代数方法 第九章 欧几里得空间

2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积 实际上是定义在线性空间V上的二元实函数.它满足 对称性、线性性、非负性.
注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧 氏空间一般是不同的.
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3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核 心,在标准正交基下,向量的度量性质显得较为简单 . 4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基 出发,先正交化,得正交基,再单位化(即正交化与 单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一 步,将所得的向量单位化(即标准化).
5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标 准正交基来研究欧氏空间中的两类重要的线性变换 -正交变换和对称变换.
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三、例题选讲
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知识脉络图解
对称变换 正交变换 对称矩阵 正交矩阵
实对称阵正交相似 于对角阵
正交变换化实二次 型为标准形
内积 欧氏空间 长度、夹角
与正交 标准正交基 欧氏空间的同构
正交子空间 正交补空间
重点、难点解读
本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念 得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概 念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征 。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简 单，这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握 标准正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交 化方法由一组基求Fra Baidu bibliotek标准正交基。
是W标准正交基，从而
任取
有
也是V
故
是 的不变子空间。
例18、设V 是有限维欧氏空间， 是V 的一个正交
变换，记
显然 与 都是V 的子空间，证明：
证 先证
则
。
且有
所以
再证
是直和。又因为
且
，又
故
欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在
现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标
准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种
具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换
的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的
关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵
Q，使
为对角阵，以及以另一种形式出现的同一
个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。
将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯
一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
一、基本内容
1. 基本概念 (1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角 长度： 距离： 夹角：
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(3) 度量矩阵
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• n维欧氏空间V的两个基的度量矩 阵是合同的, 且度量矩阵是正定的.
(4) 标准正交基 由两两正交的单位向量组成的基.
(5) 正交子空间
(6) 欧氏空间的同构 同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
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2. 基本性质 设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
关于标准正交基, 有: (4) 正交向量组是线性无关的.
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3. 标准正交基下基本度量的表达式
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4. 标准正交基的存在性与正交化方法
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5. 正交变换与正交矩阵
例16、已知 为 维欧氏空间V 的对称变换，求证
：是
的正交补。
证对
，有
，
于是
所以 又因
，故
故
例17、给定 维欧氏空间V 的标准正交基
设 是V 的正交变换，
是 的不变子空
间，证明：V 的子空间
变子空间。
也是 的不
证 根据题设条件知
由于是 的正交变换，所以
的标准正交基。
又 是 的不变子空间，所以
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标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
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6. 对称变换与对称矩阵
主要结论: (1) 对称变换的特征值都是实数. (2) 实对称矩阵的特征值都是实数.
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二、基本解题方法
1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于 线性空间的一些基本概念,比如向量的线性相关性、 基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间 都适用.
代数方法 第九章 欧几 里得空间
2020年4月22日星期三
第九章 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
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• 例5
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• 例8
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