第九章欧几里得空间
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矩阵是正交阵.
第九章欧几里得空间
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n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E . 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 设A (aij ),则A是正交矩阵
1, 当i j, a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j.
1, i j ai1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
第九章欧几里得空间
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6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
第九章欧几里得空间
5
一、基本内容
1. 基本概念 (1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
(5) 正交子空间
V 1 V 1 ,恒 有 (,) 0 ,
V 1 V 2 V 1 , V 2 , 恒 有 (,) 0 ,
W 的 正 交 补 ： W {| V 且 (,W ) 0 }
V W W
(6) 欧氏空间的同构
同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
第九章欧几里得空间
第九章欧几里得空间
2
知识脉络图解
对称变换 正交变换 对称矩阵 正交矩阵
实对称阵正交相似 于对角阵
内积 欧氏空间 长度、夹角 与正交 标准正交基 欧氏空间的同构
正交变换化实二次 型为标准形
第九章欧几里得空间
正交子空间 正交补空间
3
重点、难点解读
本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念 得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概 念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。 利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单， 这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握标准 正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方 法由一组基求出标准正交基。
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
yi2
i1
i1
第九章欧几里得空间
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n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如 下 :
1
1 |1
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
n
n
xii, yii,
i1
i1
则
第九章欧几里得空间
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( 1 )x i (,i),( i 1 ,2 , ,n )
n
(2) (,) xi yi i1
n
(3) | |
对称变换的刻化:
第九章欧几里得空间
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第九章 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
第九章欧几里得空间
4
欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 Q，使 Q T A Q 为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
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(5)1,2, ,n是 标 准 正 交 基 的
(i,j) 1 0,,
当 ij 当 ij
(i,j1,2,
,n)
即 :1 ,2 , ,n 是 标 准 正 交 基 的 是 它 的 度
量 矩 阵 是 单 位 矩 阵 .
(n,n)
与 的 内 积 可 用 矩 阵 表 示 :
(,)XAY
其 中 X和 Y分 别 是 与 在 基 1,2, ,n下 的 坐 标 .
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• n维欧氏空间V的两个基的度量矩 阵是合同的, 且度量矩阵是正定的.
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(4) 标准正交基
由两两正交的单位向量组成的基.
|1
m
m 1 m 1 ( m 1 , i ) i
i1
1
m 1
| m1
| m1
(m1,2, ,n1)
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5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的Baidu Nhomakorabea化 :
1) 对 , V , ( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设1 ,2 , ,n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角：,arccos|( |,|)|,0,.
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(3) 度量矩阵
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2) A( aij)nn (2,1) (2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
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2. 基本性质
设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
( 1 )对 于 V ,(,) 0 0 .
s
t
st
(2)( kii, ljj) kilj(i,j).
i1
j1
i1j1
(3)(,)2(,)(,).即 |(,)| ||||.
等 号 成 立 ,线 性 相 关 .
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n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E . 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 设A (aij ),则A是正交矩阵
1, 当i j, a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j.
1, i j ai1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
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6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
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一、基本内容
1. 基本概念 (1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
(5) 正交子空间
V 1 V 1 ,恒 有 (,) 0 ,
V 1 V 2 V 1 , V 2 , 恒 有 (,) 0 ,
W 的 正 交 补 ： W {| V 且 (,W ) 0 }
V W W
(6) 欧氏空间的同构
同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
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知识脉络图解
对称变换 正交变换 对称矩阵 正交矩阵
实对称阵正交相似 于对角阵
内积 欧氏空间 长度、夹角 与正交 标准正交基 欧氏空间的同构
正交变换化实二次 型为标准形
第九章欧几里得空间
正交子空间 正交补空间
3
重点、难点解读
本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念 得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概 念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。 利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单， 这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握标准 正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方 法由一组基求出标准正交基。
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
yi2
i1
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(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如 下 :
1
1 |1
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
n
n
xii, yii,
i1
i1
则
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( 1 )x i (,i),( i 1 ,2 , ,n )
n
(2) (,) xi yi i1
n
(3) | |
对称变换的刻化:
第九章欧几里得空间
1
第九章 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
第九章欧几里得空间
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欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 Q，使 Q T A Q 为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
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(5)1,2, ,n是 标 准 正 交 基 的
(i,j) 1 0,,
当 ij 当 ij
(i,j1,2,
,n)
即 :1 ,2 , ,n 是 标 准 正 交 基 的 是 它 的 度
量 矩 阵 是 单 位 矩 阵 .
(n,n)
与 的 内 积 可 用 矩 阵 表 示 :
(,)XAY
其 中 X和 Y分 别 是 与 在 基 1,2, ,n下 的 坐 标 .
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• n维欧氏空间V的两个基的度量矩 阵是合同的, 且度量矩阵是正定的.
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(4) 标准正交基
由两两正交的单位向量组成的基.
|1
m
m 1 m 1 ( m 1 , i ) i
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m 1
| m1
| m1
(m1,2, ,n1)
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5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的Baidu Nhomakorabea化 :
1) 对 , V , ( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设1 ,2 , ,n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角：,arccos|( |,|)|,0,.
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(3) 度量矩阵
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2) A( aij)nn (2,1) (2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
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2. 基本性质
设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
( 1 )对 于 V ,(,) 0 0 .
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(2)( kii, ljj) kilj(i,j).
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j1
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(3)(,)2(,)(,).即 |(,)| ||||.
等 号 成 立 ,线 性 相 关 .