ2＋３x+1．(２)由（1）知:y＝x2＋３x+１＝(x+）2﹣,故其顶点坐标为（﹣,﹣）6．(1）∵抛物线过原点,∴０=02+(m+1）×0+m．解得m＝０;（2)∵抛物线的顶点在x轴上.∴△=(ｍ＋1)2﹣4m＝０. 解得：m=１;（3）∵抛物线的对称轴是ｘ=2,∴﹣=２．解得ｍ＝﹣５７．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（１，0) 由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点（３，0）设抛物线的解析式为y＝a(ｘ﹣x1)(x﹣ｘ２）(a≠0）即:y=a(ｘ﹣1)(ｘ﹣3）把Ｂ（0,3)代入得:３＝3ａ∴a=1∴抛物线的解析式为：y＝x２﹣4x+3．8．（１)抛物线开口向下，与x轴交于(1,0)，（３,0), 当y>０时,x的取值范围是：1<x<3；(２）抛物线对称轴为直线x=2,开口向下,y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是ｘ>2; （３)抛物线与ｘ轴交于(１，0），（3,0),设解析式y=ａ(x﹣1）(x﹣3），把顶点（２，2）代入, 得2=ａ(２﹣１）(２﹣3）,解得a＝﹣2，∴y=﹣2（ｘ﹣1)(x﹣3),即ｙ=﹣2ｘ２+8ｘ﹣6．9.（1）把A(﹣2，5），B(１，﹣４)代入y=x2+ｂx+c, 得,解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（２）∵y=x2﹣2x﹣３,∴﹣＝1，=﹣4，∴顶点坐标（1,﹣4)，对称轴为直线x=1；又当ｘ＝0时,y＝﹣3，∴与ｙ轴交点坐标为(0，﹣3）；y=0时,x=3或﹣1，∴与ｘ轴交点坐标为（3，0),（﹣1，0）．（３）图象如图.10．(1)设所求抛物线解析式为ｙ＝aｘ2+bｘ+c．根据题意，得,解得．故所求抛物线的解析式为y＝2x２﹣4x+1．（2）∵,∴该抛物线的顶点坐标是（1,﹣1）11.∵二次函数ｙ=ａx2+bx+c的图象与y轴交于点A（０，3）, ∴ｃ=3．又∵二次函数y=ａｘ2+bx＋ｃ的图象经过B（１,0）、Ｃ(2，﹣１)两点,∴代入y＝aｘ2+ｂx+c得：a+b+c=0，①4a+2b＋ｃ=﹣１，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=ｘ2﹣4x+312．由题意得解得,．此二次函数的解析式为ｙ=ｘ2﹣1.13.把点（3,４)、（﹣１,0）代入y＝ax２+bx﹣2得:解得:则抛物线的解析式是y＝x2﹣ｘ﹣2=(x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：ｘ＝１４.由题意得,解得．∴这个二次函数的解析式是ｙ=2x2﹣4x﹣6．y＝2(x2﹣2x)﹣6=2(ｘ2﹣2x+1)﹣２﹣6（1分）＝2(x﹣１)2﹣8.（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1,﹣８).15.（１）根据题意,把点A的坐标代入抛物线方程得:0=﹣1+５+m，即得m=﹣4；（２）根据题意得：令y=0,即﹣x2＋5x﹣４=0,解得x１＝1，ｘ2＝4,∴点Ｃ坐标为（4，0）；令x=0,解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CＡＢ的面积Ｓ=×ＯB×AＣ=×4×3=6;(3)根据题意得：①当点O为PB的中点,设点P的坐标为(0，y），(ｙ＞０)则y﹣4＝0，即得ｙ=４,∴点P的坐标为(０,４）．②当AB＝BP时，AB=,∴OP的长为:﹣4,∴P（0,﹣4）,∴P(0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1,０）,(3,0）在抛物线y=﹣x2+ｂx＋c上．则有解得:则所求表达式为y=﹣ｘ2+４x﹣3．（2)依题意，得AＢ＝3﹣1=2.设P点坐标为（a，ｂ）当b＞０时,×２×ｂ=8.则b=8．故﹣ｘ２+4x﹣3=8即ｘ２+4ｘ＋1１＝0△=(﹣４)２﹣４×1×1１=16﹣44=﹣２8<0,方程﹣x2+4x＋11＝0无实数根.当b＜0时，×2×（﹣b)=８,则b=﹣8故﹣x２+4x﹣3=﹣8 即﹣x2＋４x﹣５=0．解得x1＝﹣１，ｘ２=5所求点P坐标为(﹣1,﹣8），(5,﹣8)17．设二次函数的解析式为y=ax２+bx+c,由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1;ｙ=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+()2﹣（)2﹣1=（x ﹣)２﹣,所以抛物线的顶点坐标为（，﹣)．１8．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+４.∵其图象经过点（２,﹣5)，∴a(2+１）２+4=﹣５,∴a=﹣1，∴y=﹣(ｘ+1)２+4=﹣x２﹣2x＋3.故答案为:y=﹣x2﹣2x+31９. ∵二次函数ｙ=ｘ2+bx+c的图象经过（1，2)、(﹣１，6)，∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=ｘ２﹣２x+３.20.(1）把Ａ（2,０)、B（0，﹣6)代入y=x２+ｂx+c得,4+2ｂ+c=０,c＝﹣6,∴b=１,c＝﹣6,∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x１=2,ｘ2=﹣3,∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3,０).21.∵已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，３）设抛物线的解析式为:y＝a(ｘ+1）2+３, ∵(1,﹣5)在抛物线y=a（x+1）2＋３上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式ｙ=﹣2(x+1）2+322．设二次函数式为y=k(ｘ+2)2+3．将（１，0)代入得9k+３=０,解得k=.∴所求的函数式为 y=（x+２)２+323．根据题意得，,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋3；或:由已知得，﹣１、3为方程﹣x２+bx+c=0的两个解,∴﹣１+３=b,(﹣1)×３=c,解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋３．2４. 设二次函数的关系式为y=aｘ2+bx+ｃ(a≠0），∵二次函数的图象经过点(0，0),(﹣１,﹣１），(1，９)三点，∴点(０，0），（﹣1,﹣1),(1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得,所以这个函数关系式是:y＝4x２+5ｘ２５.(1)由题意,将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：,则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣３；(2）令y=0，则ｘ2﹣２x﹣3＝0，即(x＋1)(x﹣3)=0，解得:ｘ１=﹣1，ｘ2=3，∴与x轴交点坐标为(﹣1,０）,(3，０);令x=0,则y＝﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣３）26．根据题意，得,解得,;∴该二次函数的解析式为:y=x2﹣２x﹣3.27．由题意得，二次函数y=ａｘ2+bx+ｃ,过（0，５)(﹣1，0)（﹣５，0）三点，∴,解得a=1,b=6，c=５，∴这个二次函数的解析式y＝x２＋6x＋５２8．(1）由题意,可设抛物线解析式为y=a(ｘ﹣)2＋,把点A(１，０）代入,得a(1﹣）2+=0，解之得a=﹣1,∴抛物线的解析式为ｙ=﹣(x ﹣）２+,即y=﹣ｘ2+５x﹣4；(2）令x=0，得y＝﹣4,令y＝0,解得x１=4，x2=1,Ｓ=×（4﹣１）×4=６.所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为６. ２9.(1)∵抛物线经过Ａ（﹣１，0）,Ｂ(0,3)两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x２+２x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x＋３可化为y＝﹣(x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣ｘ2+2ｘ+3的顶点坐标为（1,4)，又∵此抛物线向左平移3个单位,再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,３)．∴平移后的抛物线的解析式为ｙ=﹣(x＋2）2＋3=﹣x2﹣4x﹣１．30.(1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,０)，与y 轴的交点坐标为(0,3）,∴x=﹣1，y=０代入y=﹣x２+bx+ｃ得:﹣1﹣b＋c=0①,把ｘ=０,y=3代入y＝﹣x2+bx+ｃ得：c=3，把ｃ＝３代入①,解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x２+2x+3;（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜０，∴抛物线的开口向下，则当x ＝﹣=﹣=1时，ｙ有最大值,最大值为＝４;（３)令二次函数解析式中的y=０得：﹣x２＋2x＋3=0，可化为:（x﹣3)(x+1)＝0，解得:x1=3,x2=﹣1,由函数图象可知：当﹣1＜ｘ＜３时,y＞03１．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2, 又顶点在ｙ=x+1上，那么顶点的横坐标是1,设此函数的解析式是y=ａ(x﹣1）2+２,再把(２,１）代入函数中可得a（2﹣１）2＋２＝1，解得a＝﹣１,故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．３2.∵﹣=﹣=1,∴ｂ＝2,又∵点（3,0)在函数上,∴﹣9＋６+c＝0，∴c＝３,∴函数的解析式是y=﹣x2＋２x＋3．33．（1)设y=a(x+1)２﹣４,把点(０，﹣３)代入得:a=１，∴函数解析式y＝（x＋１)２﹣4或y＝ｘ2＋2ｘ﹣３；(2）∵x2+2ｘ﹣３=0，解得x1=1，ｘ2=﹣3，∴A（﹣3，0)，Ｂ（1,0），Ｃ(０,﹣3）,∴△AＢC的面积=.34.（1）解:∵直线y＝ｘ＋m经过A点,∴当x＝2时，ｙ＝０，∴m+2=0，∴ｍ=﹣2,∵抛物线ｙ=x2+bx+ｃ过Ａ(2，０）,B（５，3)，∴,解得，∴抛物线的解析式为y＝ｘ2﹣6ｘ+8；(2)由图可知,不等式ax２+bx+c≤ｘ＋m的解集为2≤x≤５; (3）解：设直线AB与y轴交于D,∵A（2，０)B(５,3）,∴直线AＢ的解析式为y=x﹣2，∴点D(０,﹣2）,由(１)知Ｃ(0,8),∴S△BCD =×10×５＝２５，∵Ｓ△ＡＣD =×10×２=10,∴S△AＢC=S△BＣＤ﹣Ｓ△ＡCD＝25﹣10=15．35.设二次函数的解析式为y=aｘ2＋ｂx+ｃ,由题意得，二次函数的图象对称轴为ｘ=2且图象过点（1，2），(0,﹣１)，故可得：,解得:.即可得二次函数的解析式为:y=﹣x2+4x﹣1３6.(1）由条件得解得所以解析式为ｙ＝﹣x2+4x，(2)∵该图象的最高点为B,∴点B的坐标为（2,４),∴△ABO的面积=×4×4＝8,（３)∵当ｘ=1时,y=3,∴当1＜x＜4时,ｙ的取值范围是0<y<4．故答案为:0<ｙ＜4．３7．(１）这个二次函数解析式ｙ＝ax２+bｘ+c(ａ≠0）,把三点(﹣1，１0），(1,４)，(2,7)分别代入得：,解得：,故这个二次函数解析式为：y＝2x2﹣３x+5;（2）y=２x2﹣3x+5=2(ｘ２﹣x+﹣）+5=2(x ﹣)2﹣＋5=２(x ﹣）２+,则抛物线的顶点坐标是（,）, 因为抛物线的开口向上，所以当x>时，ｙ随ｘ的增大而增大，当x时,ｙ随x的增大而减小.3８.（1）将A（﹣１，２)代入y=x2﹣２(k﹣2)x+1得：2=1﹣２（k﹣2)＋１,解得:k＝2，则抛物线解析式为ｙ=x２+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0,c=1，∴﹣＝0,＝1，则顶点坐标（0,1）;对称轴为直线x=0(y轴)３9．（1)设抛物线的解析式是ｙ=ax2＋ｂx+ｃ,把(0，1),(2，1）,(3,4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣２x+1.（２）设抛物线的解析式是:ｙ=ａ(ｘ+2)２+1，把(1，﹣2）代入得:﹣2=a（1+2)2+1，∴a=﹣，∴y ＝﹣（ｘ＋2）2＋1,即y=﹣ｘ2﹣x ﹣.4０．(１)设函数的解析式是：ｙ=ａ(x﹣３）2﹣２根据题意得：9ａ﹣２=,解得:a ＝;∴函数解析式是:y=﹣2；(２)∵a=>0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3.∴当x＞3时,y随ｘ增大而增大．41．(1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点(０,﹣２)，则有:ａ(０﹣1)2﹣3=﹣２，解得a=1;因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3.(2)∵ａ=１＞0,∴故抛物线的开口向上;∵抛物线的对称轴为ｘ=１,∴（１,ｙ２)为抛物线的顶点坐标,∴y２最小.由于(﹣２,y1）和（4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(４，ｙ1）和(3,y3)来比较y1,y3的大小,由于在ｙ轴的右侧是增函数,所以y１>y3.于是y2＜y3＜y1．42.(１)由于二次函数y=x2+bｘ+c的图象经过点(0,3)、（4,３），则，解得:，∴此抛物线的解析式为:y=x2﹣4ｘ+3．函数图象如下:（2）由函数图象可直接写出ｘ2+bx+c＞3的解集为:ｘ＜0或x＞４.4３．二次函数可以变形为y=（x+m）2＋2m﹣1,抛物线的顶点坐标为（﹣m,2m﹣1)．由，消去m,得y=﹣２x﹣１.所以这条直线的函数解析式为ｙ=﹣2ｘ﹣144．设直线AＢ的解析式为y=ｋx＋ｂ,∴，解得,直线AＢ的解析式为ｙ=x＋2,令x=0，则ｙ＝2，∴直线AＢ与y轴的交点坐标（0,2），∵S△ABC=１２,∴C(0，﹣４),∵抛物线y=aｘ2+ｂx+c过点A（﹣２，1)，Ｂ(2，3）,且与ｙ轴负半轴交于点C,∴，解得,∴抛物线的解析式为y=ｘ2+x﹣445.∵直线ｙ=kx+b过点A（2，0)和点Ｂ(1，1)，∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为ｙ=﹣x+２，∵抛物线ｙ=ax2过点B（1,1),∴ａ×１2＝1，解得a＝1，∴抛物线所表示的函数解析式为ｙ＝x2.它们在同一坐标系中的图象如下所示：46.(1)∵二次函数ｙ=x2+bx+c的图象经过点P(2，７）、Ｑ（0,﹣5）,，解得b=４,c=﹣5．∴b、c的值是4,5；（2）∵二次函数的图象与ｘ轴交于A、B两点,（其中点A在点B 的左侧)，∴A(1，0），B（﹣5，0）,∴ＡB＝６，∵P点的坐标是:（2,７）,∴△PAＢ的面积=×6×7=21４７．（1）根据题意得,解得,所以抛物线的解析式为ｙ=﹣x﹣２；（2)y=﹣ｘ﹣2＝(x ﹣）2﹣,所以抛物线的对称轴为直线x ＝,顶点坐标为（,﹣）48.∵二次函数的图象过A(0，4），∴ｃ=４，∵对称轴为x=﹣１，∴x=﹣＝﹣2，解得b=４；∴二次函数的表达式为ｙ=x２+４ｘ+4．４9.（1)∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，3）, ∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）２+３(a≠0）；又∵图象过点（ｌ，﹣2）,∴﹣２=a(1＋4）2+３，解得，a=﹣;∴设该二次函数的关系式为：y=﹣(x+4）2＋3;(2）由（１）知，该二次函数的关系式为：y ＝﹣（x＋4）2+3，∴a ＝﹣＜0,∴该抛物线的方向向下;∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣4,3），∴对称轴方程为:x=﹣4.50．（1）把Ａ（﹣1，0）代入y１=﹣x+m得﹣(﹣1）＋ｍ＝0,解得ｍ=1,把A（﹣1,0）、Ｂ(2，﹣3)代入y2＝ax2+bｘ﹣3得,解得.故二次函数的解析式为y2=ｘ２﹣﹣2x﹣3;(2）因为Ｃ点坐标为(0,﹣3)，Ｂ（2，﹣3)，所以ＢＣ⊥y轴，所以Ｓ△ABC =×2×3=３．51．(1)设此二次函数的解析式为ｙ=aｘ2＋bx+c，把Ａ(0，﹣４）和B(4,０）,即对称轴x=1．5代入解析式得：，解得:故ｙ=x2﹣3x﹣4；(2)∵Ａ(０，﹣４),对称轴是ｘ=1.５，∴A′(３,﹣4）５2．∵二次函数y=ax2+bx＋ｃ的顶点坐标为(﹣，), 二次函数y＝ax２+ｂx+c中,c=3,图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2,=﹣１，解得a=1,ｂ=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣４x+353.∵二次函数ｙ1=aｘ２+bx+c 与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，∴a=﹣2,将点A（﹣1,４）,Ｂ(﹣３，﹣8)代入y１＝﹣2x2＋ｂx+c，得,解得，∴y１=﹣2ｘ2﹣２x+4;∵y1=﹣2x2﹣2x+４＝﹣2(x2+ｘ)+４=﹣2（x ＋）２＋，∴顶点坐标为(﹣,)．故这个函数的解析式为ｙ１=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为(﹣,).5４.（1)∵二次函数的图象与ｘ轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点（﹣3,8),∴两交点的横坐标为：(1，0）,(﹣7，０）,且经过点(﹣3,８), ∴代入解析式:y=a（ｘ﹣１)（x＋7),8＝a(﹣3﹣1）×(﹣3+７）,解得：a=﹣，∴ｙ=﹣（x﹣1）（x+7);(2）∵将点A(﹣1，2)此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣１﹣１）(﹣1+7)=6；∴左边≠右边,∴点A(﹣1,2）不在此函数的图象上.55．(1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ａx2+c，又二次函数的图象经过点（０,﹣9）、(１,﹣8)，∴,解得：,则二次函数的解析式为y=ｘ2﹣9；(2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣４x﹣5,令x=0，解得：y=﹣5,∴C（0,﹣５）,即OＣ=5，又平移后抛物线的顶点Ｐ的坐标为（2,9）,即Ｐ的横坐标为２,则S△ＰＯC =ＯＣ•x P的横坐标=×5×2=5．56.1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x;（2）证明:过点B作BC⊥ｘ轴于点Ｃ，则OＣ＝ＢC=AC=２;∴∠BＯC＝∠OBC=∠ＢAＣ＝∠ABC=45°;∴∠OＢA=９0°,OＢ=ＡＢ;∴△ＯＡB是等腰直角三角形；５7.(１)将A(﹣1，0）代入抛物线y ＝x2＋bx﹣2得,×(﹣1）2﹣b﹣2=0,解得,b ＝﹣,则函数解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣)2﹣,可见,顶点坐标为(，﹣).(2)将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位,可得,y=(x ﹣﹣2)2﹣﹣3=（ｘ﹣）2﹣=ｘ2﹣x.５8．（1）把(2,0)、(０,﹣6）代入二次函数解析式，可得,解得,故解析式是ｙ=﹣x2+4ｘ﹣6；（２）∵对称轴x=﹣=4,∴C点的坐标是（4,0),∴ＡC=2，OB=6，ＡB=2，BＣ=2，∴Ｓ△AＢＣ=AC•OＢ=×2×6=6，△ＡBＣ的周长＝ＡＣ+AB+ＢC=２＋2＋２.59．（１)A坐标是(﹣1,﹣１）,B点的坐标是(3,﹣９）, 代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1,c=﹣6．则二次函数表达式是：y＝x２﹣4x﹣6（2)ｙ=x2﹣4ｘ﹣6=(ｘ﹣２)2﹣10,因此对称轴为直线x＝２,顶点坐标为（2,﹣１0)６0.(1)把Ａ(2，2），B（5,2)分别代入y=ｘ２+bx+c,可得,解得；（2)由b=﹣7,c=１2，知ｙ=ｘ2﹣７x+1２令y=0，得x2﹣7x+１2=0,∴x=３或x=4，∴C（3,0)或Ｃ(4,０)；（3）∵A（2，２)B（5，２）∴AB=|２﹣5｜＝3，且△ＡBＣ的ＡB边上的高h=2,∴Ｓ△ABC =ＡB•h=×３×２=3。
求二次函数解析式的例题及其答案
2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》专题突破训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线解析式；（2）点E为线段BD上的一个动点，作EF⊥x轴于点F，连接OE，当△OEF面积最大时．求点E的坐标；（3）G是第四象限内抛物线上一点，过点G作GH⊥x轴于点H，交直线BD于点K、且OH＝GK，作直线AG．①点G的坐标是；②P为直线AG上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥AG于点Q，取点M（0，），点N为平面内一点，若四边形MPNQ是菱形，请直接写出菱形的边长．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C 作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B （5，0），与y轴交于点C，D是抛物线对称轴上一点，纵坐标为﹣5，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BP、DP．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BDP的面积取得最大值时，求点P的坐标和△BDP面积的最大值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）沿着射线BD平移，使得新抛物线经过点D．新抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧），与y轴交于点G，M是新抛物线上一动点，N是坐标平面上一点，当以点E、G、M、N为顶点的四边形是矩形时，请直接写出所有满足条件的点N的横坐标．5．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”的形状为（不必写出证明过程）；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+mx（m＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．（1）求m的值及该抛物线的对称轴；（2）已知该抛物线上有一点D（x，y）（x＞0，y＞0），使得S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求A、C两点的坐标；（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．①是否存在以P、C、G为顶点的三角形与△BNG相似？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；②过点P作PD⊥BC于点D，当△PDG≌△BNG时，求n的值．（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．①点E在直线OB1上运动，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、B、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，请直接写出点N的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；（3）如图2，将抛物线C1先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线C2，点M为抛物线C2上一动点，点N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．11．综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式．（2）点E在抛物线的对称轴上，则CE+OE的最小值为．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），则，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知抛物线的顶点为D（1，4），令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6，设点E的横坐标为m，则E（m，﹣2m+6），F（m，0），∴EF＝﹣2m+6，OF＝m，∴△OEF面积＝•EF•OF＝（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，△OEF面积的最大值为．此时E（，3）；（3）①设点G的横坐标为n，则G（n，﹣n2+2n+3），K（n，﹣2n+6），H（n，0），∴OH＝n，GK＝﹣2n+6﹣（﹣n2+2n+3）＝n2﹣4n+3，∵OH＝GK，∴n＝（n2﹣4n+3），解得n＝或n＝（舍），∴G（，﹣）．②若四边形MPNQ是菱形，则△MPQ是等腰三角形，且MP＝MQ，取PQ的中点N，则PQ⊥MN，由上可知，A（﹣1，0），G（，﹣）．∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣．∵PQ⊥AG，PQ⊥MN，∴MN∥AG，∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+．设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+2t+3），直线PQ的解析式为：y＝2x+b，则2t+b＝﹣t2+2t+3，解得b＝﹣t2+3，∴直线PQ的解析式为：y＝2x﹣t2+3，令2x﹣t2+3＝﹣x﹣，解得x＝．∴Q（，﹣），∴PQ的中点N（，），∵直线MN的解析式为：y＝﹣x+．∴﹣•+＝，解得t＝2或t＝，∴P（2，3）或P（，）．∴MP的长为＝或＝．故菱形的长为：或．2．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），点A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2，∵抛物线交x轴于点A和点B，∴当y＝0时，x2+x+2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴B（4，0）；（2）存在最大值，由题知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，∴CD∥EG，∴，∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∴CD＝2﹣1＝1，∴，设直线BC的解析式为y＝gx+r（g≠0），将B（4，0），C（0，2）代入，得，解得，∴直线BC得解析式为y＝﹣x+2，设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4，∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴＝﹣（t﹣2）2+2，∵﹣＜0，∴当t＝2时，有最大值为2，此时E点的坐标为（2，3）；（3）存在点M和点N使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：设直线DE的解析式为y＝sx+d，将D（0，1），E（2，3）代入，得，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+1，设M（n，n+1），∵B（4，0），D（0，1），∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，BD2＝42+12＝17，∵以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，故分以下两种情况：①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如下图）或MN＝BM＝BD（如下图），∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，解得n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，∴M（，）或M'（﹣，）或M''（3，4）；②如下图，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），∵四边形BMDN是菱形，∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，∴QD2+QM2＝DM2，∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2，解得n＝，∴M'''（，），综上，符合条件的M点的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），∴得，∴解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，设满足条件的点在抛物线上：①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥直线CD，垂足为F．则F（t，4），CF＝t，，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴；②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'．则F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝﹣s2+s+4﹣4＝﹣s2+s，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得s1＝0（舍去），s2＝1．∴，所以，点E的坐标为或；（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′＝P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC＝OB，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∴∠P′M′C＝45°，设点P′（m，﹣m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴m＝﹣m2+2m，∴m＝0（舍）或m＝4﹣2，菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）＝4﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，∵∠OCB＝45°，∴∠NCQ＝45°，∴∠PCQ＝45°，∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，∴PQ＝CQ，设点P（n，﹣n2+n+4），∴CQ＝n，OQ＝n+4，∴n+4＝﹣n2+n+4，∴n＝0（舍），∴此种情况不存在．综上，菱形的边长为4﹣4．4．解：（1）由题意得，，解之得，，∴抛物线的函数表达式是：y＝﹣x2+4x+5；（2）如图1，∵抛物线的对称轴是x＝＝2，∴D（2，﹣5），∵B（5，0），∴直线BD的解析式是：y＝x﹣，过点P作PQ∥BD，∴可设PQ的解析式是：y＝x+b，由﹣x2+4x+5＝x+b得，x2﹣x+（b﹣5）＝0，∵△BPD面积最大，∴方程由两个相等实数根，∴（x﹣）2＝0∴x＝，当x＝时，y＝﹣（）2+5＝，∴P（，），如图2，∵B（5，0），∴直线PB的解析式是：y＝﹣x，∴当x＝2时，y＝，∴DE＝﹣（﹣5）＝，∴S△BDP＝×（5﹣）＝，即△BDP的最大面积是；（3）∵B（5，0），D（2，﹣5），∴y＝﹣（x﹣2）2+9平移后的关系式是y＝﹣（x+1）2+4，∴﹣（x+1）2+4＝0，∴x＝1或x＝﹣3，∴点E（﹣3，0），G（0，3），如图3，当点M落在抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点（﹣1，4）时，∠EGM＝90°，根据MN∥EG，MN＝EG可得N（﹣4，1），∴NE的解析式是y＝﹣x﹣3，由﹣（x+1）2+4＝﹣x﹣3得，x＝2或x＝﹣3（舍去），∴M′（2，﹣5），∴N′（5，﹣2），当EG是对角线时，设点M1（m，﹣m2﹣2m+3），由M1E2+M1G2＝EG2得，（x+3）2+（﹣x2﹣2x+3）2+x2+（﹣x2﹣2x）2＝32+32，∴x1＝﹣3，x2＝0，x3＝，x4＝，∴N1横坐标是：﹣3﹣＝，N2横坐标是：﹣3﹣＝，综上所述点N的横坐标是：﹣4或5或或．5．解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．则b＝2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．∴＝•（m＞0）．∴m＝2．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，则，解得．故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．6．解：（1）把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴二次函数对称轴为直线x＝；（2）由（1）知，y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），即OC＝4，令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（﹣1，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，∵S△ABD＝S△ABC，点D（x，y）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，∴﹣x2+3x+4＝4，解得：x＝0或3，∴只有（3，4）符合题意．∴点D的坐标为（3，4）；（3）存在，理由：①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴点Q′的坐标为（4，5）；②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，∴点Q的坐标为（，﹣），故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．7．解：（1）在y＝x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（0，4）；（2）设B点坐标为（x，0），①当AC＝BC时，，解得：x＝﹣3（舍去）或x＝3，∴B点坐标为（3，0），将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，②当AB＝BC时，，解得：x＝，∴B点坐标为（，0），将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，③当AB＝AC时，，解得：x＝2或x＝﹣8，∴B点坐标为（2，0）或（﹣8，0），i）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，ii）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（﹣8，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，综上，当△ABC为轴对称图形时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝x2+x+4；（3）存在，理由如下：当△ABC关于y轴成轴对称时，则AC＝BC，此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，①当MN为正方形一边时，∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，∴此时点Q也位于x轴上，设Q点坐标为（k，0），由正方形性质可得则P点坐标为（﹣k，0），∴|2k|＝﹣k2+4，解得：k＝±或k＝±6，∴当MN在x轴上方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（，0）或（﹣，0），当MN在x轴下方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣6，0），②当MN为正方形对角线时，∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，∴此时Q点位于y轴上，设Q点坐标为（0，k），∴||＝﹣×（）2+4，解得：k＝，∴当MN位于x轴上方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），当MN位于x轴下方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），综上，坐标平面内存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形，Q点坐标为（，0）或（﹣，0），或（6，0）或（﹣6，0）或（0，）或（0，）．8．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，∵点N（n，0），∴P（n，n2﹣2n﹣3），G（n，n﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，当点N在y轴右侧，△BNG∽△CPG时，如图：∵PN⊥x轴，∴∠BNG＝∠CPG＝90°，∴PN＝OC＝3，∴n2﹣2n﹣3＝﹣3，解得：n＝2或0（与C重合，舍去），∴n＝2，∴点N的坐标为（2，0）；当点N在y轴右侧，△BNG∽△PCG时，如图：∵△BNG∽△PCG，∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，，∴CG＝n，PG＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，NG＝3﹣n，BG ＝＝（3﹣n），∴，解得：n＝1，∴点N的坐标为（1，0）；当点N在y轴左侧，△BNG∽△PCG时，如图：∵△BNG∽△PCG，∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，∴CG＝|n|＝﹣n，PG＝（n2﹣2n﹣3）﹣（n﹣3）＝n2﹣3n，∴PG＝CG，即n2﹣3n＝×（﹣n），解得：n＝0或1（舍去），综上所述，点N的坐标为（2，0）或（1，0）；②当点N在y轴右侧时，由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，∴NB＝3﹣n＝NG，∴BG＝（3﹣n），∵△PDG≌△BNG，∴PG＝BG＝（3﹣n），∴PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），∴点P的坐标为（n，（n﹣3）（1+）），将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，解得n＝3（舍去）或n＝，∴n＝；当点N在y轴左侧时，同理可得：n＝﹣，综上所述，n＝±；（3）①存在，理由如下：AB为矩形的边时，如图：设OC的中点为R（0，﹣），由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1，此时函数的表达式为y＝x，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴E（3，）或（﹣1，﹣），∴F（﹣1，）或（3，﹣）；AB为矩形的对角线时，如图：连接EF交AB于G，作EH⊥x轴于H，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，GB＝GE＝2，OG＝1，∵直线OB1的表达式为y＝x，∴OH＝2EH，∵EH⊥x轴，四边形AFBE是矩形，∴∠AHE＝∠BHE＝∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠BEH，∴△AEH∽△EBH，∴，即，解得：EH＝或，∴OH＝或，∴OK＝OH﹣OG﹣OG＝或OK＝OH+1+1＝，∴F（，）或（，）；综上所述：存在，点F的坐标为（﹣1，）或（3，﹣）或（，）或（，）；②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，∵直线NN1的过点N（n，0），故直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，联立①②并解得，故点H的坐标为（，），∵点H是NN1的中点，由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3，解得n＝，故点N的坐标为（，0）或（，0）．9．解：（1）将A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+8；（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为直线x＝2，令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，∴x＝﹣4或x＝8，∴C（8，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点E作EH⊥x轴交CD于点H，设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，此时E（3，），连接BE，交对称轴于点F，连接CF，∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，∴BF＝CF，∴CF+EF＝BF+EF≥BE，当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，∴BE＝＝；（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，理由如下：平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），∵四边形DMCN为菱形，∴DC与MN为对角线，∴，∵CN＝CM，∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴x＝8+2或x＝8﹣2，∴N（8+2，10+2）或N（8﹣2，10﹣2）．10．解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，得，解得k＝﹣2，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，如图1，设直线AD与y轴交于点E，令x＝0，得y＝1，∴OA＝OE＝1，∴∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），直线AD的解析式是y＝x+1，设平移后的抛物线解析式为，结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，将点（11，0）代入，得，解得t＝﹣48，当抛物线与AD边有唯一公共点时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，将y＝x+1与联立方程组，，化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，解得，∴t的取值范围．11．解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，得c＝4，将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，得﹣16﹣4b+4＝0，解得b＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图1，∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，由（1）得，直线AC的解析式为y＝x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），作点C关于直线x＝﹣的对称点G，则点G（﹣3，4）在抛物线上，∴OG＝＝5，连接OG交直线x＝﹣于点H，连接CH、EG，则CE＝GE，CH＝GH，∴GE+OE＝CE+OE，∵GE+OE≥OG，∴CE+OE≥OG，∴当点E与点H重合时，CE+OE＝CH+OH＝GH+OH＝OG＝5，此时CE+OE的值最小，∴CE+OE的最小值为5，故答案为：5．（3）①如图2，设点M的坐标为（x，0）（﹣4＜x＜0），则P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，∴S△ANC＝PN•AM+PN•OM＝PN•OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，∴当x＝﹣2时，S△ANC最大＝8，此时P（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）；8．②存在，如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，当y＝0时，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），∴CB＝＝，∵DF与BC互相垂直平分，∴I为BC的中点，∴I（，2），CI＝CB＝，∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，∴△ICR∽△OCB，∴＝，∴CR＝＝＝，∴OR＝4﹣＝，∴R（0，），设直线DF的解析式为y＝kx+，则k+＝2，解得k＝，∴直线DF的解析式为y＝x+，由得，∴F（，），∵点D与点F（，）关于点I（，2）对称，∴D（，）；如图4，菱形BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，∵BD与CF互相垂直平分，∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠JAB＝∠JBA＝45°，∴JB＝JA，∴JD＝JA，∴∠JAD＝∠JDA＝45°，∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝1+4＝5，∴D（﹣4，5）；如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，∴CF＝CB＝，作FL⊥y轴于点L，作DK⊥FL于点K，交x轴于点Q，则∠CLF＝90°，∴∠LFC＝∠LCF＝45°，∴LC＝LF，∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，∴LF＝LC＝，∵FL∥OA，DF∥BC，∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，∴△DKF≌△COB（AAS），∴KF＝OB＝1，KD＝OC，∵QK＝OL，∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，∴D（，）；如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，作FL⊥y轴于点L，作DV⊥y轴于点V，作FK⊥DV于点K，则∠CLF＝90°，∵∠LCF＝∠OCA＝45°，∴∠LCF＝∠LFC＝45°，∴LF＝LC，∵CF＝CB＝，∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，∴LF＝LC＝，∵FK∥OC，FD∥CB，∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，∴∠DFK＝∠BCO，∵DF＝BC，∴△DFK≌△BCO（AAS），∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，∴D（，），综上所述，点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．。
(完整版)求二次函数的解析式--专题练习题-含答案
求二次函数的解析式 专题练习题姓名： 班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B 和D(4，－)，求抛物线的解析式．232．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM 的解析式；(3)求△MCB 的面积．3．已知一个二次函数，当x ＝1时，y 有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的解析式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式． 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：x … －4 －3 －2 －10 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x ＝－.12(1)求抛物线的解析式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标．答案:1. 解：y ＝x 2－x －216132. 解：(1)y ＝－x 2＋4x ＋5(2)y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，则M 点坐标为(2，9)，可求直线MC 的解析式为y ＝2x ＋5(3)把y ＝0代入y ＝2x ＋5得2x ＋5＝0，解得x ＝－，则E 点坐标为(－，0)，5252把y ＝0代入y ＝－x 2＋4x ＋5得－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，则B 点坐标为(5，0)，所以S △MCB ＝S △MBE －S △CBE ＝××9－××5＝1512152121523. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y ＝x ＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y ＝a(x －1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a ＝－1，故函数解析式是y ＝－(x －1)2＋2，即y ＝－x 2＋2x ＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y ＝a(x ＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝－x 2－2x ＋3 (2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3(2)由(1)可知y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，则y 的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M 都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x ＝－1，在x 轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)，把(－2，－6)代入得a ·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a ＝2，所以抛物线解析式为y ＝2(x ＋3)(x －1)，即y ＝2x 2＋4x －68. (1) 2 0(2)(－1，－1) (3)＝22＋32139. y ＝－x 2＋2x ＋310. 解：(1)y ＝－x 2－x ＋31212(2)由y ＝0得－(x ＋)2＋＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3，1212258∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO＝CO ＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当M 点在原点O 时，△MBC 是等腰三角形，∴M 点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得OC2＋OB2222BC＝3，∴BM＝3，∴M点坐标(3－3，0)．2综上所述，M点坐标为(3－3，0)或(0，0)。
次函数与二元一次方程组不等式专项练习60题
二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c ＞0；（2）方程ax 2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc 的图象 一定不过第二象限，其中错误的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为A （，﹣）、B （，），则方程ax 2+bx+c=0 的一个解只可能是（ ） A ． B ． C ． ﹣ D ．3．方程x 2+3x ﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 3﹣x ﹣1=0的实数根x 0所在的范围是（ ） A ． ﹣1＜x 0＜0 B ． 0＜x 0＜1 C ． 1＜x 0＜2 D ． 2＜x 0＜34．根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）得到一些对应值，列表如下：判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 1的范围是（ ） A ． ＜x 1＜B ． ＜x 1＜C ． ＜x 1＜D ． ＜x 1＜5．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ． 抛物线开口向上B ． 抛物线与y 轴交于负半轴C ． 当x=3时，y ＜0D ． 方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根6．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：若，则一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根x 1，x 2的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B ．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C ． 0＜x1＜1，1＜x2＜2D ．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜47．根据抛物线y=x 2+3x ﹣1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）A ． x 2﹣1=﹣3xB ． x 2+3x+1=0C ． 3x 2+x ﹣1=0D ． x 2﹣3x+1=08．已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（ ） A ． ﹣ B ． ﹣ C ． ﹣ D ． ﹣x y ﹣ ﹣x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y…m ﹣2mm ﹣2…x ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ x 2+2x ﹣10 ﹣﹣ ﹣ x 0 1据关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0，9．根可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（ ）A ． 解的整数部分是0，十分位是5B ． 解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是210．根据下列表格中的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 的一个解x 的取值范围为（ ）A ． ＜x ＜B ． ＜x ＜C ． ＜x ＜D ． ＜x ＜11．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=和x 2=（ ）A ． ﹣B ． ﹣C ． ﹣D ． ﹣12．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别 是x 1=，x 2=（ ）A ． ﹣B ．C ．D ． 以上都不对 13．二次函数y=x 2﹣6x+n 的部分图象如图所示，若关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n=0的一个解为x 1=1，则另一个 解x 2= _________ ．14．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点（0，﹣3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在 （1，0）和（3，0）之间．你确定的b 的值是 _________ ．15．抛物线y=x 2﹣4x+m 与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 _________ ．16．已知二次函数y=﹣x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣x 2+2x+m=0的解为 _________ ．17．抛物线y=x 2﹣4x+与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 _________ ．18．开口向下的抛物线y=（m 2﹣2）x 2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m= _________ ．19．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=和x 2= _________ ．20．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是 _________ ．21．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=时，y=﹣＜0，当x=时，y=＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 _________ ．（精确到）．x 2+px+q﹣15﹣ ﹣2 ﹣ xy=ax 2+bx+c﹣ ﹣22．根据下列表格中y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是_________ ．xy=ax2+bx+c﹣﹣23．抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是_________ ．24．二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是_________ ．25．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…﹣1﹣﹣2﹣…根据表格中的信息，完成下列各题（1）当x=3时，y= _________ ；（2）当x= _________ 时，y有最_________ 值为_________ ；（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1_______ y2（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是_________ ．26．阅读材料，解答问题．例用图象法解一元二次不等式：．x2﹣2x﹣3＞0解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是_________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0．27．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系试把方程的根在图象上表示出来．28．画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．29．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解30．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整： 例题：求一元二次方程x 2﹣x ﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）． （2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x 2﹣x ﹣1=0的解看成是二次函数y= _________ 的图象与x 轴交点的横坐标即x 1，x 2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x 2﹣x ﹣1=0的解看成是二次函数y= _________ 的图象与一个一次函数y= _________ 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x 1，x 2在x 轴上标出方程的解．31．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（ ）A ． ﹣1＜x ＜5B ． x ＞5C ． x ＜﹣1且x ＞5D ． x ＜﹣1或x ＞532．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ． a bc ＜0B ． a +c ＜bC ． b ＞2aD ． 4a ＞2b ﹣c33．现定义某种运算a⊕b=a（a ＞b ），若（x+2）⊕x 2=x+2，那么x 的取值范围是（ ） A ． ﹣1＜x ＜2 B ． x ＞2或x ＜﹣1 C ． x ＞2 D ． x ＜﹣134．如图，一次函数y 1=kx+n （k≠0）与二次函数y 2=ax 2+bx+c （a≠0）的图象相交于A （﹣1，5）、B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n≥ax 2+bx+c 的解集为（ ）A ． ﹣1≤x≤9B ． ﹣1≤x＜9C ． ﹣1＜x≤9D ． x ≤﹣1或x≥935．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2﹣3x+a 2﹣1的图象，那么下列结论错误的是（ ） y=x 2﹣4x 36．已知：二次函数﹣a ，下列说法中错误的个数是（ ）①若图象与x 轴有交点，则a≤4；②若该抛物线的顶点在直线y=2x 上，则a 的值为﹣8； ③当a=3时，不等式x 2﹣4x+a ＞0的解集是（3，0）；④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点x ，则a=﹣1；⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为x 1、x 2，则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 437．二次函数y=ax 2的图象如图所示，则不等式ax ＞a 的解集是（ ）A ． x ＞1B ． x ＜1C ． x ＞﹣1D ． x ＜﹣138．如图，函数y=x 2﹣2x+m （m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a ﹣2时，函数值（ ）A ． y ＜0B ． 0＜y ＜mC ． y =mD ． y ＞m39．已知：二次函数y=x 2﹣4x+a ，下列说法中错误的个数是 （ ） ①当x ＜1时，y 随x 的增大而减小A ． 当y ＜0时，x ＞0B ． 当﹣3＜x ＜0时，y ＞0C ． 当x ＜时，y 随x 的增大而增大D ． 上述抛物线可由抛物线y=﹣x 2平移得到②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3．A．1B．2C．3D．440．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+n的图象相交于A（0，4），B（4，1）两点，下列三个结论：①不等式y1＞y2的解集是0＜x＜4②不等式y1＜y2的解集是x＜0或 x＞4③方程ax2+bx+c=kx+n的解是x1=0，x2=4其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个41．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________ ．42. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________ ．43．已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）请写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）函数图象与x轴交点坐标为_________ ，与y轴的交点坐标为_________ ；（3）当_________ 时y＞0，_________ 时y随x的增大而增大；（4）写出不等式x2﹣6x+5＜0的解集．_________44．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b _________ 0（填“＞”、“＜”、“=”）；（2）当x满足_________ 时，ax2+bx+c＞0；（3）当x满足_________ 时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．45．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1= _________ ，x2= _________ ；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________ ；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________ ；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________ ．46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中，正确的说法有_________ ．（请写出所有正确说法的序号）47．如图是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是_________ ．48．已知抛物线y=x2﹣x﹣6，则不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为_________ ．49．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为_________ ．50．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_________ ．（2）若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是_________ ．（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是_________ ．51．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为_________ ．52．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，观察图象，使y≥l成立的x的取值范围是_________ ．53．已知函数y1=x2与y2=﹣x+3的图象大致如图，若y1≤y2，则自变量x的取值范围是_________ ．54．已知二次函数y=4x2﹣4x﹣3的图象如图所示，，则函数值y _________ 0．55．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是_________ ．56．已知抛物线y=﹣x2﹣3x﹣（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（3）画出草图；（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0．57．如图是二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．（1）求该抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐标（2）观察图象直接指出x在什么范围内时，y＞058．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）59．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．60．已知抛物线y1=x2+（m+1）x+m﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=﹣1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2m，﹣3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1≥y2．二次函数与二元一次方程组、不等式60题参考答案：1.解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值即纵坐标为正，即4a+2b+c＞0；故（1）正确；∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根；并且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；∵函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说y随x的增大而增大；故（3）错误；∵由图象可知：c＜0，b＜0，∴bc＞0，∴一次函数y=x+bc的图象一定经过第二象限，故（4）错误；∴错误的个数为3个，故选B．2．解：∵图象上有两点分别为A（，﹣）、B（，），∴当x=时，y=﹣；x=时，y=，∴当y=0时，＜x＜，只有选项D符合，故选D．3.解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．4. ：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在～之间．故选C．5．解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C6．解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．7．解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．故选A．8．解：根据表格得，当﹣＜x＜﹣时，﹣＜y＜，即﹣＜x2+2x﹣10＜，∵0距﹣近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣，故选C．9. 解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于而小于．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选C．10．解：由表可以看出，当x取与之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为＜x＜．故选C11．解：方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣）∴﹣=﹣1则﹣=﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴x1+x2=﹣又∵x1=∴x1+x2=+x2=﹣2解得x2=﹣．方法二：根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=，则=﹣1，即=﹣1，解得：x2=﹣，故选D12．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=，∴x2=．故选C．13．解：由图可知，对称轴为x=﹣==3，根据二次函数的图象的对称性，=3，解得x2=5．故答案为：514．解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，∴y=x2+bx﹣3，∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，∴﹣2＜b＜2，即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数．15.解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．16．解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故填空答案：x1=﹣1或x2=3．17. 解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）18.解：由于抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），∴对称轴为直线x=﹣1，x==﹣1，解得m1=﹣1，m2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2﹣2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=﹣1．19．解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣=﹣．20. 解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为，∴x1=；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣=．21. 解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上，∵对称轴x=﹣=﹣1，∴x＞﹣1时y随x的增大而增大，∵当x=时，y=﹣＜0，当x=时，y=＞0，∴方程x2+2x﹣5=0的一个正根：＜x＜，∴近似值是．答案．22．解：由表格中的数据看出﹣和更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：＜x＜．23．解：观察图象可知，抛物线y=2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=﹣1，x2=3．故本题答案为：x1=﹣1，x2=3．24．解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．25．解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1；（2）将y=x2﹣x﹣配方得，y=（x﹣1）2﹣2，∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2；（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．26．解：（1）x＜﹣1或x＞3；（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．27．解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；当y=1时，x2+7x+9=1，∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣或﹣，∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣，x2≈﹣．28．解：函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解x1=1，x2=3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．29．解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得﹣32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得﹣x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=﹣130．解：（1）由原方程，得：=0，即=；解得x1=，x2=．（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；②x1+x2==1；③由①②③，得：；∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．（3）31．解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．32．解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．33. 解：由定义运算得：x+2＞x2，即解不等式x2﹣x﹣2＜0，设y=x2﹣x﹣2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是（﹣1，0），（2，0），由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，即x的取值范围﹣1＜x＜2．故选A．34．解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选A．35．解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．∴y=﹣x2﹣3x，∴二次函数与图象的交点为：（﹣3，0），（0，0），∴当y＜0时，x＜﹣3或x＞0，故A选项错误；当﹣3＜x＜0时，y＞0，故B选项正确；当x＜时，y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=﹣x2平移得到，故D选项正确；故选：A．36．解：①∵图象与x轴有交点，则△=16﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣4；故本选项错误；②∵二次函数y=x2﹣4x﹣a的顶点坐标为（2，﹣a﹣4），代入y=2x得，﹣a﹣4=2×2，a=﹣8，故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为（3，0），故本选项错误；④表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16﹣16﹣a=﹣a，当x=0时，y=﹣a，故本选项正确．故选C．37．解：由图象可知a＜0，∴不等式ax＞a的解集为x＜1．故选B．38．解：x=a代入函数y=x2﹣2x+m中得：y=a2﹣2a+m=a（a﹣2）+m，∵x=a时，y＜0，∴a（a﹣2）+m＜0，由图象可知：m＞0，∴a（a﹣2）＜0，又∵x=a时，y＜0，∴a＞0则a﹣2＜0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x＜1时y随x的增大而减小，∴x=a﹣2时，y＞m．故选：D．39.解：二次函数为y=x2﹣4x+a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16﹣4a≥0，则a≤4，故说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+3＜0的解集是x＜0或x＞3，故说法错误；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4+a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3+a，函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=﹣3．故说法正确．故选A．40．①通过图象可知，在点A和B之间y1的图象在y2的上面，也就是y1＞y2，且解集是0＜x＜4，此选项正确；②通过图象可知，在点A的左边和在B的右边，y1的图象在y2的下面，也就是y1＜y2，且解集是x＜0或x＞4，此选项正确；③两函数图象的交点就是y1=y2的解，且解是x1=0，x2=4，此选项正确．故选D．41．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．42．解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故填空答案：x＜﹣1或x＞3．43.解：（1）根据二次函数的性质可知对称轴为x=﹣=﹣=3顶点坐标为x=﹣=3，y===﹣4，故对称轴为x=3，顶点坐标为（3，﹣4）；（2）令y=0，即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5故函数图象与x轴交点为（1，0），（5，0）∴c=0，故图象与y轴交点为（0，5）；（3）由图象可知当x＜1或x＞5时，y＞0当x＞3时，y随x的增大而增大（4）由图象可知，x2﹣6x+5＜0的解集为1＜x＜5．44．解：（1）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，a＞0，∵对称轴经过x轴的负半轴，即可得出a，b同号，∴b＞0，故答案为：b＞0；（2）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴x＜﹣4或x＞2；故答案为：x＜﹣4或x＞2；（3）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．故答案为：x＜﹣1．45．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）∴方程ax2+bx+c=0的两个根x1=1，x2=3；（2）由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：1＜x＜3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（3）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞2；（4）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，2），当直线y=k，在（0，2）的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．46．解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：﹣=1，∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．47．解：∵y=x2+bx﹣1经过（3，2）点，∴b=﹣2，∵﹣1≤y≤2，∴﹣1≤x2﹣2x﹣1≤2，解得2≤x≤3或﹣1≤x≤0．48. 解：∵x2﹣x﹣6=0∴x1=﹣2，x2=3∴抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0）而抛物线y=x2﹣x﹣6开口向上当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣2＜x＜3故填空答案：﹣2＜x＜3．49. 解：当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．50．解：（1）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为：1＜x＜3；（2）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x＞2；（3）由顶点（2，2）设方程为a（x﹣2）2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），∴a=﹣2，∴抛物线方程为y=﹣2（x﹣2）2+2，y=﹣2（x﹣2）2+2﹣k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k＜2时，曲线与x轴有两个交点．故k＜2．故答案为：（1）1＜x＜3；（2）x＞2；（3）k＜2．51．解：∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3．52．解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤﹣1或x≥3，故答案为x≤﹣1或x≥3．53.解：根据图象知，当y1≤y2时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤．故答案为﹣2≤x≤．54．解：由图可知，﹣＜x＜时，函数图象在x轴的下方，所以y＜0．故答案为：＜．55．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．56．解：（1）∵y=﹣x2﹣3x﹣=﹣（x2+6x+5）=﹣（x2+6x+9﹣4）=﹣（x+3）2+2，∴开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）；（2）∵令x=0，得：y=﹣，∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣）；令y=0，得到﹣x2﹣3x﹣=0，解得：x=﹣1或x=﹣5，故抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（﹣5，0）；（3）草图为：（4）根据草图知：当x=﹣1或x=﹣5时，y=0，当﹣5＜x＜﹣1时y＞0，当x＜﹣5或x＞﹣1时y＜0．57．解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x=1，与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）；（2）由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．58．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，∴y=（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=；顶点坐标是（，﹣）；（3）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．59．解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．60．解：（1）由题意，有，解得m=1．（2）∵m=1，∴y1=x2+2x﹣3，∴y1=（x+1）2﹣4，列表为：x…﹣3﹣2﹣101…y=x2+2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…描点并连线为：（3）∵m=1∴P（﹣2，﹣3），∴可以画出直线的图象．∴由图象得x≤﹣2或x≥1时，y1≥y2．。
二次函数解析式专项练习（精选5篇）
二次函数解析式专项练习（精选5篇）第一篇：二次函数解析式专项练习二次函数解析式专项练习一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；例.已知二次函数图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x-h)+k求解。
2例.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
综合练习：1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．2.已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．3.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．5.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．第二篇：二次函数练习二次函数练习1，函数f(x)=x2+bx+c，对于任意t∈r，均有f(2+x)=f(2-x)则f(1)，f(2)，f(4)，的大小关系是_____________________2，二次函数y=ax2-4x+a-3的最大值恒为负，则a的取值范围是________________------3，二次函数y=x2+(a+2)x+5在区间(2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是_______________4，已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与X轴的交点至少一个在原点的右侧，求实数m的范围。
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)ok
求二次函数解析式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x …﹣2 0 2 …y …﹣1 1 11 …6．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象．10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，（1）求m的值；（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．（l）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）试求二次函数的解析式；（2）求y的最大值；（3）写出当y＞0时，x的取值范围．31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________．37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39．根据条件求下列抛物线的解析式：（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）（1）求函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．（1）试确定b、c的值；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（l，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；（3）求S△ABC的值．二次函数解析式60题参考答案：1．∵顶点坐标是（1，﹣4）因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4解之得：a=1（14分）∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．2．（1）把点A（﹣1，12），B （2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得得∴y=x2﹣6x+5．（2）y=x2﹣6x+5，y=（x﹣3）2﹣4，故顶点为（3，﹣4）．令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．3．由题意，直线l的解析式为y=x，将（m，3）代入直线l 的解析式中，解得m=3．将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，∴二次函数的解析式为4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．即a=，b=1，c=5；当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．即a=﹣，b=﹣1，c=3．∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）6．（1）∵抛物线过原点，∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△=（m+1）2﹣4m=0．解得：m=1；（3）∵抛物线的对称轴是x=2，∴﹣=2．解得m=﹣57．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把B（0，3）代入得：3=3a∴a=1∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣2x2+8x﹣6．9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，得，解得b=﹣2，c=﹣3，∴﹣=1，=﹣4，∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；又当x=0时，y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；y=0时，x=3或﹣1，∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．（3）图象如图．10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得，解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），∴c=3．又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，∴代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，①4a+2b+c=﹣1，②由①②及c=3解得12．由题意得解得，．此二次函数的解析式为y=x2﹣1．13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：解得：则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，解得．∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）=2（x﹣1）2﹣8．（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；（2）根据题意得：令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，∴点C坐标为（4，0）；令x=0，解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；（3）根据题意得：①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）则y﹣4=0，即得y=4，∴点P的坐标为（0，4）．②当AB=BP时，AB=，∴OP 的长为：﹣4，∴P（0，﹣4），∴P（0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）依题意，得AB=3﹣1=2．设P点坐标为（a，b）当b＞0时，×2×b=8．则b=8．故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，方程﹣x2+4x+11=0无实数根．当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8故﹣x2+4x﹣3=﹣8 即﹣x2+4x﹣5=0．解得x1=﹣1，x2=5所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；y=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．故答案为：y=﹣x2﹣2x+319．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，∴b=1，c=﹣6，∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+322．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．将（1，0）代入得9k+3=0，解得k=．∴所求的函数式为 y=（x+2）2+323．根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得，25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）26．根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，∴，解得a=1，b=6，c=5，∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+528．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，解之得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣x2+5x﹣4；（2）令x=0，得y=﹣4，令y=0，解得x1=4，x2=1，S=×（4﹣1）×4=6．所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，把c=3代入①，解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，则当x=﹣=﹣=1时，y有最大值，最大值为=4；（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，可化为：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞031．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，再把（2，1）代入函数中可得a（2﹣1）2+2=1，解得a=﹣1，故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．32．∵﹣=﹣=1，∴b=2，又∵点（3，0）在函数上，∴﹣9+6+c=0，∴c=3，∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．∴当x=2时，y=0，∴m+2=0，∴m=﹣2，∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，∵A（2，0）B（5，3），∴直线AB的解析式为y=x﹣2，∴点D（0，﹣2），由（1）知C（0，8），∴S△BCD =×10×5=25，∵S△ACD =×10×2=10，∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣136．（1）由条件得解得所以解析式为y=﹣x2+4x，（2）∵该图象的最高点为B，∴点B的坐标为（2，4），∴△ABO的面积=×4×4=8，（3）∵当x=1时，y=3，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：，解得：，故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；（2）y=2x2﹣3x+5=2（x2﹣x+﹣）+5=2（x ﹣）2﹣+5=2（x ﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，），因为抛物线的开口向上，所以当x ＞时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小．38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k ﹣2）+1，解得：k=2，则抛物线解析式为y=x2+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，∴﹣=0，=1，则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣2x+1．（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，∴a=﹣，22根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；∴函数解析式是：y=﹣2；（2）∵a=＞0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3．∴当x＞3时，y随x增大而增大．41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．（2）∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．函数图象如下：（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．由，消去m，得y=﹣2x﹣1．所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣144．设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，直线AB的解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣445．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，∵抛物线y=ax2过点B（1，1），∴a×12=1，解得a=1，∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．它们在同一坐标系中的图象如下所示：46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B 的左侧），∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB=6，∵P点的坐标是：（2，7），47．（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）48．∵二次函数的图象过A（0，4），∴c=4，∵对称轴为x=﹣1，∴x=﹣=﹣2，解得b=4；∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；又∵图象过点（ l，﹣2），∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，∴a=﹣＜0，∴该抛物线的方向向下；∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴对称轴方程为：x=﹣4．50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），所以BC⊥y轴，所以S△ABC =×2×3=3．51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=代入解析式得：，解得：故y=x2﹣3x﹣4；（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=，∴A′（3，﹣4）52．∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2，=﹣1，解得a=1，b=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+353．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，∴a=﹣2，将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，得，解得，∴y1=﹣2x2﹣2x+4；∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；∴左边≠右边，∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），∴，解得：，则二次函数的解析式为y=x2﹣9；（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC•x P的横坐标=×5×2=5．56．1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，×（﹣1）2﹣b﹣2=0，解得，b=﹣，则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．可见，顶点坐标为（，﹣）．（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3=（x ﹣）2﹣=x2﹣x．58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x=﹣=4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，∴S△ABC =AC•OB=×2×6=6，△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1，c=﹣6．则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，可得，解得；（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12∴C（3，0）或C（4，0）；（3）∵A（2，2）B（5，2）∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC=AB•h=×3×2=3。
求二次函数解析式专项练习60题(含解析)
文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.求二次函数解析式专项练习60题（含解析）1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；x …﹣2 0 2 …y …﹣1 1 11 …6．已知抛物线y=x+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象．10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，（1）求m的值；（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．24．一个二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个函数的关系式．25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．（l）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）试求二次函数的解析式；（2）求y的最大值；（3）写出当y＞0时，x的取值范围．31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________．37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39．根据条件求下列抛物线的解析式：（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）（1）求函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．（1）试确定b、c的值；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（l，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．60．已知函数y=x2+bx+c过点A（2，2），B（5，2）．（1）求b、c的值；（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；（3）求S△ABC的值．二次函数解析式60题参考答案：1．∵顶点坐标是（1，﹣4）因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4解之得：a=1（14分）∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．2．（1）把点A（﹣1，12），B（2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得得∴y=x2﹣6x+5．（2）y=x2﹣6x+5，y=（x﹣3）2﹣4，故顶点为（3，﹣4）．令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．3．由题意，直线l的解析式为y=x，将（m，3）代入直线l的解析式中，解得m=3．将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，∴二次函数的解析式为4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．即a=，b=1，c=5；当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．即a=﹣，b=﹣1，c=3．5．（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）6．（1）∵抛物线过原点，∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△=（m+1）2﹣4m=0．解得：m=1；（3）∵抛物线的对称轴是x=2，∴﹣=2．解得m=﹣57．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把B（0，3）代入得：3=3a∴a=1∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣2x2+8x﹣6．9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，得，解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴﹣=1，=﹣4，∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；又当x=0时，y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；y=0时，x=3或﹣1，∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．（3）图象如图．10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得，解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），∴c=3．又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，∴代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，①4a+2b+c=﹣1，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+312．由题意得解得，．此二次函数的解析式为y=x2﹣1．13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：解得：则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，解得．∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）=2（x﹣1）2﹣8．（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；（2）根据题意得：令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，∴点C坐标为（4，0）；令x=0，解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；（3）根据题意得：①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）则y﹣4=0，即得y=4，∴点P的坐标为（0，4）．②当AB=BP时，AB=，∴OP 的长为：﹣4，∴P（0，﹣4），∴P（0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）依题意，得AB=3﹣1=2．设P点坐标为（a，b）当b＞0时，×2×b=8．则b=8．故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，方程﹣x2+4x+11=0无实数根．当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8故﹣x2+4x﹣3=﹣8 即﹣x2+4x﹣5=0．解得x1=﹣1，x2=5所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；y=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．∵其图象经过点（2，﹣5），∴a（2+1）2+4=﹣5，∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．故答案为：y=﹣x2﹣2x+319．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，∴b=1，c=﹣6，∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+322．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．将（1，0）代入得9k+3=0，解得k=．∴所求的函数式为 y=（x+2）2+323．根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得，所以这个函数关系式是：y=4x2+5x25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）26．根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，∴，解得a=1，b=6，c=5，∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+528．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，解之得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣x2+5x﹣4；（2）令x=0，得y=﹣4，令y=0，解得x1=4，x2=1，S=×（4﹣1）×4=6．所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），又∵此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，把c=3代入①，解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，则当x=﹣=﹣=1时，y有最大值，最大值为=4；（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，可化为：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞031．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，再把（2，1）代入函数中可得a（2﹣1）2+2=1，解得a=﹣1，故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．32．∵﹣=﹣=1，∴b=2，又∵点（3，0）在函数上，∴﹣9+6+c=0，∴c=3，∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．34．（1）解：∵直线y=x+m经过A点，∴当x=2时，y=0，∴m+2=0，∴m=﹣2，∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，∵A（2，0）B（5，3），∴直线AB的解析式为y=x﹣2，∴点D（0，﹣2），由（1）知C（0，8），∴S△BCD =×10×5=25，∵S△ACD =×10×2=10，∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣136．（1）由条件得解得所以解析式为y=﹣x2+4x，（2）∵该图象的最高点为B，∴点B的坐标为（2，4），∴△ABO的面积=×4×4=8，（3）∵当x=1时，y=3，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．故答案为：0＜y＜4．37．（1）这个二次函数解析式y=ax2+bx+c（a≠0），把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：，解得：，故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；（2）y=2x2﹣3x+5=2（x2﹣x+﹣）+5=2（x ﹣）2﹣+5=2（x ﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，），因为抛物线的开口向上，所以当x ＞时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小．38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k ﹣2）+1，解得：k=2，则抛物线解析式为y=x2+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，∴﹣=0，=1，则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣2x+1．（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，∴a=﹣，∴y=﹣（x+2）2+1，即y=﹣x2﹣x ﹣．40．（1）设函数的解析式是：y=a（x﹣3）2﹣2根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；∴函数解析式是：y=﹣2；（2）∵a=＞0 ∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3．∴当x＞3时，y随x增大而增大．41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．（2）∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．函数图象如下：（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．由，消去m，得y=﹣2x﹣1．所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣144．设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，直线AB的解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣445．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，∵抛物线y=ax2过点B（1，1），∴a×12=1，解得a=1，∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．它们在同一坐标系中的图象如下所示：46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B 的左侧），∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB=6，∵P点的坐标是：（2，7），∴△PAB的面积=×6×7=2147．（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）48．∵二次函数的图象过A（0，4），∴c=4，∵对称轴为x=﹣1，∴x=﹣=﹣2，解得b=4；∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；又∵图象过点（ l，﹣2），∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，∴a=﹣＜0，∴该抛物线的方向向下；∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴对称轴方程为：x=﹣4．50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），所以BC⊥y轴，所以S△ABC =×2×3=3．51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式得：，解得：故y=x2﹣3x﹣4；（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=1.5，∴A′（3，﹣4）52．∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2，=﹣1，解得a=1，b=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+353．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，∴a=﹣2，将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，得，解得，∴y1=﹣2x2﹣2x+4；∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），解得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；∴左边≠右边，∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），∴，解得：，则二次函数的解析式为y=x2﹣9；（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC•x P的横坐标=×5×2=5．56．1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，×（﹣1）2﹣b﹣2=0，解得，b=﹣，则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣）2﹣，可见，顶点坐标为（，﹣）．（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3=（x ﹣）2﹣=x2﹣x．58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x=﹣=4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，∴S△ABC =AC•OB=×2×6=6，△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1，c=﹣6．则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 可得，解得；（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12令y=0，得x2﹣7x+12=0，∴x=3或x=4，∴C（3，0）或C（4，0）；（3）∵A（2，2）B（5，2）∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC =AB•h=×3×2=311word版本可编辑.欢迎下载支持.。
(完整版)二次函数求解析式专题练习题
1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．4．若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。
9.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．10．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．11．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．12．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)求△OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．14、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这名男同学出手处A 点的坐标为（0,2），铅球路线的最高处B 点的坐标为（6,5）。
二次函数练习题及答案(解析版)
二次函数练习题及答案(解析版)一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab>0，c>0B ab>0，c<0C ab<0，c>0D ab<0，c<06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m>4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大二次函数练习题参考答案与解析一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元数学速算的技巧1、“凑整”先算1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来。
二次函数求解析式专题练习试题
1. 已知抛物线y＝ax2经过点A(1, 1). (1)求这个函数的解析式；2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2, 3), 且过点(1, 0), 求此二次函数的解析式.3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2, 4), 且过原点, 求抛物线的解析式.4. 若一抛物线与轴两个交点间的距离为8, 且顶点坐标为（1, 5）, 则它们的解析式为。
5. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c, 当x＝－1时有最小值－4, 且图象在x轴上截得线段长为4, 求函数解析式.6. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0, 0), (12, 0)两点, 其顶点的纵坐标是3, 求这个抛物线的解析式.7.已知二次函数为x＝4时有最小值 -3且它的图象与x轴交点的横坐标为1, 求此二次函数解析式.8.已知抛物线经过点(-1, 1)和点(2, 1)且与x轴相切. (1)求二次函数的解析式。
9.已知二次函数y=ax2＋bx＋c, 当x=0时, y=0；x=1时, y=2；x=-1时, y=1．求a、b、c, 并写出函数解析式．10. 把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3, 0), 求平移后的抛物线的解析式.11. 二次函数y＝x2－mx＋m－2的图象的顶点到x轴的距离为求二次函数解析式.12. 已知二次函数的最小值为1, 求m的值.13. 已知抛物线y＝ax2经过点A(2, 1).(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C, 使△ABC的面积等于△OAB面积的一半, 若存在, 求出C点的坐标；若不存在, 请说明理由.14.在体育测试时, 初三的一名高个子男生推铅球, 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分, 如图所示, 如果这名男同学出手处A点的坐标为（0,2）, 铅球路线的最高处B点的坐标为（6,5）。
二次函数练习题(解析式)
二次函数练习题——求解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物一线与x轴的两个交点的横坐标1.抛物线过(－1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求抛物线的解析式。
2.二次函数y=ax2+bx+c有最小值为－8，且a：b：c=1：2：(－3),求此函数的解析式。
3.抛物线的对称轴是x=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
4.二次函数y=ax2+bx+c，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
5.抛物线的顶点为（2，－3），且过（－1，2），求此抛物线的解析式。
6.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
7.二次函数y=ax2+bx+c，x=6时y=0,x=4时y有最大值为8，求此函数的解析式。
8.二次函数y=ax2+bx+c，当x＜6时y随x的增大而减小，x＞6时y随x的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
9.抛物线过点（1，0）、（5，0）、（3，－2），求此抛物线的解析式。
10.二次函数y=ax2+bx+c右边的二次三项式的两根分别为－3和1，且x=－4时y=10，求此函数的解析式。
11.抛物线与x轴的两个交点的横坐标是－3和1，且过点（0，3/2），求此抛物线的解析式。
12.二次函数x=－2时y有最小值为－3，且它的图象与x轴的两个交点的横坐标的积为3，求此函数的解析式。
13.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
14.求抛物线y=x2－2x－1,关于x轴对称图形的解析式。
二次函数的解析式练习题
二次函数的解析式练习题一、选择题1. 下列函数中，是二次函数的是：A. y = 3x + 4B. y = x^2 + 2x - 3C. y = |x|D. y = sin(x)2. 对于二次函数 y = -2x^2 + 4x + 1，以下哪个选项是其顶点坐标？A. (4, 1)B. (-4, 1)C. (1, 4)D. (1, -4)3. 对于二次函数 y = 3x^2 - 6x - 9，以下哪个选项是其轴对称线的方程？A. x = 3B. x = -3C. y = 3D. y = -34. 对于二次函数 y = 2x^2 - 8x + 6，以下哪个选项是其图像的开口方向？A. 向上B. 向下5. 对于二次函数 y = x^2 - 4x + 4，以下哪个选项是其解析式的一部分？A. x^2B. -4xC. 4D. 4x6. 对于二次函数 y = -x^2 + 2x + 3，以下哪个选项是其对称轴的方程？A. x = 1B. y = 1C. y = -1D. x = -1二、填空题1. 对于二次函数 y = 2x^2 - 4x + 1，其顶点坐标为(____, ____ )。
2. 对于二次函数 y = -3x^2 + 6x - 2，其轴对称线的方程为 x = ____。
3. 对于二次函数 y = x^2 + 2x + 1，其图像的开口方向为向______。
4. 对于二次函数 y = -2(x - 3)^2 + 4，其顶点坐标为(_____, _____)。
三、解答题1. 求解以下二次方程的解：y = x^2 + 3x - 42. 求解以下二次方程的解：4x^2 - 4x + 1 = 03. 给定二次函数的顶点坐标为(-2, 5)，求该二次函数的解析式。
四、应用题1. 一架火箭从起飞点以二次函数模型 y = -2x^2 + 8x + 15 描述的高度升空。
求该火箭的最大高度以及达到最大高度时的水平距离。
二次函数解析式习题及详解
二次函数解析式习题及详解求二次函数解析式练习题1.已知二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为某=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 【答案】D2.二次函数y=a某2+b某+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 【答案】D3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．4.已知一个二次函数当某=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．解：设y=a(某-8)^2+9且a<0图象过点（0，1）,所以有：1=64a+9解得：a=-1/8则这个二次函数的关系式;y=-1/8(某-8)^2+95.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．6.6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．7.7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是某=1，求这个二次函数的关系式．8.(3,0)是二次函数的一个零点对称轴某=1则另一零点是1-(3-1)=-1(-1,0)设二次函数y=a(某-3)(某+1)代入(2,-3)-3=a(2-3)(2+1)a=1y=(某-3)(某+1)y=某2-2某-39.8.已知二次函数的图象与某轴交于A,B两点，与某轴交于点C。
若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式记原点为O,1、当A在O的左边,C在O的上方时,由勾股定理得AB=25.设│OB│=a,则│OA│=25-a,因为OC是两个小直角三角形的公共边,所以202-（25-a）2=152-a2.解得a=9,则25-a=16.于是可得三点坐标为A（-16,0）B（9,0）C（0,12）,利用顶点式得y=-1/12·(某+16)(某-9).2、当A在O的右边,C在O的上方时,比较（1）的结论得y=-1/12·(某-16)(某+9).3、当A在O的左边,C在O的下方时,比较（1）的结论得y=1/12·(某+16)(某-9).4、当A在O的右边,C在O的下方时,比较（1）的结论得y=1/12·(某-16)(某+9).9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.10.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；（3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）1）设y=a某^2,代入点（2,8),8=a某4,得：a=2,故y=2某^22)设y=a(某+1)^2-2,代入点（1,10）,10=4a-2,得：a=3,故y=3(某+1)^2-23)设y=a某^2+b某-2代入（1,0）得：a+b-2=0,得：a+b=2代入(2,3)得：4a+2b-2=3,得：2a+b=2.5解得：a=0.5,b=1.5故y=0.5某^2+1.5某-210.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？11.如图，在平面直y?a某?b某?c角坐标系中，抛物线y?a某?b某?c经过A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值．【答案】22解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点代入y?a某2?b某?c中，得4a2bc？4？4a?2b?c?0………………3分?c?0?112，b=1，c=0.所以解析式为y？某?某2212112（2）由y？某?某=?(某?1)?，可得222抛物线的对称轴为某=1,并且对称垂直平分线段OB．∴OM=BM，OM+AM=BM+AM连接AB交直线某=1于M，则此时OM+AM最小．过A点作AN⊥某轴于点N，在Rt△ABN中解这个方程组，得a？AB=AN2?BN2?42?42?42因此OM+AM最小值为4211.如图，点A在某轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）如图，过点B作BC⊥某轴，垂足为C，则∠BCO＝90°.∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°.又∵OA＝OB＝4∴OC＝311OB＝某4＝2，BC＝OB·sin60°＝4某＝23. 222∴点B的坐标是(－2，－23). （2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y＝a某2+b某.. 将A(4，0)，B(－2，－23)代入3a＝-，？？16a?4b＝0，6得?解得?？b＝23.?4a?2b＝?23.?3?∴此抛物线的解析式为y＝－3223某?某.63（3）存在.如图，抛物线的对称轴是某＝2，直线某＝2与某轴的交点为D.设点P的坐标为(2，y)①若OB＝OP则22+，y，2＝42，解得y＝±23.当y＝23时，在Rt△POD中，∠POD＝90°，PD233.＝＝OP42∴∠POD＝60°.∴∠POB＝∠POD+∠AOB＝60°+120°＝180°sin∠POD＝即P，O，B三点在同一条直线上∴y＝23不符合题意，舍去.∴点P的坐标为(2，－23).方法一：②若OB＝PB，则42+，y+23，2＝42，解得y＝－23.∴点P的坐标是(2，－23).③若OB＝PB，则22+，y，2＝42+，y+23，2，解得y＝－23.∴点P的坐标是(2，－23).综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，－23).方法二：在△BOP中，求得BP＝4，OP＝4，又∵OB＝4，∴△BOP为等边三角形.∴符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，－23).。
(821)二次函数的定义专项练习30题(有答案)ok
二次函数的定义专项练习30题（有答案）1．下列函数中，是二次函数的有（）①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列结论正确的是（）A．y=ax2是二次函数B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例D．二次函数自变量的取值范围是非零实数3．下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长xB．速度一定时，路程s与时间tC．三角形的高一定时，面积y与底边长xD．正方形的面积y与边长x4．若y=（2﹣m）是二次函数，则m等于（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定5．若y=（m2+m）是二次函数，则m的值是（）A．m=1±2B．m=2C．m=﹣1或m=3D．m=36．下列函数，y=3x2，，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．下列结论正确的是（）A．二次函数中两个变量的值是非零实数B．二次函数中变量x的值是所有实数C．形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D．二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零8．下列说法中一定正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）一定是二次函数B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数C．路程一定时，速度是关于时间的二次函数D．圆的周长是关于圆的半径的二次函数9．函数y=（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系11．下列函数中，y是x二次函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2+﹣10C．y=x2+2x D．y2=x﹣112．下面给出了6个函数：①y=3x2﹣1；②y=﹣x2﹣3x；③y=；④y=x（x2+x+1）；⑤y=；⑥y=．其中是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．自由落体公式h=gt2（g为常量），h与t之间的关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对14．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是_________ ．15．二次函数y=（x﹣2）2﹣3中，二次项系数为_________ ，一次项系数为_________ ，常数项为_________ ．16．已知函数y=（k+2）是关于x的二次函数，则k= _________ ．17．已知二次函数的图象是开口向下的抛物线，m= _________ ．18．当m _________ 时，关于x的函数y=（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3是二次函数．19．y=（m2﹣2m﹣3）x2+（m﹣1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_________ ．20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当b=0，c≠0时，函数表达式为_________ ；当b≠0，c=0时，函数表达式为_________ ．21．函数y=2x2+3x+7中自变量的取值范围为_________ ．22．如果函数是关于x的二次函数，则k= _________ ．23．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S= _________ ，长方体的体积为V= _________ ，各边长的和L= _________ ，在上面的三个函数中，_________ 是关于x的二次函数．24．函数y=x m﹣1+3，当m= _________ 时，它的图象是抛物线．25．已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m= _________ ．26．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．27．已知是x的二次函数，求出它的解析式．28．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？29．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？30．已知，当m为何值时，是二次函数？二次函数的定义30题参考答案：1．①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．二次函数共三个，故选C2．A、应强调a是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．3．A、y=4x，是一次函数，错误；B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；C、y=hx，h一定，是一次函数，错误D、y=x2，是二次函数，正确．故选D．4．根据二次函数的定义，得：m2﹣2=2解得m=2或m=﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m=﹣2时，这个函数是二次函数．故选C5．根据题意的得：，解得：，∴m=3，故选D．6．y=3x2，，y=x（x﹣2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数；，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函数．二次函数有三个．故选B．7．A、例如y=x2，自变量取0，函数值是0，所以不对；B、二次函数中变量x的值可以取所有实数，正确；C、应强调当a≠0时，是二次函数，错误；D、要求a≠0，b、c可以为0．故选B8．A、只有当a≠0才是二次函数，错误；B、由已知得S=πR2，S是R的二次函数，正确；C、由已知得v=，s一定，是反比例函数，错误；D、由已知得C=2πR，是一次函数，错误．故选B．9．根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，即m≠n．故选B．10．A、s=vt，v一定，是一次函数，错误；B、E=mv2，m一定，是二次函数，正确；C、f=mv2，v一定，是二次函数，正确；D、H=gt2，g一定，是二次函数，正确．故选A．11．A、一次函数，不是二次函数；B、不是关于x的整式，不符合二次函数的定义；C、符合二次函数的定义；D、y的指数为2，不符合二次函数的定义；故选C．12. ①符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③不是整式，不符合二次函数的定义；④整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；⑤不是整式，不符合二次函数的定义；⑥不是整式，不符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B．13．因为等号的右边是关于t的二次式，所以h是t的二次函数．14．根据二次函数的定义，得：k2﹣3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．15．∵y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣2x﹣1，∴二次项系数为，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．16．∵函数y=（k+2）是关于x的二次函数，∴k2+k﹣4=2，解得k=2或﹣3，且k+2≠0，k≠﹣2．故k=2或﹣317．∵二次函数的图象是开口向下的抛物线，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣218．∵y是x的二次函数，∴m2﹣1≠0，∴m≠±1，故满足的条件是m≠±1．故答案为：≠±119．由题意得：m2﹣2m﹣3≠0，（m﹣3）（m+1）≠0，解得m≠﹣1且m≠3．20．当b=0，c≠0时，二次函数表达式为y=ax2+c；当b≠0，c=0时，二次函数表达式为y=ax2+bx．故答案为：y=ax2+c；y=ax2+bx．21．函数y=2x2+3x+7中，自变量x的取值范围是全体实数．故答案为：全体实数．22. ∵函数是关于x的二次函数，∴k﹣1≠0且k2﹣k+2=2，解得k=0或k=1，∴k=0．故答案为0．23．长方体的侧面展开图的面积S=4x×6=24x；长方体的体积为V=x2×6=6x2；各边长的和L=4x×2+6×4=8x+24；其中，V=6x2是关于x的二次函数24．∵二次函数的图象是抛物线，∴m﹣1=2，解得m=3．25．根据题意得m≠0且m2﹣2m﹣6=2，解得m1=4，m2=﹣2，∵二次函数的对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴二次函数的图象的开口向上，即m＞0，∴m=4．故答案为426．∵是x的二次函数，∴，解得m=3或m=﹣1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+127．由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1 又因为m2﹣2m﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0解得m=3或m=﹣1（不合题意，舍去）所以m=3故y=12x2+928．设宽为xcm，由题意得，矩形的周长为800cm，∴矩形的长为cm，∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜40）．y是x的二次函数．29．（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．30．根据题意得：原函数为二次函数，则有解得：m=3．。
二次函数练习题及答案解析
二次函数练习题及答案解析二次函数练习题及答案解析（初三数学）学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学，下面是我为大家整理的二次函数练习题及答案解析，希望对您有所帮助!二次函数练习题及答案解析一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab0，c0B ab0，c0C ab0，c0D ab0，c06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P 3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛 B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大答案与解析：一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C 6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx 的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元九年级数学二次函数练习题一、填空题：(每空2分，共40分)1、一般地，如果，那么y叫做x的二次函数，它的图象是一条。
求二次函数的解析式专项练习题有答案ok
求二次函数解析式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x …﹣2 0 2 …y …﹣1 1 11 …6．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象．10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，（1）求m的值；（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．24．一个二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个函数的关系式．25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．（l）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）试求二次函数的解析式；（2）求y的最大值；（3）写出当y＞0时，x的取值范围．31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________．37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39．根据条件求下列抛物线的解析式：（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）（1）求函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．（1）试确定b、c的值；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（l，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．60．已知函数y=x2+bx+c过点A（2，2），B（5，2）．（1）求b、c的值；（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；（3）求S△ABC的值．二次函数解析式60题参考答案：1．∵顶点坐标是（1，﹣4）因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4解之得：a=1（14分）∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．2．（1）把点A（﹣1，12），B（2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得得∴y=x2﹣6x+5．（2）y=x2﹣6x+5，y=（x﹣3）2﹣4，故顶点为（3，﹣4）．令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．3．由题意，直线l的解析式为y=x，将（m，3）代入直线l的解析式中，解得m=3．将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，∴二次函数的解析式为4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．即a=，b=1，c=5；当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．即a=﹣，b=﹣1，c=3．5．（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）6．（1）∵抛物线过原点，∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△=（m+1）2﹣4m=0．解得：m=1；（3）∵抛物线的对称轴是x=2，∴﹣=2．解得m=﹣57．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把B（0，3）代入得：3=3a∴a=1∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣2x2+8x﹣6．9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，得，解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴﹣=1，=﹣4，∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；又当x=0时，y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；y=0时，x=3或﹣1，∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．（3）图象如图．10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得，解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），∴c=3．又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，∴代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，①4a+2b+c=﹣1，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+312．由题意得解得，．此二次函数的解析式为y=x2﹣1．13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：解得：则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，解得．∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）=2（x﹣1）2﹣8．（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；（2）根据题意得：令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，∴点C坐标为（4，0）；令x=0，解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；（3）根据题意得：①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）则y﹣4=0，即得y=4，∴点P的坐标为（0，4）．②当AB=BP时，AB=，∴OP 的长为：﹣4，∴P（0，﹣4），∴P（0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）依题意，得AB=3﹣1=2．设P点坐标为（a，b）当b＞0时，×2×b=8．则b=8．故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，方程﹣x2+4x+11=0无实数根．当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8故﹣x2+4x﹣3=﹣8即﹣x2+4x﹣5=0．解得x1=﹣1，x2=5所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；y=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．∵其图象经过点（2，﹣5），∴a（2+1）2+4=﹣5，∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．故答案为：y=﹣x2﹣2x+319．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，∴b=1，c=﹣6，∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+322．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．将（1，0）代入得9k+3=0，解得k=．∴所求的函数式为y=（x+2）2+323．根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得，所以这个函数关系式是：y=4x2+5x25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）26．根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，∴，解得a=1，b=6，c=5，∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+528．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，解之得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣x2+5x﹣4；（2）令x=0，得y=﹣4，令y=0，解得x1=4，x2=1，S=×（4﹣1）×4=6．所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），又∵此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，把c=3代入①，解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，则当x=﹣=﹣=1时，y 有最大值，最大值为=4；（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，可化为：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞031．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，再把（2，1）代入函数中可得a（2﹣1）2+2=1，解得a=﹣1，故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．32．∵﹣=﹣=1，∴b=2，又∵点（3，0）在函数上，∴﹣9+6+c=0，∴c=3，∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．34．（1）解：∵直线y=x+m经过A点，∴当x=2时，y=0，∴m+2=0，∴m=﹣2，∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，∵A（2，0）B（5，3），∴直线AB的解析式为y=x﹣2，∴点D（0，﹣2），由（1）知C（0，8），∴S△BCD =×10×5=25，∵S△ACD =×10×2=10，∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣136．（1）由条件得解得所以解析式为y=﹣x2+4x，（2）∵该图象的最高点为B，∴点B的坐标为（2，4），∴△ABO的面积=×4×4=8，（3）∵当x=1时，y=3，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．故答案为：0＜y＜4．37．（1）这个二次函数解析式y=ax2+bx+c（a≠0），把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：，解得：，故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；（2）y=2x2﹣3x+5=2（x2﹣x+﹣）+5=2（x ﹣）2﹣+5=2（x ﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，），因为抛物线的开口向上，所以当x ＞时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小．38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k﹣2）+1，解得：k=2，则抛物线解析式为y=x2+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，∴﹣=0，=1，则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣2x+1．（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，∴a=﹣，∴y=﹣（x+2）2+1，即y=﹣x2﹣x ﹣．40．（1）设函数的解析式是：y=a（x﹣3）2﹣2根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；∴函数解析式是：y=﹣2；（2）∵a=＞0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3．∴当x＞3时，y随x增大而增大．41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．（2）∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．函数图象如下：（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．由，消去m，得y=﹣2x﹣1．所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣144．设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，直线AB的解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣445．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，∵抛物线y=ax2过点B（1，1），∴a×12=1，解得a=1，∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．它们在同一坐标系中的图象如下所示：46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B的左侧），∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB=6，∵P点的坐标是：（2，7），∴△PAB的面积=×6×7=2147．（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）48．∵二次函数的图象过A（0，4），∴c=4，∵对称轴为x=﹣1，∴x=﹣=﹣2，解得b=4；∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；又∵图象过点（l，﹣2），∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，∴a=﹣＜0，∴该抛物线的方向向下；∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴对称轴方程为：x=﹣4．50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），所以BC⊥y轴，所以S△ABC =×2×3=3．51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式得：，解得：故y=x2﹣3x﹣4；（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=1.5，∴A′（3，﹣4）52．∵二次函数y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（﹣，），二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2，=﹣1，解得a=1，b=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+353．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，∴a=﹣2，将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，得，解得，∴y1=﹣2x2﹣2x+4；∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），解得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；∴左边≠右边，∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），∴，解得：，则二次函数的解析式为y=x2﹣9；（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC?x P的横坐标=×5×2=5．56．1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，×（﹣1）2﹣b﹣2=0，解得，b=﹣，则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣）2﹣，可见，顶点坐标为（，﹣）．（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3=（x ﹣）2﹣=x2﹣x．58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x=﹣=4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，∴S△ABC =AC?OB=×2×6=6，△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），代入y=ax2﹣4x+c得：解得：a=1，c=﹣6．则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，可得，解得；（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12令y=0，得x2﹣7x+12=0，∴x=3或x=4，∴C（3，0）或C（4，0）；（3）∵A（2，2）B（5，2）∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC=AB?h=×3×2=3。
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求二次函数解析式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值．5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x…﹣202…y…﹣1111…6．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________ ；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________ ；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式．9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象．10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．12．二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，3）和B（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式．13．已知：一抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）经过点（3，4）和点（﹣1，0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴．14．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（0，﹣6）、（3，0），求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．15．如图，抛物线y=﹣x2+5x+m经过点A（1，0），与y轴交于点B，（1）求m的值；（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求△CAB的面积；（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．17．已知二次函数的图象经过点（0，﹣1）、（1，﹣3）、（﹣1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．18．已知：二次函数的顶点为A（﹣1，4），且过点B（2，﹣5），求该二次函数的解析式．19．已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），求这个函数的解析式．20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点．21．已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（1，﹣5），求其解析式．22．已知二次函数图象顶点坐标为（﹣2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），求此抛物线的解析式．24．一个二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个函数的关系式．25．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．26．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，函数值为5，当x=﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式．28．已知抛物线的图象经过点A（1，0），顶点P的坐标是．（l）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．29．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分，它经过A（﹣1，0），B（0，3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．30．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）试求二次函数的解析式；（2）求y的最大值；（3）写出当y＞0时，x的取值范围．31．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．32．抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，0），求此抛物线的解析式．33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．34．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．35．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，﹣1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．36．如图所示，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点O和A（4，0）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B，试求出△ABO的面积；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是_________ ．37．已知：一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）利用配方法，把它化成y=a（x+h）2+k的形式，并写出顶点坐标和y随x变化情况．38．已知抛物线y=x2﹣2（k﹣2）x+1经过点A（﹣1，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39．根据条件求下列抛物线的解析式：（1）二次函数的图象经过（0，1），（2，1）和（3，4）；（2）抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），且经过点（1，﹣2）．40．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）（1）求函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．41．已知二次函数的图象经过点（0，﹣2），且当x=1时函数有最小值﹣3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（﹣2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．42．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3）（1）求二次函数的解析式，并在给定的坐标系中画出该函数的图象（不用列表）；（2）直接写出x2+bx+c＞3的解集．43．不论m取任何实数，y关于x的二次函数y=x2+2mx+m2+2m﹣1的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44．抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，S△ABC=12，求其解析式．45．直线y=kx+b过x轴上的A（2，0）点，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为（1，1），求直线和抛物线所表示的函数解析式，并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5）．（1）试确定b、c的值；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），试求△PAB的面积．47．抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，﹣2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标．48．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式．49．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），且图象过点（ l，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．50．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标．52．若二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），求该二次函数的解析式．53．过点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）的二次函数y1=ax2+bx+c与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54．二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8）．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）试判断点A（﹣1，2）是否在此函数的图象上．55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），对称轴是y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．56．如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△O AB是等腰直角三角形．57．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．58．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．59．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．60．已知函数y=x2+bx+c过点A（2，2），B（5，2）．（1）求b、c的值；（2）求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标；（3）求S△ABC的值．二次函数解析式60题参考答案：1．∵顶点坐标是（1，﹣4）因此，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）把（0，﹣3）代入解析式：﹣3=a（0﹣1）2﹣4解之得：a=1（14分）∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．2．（1）把点A（﹣1，12），B（2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c 得得∴y=x2﹣6x+5．（2）y=x2﹣6x+5，y=（x﹣3）2﹣4，故顶点为（3，﹣4）．令x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5．与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．3．由题意，直线l的解析式为y=x，将（m，3）代入直线l的解析式中，解得m=3．将（3，3）代入二次函数的解析式，解得，∴二次函数的解析式为4．抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线形状相同，则a=±．当a=时，解析式是：y=（x+2）2+4=x2+x+5．即a=，b=1，c=5；当a=﹣时，解析式是：y=﹣（x+2）2+4=﹣x2﹣x+3．即a=﹣，b=﹣1，c=3．5．（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．（2）由（1）知：y=x2+3x+1=（x+）2﹣，故其顶点坐标为（﹣，﹣）6．（1）∵抛物线过原点，∴0=02+（m+1）×0+m．解得m=0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△=（m+1）2﹣4m=0．解得：m=1；（3）∵抛物线的对称轴是x=2，∴﹣=2．解得m=﹣57．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把B（0，3）代入得：3=3a∴a=1∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．8．（1）抛物线开口向下，与x轴交于（1，0），（3，0），当y＞0时，x的取值范围是：1＜x＜3；（2）抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＞2；（3）抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），设解析式y=a（x﹣1）（x﹣3），把顶点（2，2）代入，得2=a（2﹣1）（2﹣3），解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣2x2+8x﹣6．9．（1）把A（﹣2，5），B（1，﹣4）代入y=x2+bx+c，得，解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴﹣=1，=﹣4，∴顶点坐标（1，﹣4），对称轴为直线x=1；又当x=0时，y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）；y=0时，x=3或﹣1，∴与x轴交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．（3）图象如图．10．（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得，解得．故所求抛物线的解析式为y=2x2﹣4x+1．（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）11．∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），∴c=3．又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，∴代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，①4a+2b+c=﹣1，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+312．由题意得解得，．此二次函数的解析式为y=x2﹣1．13．把点（3，4）、（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣2得：解得：则抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：x=14．由题意得，解得．∴这个二次函数的解析式是y=2x2﹣4x﹣6．y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1）﹣2﹣6（1分）=2（x﹣1）2﹣8．（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1，﹣8）．15．（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：0=﹣1+5+m，即得m=﹣4；（2）根据题意得：令y=0，即﹣x2+5x﹣4=0，解得x1=1，x2=4，∴点C坐标为（4，0）；令x=0，解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CAB的面积S=×OB×AC=×4×3=6；（3）根据题意得：①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）则y﹣4=0，即得y=4，∴点P的坐标为（0，4）．②当AB=BP时，AB=，∴OP 的长为：﹣4，∴P（0，﹣4），∴P（0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1，0），（3，0）在抛物线y=﹣x2+bx+c上．则有解得：则所求表达式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）依题意，得AB=3﹣1=2．设P点坐标为（a，b）当b＞0时，×2×b=8．则b=8．故﹣x2+4x﹣3=8即x2+4x+11=0△=（﹣4）2﹣4×1×11=16﹣44=﹣28＜0，方程﹣x2+4x+11=0无实数根．当b＜0时，×2×（﹣b）=8，则b=﹣8故﹣x2+4x﹣3=﹣8 即﹣x2+4x﹣5=0．解得x1=﹣1，x2=5所求点P坐标为（﹣1，﹣8），（5，﹣8）17．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1；y=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．18．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+4．∵其图象经过点（2，﹣5），∴a（2+1）2+4=﹣5，∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3．故答案为：y=﹣x2﹣2x+319．∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（﹣1，6），∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x+3．20．（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=x2+bx+c得，4+2b+c=0，c=﹣6，∴b=1，c=﹣6，∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x1=2，x2=﹣3，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．21．∵已知抛物线最大值为3，其对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+3，∵（1，﹣5）在抛物线y=a（x+1）2+3上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式y=﹣2（x+1）2+322．设二次函数式为y=k（x+2）2+3．将（1，0）代入得9k+3=0，解得k=．∴所求的函数式为 y=（x+2）2+323．根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；或：由已知得，﹣1、3为方程﹣x2+bx+c=0的两个解，∴﹣1+3=b，（﹣1）×3=c，解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．24．设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得，所以这个函数关系式是：y=4x2+5x25．（1）由题意，将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：，则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣3）26．根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．27．由题意得，二次函数y=ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，∴，解得a=1，b=6，c=5，∴这个二次函数的解析式y=x2+6x+528．（1）由题意，可设抛物线解析式为y=a（x ﹣）2+，把点A（1，0）代入，得a（1﹣）2+=0，解之得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣x2+5x﹣4；（2）令x=0，得y=﹣4，令y=0，解得x1=4，x2=1，S=×（4﹣1）×4=6．所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为6．29．（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（0，3）两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵y=﹣x2+2x+3可化为y=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），又∵此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2+3=﹣x2﹣4x﹣1．30．（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴x=﹣1，y=0代入y=﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c=0①，把x=0，y=3代入y=﹣x2+bx+c得：c=3，把c=3代入①，解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，则当x=﹣=﹣=1时，y有最大值，最大值为=4；（3）令二次函数解析式中的y=0得：﹣x2+2x+3=0，可化为：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞031．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y=a（x﹣1）2+2，再把（2，1）代入函数中可得a（2﹣1）2+2=1，解得a=﹣1，故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．32．∵﹣=﹣=1，∴b=2，又∵点（3，0）在函数上，∴﹣9+6+c=0，∴c=3，∴函数的解析式是y=﹣x2+2x+3．33．（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．34．（1）解：∵直线y=x+m经过A点，∴当x=2时，y=0，∴m+2=0，∴m=﹣2，∵抛物线y=x2+bx+c过A（2，0），B（5，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8；（2）由图可知，不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；（3）解：设直线AB与y轴交于D，∵A（2，0）B（5，3），∴直线AB的解析式为y=x﹣2，∴点D（0，﹣2），由（1）知C（0，8），∴S△BCD =×10×5=25，∵S△ACD =×10×2=10，∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=25﹣10=15．35．设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，二次函数的图象对称轴为x=2且图象过点（1，2），（0，﹣1），故可得：，解得：．即可得二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x﹣136．（1）由条件得解得所以解析式为y=﹣x2+4x，（2）∵该图象的最高点为B，∴点B的坐标为（2，4），∴△ABO的面积=×4×4=8，（3）∵当x=1时，y=3，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是0＜y＜4．故答案为：0＜y＜4．37．（1）这个二次函数解析式y=ax2+bx+c（a≠0），把三点（﹣1，10），（1，4），（2，7）分别代入得：，解得：，故这个二次函数解析式为：y=2x2﹣3x+5；（2）y=2x2﹣3x+5=2（x2﹣x+﹣）+5=2（x ﹣）2﹣+5=2（x ﹣）2+，则抛物线的顶点坐标是（，），因为抛物线的开口向上，所以当x ＞时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小．38．（1）将A（﹣1，2）代入y=x2﹣2（k﹣2）x+1得：2=1﹣2（k ﹣2）+1，解得：k=2，则抛物线解析式为y=x2+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0，c=1，∴﹣=0，=1，则顶点坐标（0，1）；对称轴为直线x=0（y轴）39．（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把（0，1），（2，1），（3，4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣2x+1．（2）设抛物线的解析式是：y=a（x+2）2+1，把（1，﹣2）代入得：﹣2=a（1+2）2+1，∴a=﹣，∴y=﹣（x+2）2+1，即y=﹣x2﹣x ﹣．40．（1）设函数的解析式是：y=a（x﹣3）2﹣2根据题意得：9a﹣2=，解得：a=；∴函数解析式是：y=﹣2；（2）∵a=＞0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3．∴当x＞3时，y随x增大而增大．41．（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点（0，﹣2），则有：a（0﹣1）2﹣3=﹣2，解得a=1；因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3．（2）∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（﹣2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．42．（1）由于二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）、（4，3），则，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．函数图象如下：（2）由函数图象可直接写出x2+bx+c＞3的解集为：x＜0或x＞4．43．二次函数可以变形为y=（x+m）2+2m﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m﹣1）．由，消去m，得y=﹣2x﹣1．所以这条直线的函数解析式为y=﹣2x﹣144．设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，直线AB的解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，2），∵S△ABC=12，∴C（0，﹣4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，1），B（2，3），且与y轴负半轴交于点C，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣445．∵直线y=kx+b过点A（2，0）和点B（1，1），∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，∵抛物线y=ax2过点B（1，1），∴a×12=1，解得a=1，∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2．它们在同一坐标系中的图象如下所示：46．（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点P（2，7）、Q（0，﹣5），，解得b=4，c=﹣5．∴b、c的值是4，5；（2）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，（其中点A在点B 的左侧），∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB=6，∵P点的坐标是：（2，7），∴△PAB的面积=×6×7=2147．（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2=（x ﹣）2﹣，所以抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）48．∵二次函数的图象过A（0，4），∴c=4，∵对称轴为x=﹣1，∴x=﹣=﹣2，解得b=4；∴二次函数的表达式为y=x2+4x+4．49．（1）∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）2+3（a≠0）；又∵图象过点（ l，﹣2），∴﹣2=a（1+4）2+3，解得，a=﹣；∴设该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3；（2）由（1）知，该二次函数的关系式为：y=﹣（x+4）2+3，∴a=﹣＜0，∴该抛物线的方向向下；∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣4，3），∴对称轴方程为：x=﹣4．50．（1）把A（﹣1，0）代入y1=﹣x+m得﹣（﹣1）+m=0，解得m=1，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3得，解得．故二次函数的解析式为y2=x2﹣﹣2x﹣3；（2）因为C点坐标为（0，﹣3），B（2，﹣3），所以BC⊥y轴，所以S△ABC =×2×3=3．51．（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1.5代入解析式得：，解得：故y=x2﹣3x﹣4；（2）∵A（0，﹣4），对称轴是x=1.5，∴A′（3，﹣4）52．∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，），二次函数y=ax2+bx+c中，c=3，图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2，=﹣1，解得a=1，b=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣4x+353．∵二次函数y1=ax2+bx+c 与二次函数的图象的形状一样，开口方向相同，∴a=﹣2，将点A（﹣1，4），B（﹣3，﹣8）代入y1=﹣2x2+bx+c，得，解得，∴y1=﹣2x2﹣2x+4；∵y1=﹣2x2﹣2x+4=﹣2（x2+x）+4=﹣2（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）．故这个函数的解析式为y1=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为（﹣，）．54．（1）∵二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为1和﹣7，且经过点（﹣3，8），∴两交点的横坐标为：（1，0），（﹣7，0），且经过点（﹣3，8），∴代入解析式：y=a（x﹣1）（x+7），8=a（﹣3﹣1）×（﹣3+7），解得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣1）（x+7）；（2）∵将点A（﹣1，2）此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣1﹣1）（﹣1+7）=6；∴左边≠右边，∴点A（﹣1，2）不在此函数的图象上．55．（1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2+c，又二次函数的图象经过点（0，﹣9）、（1，﹣8），∴，解得：，则二次函数的解析式为y=x2﹣9；（2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣4x﹣5，令x=0，解得：y=﹣5，∴C（0，﹣5），即OC=5，又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，则S△POC =OC•x P的横坐标=×5×2=5．56．1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；57．（1）将A（﹣1，0）代入抛物线y=x2+bx﹣2得，×（﹣1）2﹣b﹣2=0，解得，b=﹣，则函数解析式为y=x2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣）2﹣，可见，顶点坐标为（，﹣）．（2）将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，可得，y=（x ﹣﹣2）2﹣﹣3=（x ﹣）2﹣=x2﹣x．58．（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y=﹣x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x=﹣=4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC=2，OB=6，AB=2，BC=2，∴S△ABC =AC•OB=×2×6=6，△ABC的周长=AC+AB+BC=2+2+2．59．（1）A坐标是（﹣1，﹣1），B点的坐标是（3，﹣9），代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1，c=﹣6．则二次函数表达式是：y=x2﹣4x﹣6（2）y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，因此对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣10）60．（1）把A（2，2），B（5，2）分别代入y=x2+bx+c，可得，解得；（2）由b=﹣7，c=12，知y=x2﹣7x+12令y=0，得x2﹣7x+12=0，∴x=3或x=4，∴C（3，0）或C（4，0）；（3）∵A（2，2）B（5，2）∴AB=|2﹣5|=3，且△ABC的AB边上的高h=2，∴S△ABC =AB•h=×3×2=3。