高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...

(A, A) = (, ) ,V,
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (, i )
i=1,2,…,n
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
(1)(, )=(, ); (2)(+, )= (, ) + (, ); (3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.
其中, , 都是V中向量, k为任意实数. 则称(, )为向量与的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
, 之间的夹角定义为 , arccos ( , )
注(1) 显然有0 <, > ．
(2)由C-S不等式,上述定义有意义.
定义 设V是欧氏空间, 对, V, 如果
(, ) = 0 则称与 正交, 记作.
零向量0与任何向量正交.
定理 在欧氏空间中，下述式子成立：
(1) 三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理: 当⊥ 时, +2=2+2.
2
L
( j , ( j1
j1 ) , j1 )
j1
j 1, ..., m
然后将正交向量组1,2,,m单位化
即令
i
i i
,
(i 1,2, , m)
则向量组1, 2, , m即为与向量组
1,2,,m等价的正交单位向量组．
四. 正交矩阵
定义 设A是n阶实矩阵, 如果满足 ATA = AAT = E
定理 设1,2, …,n与1,2,…,n
是欧氏空间V中两组基, 由基
1,2, …,n到基1,2,…,n的过渡矩 阵是C。若 1,2, …,n是标准正交
基， 则C是正交矩阵, 当且仅当
1,2,…,n是标准正交基。
§4 正交变换，对称变换
一. 定义
定义 若A是欧氏空间V的线性变换, 如 果它保持向量的内积不变, 即
= (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.
n
m
nm
(4) ( ki i , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
i1 j1
二. 长度与夹角
由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (,)
称为向量的长度, 记作．
=(a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn) 定义 (, ) = a1b1+a2b2+…+anbn
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
内积的性质
(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,);
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基 定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两 正交的非零向量构成的向量组称为 正交基.
由单位向量组成的正交基称为 标准正交基.
一组基是标准正交基当且仅当它的度
量矩阵是单位矩阵.
定理 设1, 2,…, n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的
则称A为正交矩阵 (orthogonal matrix)．
正交矩阵性质
定理 设A, B都是n阶正交矩阵， 则
(1) A= 1; (2) A可逆, 且A－1 = AT; (3) AT(即A－1 )也是正交矩阵; (4) AB也是正交矩阵.
定理 n阶实矩阵A是正交矩阵的 充要条件是, A的列(行)向量组为Rn的 正交单位向量组(标准正交基).
§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称 为正交单位向量组(或标准正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一个
标准正交向量组, 当且仅当
1
(i , j )
0
i j, i j.
定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
设1,2,…,s两两正交，
则
1+2+…+s 2 = 12+ 22 +… + s 2
三. 度量矩阵
定义 设1,2,…,n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
(1,1) (1, 2 )
A
(
2
,1
)
( 2, 2 )
( n,1) ( n, 2)
(1, n ) ( 2, n )
由于(, )0,所以向量的长度一般
是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零． 长度为１的向量称为单位向量.
如果 0,
则
1
是一个单位向量.
通常称此过程为把 单位化．
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
设V是欧氏空间，则关于任意, V，有
(, ) ,
且等号成立当且仅当与 线性相关。
定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量
(n,n )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
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度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
则
(, )=XTAY,
其中X,Y为,的坐标列向量。
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于X0,
(,)= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。