2.10.2利用函数图像解决方程跟与交点问题-学生解析版

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初中数学_方程与函数——交点问题教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_方程与函数——交点问题教学设计学情分析教材分析课后反思

课题中考一轮复习方程与函数----交点问题授课日期课型复习课授课教师教学目标1、理解函数和方程之间的关系,能将函数的图象信息和方程的代数信息相互转化,解决函数的交点问题。

2、能建立函数模型和方程模型解决实际问题,在实际问题中应用体会函数与方程的内在联系。

3、体会数形结合思想的优越性,能运用数形结合思想帮助解决问题。

教学重点运用函数和方程知识解决交点问题,建立数学模型解决实际问题。

教学难点理解方程和函数的关系。

教法学法启发引导合作探究教学设计教学过程师生活动设计意图知识回顾我们学过哪些函数?它们的表达式是什么?共同回忆唤起记忆,使学生进入状态,便与复习典例分析(一)一次函数和一次方程1、一次函数y=2x-6与y轴的交点坐标A ,与 x轴的交点坐标B ,它还经过点(,- 4)2、一次函数y=kx+b的图象如图,则方程kx+b=0的解是。

这个一次函数表达式是3、在同一直角坐标系中,两个一次函数的图象如图所示,则这两个函数图象的交点坐标P是学生动笔计算,独立完成,然后全班交流,并说明方法引导学生总结:如何求函数图象与坐标轴的交点坐标?引导学生总结如何通过典型题的练习、回顾,让学生感受方程和函数之间的联系,并总结有关交点问题的解题方法,感受数形结合的优越性(二)二次函数与二次方程 1、抛物线 y=(x-1)2-4的顶点坐标是 ,与y 轴的交点是 ,与x 轴的交点是 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图,则方程 ax 2+bx+c=0的解是 . 此时,b 2-4ac____03、如图,二次函数 y= -x 2+c 与正比例函数 y =3x 的图象交于两点,则关于x 的一元二次方程 -x 2+c=3x 的解是 (三)中考链接 已知二次函数y=3x 2+c 与正比例函数y =4x 的图象只有一个交点,则c 的值为 。

求两个函数图象的交点坐标, 联立组成方程组或让函数值相等,从而化为二元一次方程组或一元一次方程解决问题学生独立完成,教师提问,引导学生说明解题方法请学生到黑板讲解让学生感受二次函数和二次方程的联系中考链接的题目既是为了巩固所讲学生独立完成,全班交流作法内容,同时也检测一下学生的掌握情况建立数学模型解决实际问题1、甲、乙两人进行赛跑,甲比乙跑得快,现在甲让乙先跑10米,甲再起跑.图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m)与甲跑步的时间x(s)之间的函数关系,其中l1的关系式为y1=8x,问甲追上乙用了多长时间?(2、3题选做一道)2、工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800℃,然后停止煅烧进行锻造操作,经过8分时,材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(分)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(分)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式(2)根据工艺要求,当材料温度低于480℃时,须停止操作.那么锻造的操作时间有多长?学生动笔完成,一名学生扮演并讲解2、3题由学生根据学习情况选做其中一道教师先引导学生分析题意,交流做题方法,然后独立完成,小组交流,全班交流,一名同学扮演。

二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)

二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)

二次函数图像和性质,解析式求法二次函数一.二次函数的概念1.二次函数的定义:一般地,形如 2y ax bx c =++(a b c ,,为常数,0a ≠)的函数称为关于x 的二次函数,其中x 为自变量,y 为因变量,,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征:等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.知识图谱错题回顾知识精讲一.考点:二次函数的概念.二.重难点:二次函数的概念.三.易错点:二次函数的二次项系数不能等于零,一次项系数和常数项都没有限制.题模一:概念例1.1.1 下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A . y=3x ﹣1B . y=ax 2+bx+c C . s=2t 2﹣2t+1 D . y=x 2+例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数,则m 的值是( )A . 1-B . 2C . 1±D . 1例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数,则m 的值是__________.例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1(a ≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b 的值为( ) A . -3 B . -1 C . 2 D . 5随练 1.1 已知函数①54y x =-,②2263t x x =-,③32283y x x =-+,④2318y x =-,⑤2312y x x=-+,其中二次函数的个数为( )随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+,当m =_________时,它是二次函数.随练1.3 中考)抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=____.y=ax^2的图象和性质一.2y ax =的图象与性质三点剖析题模精讲随堂练习知识精讲a 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00,0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a <向下y 轴()00,0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.一.考点:2y ax =的图象与性质.二.重难点:1.2y ax =的图象与性质;2.对于211y a x =和222y a x =,若12a a =,则1y 和2y 的函数图像是全等的.三.易错点:开口大小由a 决定,a 越大,开口越小.题模一:y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P (-2,4),则该图象必经过点( ) A . (2,4) B . (-2,-4) C . (-4,2) D . (4,-2)例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值,则m =__________.例2.1.3 在同一直角坐标系下,画出二次函数2y x =,2y x =-,212y x =-和22y x =的图象.例2.1.4 已知1a <-,点()11,a y -,()2,a y ,()31,a y +都在函数2y x =的图象上,则( ) A . 123y y y << B . 132y y y <<C . 321y y y <<D . 213y y y <<随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ,点B 也在该二次函数图像上,且AB x ∥,则点B 的三点剖析题模精讲随堂练习坐标为( )A . ()3,3-B .()3,3-C .()3,1-D .()1,3-随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值,则m =__________.随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =,212y x =,2y x =的函数图像.y=a (x-h )^2+k 的图象和性质一.()2y a x h k =-+(0a ≠)的图像和性质()2y a x h k =-+(0a ≠)是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式,其中(),h k 为其顶点坐标,x h =为其对称轴.一般式配成顶点式的方法:222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值k .0a <向下 x h =(,)h kx h <时,y 随x 的增大而增大;x h >时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最大值k .二.()2y a x h k =-+(0a ≠)图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位,再向上或向下平移||k 个单位得到的;当0h >时,向右平移,当0h <时,向左平移;0k >时,向上平移,0k <时,向下平移.平移原则:左加右减,上加下减.例如:将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+,向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+;向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±,先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-.知识精讲三点剖析一.考点:()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质,()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换.二.重难点:()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质,平移变换左加右减,上加下减的原则.三.易错点:1.在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向;2.左右平移是针对x ,上下平移是针对y .题模一:y=a (x-h )^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是( ) A . ()2,3- B . ()2,3 C . ()2,3-- D . ()2,3-例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式,则h k +结果为( ) A . 5- B . 5C . 3D . 3-例3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ,()22,B y ,()35,C y ,则1y 、2y 、3y 的大小关系为( )A . 123y y y >>B . 213y y y >>C . 312y y y >>D . 321y y y >>题模二:y=a (x-h )^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的,下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是( )A . 先向右平移2个单位,再向上平移1个单位B . 先向右平移2个单位,再向下平移1个单位C . 先向左平移2个单位,再向上平移1个单位D . 先向左平移2个单位,再向下平移1个单位随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+,下列说法正确的是( )A . 开口向下,顶点坐标()5,3B . 开口向上,顶点坐标()5,3 C . 开口向下,顶点坐标()5,3-D . 开口向上,顶点坐标()5,3-随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式,结果为( ) A . 22(2)1y x =-- B . 22(4)32y x =-+ C . 22(2)9y x =-- D . 22(4)33y x =--题模精讲随堂练习随练3.3 设A (-2,y 1),B (1,y 2),C (2,y 3)是抛物线y=-(x+1)2+a 上的三点,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A . y 1>y 2>y 3 B . y 1>y 3>y 2 C . y 3>y 2>y 1 D . y 3>y 1>y 2随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-,平移的方法是( ) A . 向左平移1个单位,再向下平移2个单位 B . 向右平移1个单位,再向下平移2个单位 C . 向左平移1个单位,再向上平移2个单位 D . 向右平移1个单位,再向上平移2个单位随练3.5 在平面直角坐标系中,如果抛物线221y x =+不动,而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )A . ()2223y x =-+ B . ()2221y x =-- C . ()2221y x =+-D . ()2223y x =++y=a^2+bx+c 的图象和性质一.2y ax bx c =++的图象及性质:a 的符号图象 开口方向对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时,y 随x 的增大而增大;2b x a<-时,y 随x 的增大而减小;2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -. 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a<-时,y 随x 的增大而增大;2b x a>-时,y 随x 的增大而减小;2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -. 二.二次函数2y ax bx c =++图象的画法:1.五点绘图法:利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+,一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).2.画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与y 轴的交点,与x 轴的交点.一.考点:2y ax bx c =++的图象和性质.知识精讲三点剖析二.重难点:2y ax bx c =++的图象和性质,参数对图像的影响.三.易错点:利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像.题模一:y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=(x ﹣h )2+1(h 为常数),在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( ) A . 1或﹣5 B . ﹣1或5 C . 1或﹣3 D . 1或3例4.1.2 点P 1(﹣1,y 1),P 2(3,y 2),P 3(5,y 3)均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ) A . y 3>y 2>y 1 B . y 3>y 1=y 2 C . y 1>y 2>y 3 D . y 1=y 2>y 3例4.1.3 二次函数y=﹣(x ﹣1)2+5,当m ≤x ≤n 且mn <0时,y 的最小值为2m ,最大值为2n ,则m+n 的值为( ) A .B . 2C .D .例4.1.4 阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1x m ≤≤,求二次函数267y x x =-+的最大值.他画图研究后发现,1x =和5x =时的函数值相等,于是他认为需要对m 进行分类讨论. 他的解答过程如下:∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =,∴由对称性可知,1x =和5x =时的函数值相等. ∴若15m ≤<,则1x =时,y 的最大值为2;若5m ≥,则x m =时,y 的最大值为267m m -+. 请你参考小明的思路,解答下列问题:(1)当24x -≤≤时,二次函数2241y x x =++的最大值为_______; (2)若2p x ≤≤,求二次函数2241y x x =++的最大值;(3)若2t x t ≤≤+时,二次函数2241y x x =++的最大值为31,则t 的值为_______.题模二:参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论:①b <0,c >0;②a+b+c <0;③方程的两根之和大于0;④a ﹣b+c <0,其中正确的个数是( )题模精讲A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个例4.2.2 一次函数y=ax+b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A .B . C. D .例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,求a 的取值范围.随练4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,314C y ⎛⎫⎪⎝⎭,为二次函数245y x x =+-的图象上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系是( ) A . 123y y y << B . 213y y y << C . 312y y y << D . 132y y y <<随练4.2 y=x 2+(1-a )x+1是关于x 的二次函数,当x 的取值范围是1≤x ≤3时,y 在x=1时取得最大值,则实数a 的取值范围是( ) A . a ≤-5 B . a ≥5 C . a=3 D . a ≥3随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,有以下结论:①abc >0;②4ac <b 2;③2a+b=0;④a ﹣b+c >2.其中正确的结论的个数是( )O y x11随堂练习A . 1B . 2C . 3D . 4随练4.4在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-(m 是常数,且0m ≠)的图像可能是( )A . A 图B . B 图C . C 图D . D 图随练4.5 如图,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-,下列5个结论:①0abc >;②240a b c ++=;③20a b ->;④320b c +>;⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________.(注:只填写正确结论的序号)随练4.6 已知函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象,如图所示.求证:()22a c b +<.二次函数解析式的求法一.二次函数的解析式1. 一般式:()20y ax bx c a =++≠;2. 顶点式:()2y a x h k =-+()0a ≠;3. 两根式(交点式):()()()120y a x x x x a =--≠(1x ,2x 是方程0y =的两个解).二.如何设解析式1. 已知任意3点坐标,可用一般式求解二次函数解析式;2. 已知顶点坐标或对称轴时,可用顶点式求解二次函数解析式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式;4. 已知抛物线经过两点,且这两点的纵坐标相等时,可用对称点式求解函数解析式(交点式可视为对称点式的特例).一.考点:二次函数解析式的求法.二.重难点:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.三.易错点:顶点式中符号容易代错,例如顶点为()1,3-,错把解析式设为()213y a x =-+.题模一:待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ,()4,3B ,()1,0C .(1)填空:抛物线的对称轴为直线x = ,抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ; (2)求该抛物线的解析式. 题模二:顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式,则h k +结果为( ) A . 5-B . 5C . 3D . 3-x =1y xO知识精讲三点剖析题模精讲例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A (2,1),且经过点B (1,0),则抛物线的函数关系式为____.题模三:两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根,且抛物线过点()2,8,求二次函数的解析式.例5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-,()8,6-两点其顶点的纵坐标是2,求这个抛物线的解析式.随练5.1 已知一个二次函数过()0,0,()1,11-,()1,9三点,求二次函数的解析式.随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式,结果为( ) A . ()225y x =++ B . ()225y x =+- C . ()225y x =-+ D . ()225y x =--随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.随练5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是____.随练5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ,且顶点到x 轴的距离为1,求抛物线的解析式.二次函数与一元二次方程一.二次函数与x 轴交点1.抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2.平行于x 轴的直线与抛物线的交点:可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3.抛物线与x 轴两交点之间的距离.若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ,,()20B x ,,由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根,故1212b cx x x x a a+=-⋅=,: 随堂练习知识精讲()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二.二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表(以0a >为例):判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一.考点:二次函数与x 轴交点问题,利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题.二.重难点:1.二次函数与x 轴交点问题即当0y =时,转化为一元二次方程20ax bx c ++=;2.在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析.三.易错点:利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向,然后再结合函数的增减性,对称轴的位置,函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况.题模一:一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点,那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m 、n (m <n )是关于x 的方程1-(x-a )(x-b )=0的两根,且a <b ,则a 、b 、m 、n 的大小关系是( ) A . m <a <b <n B . a <m <n <b C . a <m <b <n D . m <a <n <b例6.1.2 求实数a 的取值范围,使关于x 的方程()221260x a x a -=+++. (1)有两个实根12x x 、,且满足1204x x <<<;(2)至少有一个正根.题模二:二次函数与x 轴交点三点剖析题模精讲例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点,则m 的取值范围是( ) A . m <2 B . m >2 C . 0<m ≤2 D . m <﹣2例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=(1)求证:无论m 取任何实数时,方程恒有实数根.(2)若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时,求二次函数的表达式.随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=.(1)讨论此方程根的情况;(2)若方程有两个整数根,求正整数k 的值;(3)若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3,求k 的值.随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点,则m 的取值范围是( )A . 14m <B . 124m m <≠--且C . 14m <-D . 124m m <≠-且随练6.3 如图,平面直角坐标系中,点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点,且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点,则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是( )A . 0或2B . 0或1C . 1或2D . 0,1或2随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时,关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2,另一个根大于4而小于6.随堂练习自我总结作业1 下列函数是二次函数的是( ) A . 21y x =+B . 21y x =-+C .22y x =+ D . 2122y x x =-作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8,那么对应的x 的值是( ) A . 3B . 5C . 35-和D . 35-和作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++,当m 是什么数时,函数是二次函数?作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ,点A 与点'A 关于y 轴对称,则点'A ( ) A . 在2y ax =图像上B . 不在2y ax =图像上C . 不确定是否在2y ax =图像上D . 以上说法都不对作业5 已知点()11,y -,()22,y -,()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上,则( )A . 123y y y <<B . 132y y y <<C . 321y y y <<D . 213y y y <<作业6 若二次函数2y ax =有最大值,则21y ax =+有__________值(填最大或最小),且为__________.作业7 在同一直角坐标系中画出二次函数2y x =-,212y x =-,2y x =,212y x =的图像,并简单说明图像之间的规律.课后作业作业8 对于()2232y x =++的图象下列叙述错误的是( ) A . 顶点坐标为()3,2-B . 对称轴为3x =-C . 当3x <-时y 随x 增大而减小D . 函数有最大值为2作业9 抛物线()223y x =-+-的顶点坐标是( ) A . ()2,3- B . ()2,3- C .()2,3 D .()2,3--作业10 若二次函数22y x x c =++配方后为2()7y x h =++,则c 、h 的值分别为( )A . 8、-1B . 8、1C . 6、-1D . 6、1作业11 已知二次函数()23y a x b =--和()25y b x a =+-分别有最大值、最小值,则这两个二次函数的图像有 个交点.作业12 将抛物线23y x =向_______平移________个单位,再向_______平移________个单位,就能得到抛物线()2335y x =+-.作业13 已知抛物线241y x x =-+.(1)用配方法将241y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式;(2)将此抛物线向右平移1个单位,再向上平移2个单位,求平移后所得抛物线的解析式.作业14 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ,,,,,.若点()12M y -,,()21N y -,,()38K y ,也在二次函数2y ax bx c =++的图象上,则下列结论正确的是( ) A . 123y y y << B . 213y y y <<C . 312y y y <<D . 132y y y <<作业15 二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ,另一个交点为B ,与y 轴交于点C .(1)求()()231421m m m +-+的值及点B 、点C 的坐标; (2)直接写出当0y >时,x 的取值范围; (3)直接写出当12x -≤≤时,y 的取值范围.作业16 设23y x ax a =++-,(1)当x 取任意实数时,y 恒为非负数,求a 的取值范围;(2)当22x -≤≤时,y 的值恒为非负数,求实数a 的取值范围.作业17 在同一坐标系中,一次函数y ax b =+与二次函数2y bx a =+的图象可能是( )A . A 图B . B 图C . C 图D . D 图作业18 小明从二次函数2y ax bx c =++的图象(如图)中观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->.你认为其中正确的信息是( )A . ②③④⑤B . ①②③④C . ①③④⑤D . ①②③⑤作业19 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示.(1)确定a 、b 、c 的符号; (2)求a b c ++的取值范围.作业20 如果抛物线2y ax bx c =++经过点()1,12-,()0,5和()2,3-,则a b c ++的值为( )A . 4-B . 2-C . 0D . 1作业21 已知二次函数图象经过点()1,3A ,()0,2B ,()5,3C 三点,求此二次函数解析式.作业22 把二次函数243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式,其结果是( ) A . ()221y x =-- B . ()221y x =+- C . ()227y x =-+ D . ()227y x =++作业23 已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0和()5,0-两点,顶点纵坐标为92,求这个二次函数的解析式.作业24 已知二次函数的图象经过原点及点(-12,-14),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,求该二次函数的解析式.作业25 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()2,0、()4,0,顶点到x 轴的距离为3,求函数的解析式.作业26 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图,方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <,则两实根满足( )A . 1213x x <<<B . 1213x x <<<C . 1213x x <<<D . 1201,34x x <<<<作业27 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大,另一根比1-小,试确定实数a 的范围.作业28 已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为1x a =,2x b = ()a b <,则二次函数2y x mx n =++中,当0y <时,x 的取值范围是( ) A . x a < B . x b >C . a x b <<D . x a <或x b >作业29 已知关于x 的一元二次方程()231230mx m x m -+++=.(1)如果该方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数,且4x <时,求m 的整数值.yxO 21 3。

高中数学-函数的交点问题及例题解析

高中数学-函数的交点问题及例题解析

高中数学-函数的交点问题及例题解析函数的交点问题是高中数学中的重要概念之一。

交点是指两个函数图像相交的点,这些点的坐标可以用于求解关于函数的各种问题。

本文将对函数的交点问题进行解析,并提供几个例子来帮助理解。

交点的定义函数的交点是指两个函数图像在坐标平面上相交的点。

它们的坐标可以表示为$(x, y)$,其中$x$为横坐标,$y$为纵坐标。

解析交点的方法要求解函数的交点,可以使用以下几种方法:1. 图像法:将两个函数的图像绘制在坐标平面上,通过观察交点的位置来确定其坐标。

2. 代数法:将两个函数表示为方程,然后通过联立方程组的方法求解交点的坐标。

3. 近似法:使用数值方法(如迭代法、二分法等)求解交点的近似值。

例题解析下面是几个例题的解析:例题1已知函数$f(x) = 2x + 3$和$g(x) = x^2 - 1$,求解它们的交点坐标。

解析:首先,将两个函数表示为方程:$2x + 3 = x^2 - 1$。

然后,可以将方程变形为二次方程:$x^2 - 2x - 4 = 0$。

通过求解这个二次方程,可以得到两个交点的横坐标:$x_1 = -1$,$x_2 = 4$。

将横坐标代入任意一个方程中,可以求得相应的纵坐标:$y_1 = 1$,$y_2 = 11$。

所以,交点的坐标分别为$(-1, 1)$和$(4, 11)$。

例题2已知函数$h(x) = \sin(x)$和$k(x) = \cos(x)$,求解它们的交点坐标。

解析:观察函数$h(x)$和$k(x)$的图像可以发现它们是周期性的函数,并且在$x = \frac{\pi}{4}$和$x = \frac{5\pi}{4}$两个点相交。

所以,交点的坐标分别为$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$和$\left(\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

2024年中考数学复习课件---微专题3 函数的交点问题

2024年中考数学复习课件---微专题3 函数的交点问题
实数a的取值范围是

≤a≤3

.
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微专题3 函数的交点问题
返回类型清单
8.二次函数y=-x2+2x+m与线段y=x+1(-2≤x≤2)有两个交点,则m

的取值范围为 <m≤3
.

9.在平面直角坐标系xOy中,已知点P


,−


,Q(2,2).若抛物线

2
y=ax -2ax- 与线段PQ恰有一个公共点,则a的取值范围是
坐标.
(1)k不变,b变化时,图象沿y轴平移.
(2)通过图象平移变换,可知线段两个端点为临界点.
(3)求出过临界点时b的值,有交点,则取值范围在两个b值之间;无交
点,则取值范围在两个b值之外.
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微专题3 函数的交点问题
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对应练习
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),
点B(3,2),若直线y=x+a与线段AB没有公
类型三
返回类型清单
二次函数与线段的交点问题
方法指导
(1)当二次项系数确定,顶点的横坐标确定时,抛物线沿对称轴上下
平移,需要确定三个临界点,即两端点及抛物线与线段所在直线只有
一个交点时字母的值,再通过数形结合确定字母的范围.
(2)当二次项系数确定,顶点的纵坐标确定时,抛物线在平行于x轴的
直线上平移,需确定两个临界点,即抛物线过两端点时对应的字母的
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微专题3 函数的交点问题
返回类型清单
3.如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点
坐标为A(-2,4),B(4,2),直线y=kx-2(k≠0)

函数交点问题解决方法

函数交点问题解决方法

函数交点问题解决方法函数交点问题解决方法函数是高中数学中重要的概念,是解决各种问题的基本工具之一。

函数交点问题是指两个或多个函数在某一点或某些点上的值相等的情况。

在实际应用中,经常会遇到这种情况,如求解方程组、求解最值等问题。

本文将针对函数交点问题提供一些解决方法。

1.图像法这是一种较为直观的方法,通过函数的图像找到其交点。

方法是将两个函数的图像绘制在同一坐标系中,并观察它们的交点。

这种方法常用于简单的函数交点问题,如求解 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 的交点。

2. 代数法这是一种更为通用的方法,适用于任何函数交点问题。

方法是将两个函数表示成一个等式,然后解方程求解。

例如,求解 $y=x^2$ 和$y=2x$ 的交点,可将两个函数表示成一个等式 $x^2=2x$,然后通过移项等操作得到 $x=0$ 或 $x=2$,再带入其中一个函数得到相应的$y$ 值,即可得到两个交点 $(0,0)$ 和 $(2,4)$。

3.导数法当函数无法直接表示成等式时,导数法是一种有效的方法。

方法是求出两个函数的导数,并令它们相等,以求得交点。

例如,求解$y=\sqrt{x}$ 和 $y=\ln x$ 的交点,可分别求出两个函数的导数$y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 和 $y'=\frac{1}{x}$,让它们相等,即$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{x}$,解得 $x=4$,再带入任意一个函数得到 $y=2$,即可得到交点 $(4,2)$。

4.数值法数值法是一种近似求解的方法,适用于函数无法直接表示成等式、导数求解较为困难或者无解析形式的函数。

方法是通过数值计算得到两个函数在某些点上的值,然后比较它们的大小,找到最接近的两个值即为交点的近似值。

数值法的精度取决于计算精度和选择的计算方法,一般而言,应尽量选择较为精确的方法,如二分法、牛顿迭代法等。

函数交点问题是高中数学中常见的问题,也是解决各种实际问题的基础。

方程的根与图像的交点问题

方程的根与图像的交点问题

方程的根与图像的交点问题一、利用图像法解决方程根的个数问题一般情况,对于方程()()f x g x =的根的个数问题,都可以转化为函数()y f x =的图像与()y g x =的图像的交点的个数问题。

例1:已知函数()||,f x x =⎪⎩||1||1x x ≤>,若方程()f x a =有且只有一个实根,则实数应满足.0A a < .01B a ≤<.1C a = .1D a >解析:作出函数图像,观察即知,只有当1a =时,直线y a =与()y f x =的图像只有一个交点。

例2:已知方程2|43|0x x m -++=有四个实根,求m 得取值范围。

解析:问题可以转化为2()|43|f x x x =-+与()g x m =-的图像交点问题分别作出()y f x =,()y g x =的图像要使方程有四个实根,则须直线y m =-与()f x 的图像有四个交点,观察即知,01m <-<,10m ∴-<<例3:已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的周期函数,且当[0,2]x ∈时,()1|1|f x x =--,则方程()lg f x x =的根有______________个。

解析:作图,观察可得我们所要的结果。

答案:9二、利用导数发解决方程根的问题判断方程根的问题时大多采用图像法,但是采用图像法,对作图准确性要求较高,往往会由于作图误差而出错,特别是当函数图像并不容易画得时候,我们可以有另外的转化,如:解决方程()()f x g x =的根的个数问题时,可以构造函数()()()F x f x g x =-,此时,问题可以转化为函数()y F x =的图像与x 轴交点个数问题,再依据()F x 的单调性和某些特殊点的位置来判断。

例4:若方程221ln(1)2x x k =++有四个不同的实根,则实数的取值范围为________ 解析:令221()ln(1)2F x x x k =-+- ()x R ∈ 222(1)(1)()11xx x x F x x x x +-'=-=++令()0F x '>得10x -<<或1x >令()0F x '>得1x <-或01x <<所以()F x 在(,1)-∞-及(0,1)上单调减,在(1,0)-及(1,)+∞上单调增∴原方程有四个实根(1)0(0)0(1)0F F F -<⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩即1ln 20201ln 202k k k ⎧--<⎪⎪->⎨⎪⎪--<⎩ 解得1ln 202k -<< ∴K 的取值范围为1(ln 2,0)2-例5:已知函数2()8,()6ln f x x x g x x m =-+=+,若()y f x =与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点,试确定m 的取值范围。

专题10 二次函数交点综合(知识解读)(学生版)

专题10  二次函数交点综合(知识解读)(学生版)

专题10二次函数交点综合(知识解读)【专题说明】二次函数交点问题主要会涉及到与水平直线、竖直直线、一次函数的交点问题,会考察交点坐标的求法、交点个数的分类讨论,对于计算的要求非常高,特别考验学生平时的基本功~比较难的题型还会结合二次函数的几何变化,题目中会将二次函数的图象的一部分沿x轴或者y轴进行对称,得到新的函数图象,再去研究直线与新图像的交点个数。

因为会涉及到一次函数与二次函数的交点问题,所以对于学生不仅要对二次函数的知识点掌握的比较好,而且也要对于一次函数能够熟练应用。

经常会涉及到一次函数旋转、平移两种形式的交点问题,这部分知识点对于不少学生也有很大压力。

【典例1】(2021秋•西城区校级期中)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+m+1,顶点为D,点A(﹣2,1),B(0,1).(1)求顶点D的坐标(用m表示);(2)若二次函数图象与x轴有交点,求m的取值范围;(3)若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点,求m的取值范围.【变式1-1】(2021•广州)已知抛物线y=x2﹣(m+1)x+2m+3.(1)当m=0时,请判断点(2,4)是否在该抛物线上;(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动,当顶点移动到最高处时,求该抛物线的顶点坐标;(3)已知点E(﹣1,﹣1)、F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点,求该抛物线顶点横坐标的取值范围.【变式1-2】(2022•西华县三模)已知抛物线y=mx2+nx+5m交y轴于点M,其对称轴在y轴右侧,N是抛物线上一点,且MN∥x轴,MN=6.(1)抛物线y=mx2+nx+5m的对称轴是直线;(2)用含m的代数式表示n;(3)已知点P(2,0)和Q(6,8m﹣2),当抛物线y=mx2+nx+5m与线段PQ有一个交点时,求m 的取值范围.【变式1-3】(2022秋•南关区校级月考)设二次函数y=x2﹣2(m+1)x+3﹣m,其中m是实数.(1)若函数的图象经过点(1,﹣1),①求此函数的表达式;②当0≤x≤t时,﹣2≤y≤2,直接写出t的取值范围.(2)若﹣2≤x≤2,二次函数y=x2﹣2(m+1)x+3﹣m的最小值为1,求m的值.(3)已知A(﹣1,3),B(2,3),若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点(不包括A,B 两个端点),直接写出m的取值范围.【典例2】(2022•广西)已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求点A,点B的坐标;(2)如图,过点A的直线l:y=﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称轴上的一点,连接PA,PC,设点P的纵坐标为m,当PA=PC时,求m的值;(3)将线段AB先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段MN,若抛物线y =a(﹣x2+2x+3)(a≠0)与线段MN只有一个交点,请直接写出a的取值范围.【变式2-1】(2022•河南模拟)如图,已知抛物线y=x2+bx+c分别交x轴、y轴于点A(﹣1,0),C(0,﹣3),连接AC.(1)求该抛物线的解析式.(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上两点,当x1≤﹣2,m≤x2≤m+1时,均有y1≥y2,求m的取值范围.(3)将该抛物线向左平移n(n>0)个单位长度后,得到的新抛物线与线段AC只有一个交点,请直接写出n的取值范围.【变式2-2】(2022•开封一模)已知抛物线y=x2+bx+c的图象开口向上,且经过点A(0,3),B (,).(1)求抛物线的解析式.(2)用配方法求出抛物线的顶点和对称轴.(3)若点C与点A关于此抛物线的对称轴对称,点D在抛物线上,且横坐标为4,记抛物线在点A,D之间的部分(含点A,D)为图象M,若图象M向下平移t(t>0)个单位长度时与直线BC只有一个交点,求t的取值范围.【变式2-3】(2022•商水县二模)直线y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点B;抛物线y=x2+bx+c 经过点A、点B.(1)求该抛物线的解析式.(2)根据图象直接写出x2+bx>x﹣c﹣3的解集;(3)将点B向右平移4个单位长度得到C,若抛物线y=x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点,求m的取值范围.。

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(知识串讲+7大考点)(解析版)

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(知识串讲+7大考点)(解析版)

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲(一)二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况有两个不相等的实数根b2-4ac>0b2-4ac=0有两个相等的实数根无实数根b2-4ac<0(二)利用函数图像解不等式考点训练考点1:求抛物线与x轴的交点典例1:(2022秋·九年级单元测试)已知函数y=x2―6x+5的部分图象(如图),满足y<0的x的取值范围是____.【答案】1<x<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标,再根据图象即可求解.【详解】解:由y=x2―6x+5,当x=0时,x2―6x+5=0解得:x1=1,x2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1,5,∵该抛物线的开口向上,∴当y<0时,x的取值范围是1<x<5,故答案为:1<x<5.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,从图象中获取相关信息是解决本题的关键.【变式1】(2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2―2x―3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,P是二次函数图象上位于x轴上方的一点,且S△APC=S△APB.(1)点C的坐标为__________.(2)点P的坐标为__________.【答案】(0,―3)(4,5)【分析】(1)因为与y轴交于点C,所以横坐标为0,代入后即可得到纵坐标;(2)先让纵坐标为0,求出点A,B的横坐标,进而求出直线BC的表达式,再依据S△APC=S△APB,求出直线AP的表达式,再联立方程组,得到点P的坐标,注意两个答案排除一个.【详解】(1)∵y=x2―2x―3与y轴交于点C∴当x=0时,y=―3∴C(0,―3)故填:(0,―3).(2)∵因为y=x2―2x―3与x轴交于点A,B∴当y=0时,x2―2x―3=0∴x1=3,x2=―1∴A(―1,0),B(3,0)∵C(0,―3),B(3,0),设直线BC为y=kx+b∴b=―3 3k+b=0∴b=―3 k=1∴直线BC为y=x―3∵S△APC=S△APB∴AP∥BC∴设直线AP为y=x+m ∵A(―1,0)∴直线AP为y=x+1∵解方程组y=x2―2x―3y=x+1得,x=―1y=0或x=4y=5∴P(―1,0)(舍去),P(4,5)故填:(4,5).【点睛】本题考查了二次函数与两坐标轴交点坐标的求法,待定系数法,利用坐标求三角形面积等,解题时要应用数形结合思想.【变式2】(2022秋·九年级单元测试)抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是____.【答案】(3,0),(―2,0)【分析】令y=0,解关于x的一元二次方程,即可得到答案;【详解】解:令y=0,则:(x―3)(x+2)=0解得:x1=3,x2=―2∴抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是(3,0),(―2,0);故答案为:(3,0),(―2,0).【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题,解题的关键在于能够熟知二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)与x轴交点的横坐标是令y=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的解.【变式3】(2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习)将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____.【答案】6【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为y=x2―9,令x2―9=0,求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标,进而可得答案.【详解】解:将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后其解析式为y=x2―9,当x2―9=0时,解得:x1=―3,x2=3,∴抛物线y=x2―9与x轴的交点为―3,0,3,0,∴抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6,故答案为:6.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律:左加右减,上加下减.考点2:求抛物线与y轴的交点典例2:(2023·上海·一模)抛物线y=―x2―3x+3与y轴交点的坐标为____.【答案】(0,3)【分析】把x=0代入抛物线y=―x2―3x+3,即得抛物线y=―x2―3x+3与y轴的交点.【详解】解:∵当x=0时,抛物线y=―x2―3x+3与y轴相交,∴把x=0代入y=―x2―3x+3,求得y=3,∴抛物线y=―x2+3x―3与y轴的交点坐标为(0,3).故答案为:(0,3).【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,比较简单,掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键.【变式1】(2023·上海·一模)抛物线y=(x+1)2―2与y轴的交点坐标是_________.【答案】(0,―1)【分析】求出x=0时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标.【详解】解:当x=0时,y=(x+1)2―2=1―2=―1,所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,―1),故答案为:(0,―1).【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键.【变式2】(2022秋·浙江温州·九年级校考期中)如图,是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”.已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点,AB是半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2+b,若AB长为4,则图中CD的长为______.故答案为:(0,3);(2,―1)【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标,二次函数的图像与性质,明确抛物线与y轴的交点的横坐标为0与将抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键.考点3:由函数值求自变量x的值【答案】―2+22或5【答案】4【分析】先求得点C的坐标,然后由标代入函数解析式求得m【详解】解:当x=0时,【答案】2【分析】根据题意,将y=4分别代入进而即可求得BC的长.【详解】解:∵x≥0,则y y【答案】x1=―3,x2=1【分析】利用图象法即可解决问题,方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标.【详解】解:由图象可知,关于x的方程ax2―bx―c=0的解,就是抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=bx+ c(b≠0)的两个交点坐标分别为A(﹣3,6),B(1,3)的横坐标,即x1=―3,x2=1.故答案为:x1=―3,x2=1.【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会利用图象法解决实际问题.【变式2】(2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习)设一元二次方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根分别为α、β且α<β,则α、β满足_____.【答案】α<―1且β>3【分析】方程的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标,然后画出导致图象可确定正确选项.【详解】方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标,而抛物线y=(x+1)(x―3)与x轴的交点坐标为―1,0和3,0,如图,典例5:(2022春·全国·九年级专题练习)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A (―3,―6),B(1,―2),则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为__________.【答案】―3<x<1【答案】―1<x<4/4>x>―【分析】观察图象,当抛物线位于直线的下方时,即可求得【详解】解:由图象知,当―1故答案为:―1<x<4.【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象,数形结合是关键.(1)二次函数y=ax2+bx+(2)不等式ax2+bx+c≥0的解集是)【答案】(―1,―43【分析】(1)根据抛物线的对称轴和抛物线过点范围即可.【详解】解:∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=―1,与x轴的一个交点坐标为(3,0),∴与x轴的另一个交点坐标为(―5,0),∴y>0时,x的取值范围为:―5<x<3,故答案为:―5<x<3.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质,解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标,难度不大.考点6:利用不等式求自变量、函数值的范围【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标,再利用二次函数的增减性即可得出结论.【详解】解:∵y=x2+2x―3=(x+1)2―4,∴该抛物线的对称轴为直线x=―1,当x=―3时,y=9―6―3=0,当x=―1时,最小值为y=―4,当y=1时,y=1+2―3=0,∴―4≤y<0,故答案为:―4≤y<0.【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值,关键是要牢记抛物线的对称轴的公式,理解抛物线的增减性.考点7:抛物线与x轴的交点问题【答案】49【分析】过点C作CD⊥x轴于点=4,设点A的坐标为(m,0),则式和顶点式,即可求解.【详解】解:过点C作CD⊥x轴于点∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与AB=3,∴AD=BD=12∵AC=5,∴CD=AC2―AD2=4,设点A的坐标为(m,0),则B(m同步过关一、单选题1.(2023·安徽·九年级专题练习)已知二次函数y=(k﹣2)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k≥3B.k<3C.k≤3且k≠2D.k<2【答案】C【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解,根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.【详解】解:∵二次函数y=(k﹣2)x2+2x+1的图象与x轴有交点,∴一元二次方程(k﹣2)x2+2x+1=0有解,∴k―2≠0△=22―4(k―2)=12―4k⩾0,解得:k≤3且k≠2.故选C.【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组,根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.2.(2022·浙江·九年级专题练习)二次函数y=x2-x-12与y轴的交点坐标为()A.-3,0B.6,0C.0,-12D.2,16【答案】C【分析】图象与y轴相交则x=0,代入得到y的值,即可解答.【详解】解:由图象与y轴相交则x=0,代入得:y=-12,∴与y轴交点坐标是0,-12;故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,图象上点的坐标适合解析式.3.(2022秋·山东枣庄·九年级统考期末)抛物线y=x2+x―2与y轴的交点坐标是()A.(0,2)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(-2,0)、(1,0)【答案】B【分析】令x=0,求出y的值即可.【详解】解:令x=0,则y=−2,∴抛物线y=x2+x−2与y轴的交点坐标是(0,−2).故选:B.【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点,熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键.4.(2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(﹣2,0),(5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解是( )A.x1=﹣2,x2=5B.x1=2,x2=﹣5C.x1=﹣2,x2=﹣5D.x1=2,x2=5∵抛物线与y轴的交点为(∴当y=3时x的值为0∴当函数值y<3时,0<故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的性质,解题的关键是根据对称轴和与【详解】当x=0时,y=2×(0―1)×(0―m―3)=2m+6,∵函数图像与y轴的交点坐标是(0,2m+6).∵该函数图象与y轴交点在x轴上方,∴2m+6>0,∴m>―3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数与坐标轴的交点问题,熟练掌握二次函数的图像与与坐标轴的交点是解答本题的关键.13.(2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习)已知函数与x轴交点是(m,0),(n,0),则的值是()A.2013B.2014C.2015D.2023【答案】B【详解】试题分析:∵抛物线与x轴的交点为(m,0),(n,0),∴,且m,n是一元二次方程的两个根∴.故选B考点:抛物线与x轴的交点点评:本题考查了抛物线与x轴的交点,揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义14.(2023·山东临沂·统考模拟预测)关于x的二次函数y=x2+2kx+k﹣1,下列说法正确的是( )A.对任意实数k,函数图象与x轴都没有交点B.对任意实数k,函数图象没有唯一的定点C.对任意实数k,函数图象的顶点在抛物线y=﹣x2﹣x﹣1上运动D.对任意实数k,当x≥﹣k﹣1时,函数y的值都随x的增大而增大二、填空题16.(2023·全国·九年级专题练习)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(―4,―1)、B(0,2)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______.【答案】―4<x<0【分析】根据图象,写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.【详解】由图象可知,当―4<x<0时,抛物线在直线的上方,∴关于x的不等式ax2+b+c>kx+m的解集是―4<x<0,故答案为:―4<x<0.【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系,主要利用了数形结合的思想,解题关键在于对图象的理解,题目中的不等式的含义为:二次函数的图象在一次函数图象上方时,自变量x的取值范围.17.(2023秋·北京海淀·九年级期末)如果二次函数y=mx2―2mx―3m的图象与y轴的交点为(0,3),那么m=______________.【答案】-1【分析】把(0,3)代入函数解析式即可求出m的值.【详解】解:把(0,3)代入y=mx2―2mx―3m得,3=―3m,解得m=―1,故答案为:-1.【点睛】本题考查了二次函数的性质,解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值.18.(2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习)若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴有两个公共点,则m的取值范围是________.【答案】m<9【分析】根据抛物线y=x2﹣6x+m与x轴有两个公共点,可知b2﹣4ac>0,从而可以求得m的取值范围.【详解】解:∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴有两个公共点,∴Δ=b2―4ac=(﹣6)2﹣4m>0,解得:m<9,故答案为:m<9.【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题,解题的关键是明确题意,熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系.抛物线与x轴交点个数由Δ决定:当Δ=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;当Δ=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.19.(2022秋·九年级单元测试)如果抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限,那么k的值可以是______.(只需写一个)【答案】k=2(答案不唯一)【分析】抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限,可得抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点,可得4+k≥0,从而可得答案.【详解】解:∵抛物线y=(x―2)2+k的开口向上,又不经过第三象限,∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点,而当x=0时,y=4+k,∴4+k≥0,解得:k≥―4,所以当k=2时,符合题意,故答案为:k=2(答案不唯一)【点睛】本题考查的是抛物线的性质,掌握“抛物线与y轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键. 20.(2023秋·九年级单元测试)二次函数y=x2+x―2与x轴交于点________,与y轴交于点________.(填点的坐标)【答案】(―2, 0)(1, 0),(0, ―2)【分析】根据抛物线与x轴的交点问题,通过解方程x2+x−2=0可得到二次函数图象与x轴的交点坐标,然后计算自变量为0时的函数值可确定二次函数图象与y轴的交点坐标.【详解】当y=0时,x2+x−2=0,解得x1=−2,x2=1,则二次函数图象与x轴的交点坐标为(−2,0),(1,0);当x=0时,y=x2+x−2=−2,则二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,−2).故答案为(−2,0),(1,0);(0,−2).【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解决本题的关键.21.(2022秋·北京顺义·九年级统考期末)若抛物线y=x2―2x+k―1与x轴有交点,则k的取值范围是令y=0,则x2+4x―12=0,解得,x1=―6,x2=2,∵图象与x轴的一个交点坐标是(2,0),∴它与x轴的另一个交点坐标是(―6,0),故答案为:(―6,0).【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标,正确理解交点坐标的特征是解题关键,另外,此题还可以运用韦达定理求解.三、解答题26.(2022春·九年级课时练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的根;(2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集;(3)若方程ax2+bx+c=k无实数根,写出k的取值范围.【答案】(1)x1=0,x2=2;(2)x<0或x>2;(3)k>2【分析】(1)找到抛物线与x轴的交点,即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)找出抛物线在x轴下方时,x的取值范围即可;(3)根据图象可以看出k取值范围.【详解】解:(1)观察图象可知,方程ax2+bx+c=0的根,即为抛物线与x轴交点的横坐标,∴x1=0,x2=2.(2)观察图象可知:不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2.(3)由图象可知,k>2时,方程ax2+bx+c=k无实数根.【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系,求方程ax2+bx+c=0的两个根,即为抛物线与x轴的交点的横坐标;判断y>0,y=0,y<0时,x的取值范围,要结合开口方向,图象与x轴的交点而定;方程ax2+bx+c=k有无实数根,看顶点坐标的纵坐标即可.(1)求a的值和该抛物线顶点(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线经过原点,并写出平移后抛物线的解析式.【答案】(1)a=1,P【分析】(1)把C(5,4(2)根据原点坐标(0,【详解】(1)把C(5,42-5x+4=(x―29.(2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习)如图,已知抛物线y=x2与直线y=―x+2交于A、B两点.(1)求交点A、B的坐标;(2)直接写出不等式x2≤―x+2的解集.【答案】(1)A―2,4,B1,1(2)―2≤x≤1【分析】(1)将抛物线y=x2与直线y=―x+2联立解方程组y=x2y=―x+2即可得到A、B的坐标;(2)直接观察图象,抛物线在直线下方的符合题意,即可得到答案.【详解】(1)解:解方程组y=x2y=―x+2得:x1=―2y1=4,x2=1y2=1,∴A―2,4,B1,1;(2)解:由图象观察可得:不等式x2≤―x+2的解集为:―2≤x≤1.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程,函数图象的性质,解题的关键是列出方程组y=x2y=―x+2,解方程组得到点A、B的坐标.30.(2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y1=ax2+x +m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点,与直线y2=―x―4交于点A、B,其中点B坐标为(0,―4),点C坐标为2,0(1)求此抛物线的函数解析式.(3)由图象可得,当―1【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点,准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键.32.(2022秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学校考期中)在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程分过程,请按要求完成下列各小题(1)自变量x的取值范围是全体实数,与(3)根据函数图象,下列关于该函数性质的说法正确的有①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为②该函数在自变量的取值范围内,没有最大值,但有最小值③当x=―2时,函数取得最小值0④当x<―2或x>0时,y随x的增大而减小;当(4)在同一坐标系中作出函数y=x解__________________.(保留1位小数,误差不超过【答案】(1)1.5,(2)画图见解析;(2)描点:(―1,0.5),(0,0),(1,1.5),(2,4),再用平滑的曲线连接各点补全图像如下:(3)由函数的图像可得:该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为直线x=―1,故①错误;该函数在自变量的取值范围内,没有最大值,但有最小值,说法正确,故②正确;当x=―2或x=0时,函数取得最小值0,故③正确;当x<―2或―1<x<0,y随x的增大而减小,当-2<x<―1或x>0时,y随x的增大而增大,故④错误;综上:正确的有:②③.故答案为:②③.(4)∵函数y=x+1,令y=0,则x=―1,令x=0,则y=1,∴函数y=x+1过(―1,0),(0,1),画出函数图像如图示:x2+x|=x+1时,由图像可得:当|12x≈―0.3或x≈1.4.故答案为:x≈―0.3或x≈1.4.【点睛】本题考查的是探究绝对值函数的图像与性质,二次函数的图像与性质,同时考查描点法画函数图像,利用函数图像求解方程的近似解,掌握以上知识是解题的关键.33.(2022秋·吉林长春·九年级校考期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线点A和点B(点A在点B的左侧),第一象限内的点。

二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)

二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
D.
例1.1.3若 是二次函数,则 的值是__________.
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为( )
A.-3
B.-1
C.2
D.5
随练1.1已知函数① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,其中二次函数的个数为()
随练1.2已知函数 ,当 _________时,它是二次函数.
4.已知抛物线经过两点,且这两点的纵坐标相等时,可用对称点式求解函数解析式(交点式可视为对称点式的特例).
一.考点:二次函数解析式的求法.
二.重难点:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
随练5.1已知一个二次函数过 , , 三点,求二次函数的解析式.
随练5.2将二次函数 化为 的形式,结果为()
A.
B.
C.
D.
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是____.
2.画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点.
一.考点: 的图象和性质.
二.重难点: 的图象和性质,参数对图像的影响.
三.易错点:利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像.
题模一:y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()

二次函数抛物线与直线交点问题,实例详解,明确解题方法

二次函数抛物线与直线交点问题,实例详解,明确解题方法

二次函数抛物线与直线交点问题,实例详解,明确解题方法初中数学二次函数这部分内容,是中考的热门考点,同学们一定要好好学习这部分的内容,而二次函数抛物线与直线的交点问题,也是中考比较热衷的题型和考法,今天我和同学们一起通过实例来分析讲解这部分的内容,明确交点的方法。

求抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+m的交点的横坐标,就是求一元二次方程ax^2+bx+c=kx+m的根。

抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y=kx+m(k≠0)的图象的交点个数由方程组y=ax^2+bx+c和y=kx+m的解的组数确定。

1、当上述方程组有两组不同的解时,两个函数的图像有两个不同的交点;2、当上述方程组有两组相同的解时,两个函数的图像只有一个交点;3、当上述方程组无解时,两个函数的图像没有交点。

例题1::如图所示,已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点。

(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值。

解析:第一问求解二次函数的解析式,题目中给定的已经条件是过三个坐标点,并且坐标已经明确给出了,因此直接代入列出一个关于a,b,c的三元一次方程,求解出a,b,c的值即可。

解出来的解析式是y=½x^2-½x-1.第二问中,与x轴的交点D,求解方法就是让y=0,求解出关于x的二元一次方程的解,即可。

D点坐标为(-1,0)。

第三问中写出什么范围内一次函数的值大于二次函数的值,在第二个图中我们可以看出,在DC之间,一次函数的值大于二次函数的值,因此建立两个函数的方程,求解出D,C两点的横坐标,即所求取值范围,为-1<x<4.通过这个例题,大家特别注意,对于求两个函数图像的公共点问题一般要转化为方程来求解,即联立两个函数(方程)的解析式解方程组。

(完整版)二次函数交点问题,解析式,应用

(完整版)二次函数交点问题,解析式,应用

二次函数的交点问题巧解方法:1、二次函数与x 轴、y 轴的交点:分别令y=0,x=0;2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点:联立两个函数表达式,解方程.例1、如图,直线ι经过A (3,0),B (0,3)两点,且与二次函数y=x 2+1的图象,在第一象限内相交于点C .求:(1)△AOC 的面积;(2)二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积.例2、已知抛物线y =x 2-2x-8,(1)求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点,并求出这两个交点的坐标。

(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,且它的顶点为P ,求△ABP 的面积例3、.如图,抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ∆:ACD S ∆=5 :4的点P 的坐标。

例4、已知抛物线y=12x2+x-52.(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.例5、已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.(1)求m的取值范围;(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;(3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标,并过P′、Q、P三点,画出抛物线草图.例6.已知二次函数y=x2-(m-3)x-m的图象是抛物线,如图2-8-10.(1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3?(2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数?(3)设抛物线的顶点为M,与x轴的交点P、Q,求当PQ最短时△MPQ的面积.训练题1.抛物线y=a (x -2)(x +5)与x 轴的交点坐标为 .2.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x 轴交点的距离等于4,它在y 轴上的截距是-6,则它的表达式为 .3.若a >0,b >0,c >0,△>0,那么抛物线y=ax 2+bx +c 经过 象限.4.抛物线y=x 2-2x +3的顶点坐标是 .5.若抛物线y=2x 2-(m +3)x -m +7的对称轴是x=1,则m= .6.抛物线y=2x 2+8x +m 与x 轴只有一个交点,则m= .7.已知抛物线y=ax 2+bx +c 的系数有a -b +c=0,则这条抛物线经过点 .8.二次函数y=kx 2+3x -4的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值范围 .9.抛物线y=x 2-2x +a 2的顶点在直线y=2上,则a 的值是 .10.抛物线y=3x 2+5x 与两坐标轴交点的个数为( )A .3个B .2个C .1个D .无11.如图1所示,函数y=ax 2-bx +c 的图象过(-1,0),则的值是()A .-3B .3C .D .-12.已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图2所示,则下列关系正确的是( )A .0<-<1B .0<-<2C .1<-<2D .-=113.已知二次函数y=x 2+mx +m -2.求证:无论m 取何实数,抛物线总与x 轴有两个交点.14.已知二次函数y=x 2-2kx +k 2+k -2.(1)当实数k 为何值时,图象经过原点?(2)当实数k 在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解;1.已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的解析式。

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析介绍本文档将讨论高中数学中与函数的交点和根相关的问题,并提供例题解析。

通过研究本文档,读者将获得对这些概念的基本理解以及如何解决相关的数学问题的技巧。

函数的交点在数学中,函数的交点是指两个不同函数的图像在某一点上相交。

交点通常表示为一个坐标,包括横坐标和纵坐标。

要确定函数的交点,首先需要明确哪些函数需要比较。

通过方程式,可以找到交点的横坐标。

将这些横坐标代入对应的函数中,可以找到纵坐标,从而确定交点的坐标。

函数的根函数的根是指函数的图像与x轴相交的点。

根通常被表示为一个或多个实数。

要找到函数的根,需要解决函数的方程式。

通过将方程式设置为0,可以找到x的值,即函数的根。

解决函数的方程式通常需要运用代数运算和解方程的技巧。

可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解方程。

例题解析例题1已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3和g(x) = 2x - 1,求两个函数的交点。

解析:首先,将f(x)和g(x)设置为相等,即x^2 - 4x + 3 = 2x - 1。

通过整理方程,得到x^2 - 6x + 4 = 0。

然后,可以使用配方法或求根公式等方法解决这个方程。

在这个例子中,我们使用求根公式来解方程。

根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,代入方程的系数,即可得到x的值。

通过计算,得到x = 1和x = 3。

将这些x的值代入原来的函数中,可以得到相应的y值。

因此,交点的坐标为(1, -1)和(3, 5)。

例题2已知函数h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2,求h(x)的根。

解析:要找到h(x)的根,我们需要解决方程x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0。

这是一个三次方程,可以使用因式分解、配方法、牛顿法等方法求解。

在这个例子中,我们使用因式分解方法来解决方程。

通过试除法,我们可以找到x = 1是方程的一个解。

高中数学-函数的根问题及例题分析

高中数学-函数的根问题及例题分析

高中数学-函数的根问题及例题分析介绍函数的根问题是高中数学中常见的一个概念,它涉及到函数与坐标系的交点,即函数在何处与x轴相交。

本文将对函数的根问题进行分析,并提供一些例题来帮助读者理解和解决这类问题。

函数的根问题函数的根问题即求解函数f(x)在x轴上的根,也就是使得f(x)=0的x值。

求解函数的根可以帮助我们确定函数在坐标系上与x轴相交的点,从而找到函数的零点、最值等特点。

求解方法求解函数的根通常有多种方法,其中最常用的方法包括图像法、代入法和方程法。

图像法图像法是通过绘制函数的图像来判断函数的根。

我们可以观察函数的图像与x轴的交点来确定函数的根所在的位置。

当函数的图像与x轴相交时,对应的x值就是函数的根。

代入法代入法是将待求解的根代入函数表达式中,然后计算函数值,当函数值为0时,所代入的x值就是函数的根。

方程法方程法是将函数表达式设置为零,然后通过解方程来求解函数的根。

这可以通过因式分解、配方法等数学方法来实现。

例题分析以下是几个函数根问题的例题及其解析:1.已知函数f(x)=2x^2-3x+1,求解f(x)=0的根。

根据方程法,我们将2x^2-3x+1=0,通过解方程,可以得到x=1/2和x=1.2.某种细菌数量随时间变化的函数为f(t)=3t^2-4t+2,求解f(t)=0的根。

同样通过方程法,我们将3t^2-4t+2=0,通过解方程,可以得到t约等于0.81和t约等于1.19.通过以上例题的分析,我们可以看到求解函数的根问题需要灵活运用不同的方法,以及数学技巧。

这样才能更准确地确定函数的根所在的位置。

总结函数的根问题是高中数学中的一个重要概念,它帮助我们理解函数与坐标系的交点,并能解决函数的零点、最值等问题。

了解不同的求解方法,如图像法、代入法和方程法,能够帮助我们更好地解决函数的根问题。

通过例题的分析,我们可以研究如何应用不同的方法来解决具体的函数根问题。

以上就是关于高中数学中函数的根问题及例题分析的文档内容。

如何求函数图象的交点问题

如何求函数图象的交点问题

如何求函数图象的交点问题1. 求函数图象与坐标轴的交点:求函数图象与坐标轴交点的坐标,其意义在于所求的点即在函数图象上,又在坐标轴上。

函数图象上点的横、纵坐标对应函数中的两个变量x 、y ,坐标轴上的点其中一个坐标值为0(横轴上的点纵坐标为0,纵轴上的点横坐标为0)。

因此,若求图象与横轴交点的坐标,就确定纵坐标为0,并用0代替函数中的变量y ,求得对应x 的值即是点的横坐标,两个坐标值组成交点坐标。

同理就可求得函数图象与纵轴交点的坐标。

练习:填空:(1) 直线y =-2x +5与x 轴交点交点坐标是______,与y 轴交点坐标是______.(2) 抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交点坐标是_______,与y 轴交点坐标是_______。

注意 把抛物线y=ax 2+bx+c 中的y 代入0后得一元二次方程ax 2+bx+c =0,当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即抛物线与x 轴有两个交点;当△=0时,方程有两个相等的实数根,即抛物线与x 轴只有一个交点(顶点),也即顶点在x 轴上;当△<0时,方程无实数根,即抛物线与x 轴无交点。

2. 求两个函数图象的交点:两个函数图象的交点,是它们的公共点,这个点的横、纵坐标同时对应两个函数解析式中的两个变量x 、y 。

因此,求两个函数图像的交点,就是求这两个函数解析式所组成的方程组的解。

练习:(1)求直线y=2x -1与直线y=3x +5的交点坐标(2)求直线y =-x -1与双曲线y=-x3的交点坐标。

(3) 求直线y=2x -1与抛物线y=x 2+x -3的交点坐标注意 直线与抛物线交点的个数也有三种情况,把方程组用代入消元法转化为一元二次方程后,根据一元二次方程根的判别式△的值的情况可判定交点个数状况,具体方法规律与前面所述相同。

二次函数图象的交点与二次方程-完整版课件

二次函数图象的交点与二次方程-完整版课件
范围?
回顾:你能用因式分解法求方程x2-2x-3=0的解吗?
问题1:已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个解分 别为1、3,你能用分解式来表示方程吗?
变式:已知一元二次方程x2+bx+c=3的两个解分别 为-1、4,你还能用这样的形式来表示方程吗?
问题2:函数y=x2+bx+c图象与x轴交点的横坐标 分别为-2、1,求b、c的值?
变式1:抛物线y=x2+bx+c与直线y=2交点的
横坐标为-3、2,你还能求出b、c的值?
y
A (-3,2) O
B (2,2) x
变式2:抛物线y=ax2+bx+c与直线y= -2x交点的
横坐标为1、3,你能用含a的代数式表示b、c吗

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交点
反比例函数图象
一般式 函数y'=ax2+bx+c-(mx+n 方程 ax2+bx+c-(mx+n)=0
) 函数图象的交点
x1、x2
方程
转化
分解式
函数y'= a(x-x1)(xx2)
方程 a(x43;bx+c(a≠0)的图象与 反比例函数 y kx(k≠0)的图象相交于三点, 它们的横坐标为-1、1、4,若2<k<6,求a的取值
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④ 的取值范围是 ,
其中正确的是__________.(填入所有正确结论的序号)
20.已知函数 且 在 上单调递增,且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解,则 的取值范围是___________.
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.B
10.B
11.B
12.D
13.B
14.C
15.A
故选:B.
【点睛】
本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围,重点考查利用导数判断函数的单调性和最值,并能数形结合分析问题的能力,属于中档题型.
12.D
【解析】
【分析】
先根据奇偶性和周期性作出f(x)在R上的图象,再在同一个坐标系中作出 的图象,根据两图像交点个数即可得出h(x)的零点个数.
【详解】
解:∵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),
故可得 的范围是 ,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查分段函数、对数函数的性质,考查学生的综合计算能力,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
2.C
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件,画出函数 在区间 上的图象,利用对称性画出区间 上的图象,利用函数的周期画出函数在区间 上的图象,之后在同一坐标系中画出 的图象,利用两图象交点的个数求得结果.
A. B. C. D.
二、填空题
18.有如下命题:①函数 与 的图象恰有三个交点;②函数 与 的图象恰有一个交点;③函数 与 的图象恰有两个交点;④函数 与 的图象恰有三个交点,其中真命题为_____
19.如果直线 与函数 的图象有两个不同的交点,其横坐标分别为 , ,则以下结论:
① ;
② ;
③ ;
【详解】
设 ,
则 是 的图象沿着 上下平移得到,
当x=1时, (1) (1) ,
所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为(1,m),
当x=1时,g(1)=0,
当x=2时, (2) ,所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为(2,-2),
当x=2时, (2) ,所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为(2,ln2+m),
所以实数 的取值范围是 ,故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的周期与函数图象的应用,考查了函数零点与方程根的关系,同时考查了转化思想与数形结合思想的应用,属于难题.函数零点的几种等价形式:函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
6.C
【解析】
【分析】
判断出 和 的图象都关于 对称,结合两个函数图象求得 的值,根据对称性求得 .
A. B.
C. D.
11.已知函数 ,若函数 至多有 个零点,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
12.若定义在R上的偶函数 满足 ,且 时, ,则函数 的零点个数是( )
A.6个B.8个C.2个D.4个
13.函数 零点的个数为( )
A. B. C. D.
14.若函数 ,关于x的方程 有3个不同的实数根,则( )
16.A
17.C
18.②③④
19.①③④
20.
参考答案
1.B
【解析】
【分析】
画出函数的图像,设 ,可得 , ,且 ,化简 ,可得其取值范围.
【详解】
解:画出 的图像,如图所示,
设 ,则 ,有 , ,且 , ,
当 时, 单调递减,可得其与 轴交于 点,可得 ,
故可得: ,
由 ,可得 ,
故可得 ,
由对勾函数性质及 ,可得 ,
A.4B.6C.8D.10
3.已知函数 ,若方程 有3个不同的实根,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数 ,若方程 恰有三个不同的实数根,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
5.已知定义在 上的函数 ,且 ,若方程 有三个不相等的实数根,则实数 的取值范围是( )
A. B.
故选D.
【点睛】
本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用数形结合的思想.
13.B
【解析】
【分析】
由题 的零点,即方程 的解,分别作出图像,观察交点,可得结果.
【详解】
函数 的零点,即方程 的解,在同一坐标系中分别作出 的图像,如图
可得当 有4个交点, 时, 无交点,
所以 有4个解,
C. D.
6.已知函数 的图象与 的图象在 有 个交点,分别记作 则 ( )
A. B. C. D.
7.已知 是定义在 上的偶函数,且满足 ,当 时, .则方程 的根的个数为()
A.99B.100C.198D.200
8.已知定义在 上的函数 满足① ,② ,③在 上表达式为 ,则函数 与函数 的图像在区间 上的交点个数为()
当 时, 和 的图象有两个不同的交点,所以方程 有3个不同的实根;
当 时, 和 的图象有两个不同的交点,所以方程 有2个不同的实根;
当 时, 和 的图象有两个不同的交点,所以方程 有1个实根或没有实根;
当 时, 和 的图象有两个不同的交点,所以方程 有2个不同的实根.
综上可得所求 的范围为 .
故选B.
要使方程 恰有三个不相等的实数解,
则等价为 与 的图象有三个不同的交点,
则满足 ,
即 得 ,
即 ,
即实数 的取值范围是 , ,
故选 .
【点睛】
本题主要考查函数的图像和性质的综合应用,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.B
【解析】
【分析】
首先画出函数 的图象,转化为 与函数图象至多有2个零点时,求 的取值范围.
即 有4个零点
故选B
【点睛】
本题考查了函数与方程,利用数形结合是解题的关键,属于中档题.
14.C
【解析】
【分析】
令t=f(x),由关于x的方程 可化为t2+bt+c=0,设关于t的方程有两根为t=t1,t=t2,由关于x的方程 有3个不同的实数根可转化为函数t=f(x)的图象与直线t=t1,t=t2的交点个数为3个,作出 的简图,利用图象特征可得:t1=2,t2=0,再利用韦达定理列方程得解.
【详解】
方程 有三个不相等的实数根,
等价于 和 有三个不同交点,
因为 ,所以 的周期为2,
由函数 ,利用周期性作出 的函数图象,如图所示:
不妨设
当直线 过 时, 的值分别为 与1,
由图可知, 时直线 与 的图象有三个交点,
时, 方程 有三个不相等的实数根,
同理,若 ,可得 时,方程 有三个不相等的实数根,
8.B
【解析】
试题分析:∵① ,② ,可知 图像的对称中心为 , 图像的对称轴为 ,结合③画出 和 的部分图像,如图所示,据此可知 与 的图像在 上有6个交点.故选B.
考点:借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.
9.B
【解析】
【分析】
把原方程转化为 与 的图象的交点个数问题,由 ,可知 的图象关于 对称,再在同一坐标系下,画出两函数的图象,结合图象,即可求解.
【详解】
解析:由 ,得 ,
,当 时, ,
当 时, ,函数单调递减,
当 时, ,函数单调递增,
所以 时,函数的最小值 ,且
, ,
,当 时, ,
当 时, ,函数单调递减,
当 时, ,函数单调递增,
所以 时,函数的最小值 ,
作出函数 与 的图象,观察他们的交点情况,可知, 或 时,至多有两个交点满足题意,
【详解】
,由 是奇函数,可得 图象关于点 对称, 的图象也关于点 对称,函数 的图象与 的图象在 有 个交点,其中 个为 ,其余 对关于点 对称,所以 , ,所以 .
故选:C.
【点睛】
本小题主要考查函数图象的对称性,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
7.B
【解析】
【分析】
根据 和 是偶函数,得到函数 的周期为2,然后将方程 的根的个数,转化为函数 和 图象交点的个数求解.
3.B
【解析】
【分析】
构造函数 和 ,则函数 的图象过定点 ,画出函数 的图象,求出直线 与 相切时 的值,然后结合图象可判断出所求的取值范围.
【详解】
令 和 ,则函数 的图象过定点 .
画出函数 的图象,如下图所示.
由 消去 整理得 .
令 ,解得 或 (舍去).
又易知曲线 在 处的切线的斜率为1.
结合图象可得:
A.5B.6C.7D.8
9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)= ,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
10.已知函数 , 若关于 的方程 恰有三个不相等的实数解,则 的取值范围是
故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象,以及函数的奇偶性的应用,其中解答中熟记对数函数的性质,合理应用函数的奇偶性,在同一坐标系内作出两函数的图象,结合图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及转化思想的应用,属于中档试题.
10.B
【解析】
【分析】
设 ,则 是 的图象沿着 上下平移得到,分析函数 与 的图象,利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可.
A.b<﹣2且c>0B.b>﹣2且c<0C.b=﹣2且c=0D.b>﹣2且c=0
15.已知函数 ,函数 ,若函数 恰有三个零点,则实数 的取值范围是( )
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