中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》ppt课件2
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《平面向量的坐标表示》中职数学(基础模块)下册7.2【高教版】2
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2、不要看书，要看老师的眼睛
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只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
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认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
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有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
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但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
解 因为
a＝可O以M看到＋，M从A原＝5i＋3j ，
点出发的向量，其坐
所标以在数值上与a向量(终5,
3)，
点的坐标是相同的．
同理可得 b (4,3).
图7－19
例2 已知点 P(2, 1)，Q(3,2) ，求 PQ，QP 的坐标．
解 PQ (3, 2) (2, 1) (1,3), QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
(3) 3 a－2 a＝3 (1, −2)－2 (−2,3)＝(3,−6)－(−4,6)＝(7, −12)．
运用知识 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
平面向量的坐标表示ppt课件
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
平面向量的坐标表示 ppt
2.3.3 平面向量的坐标运算
的三个顶点A、 、 的坐 例3． 已知平行四边形 ． 已知平行四边形ABCD的三个顶点 、B、C的坐 的三个顶点 标分别为（－ （－2， ）、（ ）、（3， ），求顶点D的 ），求顶点 标分别为（－ ，1）、（ －1，3）、（ ，4），求顶点 的 ， ）、（ 坐标． 坐标． 设顶点D的坐标为 的坐标为（ ， ） 解：设顶点 的坐标为（x，y）
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
λ a = (λ x ,λ y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标． 应坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
），b=（ ， ）， ），求 例2．已知 （2，1）， （-3，4），求aa+4b的坐标． 的坐标． 的坐标 解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； （ ， ） （ ， ） （ ， ）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； （ ， ） （ ， ） （ ， ）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） （ ， ） （ ， ） =（6，3）+（-12，16） （ ， ） （ ， ） =（-6，19） （ ， ）
r r 若向量 a = ( −1, x ), 与 b = ( − x,2)
方向相同, 求 x. 方向相同
2.3.4 平面向量共线的坐标表示 3. 向量平行 共线)条件的两种形式 向量平行(共线 条件的两种形式 共线 条件的两种形式:
r r r r r r (1)a // b (b ≠ 0) ⇔ a = λb ; r r r r r r (2)a // b (a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), b ≠ 0) ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
人教版中职数学(基础模块)下册7.3《向量的坐标表示》ppt课件2
和向水取平两向个前单的位两向个量分e速1 度，。e如2 果，分导别弹在的水飞平行方速向度和用竖向直量方a1 表示，若以点o为起点，作向量 OPa，过点P(x,y)分
, 别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N.
探究1
N
a
e2 O e1
（1）分别用单位向量 e1 , e2
a
b
y1
y2
o x1 x2
x
例题：
例（41）向a量∥ab ；(（x2,1）)，ab与b(4方,向x)相，同当？x是何值时，
解
（1）a ∥ b x x 4 1 0 x 2 ，
（2）当 x 2 时， a 与 b 方向相同.
问题解 决：
7.3 平面向量的坐标表示
课题
1 学习目标 2 回顾旧知 3 新授 4 小结 5 作业
学习目标
1、知识目标： 1）了解平面向量的坐标表示的生成过程，会求所给向
量的坐标，并会通过向量的坐标求向量的模； 2）能根据所给向量的坐标进行加、减、数乘运算，能
运用坐标判定两向量是否平行，会求给定始终点坐
4.向量平行 a ∥ b x 1 y 2 x 2 y 1 0
5、向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
作业：
P54 / 习题 1-3
的基本撒即可都不恐怖方式
打发第三方士大夫阿萨德按时风高 放火 发给发的格式的广东省都是方
探究2
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可 以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
, 别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N.
探究1
N
a
e2 O e1
（1）分别用单位向量 e1 , e2
a
b
y1
y2
o x1 x2
x
例题：
例（41）向a量∥ab ；(（x2,1）)，ab与b(4方,向x)相，同当？x是何值时，
解
（1）a ∥ b x x 4 1 0 x 2 ，
（2）当 x 2 时， a 与 b 方向相同.
问题解 决：
7.3 平面向量的坐标表示
课题
1 学习目标 2 回顾旧知 3 新授 4 小结 5 作业
学习目标
1、知识目标： 1）了解平面向量的坐标表示的生成过程，会求所给向
量的坐标，并会通过向量的坐标求向量的模； 2）能根据所给向量的坐标进行加、减、数乘运算，能
运用坐标判定两向量是否平行，会求给定始终点坐
4.向量平行 a ∥ b x 1 y 2 x 2 y 1 0
5、向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
作业：
P54 / 习题 1-3
的基本撒即可都不恐怖方式
打发第三方士大夫阿萨德按时风高 放火 发给发的格式的广东省都是方
探究2
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可 以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》课件
中职数学基础模块下册 《平面向量的坐标表示》 ppt课件
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
中职教育数学《平面向量的坐标表示》课件
x
B(x2, y2 )
O1
x
一个重要结论：
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则向量 AB （x2 x1，y2 y1）
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的终
点的坐标减去起点的坐标． (终点减起点)
y
例2 如图，已知
A(1,3), B(1, 3)，C(4,1)， A
D(3, 4)，求向量OA,OB, AO, CD的坐标。
O
D
C x
四边形OCDA是平行四边形？ B
练习
1、已知 AB a求下列点的坐标
1 a 4,5, A 2,3,求B的坐标 2 a 4,5, B 2,3,求A的坐标
1已知向量a (x 3, x 3y-4)与 AB相等，其中A（1，2），B（3，2），求x，y
2已知A (2, 1), B (4,8), 若AB 3-2
2
4
6
Oi
3i
-1
由平行四边形法则可得： OP 3i 2 j
-2
记： OP = (3, 2)
-3
探索1:
4 向量OA的坐标表示
3
2
yj
a
1
j
-2
Oi
OA xi y j -1 向量a
A（x，y）
2
4
6
xi
一 一 对 应 A点坐标（x ，y）
-2
OA (x, y)
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
y
o
x
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
B(x2, y2 )
O1
x
一个重要结论：
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则向量 AB （x2 x1，y2 y1）
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的终
点的坐标减去起点的坐标． (终点减起点)
y
例2 如图，已知
A(1,3), B(1, 3)，C(4,1)， A
D(3, 4)，求向量OA,OB, AO, CD的坐标。
O
D
C x
四边形OCDA是平行四边形？ B
练习
1、已知 AB a求下列点的坐标
1 a 4,5, A 2,3,求B的坐标 2 a 4,5, B 2,3,求A的坐标
1已知向量a (x 3, x 3y-4)与 AB相等，其中A（1，2），B（3，2），求x，y
2已知A (2, 1), B (4,8), 若AB 3-2
2
4
6
Oi
3i
-1
由平行四边形法则可得： OP 3i 2 j
-2
记： OP = (3, 2)
-3
探索1:
4 向量OA的坐标表示
3
2
yj
a
1
j
-2
Oi
OA xi y j -1 向量a
A（x，y）
2
4
6
xi
一 一 对 应 A点坐标（x ，y）
-2
OA (x, y)
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
y
o
x
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
优质中职数学基础模块下册：7.2《平面向量的坐标表示》ppt课件(2份)
（1）| i |
y
7 4
D
_____,| j | ______,
B
C
| OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
OC ________, OD _________ .
j o i
x
A
3
5
（3）向量 CD 能坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
j
o
i
M
x
特别地, i (1, 0), j (0, 1), 0 (0, 0).
方向分别与x轴正向和y轴正向相同的两个单位向量 称为 基本单位向量, 分别记作 i和 j
对于起点在原点的向量 OA
y
N
A(x,y)
OM=x i ON=y j OA=OM+ON =xi+y j
任意的位置向量都有这样的表示 思考: 能否用有序实数对来表示平面内的向量？
解 因为
a＝ OM ＋ MA＝5i＋3j ， 可以看到，从原
点出发的向量，其坐 a (5,3)， 所以 标在数值上与向量终 点的坐标是相同的． 同理可得 b (4,3).
图7－19
例2
已知点 P(2, 1)，Q(3,2) ，求 解
PQ ， QP
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
六、作业
习题5.4第3、4、 7、 8 题 .
完成《三维设计》
那么是否任意向量也能表示为一个 水平方向向量和一个竖直方向向量 之和呢
显然回答是肯定的
思考:
1. 是否能够建立一种以水平方向向量和竖直方向向量 为基础的向量表示的方法呢? 2. 为什么要建立这样一种表示方法呢?
y
7 4
D
_____,| j | ______,
B
C
| OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
OC ________, OD _________ .
j o i
x
A
3
5
（3）向量 CD 能坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
j
o
i
M
x
特别地, i (1, 0), j (0, 1), 0 (0, 0).
方向分别与x轴正向和y轴正向相同的两个单位向量 称为 基本单位向量, 分别记作 i和 j
对于起点在原点的向量 OA
y
N
A(x,y)
OM=x i ON=y j OA=OM+ON =xi+y j
任意的位置向量都有这样的表示 思考: 能否用有序实数对来表示平面内的向量？
解 因为
a＝ OM ＋ MA＝5i＋3j ， 可以看到，从原
点出发的向量，其坐 a (5,3)， 所以 标在数值上与向量终 点的坐标是相同的． 同理可得 b (4,3).
图7－19
例2
已知点 P(2, 1)，Q(3,2) ，求 解
PQ ， QP
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
六、作业
习题5.4第3、4、 7、 8 题 .
完成《三维设计》
那么是否任意向量也能表示为一个 水平方向向量和一个竖直方向向量 之和呢
显然回答是肯定的
思考:
1. 是否能够建立一种以水平方向向量和竖直方向向量 为基础的向量表示的方法呢? 2. 为什么要建立这样一种表示方法呢?
中职教育数学《向量的坐标表示》课件
5. 如图所示,正方形ABCD的中心在
原点O,四边与坐标轴垂直,边长为2,求
Байду номын сангаас
向量
的坐标.
2.4.1 向量的坐标表示
2.4.3
向量内积的坐标表示
2.4.3 向量内积的坐标表示
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
对于向量 , 和 用坐标表示？如何表示呢？
内积a ·b是否可以
2.4.3 向量内积的坐标表示
2.4.2 向量线性运算的坐标表示 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.4.2 向量线性运算的坐标表示 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.4.2 向量线性运算的坐标表示 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.4.1 向量的坐标表示
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
同理可得,
根据向量加法的平行四边形法则,有
（1）
进一步,对于图中
与点B
2.4.1 向量的坐标表示
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
对于平面直角坐标系中的任一向量a,都存在着一 对有序实数(x,y),使得a=xi+yj.我们把有序实数对称为 向量a的坐标.方便起见,常把向量a用它的坐标(x,y) 表示,即a=(x,y).
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
这说明,两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
2.4.3 向量内积的坐标表示
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的 乘法运算,简称数乘运算.
高教版中职数学(基础模块)下册7.2《平面向量的坐标表示》ppt课件2
类似可以得到
a b (x1 x2, y1 y2 )
（7.6） （7.7）
a ( x1, y1)
（7.8）
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
运用知识 强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性 组合表示向量 OA．
OA 2，3
=-2i 3 j． 2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4．
运用知识 强化练习
已知A，B两点的坐标，求 AB，BA 的坐标．
自我反思 目标检测
3 共线向量的坐标表示？
对非零向量a、 b，设 a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
当 时0，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.2Ａ组（必做）
解 因为
a＝可O以M看到＋，M从A原＝5i＋3j ，
点出发的向量，其坐
所标以在数值上与a向量(终5,
3)，
点的坐标是相同的．
同理可得 b ((3,2) ，求 PQ，QP 的坐标．
解 PQ (3, 2) (2, 1) (1,3), QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
教材习题７.2Ｂ组（选做） 实践调查：试着发现生活中的
向量坐标的应用．
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(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 16 ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－ . (2,4)，
4x－4－2y－1＝0， 由题意得 2 2 x － 4 ＋ y － 1 ＝5， x＝3， 得 y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
奇思妙想：在△ABC中，M为BC上任意一点，N为AM → → → 的中点，AN＝λAB＋μAC，求λ＋μ的值．
→ → → → 解：AM＝2AN＝2(λAB＋μAC) → → ＝2λAB＋2μAC， ∵M、B、C共线， 1 ∴2λ＋2μ＝1，∴λ＋μ＝ . 2
• 1．以平面内任意两个非零不共线的向量为一 组基底，该平面内的任意一个向量都可表示 成这组基底的线性组合，基底不同，表示也 不同． • 2. 利用已知向量表示未知向量，实质就是利 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算．
课前自主导学
• 1. 平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使________．其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
→ → (1)在△ABC中，D为BC边中点，设 AB ＝a， AC ＝b，则 → 用基底a，b表示AD应为________． (2)设e1，e2表示平面内向量的基底，则a＝e1＋λe2与b＝ －e1＋2e2共线的条件是λ＝________.
• 3. [2013·福州模拟]已知向量a＝(1,1)，b＝(2， x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为 ( ) • A. －2 B. 0 • C. 1 D. 2 • 答案：D • 解析：a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， 由题意得3(4x－2)－6(x＋1)＝0，x＝2.
• (4)规定： • ①相等的向量坐标________，坐标________ 的向量是相等的向量； • ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始 点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关系．
→ → 在正△ABC中，向量AB与BC的夹角为60° ，对吗？
已知 ________．
→ AB
＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标是
→ → (2)∵AC＝2AB， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
a－1＝4 ∴ b－1＝－4 a＝5 ，解得 b＝－3
，
∴点C的坐标为(5，－3).
例3 [2012· 重庆高考]设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝ (1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( A. 5 B. 10 )
• 答案：A
→ → → 解析：BC＝BA＋AC＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且 → → → AB＝a，AD＝b，则BE＝( )
1 A. b－2a 1 C. a＋2b
1 B. b＋2a 1 D. a－2b
• 答案：A
1 → → → → 1 → → 1→ 解析：BE＝BC＋CE＝AD＋ CD＝AD－ AB＝b－ a， 2 2 2 故选A项．
，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所 → 以OP＝(2－sin2,1－cos2)．
• [答案] (2－sin2,1－cos2)
【备考· 角度说】 No.1 角度关键词：审题视角 向量是体现数形结合的一个典范，借助于图形的直观 性，可迅速的作出判断，圆心运动到C时，点P所经过的弧 → 长为2，其所对圆心角为2，结合三角函数的知识，得到 OP 的坐标．
• No.2 角度关键词：方法突破 • 解决好本题的关键是充分利用图象语言，属 于典型的数形结合思想方法的应用，数形结 合的重点是研究“以形助数”，这在解选择 题、填空题中更显其优越，要注意培养这种 思想意识，做到心中有图，见数想图，以开 拓自己的思维视野.
经典演练提能
→ → → 1. [2012· 广东高考]若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC ＝( ) A. (－2，－4) C. (6,10) B. (2,4) D. (－6，－10)
3. x2y1＝0
(x1± x2，y1± y2) (x2－x1，y2－y1) (λx，λy) x1y2－
填一填：(1)(－1，－1) －1)． (2)(1,2) (3)2
→ → → 提示： BC ＝ BA ＋ AC ＝(－1，
提示：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∴(λ＋2)(－7)＝
(2λ＋3)(－4)，∴λ＝2.
180° ，忽视其中一种情形会出错． 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示 x1 y1 为 ＝ ，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. x2 y2
3条必会结论 1. 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. → → → 2. 已知 OA ＝λ OB ＋μ OC (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共 线的充要条件是λ＋μ＝1. 3. 平面的基底中一定不含零向量.
• 2. 平面向量的坐标表示
→ (1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作 OA → ＝a， OB ＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量a与b的夹 角，当θ＝________或________时，两向量共线，当θ＝ ________时，两向量垂直．
• (2)平面向量的正交分解 • 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解． • (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面 内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与 数对(x，y)是一一对应的，因此把________叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
∴d＝(3，－1)或(5,3)．
课课精彩无限
【选题· 热考秀】 [2012· 山东高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，一单 位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在 (0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1) → 时，OP的坐标为________．
[规范解答] ︵ 设圆心运动到C时，圆与x轴的切点为A，所以劣弧 PA π ＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－ ，所以PB＝ 2 π π sin(2－ )＝－cos2，CB＝cos(2－ )＝sin2 2 2
C. 2 5
D. 10
[解析]
∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，∵b∥c，∴－4 10 ，
－2y＝0，∴y＝－2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝ 选B项．
• [答案] B
• 向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是： a∥b(b≠0)⇔a＝λb，或x1y2－x2y1＝0，至于使 用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利 用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未 知数的值．
4.
已知向量a＝(4,3)，b＝(－2,1)，如果向量a＋λb与b )
垂直，则|2a－λb|的值为( A. 1 C. 5 B. 5
→ → 得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)， → → DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)． 1→ → 1→ → 因为AC＝3AB，DA＝－3BA，
x1＋1＝1 所以有 y1－2＝2 x1＝0 解得 y1＝4
－1－x2＝1 ，和 2－y2＝2
核心要点研究
例1 [2013· 南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分 → → → 别是边CD和BC的中点．若 AC ＝λ AE ＋μ AF ，其中λ，μ∈ R，则λ＋μ＝________.
→ → → [解析] AC＝AB＋AD， → 1→ → AE＝2AB＋AD， → → 1→ AF＝AB＋ AD， 2 1 2λ＋μ＝1， 于是得 λ＋1μ＝1， 2 4 [答案] 3 4 所以λ＋μ＝ . 3
3. 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a± b＝____________； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → AB＝____________；
• (3)若a＝(x，y)，则λa＝________； • (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， • 则a∥b⇔____________.
[变式探究] [2013· 金版原创]如图，在△ABC中，已知 AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60° ，AH⊥BC于H，M为AH的中 → → → 点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.
2 答案：3
解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60° ， 所以BH＝1，M为AH的中点， → 1→ 1 → → 所以AM＝ AH＝ (AB＋BH) 2 2 1 → 1→ ＝ (AB＋ BC) 2 3 1→ 1→ 2 ＝ AB＋ BC，所以λ＋μ＝ . 2 6 3
→ 例2 [2013· 赤峰调研]已知点A(－1,2)，B(2,8)以及 AC ＝ 1→ → 1→ → 3AB，DA＝－3BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．
• [审题视点] 根据题意可设出点C、D的坐标， 然后利用已知的两个关系式，得到方程组， 求出坐标．
[解]
设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
[变式探究] 已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)． (1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式； → → (2)若AC＝2AB，求点C的坐标． → 解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，
→ AC＝(a－1，b－1) → → ∵A、B、C三点共线，∴AB∥AC， ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
→ → → (1)若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝________. (2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则3a＋b＝ ________. (3)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量(－4， －7)共线，则λ＝________.