中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件 PPT
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中职数学基础模块下册《平面向量的概念》PPT
与FD 共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
第十六页，共二十二页。
回顾与总结
一(Yi)、向量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量 二、向量的表示 1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别
3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示
第十七页，共二十二页。
（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量叫(Jiao) 做平行向量. 规定:零向量与任一向量平行。
No 平行向量也叫共线向量
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
Image
第十八页，共二十二页。
四、例题
例(Li)1：思考下列问题：
1、下列命题正确的是
（1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等
量。
2、向量无法比较大小。
第三页，共二十二页。
复习
既有大小，又
有(You)向线段： 带有方向有的方线向段。
在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
B（终点）
记作：AB A（起点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度： |AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
第四页，共二十二页。
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
第十五页，共二十二页。
练别写习出：图已中知与D、E、DF分相E 、(等FeEn)的别F 向、是F量D△和A共BC线各的边向的量中。点，分
答：
A
与DE 相等的向量：BF 、FA
与FD 相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF 、FA
同吗？
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？ 提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行 包括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答. 2.紧扣零向量、单位向量的定义解答.
【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小 又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体 积只有大小没有方向，不是向量.
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由 零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正 确. 答案：②③④
提示：(1)×.两个有共同起点，且长度相等的向量，方 向不一定相同，其终点也不一定相同. (2)×.任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相 同，故不一定相等. (3)√.由平行向量的定义可知.
(4)×.若 则A，B，C，D也可能落在同一条直
线上.
AB＝CD，
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量 ？ 提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确 定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.
(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
【思考】
平行(且1长度)为定2 的义向量中个数的有___“____大_个. 小”与“方向”分别描述了向量的哪
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
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数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课课件
01
02
03
平行四边形的性质
通过平面向量的线性组合 ，可以证明平行四边形的 对边相等、对角线互相平 分等性质。
三角形的重心
利用平面向量，可以求出 三角形的重心坐标，进而 求出其他几何量。
空间几何
平面向量可以扩展到三维 空间，用于描述空间几何 图形的位置和方向。
平面向量在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，力是矢量，可以用平 面向量来表示和运算。通过力的 合成与分解，可以求解物体的运
向量的正交分解
将一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的坐标表示
将一个向量用一组有序实数对（x,y）表示，这组实数对称为该向量的坐标。
05
平面向量的解题技巧与方法
运用向量性质简化问题
01
向量具有方向性
利用向量的方向性，可以解决一些与向量方向相关的问题，如向量旋转
、向量投影等。
02
向量模的非负性
中职数学基础模块下册《平 面向量的概念》公开课课件
汇报人： 202X-12-22
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的应用 • 平面向量的性质与定理 • 平面向量的解题技巧与方法 • 平面向量与其他数学知识的联系与区别
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义与表示
向量的定义
数乘向量
数乘向量的定义
数乘向量是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。其实质是将向量 的每个分量都乘以该实数。
数乘向量的运算规则
数乘向量的运算规则是线性运算的分配律，即对于任意实数k和任意向量a，有 ka=k(a1,a2,...,an)=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
叉积的性质
叉积具有分配律、差积公式、对称性、反对 称性等基本性质。
叉积的计算
向量积的计算公式为 |→AB×→AC|=|→AB|·|→AC|·sin∠BAC，其 中向量最终结果垂直于这两个向量所在的平 面。
应用举例
向量的叉积可以用于计算向量面积、判断线 段间的相对位置关系、求解平面的法向量等 多个方面。
归一化向量
归一化向量是指将向量长度 变为1，仍然保持同样的方向。 其计算方法为将向量除以它 的模。
第五部分：向量的数量积
1
数量积的定义
向量的数量积也称内积，是两个向量
数量积的计算
2
的数量乘积与它们夹角的余弦值之积。 可用向量坐标或向量的模、夹角余弦
|→AB·→AC|= |→AB|·|→AC|·co s∠BAC
学生体验
我们将通过有趣的例题和 动手实践，让每个学生真 正体验到向量运算的乐趣。
第二部分：平面向量的定义
1
点的坐标表示
点P在平面直角坐标系上的坐标表示
向量的定义
2
为(x, y)，其中x,y分别是P在x轴和y轴 上的投影。
向量是具有大小和方向的量，可以表
示为有向线段。向量AB通常分：课堂练习
实战演练
课后作业
教师点拨
通过精心设计的例题和练习题， 让学生巩固和加深对向量的认 识和掌握。
作业包含基础练习和挑战练习， 涵盖向量的知识点和应用场景， 以巩固学生所学知识。
在教学过程中及时对学生提出 的问题进行解答和点拨，还会 针对不同情况和问题，给予个 性化的建议和指导。
平面向量的线性运算
向量的线性运算包括数量乘法 和数量加法，并满足分配律、 结合律、交换律等基本性质。
第四部分：向量的模及方向
叉积具有分配律、差积公式、对称性、反对 称性等基本性质。
叉积的计算
向量积的计算公式为 |→AB×→AC|=|→AB|·|→AC|·sin∠BAC，其 中向量最终结果垂直于这两个向量所在的平 面。
应用举例
向量的叉积可以用于计算向量面积、判断线 段间的相对位置关系、求解平面的法向量等 多个方面。
归一化向量
归一化向量是指将向量长度 变为1，仍然保持同样的方向。 其计算方法为将向量除以它 的模。
第五部分：向量的数量积
1
数量积的定义
向量的数量积也称内积，是两个向量
数量积的计算
2
的数量乘积与它们夹角的余弦值之积。 可用向量坐标或向量的模、夹角余弦
|→AB·→AC|= |→AB|·|→AC|·co s∠BAC
学生体验
我们将通过有趣的例题和 动手实践，让每个学生真 正体验到向量运算的乐趣。
第二部分：平面向量的定义
1
点的坐标表示
点P在平面直角坐标系上的坐标表示
向量的定义
2
为(x, y)，其中x,y分别是P在x轴和y轴 上的投影。
向量是具有大小和方向的量，可以表
示为有向线段。向量AB通常分：课堂练习
实战演练
课后作业
教师点拨
通过精心设计的例题和练习题， 让学生巩固和加深对向量的认 识和掌握。
作业包含基础练习和挑战练习， 涵盖向量的知识点和应用场景， 以巩固学生所学知识。
在教学过程中及时对学生提出 的问题进行解答和点拨，还会 针对不同情况和问题，给予个 性化的建议和指导。
平面向量的线性运算
向量的线性运算包括数量乘法 和数量加法，并满足分配律、 结合律、交换律等基本性质。
第四部分：向量的模及方向
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt公开课课件
（1）找出与向量 DA 相等的向量； （2）找出向量 DC 的负向量； （3）找出与向量 AB 平行的向量． 要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
A
图7－5
B
巩固知识
例2
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东 南 b A a A b 100km.
④
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A 度
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
（或称为模）。记作 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作0 （手写体）。
| AB |
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 a
始点
AB,
或
a
终点
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 (模)表示： | AB | 或 | a |
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
三. 向量的有关概念
a
b
| a || b |
a b
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt课件
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
2024版中职数学基础模块下册平面向量的概念课件
中职数学基础模块下册平面向 量的概念课件
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
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三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
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CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
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01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
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向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
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19
投影概念及计算方法
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坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
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11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
2024版中职数学平面向量的概念ppt课件
01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。
03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。
向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。
向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。
方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。
方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。
零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。
与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。
030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。
共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。
向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。
共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。
加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。
几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。
01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。
向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件3
1、向量加法的三角形法则
（1）图示：
动 脑 思 考 探 索 新 知
a
首尾相接，结果为“首尾”
B b a A b a+ b C
一般地，设向量 a 与向量 b 不共线，在平面上任取一点A
BC b，则向量 AC 叫做向量 a 与向量 b 的和， 依次作 AB a，
记作a＋b 。
求向量的和的运算叫做向量的加法． 上述求向量的和的方法 叫做向量加法的三角形法则．
AB BC AD DC
BD DC
A O
D
BD DB
Байду номын сангаас
B
C
试一试：（1）求下列各和向量：
OA AB BC
BA OC CB
（2）教材P29页第3题、第32页第2题
2、向量加法的平行四边形法则
特点：两向量与和向量共起点
A 如图所示，ABCD为平行四边形，由于
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
1.向量加法三角形法则: b
a
o.
a+b A B
特点:首尾顺次连，起点 指终点 b a
O. B
a+b
A C
2.向量加法平行四边形法则: 特点:起点相同,对角为和
15
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b
a
b
a
o.
a-b A
B
向量减法三角形法则: 特点：平移同起点，方向指被减
(1) a b b a
(2) (a b ) c a (b c ) (3) a 0 a (4) a (a ) 0
如果向量 a 和向量 b 共线，如何画出它们的和向量？
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
【习练·破】 下列说法中，正确的序号是________. ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形ABCD是平行四边形，则 AB = DC ； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
【解析】因为零向量的长度都为零，且其方向任意，
所以零向量相等，所以①正确；因为平行向量的方向
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由 零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正 确. 答案：②③④
【内化·悟】 1.零向量的大小与方向是怎样的？ 提示：零向量的长度为0，方向任意. 2.所有的单位向量有何共同特征？ 提示：所有的单位向量的长度相等，都是1.
【类题·通】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素： (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
如图：
AC,
2.因为 AB= D所C，以| |=|AB|，且DACB∥CD，所以四边 形ABCD是平行四边形.所以| |=| |，且DA∥CB. 又因为 与 的方向相同，所以DA = C. B 同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以
DA CB
CB DA CM NA.
因为 所以| CB|=| DA|，, CDMN∥NMAB,，即 与
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点 相同.( ) (2)任意两个单位向量都相等. ( )
(3)平行向量的方向相同或相反. ( )
(4)若
则A，B，C，D四点是平行四边形的四
个顶点.AB＝C(D， )
提示：(1)×.两个有共同起点，且长度相等的向量，方 向不一定相同，其终点也不一定相同. (2)×.任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相 同，故不一定相等. (3)√.由平行向量的定义可知.
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按东北方向走了10 2米到达C点，到达C点后又改变方
向向西走了10米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3
C
D
当b ≠ 0时成立。
A
BHale Waihona Puke BA2.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
记作 |AB| 或 | a |
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
2.向量的模是一个正实数。（
）
3.若|a|>|b| ，则a > b
注:向量不能比较大小
• 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， • 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，
“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法
是错误的.
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
习题2.1第2题，第3题
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》 课件
A B
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
1 几何表示法： 有向线段（ 起点、方向、长度 ）
2 字母表示法： a ，b AB
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
向向西走了10米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3
C
D
当b ≠ 0时成立。
A
BHale Waihona Puke BA2.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
记作 |AB| 或 | a |
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
2.向量的模是一个正实数。（
）
3.若|a|>|b| ，则a > b
注:向量不能比较大小
• 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， • 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，
“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法
是错误的.
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
习题2.1第2题，第3题
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》 课件
A B
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
1 几何表示法： 有向线段（ 起点、方向、长度 ）
2 字母表示法： a ，b AB
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。