高等代数第九章单元测试

高等代数第九章单元测试

一、选择题

1. 设A 是欧氏空间V 的正交变换，A 是A 在V 的一组标准基下的矩阵，则

( ) A.±=A 1 B. A 的特征值是1 C. 秩)(A =±1 D. A 的迹是1

2. 设A 是n 维欧氏空间V 的对称变换，

s λλλ,,,21 是A 的所有不同特征值，i V λ是A 的特征子空间，则 ( )

A.∑=s 1

i 维n V i <)(λ B.∑=s

1i 维n V i =)(λ C.∑=s 1i 维n V i >)(λ D.∑=s 1

i 维n V i ≠)(λ 3. 设A 是欧氏空间V 中的一组基n εεε,,,21 的度量矩阵，向量α与β在这组基下的坐标分别为),,,(n 21x x x X =,),,,(n 21y y y Y =,则

( )

A.AX Y /),(=βα

B./

),(XAY =βα C.X Y /),(=βα D./

),(XY =βα 4. 设n 21εεε,,, 与n 21ηηη,,, 是欧氏空间V 的两组基，A 与B 分别是这两组基的度量矩阵，则A 与B 的关系是 ( )

A.相似

B.合同

C.相等

D.不等价

5. ),(),,(2121b b a a ==βα是实数域上线性空间2R 中任意向量，如下定义的

二元函数，使2R 作成欧氏空间的是 ( )

A.1221b a b a +=),(βα

B.221121b a 2a b a a )()(),(+++=βα

C.2211b a b a -=),(βα

D.1b a b a 2211++=),(βα

6.如下定义的3R 的线性变换中是正交变换的为 ( )

A.A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=

B. A ),,(),,(3321321x x x x x x x +=

C. A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=

D.A ),,(),,(321321x x x x x x -= 1

7.若A ,B 是欧氏空间V 的对称变换，以下变换

1．A+B 2. AB 3. A 2 4. AB +BA

中对称变换的个数是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

8.设A 是n 维欧氏空间的对称变换，则 ( )

A. A 关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵

. B . A 关于V 的任意基的矩阵是对角矩阵

.C. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵

. D. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵

二、判断题

1． 设V 是欧氏空间，V ∈≠α0,如果向量V ∈β满足0=),(αβ,则0=β. （ ）

2．在n 维欧氏空间V 中，一组基1ε,2ε,…..,n ε的度量矩阵必定是正定矩

阵. （ ）

3．在R 3中，对于任意向量α=(a 1,2a ),β=(b 1,b 2),定义

(βα,)=a 1b 2+a 2b 1，那么R 2对于定义的内积构成欧氏空间.（ ）

4．在欧氏空间V 中，如果向量β与向量组1α,2α,…..,s α中的每一个正交，

那么β与1α,2α,…..,s α的任意一个线性组合也正交. （ ）

5．正交向量组是线性无关的. （ ）

6．正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （ ）

7．实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （ ）

8．定义R 3上线性变换σ:σ(x 1,x 2,x 3)=(x 3,x 2,x 1)，则σ是对称变换. （ ）

三、计算题

1．设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组标准正交基321,,εεε下的

矩阵为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=312132220A ,

（1） 求A 的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.

（2） 求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.

（3） 写出V 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵.

2．求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--θθθθ

cos sin 0sin cos 0001在复数域上的特征值与特征向量 （θ≠ k π）. 3.1α=(1, 1, 0, 1),2α=(-1, 0, 0, 1)是R 4的一组向量,V 1=L(1α,2α),求⊥1V 的一

组基.

四、证明题

1．设R[x]3是次数小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:

内积(f(x),g(x))=⎰-1

1)()(dx x g x f ,3][)(),(x R x g x f ∈∀使得R[x]3成为一个欧氏空间.

2．设欧氏空间V 中)0(,,≠γγβα线性相关且α与γ正交，β与γ正交，证

明：α与β线性相关.

3．两对称变换之积是对称变换的充要条件是它们的乘法可交换.

4．设A 是反对称矩阵，那么A+E 可逆，且1))((-+-=A E A E U 是正交阵.