事件的关系与运算
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高中数学 3.1.3.1 事件的关系与运算精品课件 新人教A版必修3
事件的关系和运算：
〔1〕包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,
记作 BA （ 或 AB) 。
如图：
BA
例.事件C1 ={出现 1 点 }发生，则事件 H ={出现的点数为奇数 }也
一定会发生，所以 H C1 . 注：不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。
事件的关系和运算：
〔1〕包含关系: BA （ 或 AB)
〔2〕相等关系: A=B (BA且 AB)
〔3〕并事件〔和事件〕: AB （ 或 AB ）
〔4〕交事件〔积事件〕:
A B （ 或 AB ）
〔5〕互斥事件: A B
〔6〕互为对立事件: A B 且 A B是必然事件
第九页，编辑于星期五：十点 三十五分。
事件的关系和运算：
〔6〕互为对立事件
若AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件
A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。
如图：
A
B
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。
第八页，编辑于星期五：十点 三十五分。
第四页，编辑于星期五：十点 三十五分。
事件的关系和运算：
〔3〕并事件〔和事件〕
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件 为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 AB （ 或 AB ） 。
如图：
BA B A
例事.若件事C件1JC=1C5{J出={现出 C5 ={出现
第五页，编辑于星期五：十点 三十五分。
D2 ={ 出现的点数大于 3 }；
事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
问题6
记事件B为“点数为奇数”，事件F为“点数为偶数”， 事件H为“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事 件B和事件F有什么关系？
提示 事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，
且在一次试验中，B与F一定有一个发生.
知识梳理
事件A与事件B互斥
一般地，如果事件A与事件B不能 同时发生，也就是说A∩B是一个不 可能事件，即 A∩B＝∅ ，则称事 件A与事件B 互斥 (或互不相容)，
跟踪训练3
对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A， 显然不互斥； 对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C， 显然不互斥.
课堂小结
1. 知识清单： (1)事件的包含关系与相等关系. (2)并事件和交事件. (3)互斥事件和对立事件.
2. 方法归纳：列举法、Venn图法.
利用Venn图
借助集合间运算的思想，分析同一 条件下的试验所有可能出现的结果， 把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2 对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，
B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击
中目标}，下列关系不正确的是
A.A⊆D
B.B∩D＝∅
包含关系或相等关系
(1)B___⊆___H；(2)D__⊆___J；(3)E__⊆____I；(4)A__＝___G.
解析 因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点， 出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H； 同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
事件A(或事件A包含于事件B)；如果事件B包含事件A，事 件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等.
概率论与统计1-2事件的关系和运算
独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件 下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑 了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全 概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算， 而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事 件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和 为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互 斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事 件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算 出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件 同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某 个事件B已经发生的情况下，另一 个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质， 包括非负性、规范性、可加性等 ，这些性质在概率论和统计中有 着广泛的应用。
事件的关系和运算
事件的关系和运算事件的关系常用的有包含关系、互斥关系和独立关系。
事件的运算常用的有并运算、交运算、差运算和补运算。
1. 包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降水"，则A⊆B，因为当今天下雨时，当然也说明今天有降水。
2. 互斥关系：如果事件A和事件B不能同时发生，则称事件A和事件B互斥，记作A∩B=Ø。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为奇数"，事件B为"掷一次骰子，结果为偶数"，则A∩B=Ø，因为掷一次骰子的结果不可能既是奇数又是偶数。
3. 独立关系：如果事件A的发生与发生或不发生事件B无关，则称事件A和事件B独立，记作P(A|B) = P(A)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为1"，事件B为"抽一张牌，结果为红心"，则A和B是独立事件，因为掷骰子的结果不会受到抽牌的影响。
事件的运算包括：1. 并运算：事件A∪B表示事件A和事件B中至少一个事件发生的情况。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降雨"，则A∪B表示今天下雨或者今天有降雨。
2. 交运算：事件A∩B表示事件A和事件B同时发生的情况。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为奇数"，事件B为"掷一次骰子，结果为3"，则A∩B表示掷一次骰子的结果既是奇数又是3。
3. 差运算：事件A－B表示事件A发生但事件B不发生的情况。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降雨"，则A－B表示今天下雨但今天没有降雨。
4. 补运算：事件A的补事件表示事件A不发生的情况，记作A'或Ac。
事件的关系与运算PPT
A
B
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与事件C2 ={出现 2 点}不可能同时发 生，故这两个事件互斥。
事件的关系和运算：
（6）互为对立事件 若 A B 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。 如图： A B
3.1.3 事件的关系与运算
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={ 出现 1 点 }； C2 ={出现 2 点}； C3 ={ 出现 3 点 }； C4 ={ 出现 4 点 }； C5 ={出现 5 点}； C6 ={ 出现 6 点 }； D1 ={ 出现的点数不大于 1 }； D2 ={ 出现的点数大于 3 }； D3 ={ 出现的点数小于 5 }； E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 }; …… 思考： 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？
如图：
B A B A
例.若事件 M={出现 1 点且 5 点}发生，则 事件 C1 ={出现 1 点} 与事件 C5 ={出现 5 点} 同时发生，则 M C1 C5 .
事件的关系和运算：
（5）互斥事件 若 A B 为不可能事件（ A B ），那么称事件A与 事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不 会同时发生。 如图：
如图：
BA B
A
例.若事件 J={出现 1 点或 5 点 } 发生，则 事件C1 ={出现 1 点 }与事件 C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会发生，则 J C1 C5 .
事件的关系和运算：
概率论复习知识点总结
C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0
(a b) 2
(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]
xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk
g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
事件的运算与关系解读
同时 A B A AB
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
高中数学人教B版必修第二册5.3.2事件之间的关系与运算课件
例 1.设 A，B 为两个事件，试用 A，B 表示下列各事件： （1）A，B 两个事件中至少有一个发生； （2）A 事件发生且 B 事件不发生； （3）A,B 两个事件都不发生
解：（1）按照定义有 A B
（2）因为 B 不发生可以表示为 B ，因此可以写成 AB
（3）按照定义有 AB
【变式练习】 在试验“连续抛掷一枚均匀的色子 2 次，观察每次出现的点数”中，事件 A 表示随机事件“第一次掷出 1 点”；事件 Aj 表示 随机事件“第一次掷出 1 点，第二次掷出 j 点”；事件 B 表示随机事件“2 次掷出的点数之和为 6”；事件 C 表示随机事件“第 二次掷出的点数比第一次的大 3”. (1)试用样本点表示事件 A∩B 与 A∪B； (2)试判断事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 是否为互斥事件； (3)试用事件 Aj 表示随机事件 A.
答案 C
问题4.事件的互斥与对峙
知识点 5：给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互斥，记作
AB （或 A B ）
这一关系可用下图表示.
注：（1）任何两个基本事件都是互斥的， 与任意事件互斥； （2）当 A 与 B 互斥，即 AB ，有 P(A B) P(A) P(B)
注：（1） A B 也可用充分必要条件表示为：
A 发生是 B 发生的充分条件，B 发生时 A 发生的必要条件.
（2）如果 A B ，根据定义可知，事件 A 发生的可能性不比事件 B 发生的可能性大， 直观上我们可以得到 P(A) P(B)
知识点 2：如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生；而且事件 B 发生时，事件 A 也一定发生，
“派出医生至少 2 人”的概率为 P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 解法二 “派出医生至少 2 人”的概率为 1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
事件间的关系与事件的运算
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
事件的关系与运算ppt课件
可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，用集
合表示就是：1,22,3 2 ，即E1 E2 C2 ，这时我们称事件C2
为事件E1和事件E2的交事件。
交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这 个事件为事件A和事件B的交事件（或积事件），记故“甲向南”意味着“ 乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1 点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}， 事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大 于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}， 事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝ {出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请 举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断 上述哪些事件是和事件.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生； (3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至 少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3) A B C (4)AB (5)(A∪B) (6)AB∪AC∪BC
A＝B
知识点二 交事件与并事件
观察事件：D1 1,2,3, E1 1,2, E2 2,3
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生，
课件3：5.3.2 事件之间的关系与运算
[思路探究] 小明的成绩在 80 分以上可以看作是互斥事件“80 分～89 分”“90 分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60 分～69 分”“70 分～79 分”“80 分～89 分”“90 分以上”这几个彼此互斥 事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．
[解] 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80 分～89 分” “在 70 分～79 分”在“60 分～69 分”为事件 B，C，D，E， 这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
[解] (1)因为事件 C1，C2，C3，C4 发生，则事件 D3 必发生，所 以 C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件 E 包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件 D2 包含事件 C4，C5，C6；事件 F 包含事件 C2，C4，C6；事件 G 包 含事件 C1，C3，C5. 且易知事件 C1 与事件 D1 相等，即 C1＝D1.
(或 A∩B＝ ∅ )
给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω
事件 中_所__有__不__属__于__A 的样本点组成的
对立
－A
事件称为 A 的对立事件.
(2)事件的和与积
定义
表示法
图示
给定事件 A，B，由所有 A中的 样本点与
__A_＋__B___
事件的
B中的 样本点组成的事件称为 A 与 B 的和
[解] (1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球、2 个白球，或 2 个 红球、1 个白球，故 D＝A∪B. (2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球、2 个白球，或 2 个红球、 1 个白球，或 3 个红球，故 C∩A＝A.
事件的关系和运算 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共28张PPT)
答案 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． (2)互斥事件包括对立事件,即对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不 一定是对立事件.
探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容)
互为对立
A 发生导致 B 发生 A 与 B 至少一个发生
答案 C
2．抽查 10 件产品，记事件 A 为“至少有 2 件次品”，则 A 的对立 事件为( )
A．至多有 2 件次品 B．至多有 1 件次品 C．至多有 2 件正品 D．至少有 2 件正品
答案 B
3．从一批产品中取出三件产品，设 A＝“三件产品全不是次品”， B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次 品”，则下列结论中错误的是( )
事件 R2 的交事件与事件 R 有什么关系？
解析（1）所有的试验结果如图所示,
用数组 x1, x2 表示可能的结果, x1 是第一次摸到的球的标号, x2 是第二次摸到的球的
标号,则试验的样本空间
1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3
事件 R1 =“第一次摸到红球”,即 x1 1 或 2,于是
次随机摸出 2 个球.设事件 R1 =“第一次摸到红球”， R2 =“第二次
摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”， M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件 R 与 R1 ，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？ （3）事件 R 与事件 G 的并事件与事件 M 有什么关系？事件 R1 与
探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容)
互为对立
A 发生导致 B 发生 A 与 B 至少一个发生
答案 C
2．抽查 10 件产品，记事件 A 为“至少有 2 件次品”，则 A 的对立 事件为( )
A．至多有 2 件次品 B．至多有 1 件次品 C．至多有 2 件正品 D．至少有 2 件正品
答案 B
3．从一批产品中取出三件产品，设 A＝“三件产品全不是次品”， B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次 品”，则下列结论中错误的是( )
事件 R2 的交事件与事件 R 有什么关系？
解析（1）所有的试验结果如图所示,
用数组 x1, x2 表示可能的结果, x1 是第一次摸到的球的标号, x2 是第二次摸到的球的
标号,则试验的样本空间
1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3
事件 R1 =“第一次摸到红球”,即 x1 1 或 2,于是
次随机摸出 2 个球.设事件 R1 =“第一次摸到红球”， R2 =“第二次
摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”， M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件 R 与 R1 ，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？ （3）事件 R 与事件 G 的并事件与事件 M 有什么关系？事件 R1 与
事件的关系及其运算
第一章
随机事件及其概率主讲教师胡发胜
教授
第二讲事件的关系及其运算
事件的关系与运算与集合的关系与运算是完全事件是样本空间的子集，因此，. 这里需要强调的是，要学会利用概率论的语言来解释这些关系及相似的其运算.
在一般情况下，事件的关系是怎样的呢？
.
—.—本讲小结：
这一讲我们学习了事件的关系及其运算，利用这些关系及其运算，我们可以用简单的事件去表示复杂的事件，这下一讲样便于我们利用简单事件的概率去求复杂事件的概率 我们讲一类简单概率模型古典概型。
事件的关系和运算
(4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4;
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
10.1.2事件的关系和运算 教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.1.2事件的关系和运算一、教材分析事件的关系与运算是继随机事件的后续部分，本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义。
二、教学目标与核心素养课程目标1．理解并掌握时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中数学学科素养数学抽象：事件的关系和运算三、教学重难点重点：事件运算关系的实际含义难点：事件运算关系的应用四、课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
五、教学环境教学场所：教室（含多媒体）；教学用具：计算机多媒体六、教学过程（含设计意图）为不可能事件，A（三）、当堂检测例1如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B 以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．【答案】(1)样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．(2)A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，A＝{(0,0)，(0,1)}，B＝{(0,0)，(1,0)}．(3)A ∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，A∩B＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B 表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件．[跟踪训练1] 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ).(A)至多一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶(2)C10.1.2 事件的关系和运算1.事件的关系和运算例1 例2。
事件的关系和运算(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
(2) 根据题意, 可得 A = {(1, 0), (1, 1)}, B = {(0, 1), (1, 1)}，
A = {(0, 0), (0, 1)}, B = {(0, 0), (1, 0)}.
甲
乙
例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常
或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.
一般地，如果事件 与事件 不能同时发生，也就是说 ⋂ 是一个不可能事件，
即⋂ = ，则称事件与事件互斥(或互不相容).可以用图表示这两个事件互斥.
A
B
Ω
5.用集合的形式表示事件 = “点数为偶数”、事件 = “点数为奇数”，它们分别是
= {2,4,6}, = {1,3,5}.
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
含义
符号表示
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
A⊆B
A⋃B或A + B
A⋂B = AB
A⋂B = ϕ
A⋂B = ϕ，A⋃B = Ω
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件
(10) D2∩D3=D3. √
随堂检测
1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次
品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确
的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
【解析】 A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全
A = {(0, 0), (0, 1)}, B = {(0, 0), (1, 0)}.
甲
乙
例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常
或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.
一般地，如果事件 与事件 不能同时发生，也就是说 ⋂ 是一个不可能事件，
即⋂ = ，则称事件与事件互斥(或互不相容).可以用图表示这两个事件互斥.
A
B
Ω
5.用集合的形式表示事件 = “点数为偶数”、事件 = “点数为奇数”，它们分别是
= {2,4,6}, = {1,3,5}.
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
含义
符号表示
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
A⊆B
A⋃B或A + B
A⋂B = AB
A⋂B = ϕ
A⋂B = ϕ，A⋃B = Ω
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件
(10) D2∩D3=D3. √
随堂检测
1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次
品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确
的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
【解析】 A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全
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知识点——
事件的关系与运算
事件的关系与运算
【事件的包含关系】
定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事
件B包含了A，或称A包含于B，记作 A B 或 B A.
事件的关系与运算
【事件的相等】
设 A, B U ,若A B同时有 B A 称A与
B相等，记为A=B，易知相等的两个事件 A,B总是同时发生或同时不发生，在同一 样本空间中两个事件想等意味着它们含有 相同的样本点.
事件的关系与运算
【对立事件】
若两个事件A与B不能同时发生，但二者 必有一个发生，即A+B=U,且A∩B=Φ，称 A与B互为对立事件或称B为A的逆事件，
记作 A .
事件的关系与运算
【事件的运算法则】
交换律 A∪B=B∪A,AB=BA 结合律 (A∪B) ∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC) 分配律 (A∪B) ∩C=( A∩C) ∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶原则 n
n
U Ai I Ai
i 1
i 1
n
n
I
U Ai
Ai
i 1
i 1
事件的关系与运算
【典型例题】
设A,B,C为U中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件
1） A 与B发生而C不发生
AB C 或 ABC
2） A发生，B与C不发生
A B C或 ABC
3） 恰有一个事件发生
事件的关系与运算
【变式训练】 解：1）设ei ={摸到球的号码为i},(i=1,2,3) 则E的样本空间为u={e1 ,e2 ,e3 }； 2）A={ e1 , e2 },B={ e1 , e3 },C={ e3 } A与B，B与C是相容的，A与C互不相容;
3）A ={e3 } (那么，B,C的对立事件呢？)
ABC U ABC U ABC
4) 恰有两个事件发生
ABC U ABC U ABC
5) 三个事件都发生
ABC
6) 至少有一个事件发生
AU B UC或 3） 4） 5）之并
7) A,B,C都不发生
ABC
8) A,B,C不都发生
ABC
9) A,B,C不多于一个发生 ABC U ABC U ABC U ABC或AB U BC UCA
4）A∪B=U,AB={e1 } , AU B .
10) A,B,C不多于两个发生
ABC
事件的关系与运算
【变式训练】
试验E：袋中有三个球编号为1,2,3，从中任意摸 出一球，观察其号码，记A＝{球的号码小于3}， B＝{球的号码为奇数}，C＝{球的号码为3} 试问： 1）E的样本空间为什么？ 2）A与B，A与C，B与C是否互不相容？ 3）A对立事件是什么？ 4）A与B的和事件，积事件各是什么？
事件的关系与运算
【并(和)事件与积(交)事件】
设A，B U,称事件“A与B中至少有一个
发生”为A和B的和事件或并事件或称为事 件A与事件B的和.
设A，B U,称事件“A与B同时发生”为
A和B的交事件或积事件或称为Fra bibliotek件A与事 件B的交.
事件的关系与运算
【互不相容事件（互斥事件）】
若两个事件A与B不能同时发生， 即A∩B=Φ，称A与B为互不相容 事件（或互斥事件）.
事件的关系与运算
事件的关系与运算
【事件的包含关系】
定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事
件B包含了A，或称A包含于B，记作 A B 或 B A.
事件的关系与运算
【事件的相等】
设 A, B U ,若A B同时有 B A 称A与
B相等，记为A=B，易知相等的两个事件 A,B总是同时发生或同时不发生，在同一 样本空间中两个事件想等意味着它们含有 相同的样本点.
事件的关系与运算
【对立事件】
若两个事件A与B不能同时发生，但二者 必有一个发生，即A+B=U,且A∩B=Φ，称 A与B互为对立事件或称B为A的逆事件，
记作 A .
事件的关系与运算
【事件的运算法则】
交换律 A∪B=B∪A,AB=BA 结合律 (A∪B) ∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC) 分配律 (A∪B) ∩C=( A∩C) ∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶原则 n
n
U Ai I Ai
i 1
i 1
n
n
I
U Ai
Ai
i 1
i 1
事件的关系与运算
【典型例题】
设A,B,C为U中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件
1） A 与B发生而C不发生
AB C 或 ABC
2） A发生，B与C不发生
A B C或 ABC
3） 恰有一个事件发生
事件的关系与运算
【变式训练】 解：1）设ei ={摸到球的号码为i},(i=1,2,3) 则E的样本空间为u={e1 ,e2 ,e3 }； 2）A={ e1 , e2 },B={ e1 , e3 },C={ e3 } A与B，B与C是相容的，A与C互不相容;
3）A ={e3 } (那么，B,C的对立事件呢？)
ABC U ABC U ABC
4) 恰有两个事件发生
ABC U ABC U ABC
5) 三个事件都发生
ABC
6) 至少有一个事件发生
AU B UC或 3） 4） 5）之并
7) A,B,C都不发生
ABC
8) A,B,C不都发生
ABC
9) A,B,C不多于一个发生 ABC U ABC U ABC U ABC或AB U BC UCA
4）A∪B=U,AB={e1 } , AU B .
10) A,B,C不多于两个发生
ABC
事件的关系与运算
【变式训练】
试验E：袋中有三个球编号为1,2,3，从中任意摸 出一球，观察其号码，记A＝{球的号码小于3}， B＝{球的号码为奇数}，C＝{球的号码为3} 试问： 1）E的样本空间为什么？ 2）A与B，A与C，B与C是否互不相容？ 3）A对立事件是什么？ 4）A与B的和事件，积事件各是什么？
事件的关系与运算
【并(和)事件与积(交)事件】
设A，B U,称事件“A与B中至少有一个
发生”为A和B的和事件或并事件或称为事 件A与事件B的和.
设A，B U,称事件“A与B同时发生”为
A和B的交事件或积事件或称为Fra bibliotek件A与事 件B的交.
事件的关系与运算
【互不相容事件（互斥事件）】
若两个事件A与B不能同时发生， 即A∩B=Φ，称A与B为互不相容 事件（或互斥事件）.