高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...
欧几里得空间习题解答
第九章 欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(006);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i i j ij i j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q(,)|||()()|||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭Q而1232211212,,3122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x dx-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰Q又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=Q 221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-Q L L 故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηηL L 及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=L L L L L L 任设所以合同P394.11②，取V 的一个基12,,,,n A αααL 其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=L L L L C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠L L L L L L L L 记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑L L L 若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑Q L L 线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭LL M M O M L因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββL由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
第九章 欧几里德空间
第九章 欧几里德空间§1基本知识§1. 1 基本概念 1、欧式空间： 2、向量的长度：3、向量之间的夹角：4、单位向量：5、向量的正交：6、度量矩阵：7、正交向量组：8、正交基与标准正交基： 9、正交矩阵：10、欧式空间的同构： 11、正交变换：12、子空间、子空间的正交与正交补： 13、内射影或正射影： 14、对称变换：15、向量之间的距离： 16、最小二乘法：§1. 2 基本定理定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.定理2 （标准正交基的存在性定理）对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ，使得：n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.定理4（正交变换的等价条件）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则如下条件等价（1）σ是正交变换；（2）σ保持向量的长度不变，即：V ∈∀=ααασ|,||)(|；（3）如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基；（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么：s V V V +++ 21是直和。
定理6（正交补存在性定理）n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。
定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵P ，使得：AP P T 为对角矩阵。
§1. 3 基本性质1、欧式空间的性质：（1）零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零；（2）对任何R a V ∈∈,,,ζηξ，有：),(),(),(ηζξζηξζ+=+；),(),(ηξηξa a =；（3）s j r i R b a V j i j i ,,2,1;,,2,1,,,, ==∈∈∀ηξ，有：∑∑∑∑=====r i sj j i j i j s j j i r i i b a b a 1111),(),(ηξηξ；（4）V ∈∀βα,，有：),)(,(),(2ββααβα≤，当且仅当βα,线性相关时，等号成立。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
高等代数【北大版】9
| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
§9.2 标准正交基
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
|
1
1
| 1
2 ,
2
2
|
1
2
|
2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 4
14 (5x3 3x) 4
§9.2 标准正交基
4.标准正交基间的基变换
设 1, 2 , , n与 1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V中的
1. 定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 则称A为正交矩阵.
AA E
2. 简单性质
1）A为正交矩阵 A 1. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵.
§9.2 标准正交基
3）设 1, 2 , , n 是标准正交基，A为正交矩阵，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
（6）
§9.2 标准正交基
由公式（3）, 有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
， （7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
§9.2 标准正交基
三、正交矩阵
注:
① 由正交基的每个向量单位化, 可得到一组标准 正交基.
欧几里得空间习题解答
第九章欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(06);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i ijiji j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑的度量矩阵即为A不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos ||||4arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3||||||αβαβ+≤+(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.61231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x d x-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηη及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=任设所以合同P394.11②， 取V 的一个基12,,,,n A ααα其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββ由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。
高等代数-9第九章欧几里得空间
, yn ' ,
(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积
, ' x1 y1 x2 y2
为普通内积或按通常定义的内积.
xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.
因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的.
§1 定义与基本性质(P363)
注 (1) 零向量与任意向量正交,即 o .
(2) 若 , 则 o.
(3) 若 , 非零, 则 , .
2
(4) 勾股定理 , V | |2 | |2 | |2
证明
2 ,
, 2, ,
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二
元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性）
2) (k , ) k( , )
f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4(, )2 4(, )( , ) 0, 即 ( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
下证 | (, ) || || | 当且仅当 、 线性相关. " " 若 、 线性相关,不妨设 k ,
第九章 欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法
欧几里得空间习题
2)因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 C 使 A CEC CC, 由1）知 C QT , 故 A T QQT T T
9.证明：正交矩阵旳实特征值为±1. 证：设 A为正交矩阵， 为 A 旳实特征值，
即 A , 取共轭转置得 A , 再右乘 A 有 AA 2 , 利用 AA E 得 2 , 因为 0, 所以 2 1,
i1 j1
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间旳一组基，证明： 1）假如 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）假如 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
A (1,2, ,n ) QT 若还有Q1,T1,使 A Q1T1 是 A 旳另一种分解，则 Q1T1 QT , 于是 Q11Q T1T 1 因为Q1,Q 为正交阵, 所以 Q11Q 也是正交阵, 从而 T1T 1 也是正交阵, 另一方面, T1T 1是上三角阵, 由7题知 T1T 1 是主对角线上元素为1或-1旳对角阵, 而 T1,T 旳主对角线元素为正，故 T1T 1 E 即 T1 T , 从而 Q1 Q.
3) 详细写出这个空间中旳柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k ) A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
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α
α 是一个单位向量. 是一个单位向量.
在欧氏空间V中 定义 在欧氏空间 中, 任意两个非零向量 之间的夹角 夹角定义为 α, β之间的夹角定义为 (α , β ) θ =< α , β >= arccos
α β
显然有0≤ ≤π． 注(1) 显然有 ≤ <α, β > ≤π． (2)由C-S不等式 上述定义有意义 不等式,上述定义有意义 由 不等式 上述定义有意义. 是欧氏空间, 定义 设V是欧氏空间 对α, β∈V, 如果 是欧氏空间 (α , β ) = 0 正交, 则称α与β 正交 记作α⊥β. 零向量0与任何向量正交 与任何向量正交. 零向量 与任何向量正交.
第9章 欧几里得空间习题课 §1 §2 §3 §4 §5 §6 定义与基本性质 标准正交基的定义及求法 正交变换，对称变换 正交变换， 子空间的正交补 实对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离
§1
定义
定义与基本性质
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间 在V上 是实数域 上的线性空间,在 上 定义了一个二元实函数 即对于V中任意两个 定义了一个二元实函数, 即对于 中任意两个 函数 向量α, β, 都有惟一确定的实数与之对应, 都有惟一确定的实数与之对应 该实数记作( 它满足如下性质: 该实数记作 α, β), 它满足如下性质: (1)(α, β)=(β, α ); (2)(α+β, γ)= (α, γ) + (β, γ); (3) (kα, β)= k(α, β ); (4) (α, α)≥0, (α, α)=0当且仅当α=0. 当且仅当α
欧氏空间中，下述式子成立： 定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式 |α+β| ≤ |α|+|β| ; 三角形不等式: | (2) 勾股定理 当α⊥β 时, |α+β|2=|α|2+|β|2. 勾股定理: | |
欧几里得空间习题解答P394
第九章 欧几里得空间习题解答P394.1.设A 是一个n 级正定矩阵, 而α=(a 1,a 2,…,a n ), β=(b 1,b 2,…,b n ), 在R n 中定义内积:,),(T A βαβα=(1) 证明在这个定义之下, R n 成一欧氏空间. (2) 求单位向量),...,,(n 21εεε的度量矩阵.(3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式.(1) 证明: 因为A 正定, 所以对任意的α=(a 1,a 2,…,a n ), β=(b 1,b 2,…,b n )∈R n , k ∈R. (i) .00),(,0),(=⇔==≥=αααααααααT T A A 且(ii) ),()(),(T αβαββαβαβα====T T T A A A . (iii) ),(()(),(βαβαβαβαk A k A k k T T ===.(iv) ).,(),()(),(βγβαβγβαβγαβγα+=+=+=+T T T A A A 所以在这个定义之下, R n 成一欧氏空间.(2) 因为,),(ij T j i j i a A ==εεεε 所以单位向量),...,,(n 21εεε的度量矩阵是A. (3) 由|(α,β)|≤|α| |β|, 得∑∑∑∑∑∑======≤==n i nj j i ij n i nj ji ij j n i nj i ij Tb b a a a a b a a A 111111|||||),(|βαβα.2. 在R 4中求α,β之间的夹角<α,β>(内积按通常的定义), 设 (1) α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1); (2) α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1); (3) α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0). 解: (1) (α,β)=0， 所以<α,β>=.2π(2)|||6,(,)18(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====(3)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉 3. d(α,β)=|α-β|通常的α与β的距离, 证明d(α,γ)≤d(α,β)+d(β,γ) .证明: ||||||αβαβ+≤+ ,(,)|||()()||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =4. 在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交 解: 设所求单位向量为:212341234123412344 123(,,,)1,2301011111111111111020001003,2113013100314,0,14ix x x x xxx x x xx x x xx x x xx x x xαα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化5．设nααα,...,,21是欧氏空间V的一组基, 证明(1) 如果.0,,...,2,10,),(i===∈γαγγ那么使得niV(2) 如果.,,...,2,1),,(),(,212121γγαγαγγγ===∈那么使得niVii证(1) :因为12(,)0, 1.2,,i ni nγαααα==而是一个基, 所以对于V中向量γ, 设nnkkkαααγ+++=2211,11(,)(,)(,)0.0.n ni i i ii ik kγγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有(2) 证，12(,)(,), 1.2,i ii nγαγα==12(,)0, 1.2ii nγγα∴-==由第(1)小题：12120,γγγγ-==故6.设321,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基,证明:)-2(2313211εεεα+=, )2-(2313212εεεα+=, )22(-313213εεεα++=也是一组标准正交基.解: 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫⎪=--⎪⎪--⎝⎭而1232211212,,3122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基. 7. 设54321,,,,εεεεε是五维欧氏空间中一组标准正交基, ),,,(3211αααL V = 其中4212511,εεεαεεα+-=+=,42132εεεα++=, 求V 1的一组标准正交基.解: 令;5111εεαβ+==;212121),(),(5421121111222εεεεβαββββααβ-+-=-=-=.10122),(),(),(),(5321213222231111333εεεεββαββββαββββααβ-++=--=--=再标准化为:);(21511εεγ+=);22(10154212εεεεγ-+-=).(2153213εεεεγ-++=8. 求齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x的解空间(作为R 5的子空间)的一组标准正交基.解: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=51110410011011131112A .R(A)=2, 所以基础解系为解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由Schmidt 正交化过程::1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化后得到解空间的标准正交基：1230766130500εεε⎛⎛⎫ ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭9. 在R [x ]4中定义内积为11(,)()()f g f x g x dx -=⎰, 求R [x ]4的一组标准正交基(由基1，x , x 2, x 3出发正交化)解: 2312341,,,x x x αααα====.111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)3502(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdx x xx x x x xαββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dx x x x dx ββββββ+--=-+===-+==⎰⎰标准正交基为211=γ, x 262=γ, )13(41023-=x γ, )35(41434x x -=γ.10. 设V 是一n 维欧氏空间,α≠0是V 中一固定向量, (1) 证明: V 1={x |(x ,α)=0, x ∈V }是V 的一个子空间. (2) 证明V 1的维数是n -1.证明: (1) 0∈V 1非空. ∀ β,γ∈ V 1, k ∈R,(β+γ,α)= (β,α) +(γ,α)=0， 得β+γ∈V 1; (k β,α)=k(β,α)=0., 得k β V 1. 所以V 1是V 的一个子空间.(2) 因为α≠ 0, 把α扩充成V 的标准正交基:,,,2n ααα 由于0,),(j =ααn 2,...,j =, 所以12,V n ∈αα , 因而dimV 1≥n -1. 另一方面, 因为 α∉V 1 ,所以dimV 1≤ n -1, 于是dimV 1=n -1.11. (1) 证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
高等代数II期末复习提纲及题型
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， ，那么有 。
22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于 ，都有 ，则称V1与V2是正交的，记作 。
例如：〔1〕 中，子空间 ，，那么有 。
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， 由一些奇函数组成的，那么有 。
15、等价的 矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。
16、 矩阵的标准形是唯一的。 的标准形的主对角线上的非零元素 称为 的不变因子。
17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：
〔1〕特征矩阵 与 等价；
〔2〕特征矩阵 与 有相同的标准形；
〔3〕特征矩阵 与 有相同的不变因子〔 的不变因子以后就简称为A的不变因子〕；
20、正交变换的性质
〔1〕正交变换是可逆的〔因为正交变换在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式= ，是可逆的，所以正交变换是可逆的。〕
〔2〕正交变换的逆变换也是正交变换。〔证明过程？〕
〔3〕两个正交变换的乘积也是正交变换。〔证明过程？〕
〔4〕正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射〔满足同构映射的条件〕。
〔5〕正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的〔旋转〕；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换 是第几类的？
21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于 ，都Biblioteka ，称向量 与子空间W正交，记作 。
〔4〕A与B有相同的不变因子；
〔5〕A与B有相同的初等因子。
18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。
19、行列式因子与不变因子的关系：
第九章欧氏空间习题答案
第九章欧氏空间习题答案一、填空题1、 0;2、 ,;3、 ;4、 ;5、 ;6、 ;7、 ,;8、 ;9、 ;10、 线性变换在某基下得矩阵;11、 0,;12、 它们得维数相同;13、 ,1;14、 ;15、 正交;16、 ;17、 正定得。
二、判断题15 ××√√√ 610 √×√√√ 1115 √√√×√ 1620 √√×√×三、选择题15 CDBCC 610 CACB(BD) 1115 BDAAA 1618 ABB四、计算题1. 由,故特征值为。
当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
2. (1),由于二次型正定,则,即。
(2)当时,则。
由,特征值为。
故标准形为。
3. 二次型矩阵为。
由于正交变换得到得标准形为,则得特征值为,故,可得。
当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。
则令,为正交阵,有。
4. 设属于特征值得特征向量为,则,即,基础解系为,。
把,单位化为,。
单位化为。
令,为正交阵,有。
进一步得到。
5. 当时,则22200011(cos ,cos )cos cos cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==+--=+-⎰22200011(sin ,sin )sin sin cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011(sin ,cos )sin cos sin()()02()2()||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数,该集合均为正交向量组。
高等代数第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(名校考研真题 欧几里得空间)
第9章 欧几里得空间一、分析计算题1．设B 是实数域上n×n 矩阵，，对任一大于0的常数n ，证明定义了的一个内积，使得成为欧氏空间．其中表示列向量的转置，E表示单位矩阵．[浙江大学研]证明：（1）（2）（3）（4）由于，所以由上可知，定义了上的一个内积，从而成为欧氏空间．2．设n 维欧氏空间的两个线性变换在V 的基下的矩阵分别是A 和B ，证明：，都有，则存在正定矩阵P ，使[武汉大学研]证明：由题设任给，令则同理令基的度量矩阵为，则同理因，故考虑的任意性，并结合与均为对称矩阵知3．设是n 维欧氏空间V 子空间，且的维数小于的维数，证明必有一个非零向量正交于中一切向量．[浙江大学研]证：证法1：由于恰由一切与正交的向量组成，所以只要证明即可．事实上，如，则为直和．所以又 所以 所以 所以矛盾．证法2：（1）当时，结论显然成立．（2）设，取的基的基令因为等价于（1）而方程组（1）的方程个数未知量个数s ，所以它有非零解．即使．4．设α是欧氏空间V 的线性变换，τ是V 的一个变换，且．都有（σ（α），β）=（α，τ（β））．证明：（1）τ是V 的线性变换；（2）τ的值域Imτ等于σ的核ker （σ）的正交补．[武汉大学研]证明：（1）β，α，γ∈V∈V，由题设可得由α的任意性知（1）同理，λ∈R，ξ∈V，有（2）所以由式（1）、式（2）得τ是V的线性变换．（2）可等价地证明①，有所以②如，则有所以从而结合①、②可得5．设S 是酉空间V 的一个非空集合，记证明：是子空间，且，并举例说明不一定成立．[西安交通大学研]证明：对给定的集合S ，显然V 的零元素属于，所以（复数域），对任一γ∈S 有所以即由α、β、k 、l的任意性知是V的子空间．又，由题设知可见 因此不一定成立，如在酉空间中，取S={（0，0，1）}，S 不是V 的子空间，但是V 的子空间，所以6．在欧氏空间V 中（1）若向量α，β等长，证明：α＋β与α－β正交，作出几何解释；（2）设V 是n 维的，S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，证明：是V的子空间，且[四川大学研]证明：（1）因为，所以几何解释：表示菱形两对角线互相垂直．（2）由已知有仿上题可证是V 的予空间，且，故①成立，且故S 和是同一子空间的正交补，由正交补的惟一性，即证②．7．实矩阵A 和B ，证明：A 和B 实相似的充要条件是复相似．[复旦大学研]证明：必要性显然．下证充分性，设A 与B 复相似，即存在复可逆阵使其中M 和H 都是n 阶实方阵，由①有，此即因为故不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数a ，使，令有8．设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价．（1）T 是酉变换；（2）T 是同构映射；（3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基；（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵．[湖南大学研] 证明：（1）＝>（3）设T 是酉变换，即取为V 的一组标准正交基，且。
高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]
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第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）6、度量矩阵是正定的 （ ）7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
第九章 欧几里得空间 习题答案
第九章 欧几里得空间部分习题答案习 题（P393-P397）1．设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β．在nR 中定义内积(,)αβ为(,)'=A αβαβ．1）证明在这个定义之下，nR 成一欧氏空间；2）求单位向量1(1,0,,0)= ε，2(0,1,,0)= ε， ，(0,0,,1)n = ε的度量矩阵； 3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式． 解 1）显然(,)'=A αβαβ是n R 上的一个二元实函数，且 ①(,)()(,)''''''=====A A A A αβαβαββαβαβα； ②(,)()()(,)k k k k ''===A A αβαβαβαβ；③(,)()(,)(,)'''+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ；④由于A 是正定矩阵，故(,)0'=≥A αααα，并且，当且仅当=0α时，(,)0=αα． 因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，nR 成为欧氏空间．2）由于(,)i j i j ij a '==A εεεε，,1,2,,i j n = ，故12,,,n εεε的度量矩阵就是A ．3）根据11(,)n nij i j i j a x y =='==∑∑A αβαβ，其中12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为11n nij iji j a x y==≤∑∑2．在4R 中，求,αβ之间的夹角,<>αβ（内积按通常定义）．设 1）(2,1,3,2)=α，(1,2,2,1)=-β； 2）(1,2,2,3)=α，(3,1,5,1)=β；3）(1,1,1,2)=α，(3,1,1,0)=-β．解 1）由于(,)21123(2)210=⨯+⨯+⨯-+⨯=αβ，故,2π<>=αβ．2）由于(,)1321253118=⨯+⨯+⨯+⨯=αβ，且(,)1122223318=⨯+⨯+⨯+⨯=αα，(,)3311551136=⨯+⨯+⨯+⨯=ββ，故,arccos 24παβ<>===．3）同样，直接计算得(,)3=αβ，(,)7=αα，(,)11=ββ，故,αβ<>==． 『方法技巧』首先判断(,)αβ是否为零，如果为零，那么α与β正交，即,2π<>=αβ；否则，计算(,)αα和(,)ββ，由定义(,),arccos||||αβ<>=αβαβ求α与β的夹角．4．在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---正交． 解 设所求向量为1234(,,,)x x x x =α．由α与已知向量都正交，得方程组1234123412340,0,230.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 直接解得它的一个基础解系为(4,0,1,3)=-η．又因为α是单位向量，所以14,0,1,3)||=±=-αηη． 『特别提醒』要注意与η同向和反向的单位向量都满足要求． 5．设12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：1）如果V ∈γ使(,)0i =γα，1,2,,i n = ，那么=0γ；2）如果12,V ∈γγ使对任一V ∈α有12(,)(,)=γαγα，那么12=γγ．『解题提示』只需要说明(,)0=γγ和12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ． 证明 1）由于12,,,n ααα为欧氏空间V 的一组基，故存在12,,,n k k k ，使得1122n n k k k =++ γααα．于是，根据(,)0i =γα，1,2,,i n = ，得到11221122(,)(,)(,)(,)(,)0n n n n k k k k k k =++=++= γγγαααγαγαγα．因此=0γ．2）由于对任意的V ∈α有12(,)(,)=γαγα，故对任意的i α也有12(,)(,)i i =γαγα，即12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ．根据1）可知12-=0γγ，即12=γγ．6．设123,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：()()()11232123312311122,22,22333=+-=-+=--αεεεαεεεαεεε 也是一组标准正交基．证法1 由于123,,εεε是标准正交基，故12222112(,)()()0333333=⨯+⨯-+-⨯=αα， 13212212(,)()()()0333333=⨯+⨯-+-⨯-=αα，23211222(,)()()()0333333=⨯+-⨯-+⨯-=αα， 11222211(,)()()1333333=⨯+⨯+-⨯-=αα，22221122(,)()()1333333=⨯+-⨯-+⨯=αα， 33112222(,)()()()()1333333=⨯+-⨯-+-⨯-=αα，即1,,(,)0.i j i j i j =⎧=⎨≠⎩αα 所以123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．证法2 设从123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵为A ，即22112123122⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．直接计算可知22122112122129122122-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'=---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A A E ，即A 是正交矩阵．从而123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．『解题提示』方法1利用定义直接进行了证明；方法2则根据：如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基也是标准正交基．7．设12345,,,,εεεεε是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，()1223,,V L =ααα，其中115=+αεε，2124=-+αεεε，31232=++αεεε，求1V 的一组标准正交基．解 首先说明123,,ααα线性无关．事实上，设112233k k k ++=0ααα，即1231232332415(2)()k k k k k k k k +++-++++=0εεεεε，根据12345,,,,εεεεε是线性无关的，得1230k k k ===，即123,,ααα线性无关．于是123,,ααα是1V 的一组基．下面，根据施密特正交化方法对它们标准正交化：正交化：1115==+βαεε，22221124511(,)11(,)22=-=-+-αββαβεεεεββ，3132331212351122(,)(,)(,)(,)=--=++-αβαββαββεεεεββββ；单位化：115()2=+ηεε，2124522)=-+-ηεεεε， 312351()2=++-ηεεεε．则123,,ηηη即为1V 的标准正交基．『方法技巧』这类求一个欧氏空间或其子空间的标准正交基的题目，首先确定该欧氏空间或子空间的一组基，然后再将这组基标准正交化即可求得．12．设12,,,m ααα是n 维欧氏空间V 中一组向量，而111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα∆． 证明：当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．证明 设有线性关系1122m m k k k +++=0 ααα，将其分别与i α取内积，可得方程组111212112122221122(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0.m m m mm m m m m k k k k k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ αααααααααααααααααα 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式0≠∆，故当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．『方法技巧』将∆构造成一个线性方程组的系数矩阵．题目中的矩阵∆称为向量组的格拉姆矩阵，当12,,,m ααα为一组基时，其格拉姆矩阵∆即为度量矩阵．16．证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．证明 设A 是反对称矩阵，ξ是属于特征值λ的特征向量，即λ=ξξA ，则用'ξ左乘两边得()()()()()λλ'''''''''==-=-=-=-=-ξξξξξξξξξξξξξξA A A A A ，由于≠0ξ，故λλ=-，从而λ为纯虚数或零．事实上，令a bi λ=+，可得0=a ，即bi =λ，因此或者0λ=或bi =λ（0b ≠）．『方法技巧』与证明实对称矩阵的特征值均为实数的方法类似． 17．求正交矩阵T 使'T AT 成对角形，其中A 为：1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022； 2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222； 3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0041001441001400； 解 1）矩阵A 的特征多项式为()()()22021214202λλλλλλλ--=-=--+E A ， 则A 的特征值为2,4,1321-===λλλ，分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得对应的特征向量为123(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)'''=--=-=ααα．将其单位化得123111(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)333'''=--=-=ηηη．令1232211(,,)1223212-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ηηηT ，则T 即为所求，且142⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．2）矩阵A 的特征多项式为()()2222254110245λλλλλλ---=--=---E A ，则A 的特征值为1210,1λλ==（二重）．分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得：110λ=的特征向量为1(1,2,1)'=--α，21λ=的特征向量为2(2,1,0)'=-α，3(2,1,1)'=α．将其正交单位化得1231(1,2,2),2,1,0),2,4,5)3'''=--=-=ηηη， 令123132(,,)3203⎛- ==-⎝ηηηT ， 则T 即为所求，且1011⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．3）矩阵A 的特征多项式为()()()()0410145533410140λλλλλλλλλ-----==-+-+----E A ，则A 的特征值为12345,5,3,3λλλλ==-==-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)''''==--=--=--αααα，将其单位化得12341111(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)2222''''==--=--=--ηηηη，令1234111111111(,,,)111121111-⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪--- ⎪-⎝⎭ηηηηT ， 则T 即为所求，且5533⎛⎫ ⎪- ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ． 『方法技巧』实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，如果属于某个特征值λ的特征向量只有一个时，则只需对它单位化即可，此时，它必与其它向量正交．18．用正交线性替换化下列二次型为标准形：1）32212322214432x x x x x x x --++； 2）22212312132322448x x x x x x x x x ---++；3）432122x x x x +；『解题提示』按照上一题的方法求出能够使得二次型的矩阵A 可对角化的T ，则=X TY 即为所求的正交线性替换．解 1）原二次型的矩阵120222023-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且A 的特征多项式为(5)(2)(1)λλλλ-=--+E A ，则其特征值为1235,2,1λλλ===-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)'''=-=--=ααα，单位化得123111(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)333'''=-=--=ηηη， 令1231221(,,)2123221⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭ηηηT ，则T 是正交矩阵，且521⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22212352y y y +-． 2）原二次型的矩阵122224242-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，且A 的特征多项式为2(7)(2)λλλ-=+-E A ，则其特征值为127,2λλ=-=（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,0),(2,0,1)'''=-=-=ααα，正交单位化得1231(1,2,2),(2,1,0),(2,4,5)3515'''=-=-=ηηη， 令12351(,,)1015100⎛-== -⎝ηηηT ，则T 是正交矩阵，且722-⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为222123722y y y -++． 3）原二次型的矩阵100100000010010⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 且A 的特征多项式为22(1)(1)λλλ-=+-E A ，则其特征值为11λ=（二重），21λ=-（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1)''''===-=-αααα，正交单位化得1234(1,1,0,0),0,1,1),1,0,0),0,1,1)2222''''===-=-ηηηη， 令123410101010(,,,)010120101⎛⎫⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭T ηηηη，则T 是正交矩阵，且1111⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪- ⎪-⎝⎭T AT ． 那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22221234y y y y +--． 19．设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 证明 由于A 是实对称矩阵，根据教材中的定理7知，存在一个n 级正交矩阵T ，使得121n λλλ-⎛⎫⎪⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭ T AT T AT Λ． 又因为相似矩阵有相同的特征值，且对角形矩阵的特征值即为其对角线上的元素，所以12,,,n λλλ 为A 的全部的特征根，即A 的特征多项式的全部根．再根据合同的矩阵具有相同的正定性，故A 正定的充分必要条件是对角形矩阵Λ是正定的，而Λ正定当且仅当12,,,n λλλ 全大于零．因此A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 『方法技巧』利用相似矩阵具有相同的特征值，合同的矩阵具有相同的正定性．。
[高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]
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第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
（ ) 2、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
（ ）3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。
（ ）4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ )5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 ( ）6、度量矩阵是正定的 （ ）7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ )9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α。
( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( ）12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( ）13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵。
（ ）14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=.（ )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.（ ）二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________，α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα,其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵,且｜A ｜〈0，则｜A ｜= 。
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§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称 为正交单位向量组(或标准正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一个
标准正交向量组, 当且仅当
1
(i , j )
0
i j, i j.
定理 设1,2, …,n与1,2,…,n
是欧氏空间V中两组基, 由基
1,2, …,n到基1,2,…,n的过渡矩 阵是C。若 1,2, …,n是标准正交
基， 则C是正交矩阵, 当且仅当
1,2,…,n是标准正交基。
§4 正交变换，对称变换
一. 定义
定义 若A是欧氏空间V的线性变换, 如 果它保持向量的内积不变, 即
(n,n )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
则
(, )=XTAY,
其中X,Y为,的坐标列向量。
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于X0,
(,)= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。
则称A为正交矩阵 (orthogonal matrix)．
正交矩阵性质
定理 设A, B都是n阶正交矩阵， 则
(1) A= 1; (2) A可逆, 且A－1 = AT; (3) AT(即A－1 )也是正交矩阵; (4) AB也是正交矩阵.
定理 n阶实矩阵A是正交矩阵的 充要条件是, A的列(行)向量组为Rn的 正交单位向量组(标准正交基).
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (, i )
i=1,2,…,n
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基 定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两 正交的非零向量构成的向量组称为 正交基.
由单位向量组成的正交基称为 标准
量矩阵是单位矩阵.
定理 设1, 2,…, n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的
= (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.
n
m
nm
(4) ( ki i , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
i1 j1
二. 长度与夹角
由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (,)
称为向量的长度, 记作．
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
由于(, )0,所以向量的长度一般
是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零． 长度为１的向量称为单位向量.
如果 0,
则
1
是一个单位向量.
通常称此过程为把 单位化．
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
设V是欧氏空间，则关于任意, V，有
(, ) ,
且等号成立当且仅当与 线性相关。
定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量
(1)(, )=(, ); (2)(+, )= (, ) + (, ); (3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.
其中, , 都是V中向量, k为任意实数. 则称(, )为向量与的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
(A, A) = (, ) ,V,
定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
设1,2,…,s两两正交，
则
1+2+…+s 2 = 12+ 22 +… + s 2
三. 度量矩阵
定义 设1,2,…,n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
(1,1) (1, 2 )
A
(
2
,1
)
( 2, 2 )
( n,1) ( n, 2)
(1, n ) ( 2, n )
, 之间的夹角定义为 , arccos ( , )
注(1) 显然有0 <, > ．
(2)由C-S不等式,上述定义有意义.
定义 设V是欧氏空间, 对, V, 如果
(, ) = 0 则称与 正交, 记作.
零向量0与任何向量正交.
定理 在欧氏空间中，下述式子成立：
(1) 三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理: 当⊥ 时, +2=2+2.
2
L
( j , ( j1
j1 ) , j1 )
j1
j 1, ..., m
然后将正交向量组1,2,,m单位化
即令
i
i i
,
(i 1,2, , m)
则向量组1, 2, , m即为与向量组
1,2,,m等价的正交单位向量组．
四. 正交矩阵
定义 设A是n阶实矩阵, 如果满足 ATA = AAT = E
=(a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn) 定义 (, ) = a1b1+a2b2+…+anbn
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
内积的性质
(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,);