专题：确定不等式(组)中待定系数的取值范围(或值)问题
不等式中参数范围的求法
不等式中参数范围的求法不等式是数学中常见的一种基本关系式，可以用来表示数、代数式或几何图形大小关系。
参数范围的求法是指在不等式中的未知数所满足的取值范围的确定。
一、一元一次不等式的参数范围求法对于一元一次不等式 ax+b<0 （或ax+b>0）中，参数a和b的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x<-b/a，所以b/a的取值范围是(-∞,0)；2.当a<0时，不等式解集为x>-b/a，所以b/a的取值范围是(0,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx<0（或bx>0），此时b=0，解集为全体实数。
二、一元二次不等式的参数范围求法对于一元二次不等式ax²+bx+c<0 （或ax²+bx+c>0）中，参数a、b和c的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x∈(x₁,x₂)，其中x₁和x₂为二次函数的两个根，可由二次方程求根公式或配方法求得；2.当a<0时，不等式解集为x∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)，所以x的取值范围为(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx+c<0（或bx+c>0），此时b=0，解集为cx<0（或cx>0），则c=0，解集为全体实数。
三、多元一次不等式的参数范围求法对于多元一次不等式的参数范围求法，通常需要对每个未知数进行讨论。
以二元一次不等式ax+by+c<0为例，可以通过以下步骤来确定参数a、b和c的取值范围：1.当a>0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制；2. 当a=0时，不等式变为 by+c<0（或by+c>0），此时b=0，解集为cy<0（或cy>0），则c=0，解集为全体实数；3.当a<0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制。
中考数学考点：专题(50)函数的应用(含答案)
专题50 函数的应用 聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。
假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。
【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。
专题07 不等式(组)(专项训练)(解析版)
专题07 不等式（组）一、单选题1．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）若数a使关于x的不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程31222y ay y++--＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】不等式组变形后，根据有且仅有四个整数解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足条件a的值．【详解】解：解不等式组3124(2) 53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩，解得：435xax≥-⎧⎪+⎨<⎪⎩，∵不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，∵﹣1＜35a+≤0，∵﹣8＜a≤﹣3．解分式方程31222y ay y++--＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+≠2为整数，∵a≠﹣6，∵所有满足条件的只有﹣4，故选：B．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．2．（2021·珠海市九洲中学九年级）不等式组2131x xx+≤+⎧⎨>⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2x+1≤x+3，得：x≤2，∵不等式组的解集为1＜x≤2，故答案选D．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2021·重庆北碚·西南大学附中九年级）若关于x的二次函数21y x ax=-+，当2x-≤时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程11222axx x-=+--有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【分析】先解分式方程求出22xa=-，关于x的分式方程有正数解满足2﹣a＞0利用二次函数21y x ax=-+，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求出对称轴x＝﹣-2a≥﹣2，求出a的范围﹣4≤a＜2，且a≠1即可．【详解】解：∵112 22axx x--= --∵1+1﹣a x＝2（2﹣x）∵（2﹣a）x＝2∵22xa =-关于x的分式方程有正数解∵22a-＞0∵2﹣a＞0∵a＜2但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数21y x ax=-+，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小∵其对称轴x＝﹣-2a≥﹣2∵a≥﹣4∵﹣4≤a＜2，且a≠1符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选B．【点睛】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题．4．（2021·陕西师大附中）已知一次函数y＝（3﹣2k）x＋6（k为常数）的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，y1＜y2，则k的值可能是（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】D【分析】利用一次函数y随x的增大而减小的性质，得3﹣2k＜0，通过求解一元一次不等式，即可得到答案．【详解】∵一次函数y＝（3﹣2k）x+6（k为常数）的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，y1＜y2，∵3﹣2k＜0，解得k＞32，∵A、B、C不符合题意，D符合题意故选：D．【点睛】本题考查了一次函数、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．5．（2021·山东日照·中考真题）若不等式组643x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，则m 的取值范围是（ ） A ．3m >B ．3m ≥C ．3m ≤D ．3m <【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式643x x +<-，得：3x >，x m >且不等式组的解集为3x >，3m ∴， 故选：C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2021·辽宁鞍山·）不等式32x x -的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】 求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．【详解】解：∵32x x -≤，∵23x x --≤-，∵33x -≤-，解得：1≥x ，∵不等式的解集为：1≥x ，表示在数轴上如图：故选B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7．（2021·辽宁朝阳·中考真题）不等式﹣4x ﹣1≥﹣2x ＋1的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】不等式移项，合并，把x 系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式﹣4x ﹣1≥﹣2x ＋1，移项得：﹣4x ＋2x ≥1＋1，合并得：﹣2x ≥2，解得：x ≤﹣1，数轴表示，如图所示：故选：D ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 8．（2021·山东滨州·中考真题）把不等式组622154x x x x -<⎧⎪+-⎨≥⎪⎩中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在数轴上表示出每一个不等式的解集即可．【详解】 解：622154x x x x -<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②，解不等式∵，得：x ＞-6，解不等式∵，得：x ≤13，故原不等式组的解集是-6＜x ≤13，其解集在数轴上表示如下：故选：B ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．9．（2021·贵州遵义·）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x 支签字笔，则下列不等关系正确的是（ ） A ．5×2+2x ≥30B ．5×2+2x ≤30C ．2×2+2x ≥30D ．2×2+5x ≤30【答案】D【分析】设小明还能买x 支签字笔，则小明购物的总数为22+5x ⨯元，再列不等式即可.【详解】解：设小明还能买x 支签字笔，则：22530,x ⨯+≤故选：.D【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解题的关键.10．（2021·湖南湘潭·中考真题）不等式组12480xx+≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先解不等式组，再按照大于向右拐，小于向左拐，有等于号用实心点表示，没有用空心圈表示，画好图即可.【详解】解：12 480 xx+≥⎧⎨-<⎩①②由∵得：1,x≥由∵得：4x＜8,解得：x＜2,所以不等式组的解集在数轴上表示如下：所以不等式组的解集为：1x≤＜2,故选：.D【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，注意实心点与空心圈的使用是解本题的易错点.二、填空题11．（2021·辽宁盘锦·）从不等式组3(2)42213x xxx--≤⎧⎪+⎨≥-⎪⎩的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是________【答案】2 5【分析】首先求得不等式组3(2)42213x xxx--≤⎧⎪+⎨≥-⎪⎩的所有整数解，然后由概率公式求得答案．【详解】解：∵3(2)42213x xxx--≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②，由∵得：x≥1，由∵得：x≤5，∵不等式组的解集为：1≤x≤5，∵整数解有：1，2，3，4，5；∵它是偶数的概率是25．故答案为：25．【点睛】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．（2021·湖北荆门·）如果关于x的不等式组()31213x axx--<⎧⎪+⎨-⎪⎩恰有2个整数解，则a的取值范围是________．【答案】56a <【分析】求出不等式组的解集，得到其取值范围，再根据不等式组有整数解解答．【详解】解：()31213x axx--<⎧⎪⎨+-⎪⎩①②，由∵得，x>a-3；由∵得，x≤4；∵关于x的不等式组恰有2个整数解，∵整数解为3，4，∵2≤a-3＜3；∵56a<．故答案为：56a<【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后解不等式即可解出a 的值．13．（2021·湖南常德·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．【答案】20【分析】设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可．【详解】解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得，{16x+14x+8+y=x①x≤50②，由∵得，x=96+12y7，结合∵得，96+12y7≤50解得，y≤2116，又因为总的弹珠数量、红珠数量和绿珠数量都是整数，所以，刘凯的蓝珠最多有20个．故答案为：20．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，能够找出不等关系是解答此题的关键．14．（2021·辽宁丹东·中考真题）不等式组213xx m-<⎧⎨>⎩无解，则m的取值范围_________．【答案】2m≥【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：213 xx m-<⎧⎨>⎩①②解不等式∵得：2x<由∵式知：x m>∵不等式组无解∵2m≥故答案为：2m≥【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．15．（2021·贵州黔东南·中考真题）不等式组()5231131722x xx x⎧+>-⎪⎨-≤-⎪⎩的解集是__________．【答案】54 2x-<≤【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【详解】解：解不等式5x+2＞3(x﹣1)，得：x52>-，解不等式131722x x-≤-，得：4x≤，则不等式组的解集为542x-<≤，故答案为542x-<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．三、解答题16．（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：1200800+=，502x x解得：4x=，经检验4x=是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：()+-≤，m m842001150解得：87.5m≤，∵m为正整数，∵m的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．17．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如下表：若设租用A 型客车x 辆，租车总费用为y 元．（1）请写出y 与x 的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A 型客车至少需租几辆？（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案． 【答案】（1）30012000y x =-+；（2）1辆；（3）租车方案有3种：方案一：A 型客车租1辆，B 型客车租9辆；方案二：A 型客车租2辆，B 型客车租8辆；方案三：A 型客车租3辆，B 型客车租7辆；最省钱的租车方案是A 型客车租3辆，B 型客车租7辆 【分析】（1）根据租车总费用＝每辆A 型号客车的租金单价×租车辆数＋每辆B 型号客车的租金单价×租车辆数，即可得出y 与x 之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x ≤10可求出x 的取值范围； （2）由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，取其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案； （3）由题意得出()162210200x x +-≥，求出x 的取值范围，分析得出即可． 【详解】解：（1）()90012001030012000y x x x =+-=-+， ∵30012000y x =-+；（2）根据题意，得：3001200011800x -+≤， 解得23x ≥， ∵x 应为正整数， ∵1≥x∵A 型客车至少需租1辆；（3）根据题意，得()162210200x x +-≥， 解得103x， 结合（2）的条件，21033x ， ∵x 应为正整数，∵x 取1，2，3， ∵租车方案有3种：方案一：A 型客车租1辆，B 型客车租9辆； 方案二：A 型客车租2辆，B 型客车租8辆；方案三：A 型客车租3辆，B 型客车租7辆． ∵30012000y x =-+，0k < ∵y 随x 的增大而减小， ∵当3x =时，函数值y 最小，∵最省钱的租车方案是A 型客车租3辆，B 型客车租7辆 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．18．（2021·广西河池·）在平面直角坐标系中，抛物线()214y x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线CA 的解析式；（2）如图，直线x m =与抛物线在第一象限交于点D ，交CA 于点E ，交x 轴于点F ，DG CA ⊥于点G ，若E 为GA 的中点，求m 的值．（3）直线y nx n =+与抛物线交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，其中12x x <．若213x x ->且210y y ->，结合函数图象，探究n 的取值范围．【答案】（1）3y x =-+；（2）2m =；（3）01n <<或7n >． 【分析】（1）由()214y x =--+中，得()3,0A ，()1,0B -，()0,3C ，利用待定系数法即可得，直线CA 的解析式为3y x =-+；（2）根据直线x m =与抛物线在第一象限交于点D ，交CA 于点E ，交x 轴于点F ，可得()()2,14D m m --+，且03m <<，(),3E m m -+，(),0F m ，从而3AF m =-，23DE m m =-+，而EAF △是等腰直角三角形，可得AE =，DEG △是等腰直角三角形，即可列)23m m -+=，解得m =2或m =3（舍去）；（3）由()214y nx ny x =+⎧⎪⎨=--+⎪⎩得：10x y =-⎧⎨=⎩或234x n y n n =-⎧⎨=-+⎩，∵若31n ->-，即4n <，根据213x x ->且210y y ->，可得()313n --->，且2400n n -+->，即解得01n <<；∵若31n -<-，即4n >，可得：()133n --->且()2040n n --+>，即解得7n >，综合可得结果．【详解】解：（1）在()214y x =--+中， 令0x =得3y =，令0y =得11x =-或23x =， ∵()3,0A ，()1,0B -，()0,3C ，设直线CA 的解析式为y kx b =+，则033k bb =+⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∵直线CA 的解析式为3y x =-+；（2）∵直线x =m 与抛物线在第一象限交于点D ，交CA 于点E ，交x 轴于点F ， ∵()()2,14D m m --+，且03m <<，(),3E m m -+，(),0F m ， ∵3AF m =-，()()221433DE m m m m =--+--+=-+， ∵()3,0A ，()0,3C ，∵45EAF ∠=︒，EAF △是等腰直角三角形，∵AE ==，45DEG AEF ∠=∠=︒， ∵DEG △是等腰直角三角形， ∵DE =， ∵E 为GA 的中点， ∵GE AE ==，∵)23m m -+=，解得2m =或3m =，∵3m =时，D 与A 重合，舍去， ∵2m =；（3）由()214y nx ny x =+⎧⎪⎨=--+⎪⎩得：10x y =-⎧⎨=⎩或234x n y n n =-⎧⎨=-+⎩， ∵若31n ->-，即4n <， ∵213x x ->且210y y ->，∵()313n --->，且2400n n -+->， 解得01n <<；∵若31n -<-，即4n >，可得：()133n --->且()2040n n --+>，解得7n >．综上所述，n 的取值范围是01n <<或7n >．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，用含m 的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用是解题的关键．19．（2021·广西河池·）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织九年级全体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩、听党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共6辆．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x 辆，租车费用为y 元． （1）求y 与x 之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？【答案】（1）1502700y x =-+(06)x ≤≤；（2）乙种客车2辆时, 租车费用2400 【分析】（1）根据题意列出函数表达式即可； （2）根据一次函数的性质，求得最值． 【详解】（1）设租用乙种客车x 辆，租车费用为y 元， 甲、乙两种客车共6辆，∴租用甲种客车(6)x -辆，60x -≥，0x ≥，06x ∴≤≤，(6)4503001502700y x x x ∴=-⨯+=-+，∴1502700y x =-+(06)x ≤≤；（2） 租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量， 即6x x <-， 解得3x <，x 是正整数，x 最大为2，1502700y x =-+，1500-<，∴y 随x 的增大而减小，当x 取最大值时候，y 取得最小值． ∴当2x =时，租车费用最少为150227002400y =-⨯+=．答：租用乙种客车2辆时，租车费用最少，费用为2400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．20．（2021·建昌县教师进修学校九年级）某加工厂甲、乙两人加工机器零件，已知甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.2倍，甲加工900个这种零件比乙加工500个这种零件多用10天． （1）求甲、乙每天各加工多少个机器零件？（2）甲、乙两人每天加工这种机器零件的加工费分别是160元和120元，现有1500个这种零件的加工任务，若工厂要求总加工费用不超过7500元，求乙至少加工多少天（取整数）．【答案】（1）甲每天加工30个机器零件，乙每天加工25个机器零件；（2）乙至少加工38天 【分析】（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.2x 个零件，根据甲加工900个这种零件比乙加工500个这种零件多用10天，列分式方程求解； （2）设乙加工m 天，乙加工了15002530m-天，根据加工费分别是160元和120元，总加工费不超过7500元，列不等式，求解即可． 【详解】解：（1）设乙每天加工x 个机器零件，则 900500101.2x x-=， 解方程得25x =经检验，25x =是原方程的解，这时1.230x =答：甲每天加工30个机器零件，乙每天加工25个机器零件 （2）设乙加工m 天，则 15002512016030mm -+⨯≤7500， 解得m ≥1372∵m 取整数，∵m 最小值为38（或m ≥38） 答：乙至少加工38天 【点睛】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大． 21．（2021·银川市第三中学）解不等式组：()2732131234x x x x ⎧+≥-⎪⎨---<⎪⎩【答案】513x -<≤． 【分析】分别解出两个不等式的解集，再将解集表示在数轴上，找到公共解集即可． 【详解】解不等式组：()2732,1312.34x x x x ⎧+≥-⎪⎨---<⎪⎩解：()2732,1312.34x x x x ⎧+≥-⎪⎨---<⎪⎩①② 解不等式∵得13x ≤，解不等式∵得5x >-，将不等式的解集表示在数轴上：所以不等式组的解集为513x -<≤． 【点睛】本题考查解一元一次方程组、将不等式的解集表示在数轴上，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 22．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价1元．销售量就减少20件． （1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m %，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少215m %．结果10月份利润达到3168元，求m 的值． 【答案】（1）售价应不高于15元；（2）60 【分析】（1）设售价应为x 元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可； （2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3168元，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设售价应为x 元，依题意有 1160﹣20（x ﹣12）≥1100， 解得：x ≤15．答：售价应不高于15元．（2）10月份的进价：10（1+20%）＝12（元）， 由题意得：1100（1+m %）[15（1﹣215m %）﹣12]＝3168，设m%＝t，化简得50t2﹣25t﹣3＝0，解得：t1＝0.6，t2＝﹣0.1（舍去），所以m＝60．答：m的值为60．【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．23．（2021·重庆实验外国语学校九年级）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．【答案】（1）8元；(2)50【分析】(1) 设黄花梨的进价每千克x元，黄冠梨每千克的进价为（x+2）元，由经销商所花费的费用不超过60000元，得出不等式求解即可；(2)根据题意列出方程式15000(12%)8(1%)200010(12%)600002a a a+⨯-+⨯-=求解即可.【详解】解：（1）设黄花梨的进价每千克x元，黄冠梨每千克的进价为（x+2）元，所以5000x+2000（x+2）≤60000，解得：x≤8，答：黄花梨每千克进价最多为8元；（2）由（1）得：15000(12%)8(1%)200010(12%)600002a a a+⨯-+⨯-=，解得：a=50，（0a=舍去）答：a得值为50.【点睛】本题考查了一元一次不等式得实际应用，一元二次方程得实际应用问题，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键.。
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围(含答案解析)
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围（含答案解析）◆ 题型一：已知不等式确定的解集，求参数值或者范围几种常见考法： ① {若我们计算的结果为a <x <b 而题中给的结果为1<x 2，因为不等（组）的解集是确定的，则{a =1b =2② {若我们计算到ax <a ，因为未知a 的正负，无法下一步运算而题中给的结果为x <1，根据不等式的性质，则a ＞0③ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <2，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≥2④ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <b ，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≤2⑤ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞2，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≤2⑥ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞b ，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≥21. （2022·河北·模拟预测）已知a 是自然数，如果关于x 的不等式(a -3) x >a -3的解集为x <1，那么a 的值为( )A ．1，2B ．1，2， 3C ．0，1， 2D ．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a -3)x ＞a -3的解集为x <1，得a -3<0，即可求解． 【详解】解：∵(a -3)x ＞a -3，当不等式两边同时除以a -3，若a -3＞0，不等式化为x ＞1， 若a -3＜0，则不等式化为x ＜1， ∴a -3＜0，即a ＜3，符合条件的自然数有0，1，2． 故选：C ．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键．2. （2022·四川成都·模拟预测）关于x 的不等式组{3x −1>4(x −1)x <m 的解集为3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m >3C ．m <3D ．m =3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x <，即可求解． 【详解】解：{3x −1>4(x −1)①x <m ②，解不等式①得：3x <， ∵不等式组的解集为3x <， ∴m ≥3． 故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．1．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a 既使得关于x 的不等式组{x−a 2+1≤x+a 3x −2a >6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．−4 B ．−3 C ．−2 D ．−52．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组{3<0x −4>3(x −2)的解集为x <1，且关于x 的分式方程x+2x−1+m 1−x=3有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）A ．6B ．8C ．11D ．143．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1−8−3y 1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2022·河北·模拟预测）已知a是自然数，如果关于x的不等式(a-3) x>a-3的解集为x<1，那么a的值为() A．1，2 B．1，2，3 C．0，1，2 D．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a-3)x＞a-3的解集为x<1，得a-3<0，即可求解．【详解】解：∵(a-3)x＞a-3，当不等式两边同时除以a-3，若a-3＞0，不等式化为x＞1，若a-3＜0，则不等式化为x＜1，∴a-3＜0，即a＜3，符合条件的自然数有0，1，2．故选：C．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键． 5．（2022·山东德州·二模）已知不等式组{x2+3a ≤−22x +5>1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（ ）A ．−56B ．－1C ．−13D ．−166．（2022·广东·二模）已知不等式组{x +a ≥0x +b ≤0，的解集为2≤x ≤3，则(a −b)2022的值为（ ）A ．1−B ．2022C ．1D ．−2022【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a ，x≤-b ，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a 、b 的值，代入计算可得．【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a ， 由x+b≤0，得：x≤-b ， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴(a−b)2022=(−2+3)2022=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）关于x的不等式组{3x−1>4(x−1)x<m的解集为3x<，那么m的取值范围是（）A．m≥3B．m>3C．m<3D．m=3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x<，即可求解．【详解】解：{3x−1>4(x−1)①x<m②，解不等式①得：3x<，∵不等式组的解集为3x<，∴m≥3．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．8．（2022·山东·日照市北京路中学二模）若关于x的不等式组{x+1<3x+124x−1≥3(a−x)的解集是x>1，关于y的分式方程ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（）A．-18 B．-15 C．0 D．2【答案】B【分析】根据不等式组的解集求出不等式的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【详解】解：x+1<3x+12，2x+2＜3x+1，解得x＞1，4x−1≥3(a−x)，4x-1≥3a-3x，x≥3a+17，∵关于x 的不等式组的解集为x ＞1， ∴3a+17≤1，解得a≤2， 又∵ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，∴a=5y −8−2（y −1）， ∴y=a+63≥0且y≠1，解得a≥-6且a≠-3，∴a 的取值范围为-6≤a≤2且a≠-3，符合条件的整数a 有：-6、-5、-4、-2、-1、0、1、2，所有的a 相加的和=（-6）+（-5）+（-4）+（-2）+（-1）+（0）+1+2 =-15． 故选：B ．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解．注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．9．（2020·河南·模拟预测）已知不等式组{2x −a <1x −4b >3的解集为﹣1＜x ＜1，则（a +b ）（b ﹣1）的值为_____．【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．10．（2022·甘肃武威·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的取值范围是________．【答案】m=-2【分析】根据定义的新运算得到x⊗m=x−2m>3，得x>3+2m，从而3+2m=-1，求得m的值．【详解】解：∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m，∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3，∵不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=-2，故答案为：m=-2．【点睛】本题考查了新定义运算在不等式的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．◆题型二：已知不等式的特殊解，求参数值或者范围若2＜x＜m恰有3个整数解，求m的取值范围。
初二数学知识点梳理：不等式待定系数的取值范围
初二数学知识点梳理：不等式待定系数
的取值范围
不等式待定系数的取值范围
不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围。
不等式待定系数的取值范围求法：
一、根据不等式的解集确定字母取值范围
例:
如果关于x的不等式x>2a+2．的解集为x<2，则a的取值范围是
A．a<0B．a<一lc．a>lD．a>一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B．
二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围
例：
已知不等式组
的整数解只有5、6。
求a和b的范围．
解：解不等式组得
，借助于数轴，如图:
知：2+a只能在4与5之间。
只能在6与7之间．
∴4≤2+a<5,6<
≤7
∴2≤a<3,13<b≤15
三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
例：
已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x 的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=
;由3b－2x－16＝0，可得b=
.
又a≤4＜b，
所以,
≤4＜
，
解得:-2＜x≤3.
四、逆用不等式组解集求解
例：。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-一元一次不等式(组)(解析版)
专题10一元一次不等式(组)【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等式或组不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.一元一次不等式组定义一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.解法先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种不等式组(a<b)解集图示口诀【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】基本不等式组的解集⎩⎨⎧≥≥b x a x x ≥b 大大取大⎩⎨⎧≤≤b x a x x ≤a 小小取小⎩⎨⎧≤≥bx a x a ≤x ≤b 大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤b x a x 无解大大小小解不了技巧1：一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组12x ＜6，－2≤0的解集，在数轴上表示正确的是()2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．（x ＋2），①＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________．5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解．6．解不等式|3x －12|≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由|3x －12|≤4，得－4≤3x －12≤4.－4，①②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：－6＞0，＋1＜0或＜0，＋1＞0.解(Ⅰ)＞2，＜－12.∴此不等式组无解．解(Ⅱ)＜2，＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2；(2)4x －13－x ＞1；(3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x 5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)．①去括号，得20－15x －1＜21＋15x.②移项，合并同类项，得－30x ＜2.③系数化为1，得x ＞－115.④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5＋3y ＝10，－3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围．8．关于x 的两个不等式①3x ＋a 2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．参考答案1．解：(1)x＞13x－2，23x＞－2，x＞－3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x－13－x＞1，4x－1－3x＞3，x＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x＋13≥2(x＋1)，x＋1≥6x＋6，－5x≥5，x≤－1.2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．去括号，得20－15x－15＜21＋15x.移项，合并同类项，得－30x＜16.系数化为1，得x＞－8 15 .3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，当a－1＞0，即a＞1时，x＞2a－1；当a－1＝0，即a＝1时，x无解；当a－1＜0，即a＜1时，x＜2a－1.4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：2x ＋3y ＝10，－3y ＝2，＝2，＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13，去括号，得9－3x ＋1＜13，移项，合并同类项，得－3x ＜3，系数化为1，得x ＞－1.在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m 3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是()A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22＋y ＝－7－a ，－y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围；(2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围．【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5－a ＜1，－2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6＞2，＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为()A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87－a ≥0，－b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8－1＞0，－a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．91＜a ①，＋5＞x －7②有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B2．解：(1)＝－3＋a ，＝－4－2a.∵x 为非正数，y 3＋a ≤0，4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3.(2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ＋b ＝－3，3a ＋b ＝13，＝－4，＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y 4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．－a ＜1.①，－2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9.6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b 3.∵不等式组仅有整数解1，2，3，∴0＜a 2≤1，3＜b 3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12.∵a，b为整数，∴a＝1，2，b＝10，11，12. 8．a≤19．＋1＜a①，＋5＞x－7②，解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2-3【详解】解：由题意得：130 x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得:x>1+a,解不等式②得:x≤3 b-不等式组的解集为:1+a＜x≤3b- 不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为:-2,-3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）.A ．m ＞3B ．m≥3C ．m≤3D ．m ＜3【答案】C【解析】详解：841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解②得，x>m ，∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m ⩽3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 1005 120x x -+>，15 220x >，解得：443x >，根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（）．A ．2121m n -+>-+B ．1144m n ++>C ．m a n b+>+D ．am an-<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、∵m >n ，∴-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意；B 、∵m >n ，∴m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意；C 、∵m >n ，∴m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、∵m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．【详解】由30x +>得：3x >-由50x -≤得：5x ≤∴35x -<≤故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．4．不等式3﹣x ＜2x +6）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．【详解】解：326x x -<+，移项得362x x -<+，合并同类项得33x -<，系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．故选：A．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________kg．名称A B批发价（元/kg）43零售价（元/kg）64【答案】120【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A种西瓜x kg，则（6-4）x+120043x-×（4-3）≥1200×40%，解得x≥120．答：该超市至少批发A种西瓜120kg．故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．7．不等式2103x--<的解集为____．【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．【详解】解：去分母，得：230x --<，移项，得：23x <+，合并同类项，得：5x <．∴不等式的解集为：5x <．故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥，解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-，∵3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥，∴不等式组的解集是：3x ≥．在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；②将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴Ⅱ；③平移数轴Ⅱ使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧．则整数k 的最小值为（）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A 【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解．【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧，∴k ⋅AC AB >，即42042k >，解得15102k >， k 为正整数，∴k 的最小值为511，故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -，移项，得：3+2<1x x -，合并同类项，得：<1x -，系数化为1，得>1x -，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b +=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c=【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b +=，得出c b ＜；B.根据112a c b+=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b +=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断．【详解】A.∵0a b ＞＞，∴11a b＜，∵112a c b+=，∴11c b，∴c b ＜，故A 错误；B.∵112a c b +=，即2a c ac b+=，∴()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，∴a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D 【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式②得：y ≤a ，∴原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，∵不等式组至少有3个整数解，∴a ≥﹣5，1133x a x x++=--，去分母得∶1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=，∵分式方程有非负整数解，∴x ≥0（x 为整数）且x ≠3，∴42a -为非负整数，且42a -≠3，∴a ≤4且a ≠﹣2，∴符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，∴符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（）A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c=-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数，则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得37711c ≤≤，∴3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c＝﹣2+3c ，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >-【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得．【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ，解得，254m >-，故答案为：254m >-．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．7．若关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________．【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x 的分式方程232x m x -=-的解为：x ＝6−m ，∵分式方程有可能产生增根2，∴6−m ≠2，∴m ≠4，∵关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，∴6−m ≥0，解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4．故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元．①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式.②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解.（1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元.依题意得100100510x x =++.解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；（2）解：① “神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13.()12003a a ∴≤-.解得：50a ≤.51000w a =+ .50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②，解不等式①，得1x ≥-，解不等式②，得>7x -，∴该不等式组的解集为1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。
巧用口诀法求不等式组中待定字母的值的范围
巧用“口诀”法求不等式组中待定字母的值的范围一元一次不等式组是初中数学的一个重要内容，不过一元一次不等式组的解集的确定教材里只讲了用数轴来确定，这种方法对于不等式组中未出现待定字母时容易求解。
一旦不等式组中出现了待定字母，学生是感到束无手策的，本文举例说明如何用口诀法来求一元一次不等式组中待定字母的值。
一元一次不等式组解集是指不等式组中几个一元一次不等式解集的公共部分。
利用数轴来确定虽然直观，但也有不足之处，不过利用它我们能够得出下面“口诀”。
不等式组(a ＞b) 解集在数轴上的情况 不等式组的解集口诀 ① bx a x ＞＞ x ＞a 同大取大 ② bx a x ＜＜ x ＜b 同小取小 ③ b x a x ＞＜ b ＜x ＜a 大小交叉中间找 ④ b x a x ＜＞ 无解（空集） 大小分离无处找例1：如果一元一次不等式组 ax x ＞＞2的解集为2＞x ，那么a 的取值范是（ ）。
A. 2＞a B.2≥a C.2≤a D.2＜a分析：此题中因为a 待定，所以利用数轴较为困难，但利用口诀法中的“同大取大”结合不等式的解集2＞x ，易知b a b a b ab a2≤a ，故选C 。
例2：若不等式组 632≤++m x m x ＞有解，则m 的取值范围是 。
解：解不等式m x ＞2+得2-+m x ＞解不等式63≤+m x 得32m x -≤ 如果此时利用数轴则难以下手，但因为不等式组有解，结合口诀法中的“大小交叉中间找”，表明322m m --＜,434＜m ，3＜m ，所以m 的取值范围是3＜m 。
例3：如果不等式组 212++m x m x ＞＞的解集为1-＞x ，那么m 的值是多少？分析：若212+≥+m m ，则1≥m ，又1-＞x ，所以结合口诀法中的“同大取大”，可得112-=+m ，解得m=-1，而m ≥1故舍去。
若2m+1＜m+2，则m ＜1，又1-＞x ，所以利用口诀法中的“同大取大”得m+2=-1，解得m=-3，因m ＜1，所以符合条件。
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法(含参考答案)
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法（含参考答案）七下数学与中考试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．一、 根据不等式(组)的解集确定字母取值范围例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．例2、已知不等式组153x a x a <<⎧⎨<<+⎩的解集为a<x<5。
则a 的范围是 ．解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ．二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围例3、关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是 ．分析：由题意，可得原不等式组的解为8<x<2—4a ，又因为不等式组有四个整数解，所以8<x<2—4a 中包含了四个整数解9，10，11，12于是，有12<2—4a ≤13． 解之,得 114-≤a<52- ．例4、已知不等式组⎩⎨⎧<+>-b x ax 122的整数解只有5、6。
求a 和b 的范围．解：解不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧-<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知：2+a 只能在4与5之间。
21-b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5 6<21-b ≤7∴2≤a<3， 13<b ≤15．三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围例5、已知方程组213(1)21(2)x y m x y m +=+-----⎧⎨+=------⎩满足x+y<0，则( )图1图2A ．m>一lB ．m>lC ．m<一1D ．m<1分析：本题可先解方程组求出x 、y ，再代入x+y<0，转化为关于m 的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y 与m 的关系，再由x+y<0转化为m 的不等式求解． 解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝223m+<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=2163x +. 又a ≤4＜b ， 所以,312x -≤4＜2163x +， 解得:-2＜x ≤3. 四、逆用不等式组解集求解例7、如果不等式组260x x m-≥⎧⎨≤⎩ 无解，则m 的取值范围是 ．分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3． 解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3．例8、不等式组⎩⎨⎧>≤<m x x 21有解，则（ ）．A m<2B m ≥2C m<1D 1≤m<2解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）．例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a 的取值范围是 ．解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由24a x x +>可得x<12a. 因为不等式组有解,所以12a>2. 所以,4a >.31 2图4图3例3、 某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？不等式（组）中待定字母的取值范围不等式（组）中字母取值范围确定问题，在中考考场中频频登场。
2024年中考数学复习专题课件(共30张PPT)一元一次不等式(组)及其应用
解：设普通水稻的亩产量是 x kg，则杂交水稻的亩产量是 2x kg，依题 意得 7 200 9 600
x － 2x ＝4，解得 x＝600， 经检验，x＝600 是原分式方程的解，且符合题意，则 2x＝2×600＝1 200(kg)． 答：普通水稻的亩产量是 600 kg，杂交水稻的亩产量是 1 200 kg.
__00__.
6．[2023·贵州第 17(2)题 6 分]已知 A＝a－1，B＝－a＋3.若 A>B，求 a 的取值范围． 解：由 A>B 得 a－1>－a＋3， 解得 a>2， 即 a 的取值范围为 a>2.
7．[2021·贵阳第 17(1)题 6 分]有三个不等式 2x＋3＜－1，－5x＞15， 3(x－1)＞6，请在其中任选两个不等式， 组成一个不等式组，并求出它 的解集．
4．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞 ，该 大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过 30 t 的车辆禁止通行，现有一 辆自重 8 t 的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件组成，这种设备必须成套运输，已知 1 个 A 部件和 2 个 B 部件 的总质量为 2.8 t，2 个 A 部件和 3 个 B 部件的质量相等． (1)求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
解：(1)设出售的竹篮 x 个，陶罐 y 个，依题意有 5x＋12y＝61， x＝5， 6x＋10y＝60，解得y＝3. 答：小钢出售的竹篮 5 个，陶罐 3 个．
(2)设购买鲜花 a 束，依题意有 0＜61－5a≤20， 解得 8.2≤a＜12.2， ∵a 为整数， ∴共有 4 种购买方案， 方案一：购买鲜花 9 束； 方案二：购买鲜花 10 束； 方案三：购买鲜花 11 束； 方案四：购买鲜花 12 束．
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
初二数学知识点梳理：不等式待定系数的取值范围
初二数学知识点梳理：不等式待定系数
的取值范围
不等式待定系数的取值范围
不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围。
不等式待定系数的取值范围求法：
一、根据不等式的解集确定字母取值范围
例:
如果关于x的不等式x>2a+2．的解集为x<2，则a的取值范围是
A．a<0B．a<一l．a>lD．a>一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B．
二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围
例：
已知不等式组
的整数解只有、6。
求a和b的范围．
解：解不等式组得
，借助于数轴，如图:
知：2+a只能在4与之间。
只能在6与7之间．
∴4≤2+a<,6<
≤7
∴2≤a<3,13<b≤1
三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
例：
已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x 的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=
;由3b－2x－16＝0，可得b=
又a≤4＜b，
所以,
≤4＜
，
解得:-2＜x≤3
四、逆用不等式组解集求解
例：。
不等式(组)中待定字母的取值范围
B 40 D 50
50
）
Ａ． a ≤ -1
Ｂ． 1 a 2
Ｃ． a ≥ 0
Ｄ． a ≤ 2
1 x ≤ 2， 9. 若不等式组 有解，则 m 的取值范围是______． x m
10.已知点 P(a，b) 在第二象限， 向下平移 4 个单位得到点 Q ， 点 Q 在第三象限， 那么 b 的取值范围是______． 11.如果关于 x 的不等式 (a 1) x a 5 和 2 x 4 的解集相同，则 a 的值为______．
10 ， 观察到不等号的方向已作了改变， 7
例 18、已知不等式 4x－a≤0，只有四个正整数解 1，2，3，4，那么正数 a 的取值范围是什 么？ 分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。 解：由 4x－a≤0 得 x≤
a 。 4
因为 x≤4 时的正整数解为 1，2，3，4； x≤4.1 时的正整数解为 1，2，3，4； „ x≤5 时的正整数解为 1，2，3，4，5。 所以 4≤
4
致，从而断定 2k+1<0，所以 k<
1 。 2 10 ，求关于 x 的不等式 ax>b 7
例 17、如果关于 x 的不等式(2a－b)x＋a－5b>0 的解集为 x< 的解集。 分析： 由不等式(2a－b)x＋a－5b>0 的解集为 x< 故可知(2a－b)<0，且
5b a 10 ，解此方程可求出 a，b 的关系。 2a b 7 10 解：由不等式(2a－b)x＋a－5b>0 的解集为 x< ，可知： 7 5b a 10 3 ，得 b= a 。 2a－b<0，且 2a b 7 5 3 结合 2a－b<0，b= a ，可知 b<0，a<0。 5 3 则 ax>b 的解集为 x< 。 5
待定系数法在不等式中的应用
√ 14 21 3 2
·
√ 7 14
14√ − 7 14
=
1√4 14 14.
所
ab c
√
1 8 27
√
14
以 + + 的最小值为 14 14, 当且仅当 a =
,
a√b c √
14
2 14 3 14
b=
,c=
时取最小值.
14
14
接下来看二元不等式中待定系数法的应用.
例 3 设 a, b > 0, 且 8 + 1 = 1, 求 a2 + b2 的最小值. ab
3
2
解得 y = , x = . 于是
10
5
a2 + b2 + 9
9
7
125ab 7
( 2 )2
( 3 )2
17
− a− b−
2019 年第 3 期 (上)
中学数学研究
27
a2 2xa − x2, 同理可得 b2 2yb − y2. 所以
a2 + b2 + 9
2xa + 2yb + 9 − x2 − y2
(
125ab
) 12(5ab
)
9a
9b
9
9
=
+
+
125x2y 125xy2 125ab
+
2x − 125x2y
a
(
)
+
1
ab
且 8 + 1 = 1, 得 x = 10, y = 5. 于 是 a2 + b2
x 3(102
+
不等式组取值范围的解题技巧
不等式组取值范围的解题技巧当我们面临不等式组的问题时，感觉就像是打开了一个谜题盒子。
别担心！这里有一些简单易懂的技巧，帮助你轻松找到解决方案。
咱们来一步步揭开这层面纱，走进不等式的世界吧！1. 理解不等式组的基本概念1.1 什么是“不等式组”？不等式组其实就是一组不等式，它们同时成立。
比如，给你一个任务，要求你找出那些同时符合以下条件的数值：大于0且小于5。
这就是一个不等式组：[ 0 < x < 5 ]。
1.2 处理不等式组的基本步骤处理不等式组，首先要把每一个不等式单独解决。
比如，看看每个不等式的取值范围，然后找出它们的交集。
就像你在海边捡贝壳一样，找到所有合适的“贝壳”再拼凑成完整的答案。
2. 解不等式组的技巧2.1 合并和简化有时候，不等式组可能会比较复杂，比如两个不等式结合在一起。
咱们就得学会合并和简化。
不妨用最简单的方法来处理，比如对每个不等式分别求解，然后找出它们的公共部分。
这样你就能轻松搞定了。
2.2 画图辅助理解如果你觉得文字不够清晰，不妨试试画图。
尤其是对于线性不等式，画个坐标系，把每个不等式表示出来，找出交点，就能直观地看到取值范围。
这就像把问题用图形呈现出来，看到它的“真面目”。
3. 特殊情况下的处理3.1 含有绝对值的不等式组有时候，你会遇到包含绝对值的不等式组。
这种情况下，最好是将绝对值拆开处理。
比如，不等式[ |x 3| < 2 ]，可以转化为两个不等式[ 2 < x 3 < 2 ]。
这样处理起来就会简单许多。
3.2 二次不等式组遇到二次不等式组，首先要将不等式变成标准的二次方程，然后找出它们的根。
接着，分析这些根之间的区间，找出符合条件的部分。
这就像解开一道复杂的数学难题，需要仔细推理和计算。
4. 实战演练：举个例子假如你有一个不等式组：[ begin{cases}2x 3 < 7x + 4 geq 2end{cases} ]首先，分别解决每个不等式：1. 解决第一个不等式：[ 2x 3 < 7 ]，可以得到[ x < 5 ]。
2023年中考专题训练——二次函数与不等式(附答案)
2023年中考专题训练——二次函数与不等式1．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y x 2x m 1=+++以及两点()()A m m 1B m m 3++，和，． (1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m 的代数式表示) (2)若该抛物线经过点()A m m 1+，，求此抛物线的表达式； (3)若该抛物线与线段AB 有公共点，结合图象，求m 的取值范围．2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，且对一切实数x ，都有22111424x ax bx c x x ≤++≤++成立． （1）当1x =时，求y 的值； （2）求此二次函数的表达式；（3）当x t m =+时，二次函数2y ax bx c =++的值为1y ，当2x t =时，二次函数2y ax bx c =++的值为2y ，若对一切11t -≤≤，都有12y y <，求实数m 的取值范围．3．已知函数222222()22()x kx k k x k y x kx k k x k ⎧-+-+=⎨++->⎩，（k 为常数）． （1）当1k =-时，①求此函数图象与y 轴交点坐标．②当函数y 的值随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围为_____ ___． （2）若已知函数经过点（1，5），求k 的值，并直接写出当20x -时函数y 的取值范围． （3）要使已知函数y 的取值范围内同时含有2±和4±这四个值，直接写出k 的取值范围．4．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22y x x c =-+的过程．（1已知函数过点()1,4，则这个函数的解析式为：___ ___．（2）在（1）的条件下，在平面直角坐标系中，若函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：_____ __（写出一条即可）．（3）结合（2）中你所画的函数图象，求不等式221x x c x -+≥+的解集．5．在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x ﹣1（a ≠0）和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A （﹣3，﹣3），B （1，﹣1）均在直线l 上． （1）求出直线l 的解析式；（2）当a ＝﹣1，二次函数y ＝ax 2＋2x ﹣1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，求a 的取值范围．6．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， （1）该函数的解析式为 ，补全下表：（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ．（3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集 ．7．已知函数()()2110by a x a x=-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2 m 385-…（1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214b a x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =-+的对称轴为直线2x =．(1)求b 的值；(2)在y 轴上有一动点(0,)P n ，过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，其中12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出n 的值；②把直线PB 上方的函数图象，沿直线PB 向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在05x 时，满足44y -，求n 的取值范围．9．如图，直线28y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式228x bx c x ++>-+的解集；(3)若点1(1,)C y ，2(,)D m y 都在抛物线上，当21y y >时，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y ax x c =-+与x 轴交于A ，()3,0B 两点，与直线AM ：2y kx b =+交于点A 、()4,5M 两点．(1)求抛物线解析式及顶点C 的坐标．(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式22ax x c kx b -+>+的解集． (3)将直线AM 向下平移，在平移过程中与抛物线BC 部分图象有交点时(包含B ，C 端点)，请直接写出b 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 上，其中x 1＜x 2．(1)求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）； (2)①当x ＝a 时，求y 的值；②若y 1＝y 2＝0，求x 1的值（用含a 的式子表示）． (3)若对于x 1+x 2＜﹣4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线2122y x mx =-+，点A 坐标(4,3)，点B 坐标3(1,)4--． (1)抛物线的对称轴为直线 ； (2)当抛物线经过点A 时，求m 的值；(3)点1(22P m -，1)y ，点1(2Q m +，2)y 在抛物线2122y x mx =-+上．当12y y >时，求m 的取值范围；(4)当抛物线2122y x mx =-+与线段AB 只有一个公共点时，直接写出m 的取值范围．13．已知二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象在点B 、C 之间的部分（包含点B 、C ）记为图象G ．已知直线l ：y ＝kx ﹣2k +2总位于图象G 的上方，请直接写出k 的取值范围；（3）如果点P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2+mx +n 的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，求x 12﹣ax 2+6a +4的值．14．在初中阶段的学习中，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22835x y x =-+性质及其应用的部分过程．请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：（2）观察该函数图象，写出该函数图象的一条性质：．（3）已知函数3375y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式223383755x x x -≤-+的解集：．（保留1位小数，误差不超过0.2）15．已知抛物线()2230y ax ax a a =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧． (1)求A ，B 两点的坐标．(2)结合函数图象写出关于x 的不等式2230ax ax a -->的解集．(3)已知点()11M -，，()23N -，，若该抛物线与线段MN 只有一个公共点，直接写出a 的取值范围．16．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），如果点C （x ，y ）满足12x x x =-，12y y y =-，那么称点C 是点A ，B 的“双减点”．例如：A （3，2），B （-1，5），当点C （x ，y ）满足()314x =--=，253y =-=-，则称点C （4，3-）是点A ，B 的“双减点”． (1)写出点A （1-，2），B （2，4-）的“双减点”C 的坐标，并且判断点C 是否在直线AB 上； (2)点E （t ，y 1），F （t+1，y 2），点G （x ，y ）是点E ，F 的“双减点”，是否存在非零实数k ，使得点E ，F ，G 均在函数ky x=的图象上，若存在，求实数k 的值，若不存在请说明理由； (3)已知二次函数222y ax bx =+-（0a b >>）的图像经过点（2，6），且与x 轴交于点M （x 1，0），N （x 2，0），若点P 为M ，N 的“双减点”，求点P 与原点O 的距离OP 的取值范围．17．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4（a ≠0）的顶点为A ，与x 轴相交于B ，C 两点． (1)求点A 的坐标；(2)若BC ＝4，求抛物线的解析式；(3)对于抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4（a ≠0）上的任意一点M （x 1，y 1）（x 1＜0），在函数y ＝x +2a ﹣5的图象上总能找到一点N （x 2，y 2）（x 2＞0）使得y 1＝y 2，请结合函数图象，求出a 的取值范围．18．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴负半轴交于点()0,3C -，直线y x m =-+经过A 、B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)观察图象，直接写出不等式2ax bx c x m ++<-+的解集；(3)在y 轴上是否存在点D ，使BDO OBA ∠=∠?如果存在，直接写出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．19．已知抛物线y ＝ax 2+3ax +c (a ≠0)与y 轴交于点A (1)若a ＞0①当a =1，c =－1，求该抛物线与x 轴交点坐标；②点P (m ，n )在二次函数抛物线y ＝ax 2+3ax +c 的图象上，且n －c ＞0，试求m 的取值范围； (2)若抛物线恒在x 轴下方，且符合条件的整数a 只有三个，求实数c 的最小值；(3)若点A 的坐标是(0，1)，当－2c ＜x ＜c 时，抛物线与x 轴只有一个公共点，求a 的取值范围. 20．已知：抛物线211:43C y x x =-+-与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，将1C 绕点A 旋转180゜得到222C y ax bx c =++:交x 轴与点N(1)求2C 的解析式(2)求证：无论x 取何值恒12y y ≤(3)当2243x x mx n ax bx c -+-≤+≤++时，求m 和n 的值．(4)直线:2l y kx =-经过点N ，D 是抛物线2c 上第二象限内的一点，设D 的横坐标为q ，作直线AD 交抛物线1c 于点M ，交直线l 于点E ，若DM ＝2ED ，求q 值参考答案：1．（1）(1,)m -；（2）：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-；（3）013m ≤≤-+132m -≤-. 【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据题意将()A m m 1+，代入求出m 的值即可求得该抛物线的表达式； （3）根据题意分m≥0，m ＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可． 【解析】解：（1）∵抛物线解析式为：22y x 2x m 1(1)x m =+++=++， ∴顶点坐标为：(1,)m -.（2）∵抛物线经过点()A m m 1+，， ∴21(1)m m m +=++，解得0,2m =-，所以该抛物线的表达式为：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-. （3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+， ∴220m m +≥且2220m m +-≤， 解得013m ≤≤-． 当m ＜0时，如图2中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∴m 2+2m≥0且m 2+2m-2≤0，解得12m -≤-，综上所述，满足条件的m 的值为：01m ≤≤-或12m -≤≤-．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答． 2．（1）1y =；（2）2111424y x x =++；（3）11m -<< 【分析】(1)直接将x=1代入22111424x ax bx c x x ≤++≤++,即可确定y 的值； (2)由题意函数图像过（-1,0）和（1,1），可得11,22b a c =+=，然后再根据22111424x ax bx c x x ≤++≤++，确定a 和c 的值即可解答； （3）当11t -≤≤时，可得12y y <,然后列出不等式解不等式即可．【解析】解：（1）不等式22111424x ax bx c x x ≤++≤++对一切实数都成立， 当1x =时也成立，即11a b c ++≤≤即有1y =；（2）根据二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0- 可得0a b c -+=①又当1,1x y ==时，即1a b c ++=② 由①②求得，11,22b a c =+=21122y ax x a ∴=++- 221111122424x ax x a x x ∴≤++-≤++ 即211022ax x a ++-≥，211044a x a ⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，1110,4()042a a a ∴>∆=--≤， 21110,04()()0444a a a -<∆=---≤， 解得：14a =，14c = 二次函数的表达式为2111424y x x =++ （3）当11t -≤≤时，12y y <即：120y y -<即22111111()()(2)20424424t m t m t t ⎡⎤⎡⎤++++-+⨯+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦整理得：2231111()042242t m t m m -+-++<当1t =-或1时均成立， 231111042242m m m ∴-+-++<231111042242m m m ∴--+++<解得51m -<<，11m -<<11m ∴-<<【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题以及二次函数的性质，掌握赋值法并灵活运用二次函数与不等式的关系是解答本题的关键．.3．（1）①（0,3）；②x≤1-或x≥1 ；（2）4y =-或8≤y ＜20；（3）1-≤k 117+k≥2．【分析】（1）①将1k =-代入函数关系式得2223(1)23(1)x x x y x x x ⎧----=⎨-+>-⎩，再将x ＝0代入223y x x =-+即可求得与y 轴的交点坐标；②先将两个二次函数关系式分别配成顶点式，再根据开口方向、对称轴及自变量的取值范围即可判断得解；（2）将（1,5）分别代入两个函数关系式求得k 的值，再逐个检验，进而可求得正确的函数关系式，再根据x 的取值范围确定y 的取值范围即可；（3）分类讨论，当k≤0时，当0＜k ＜2时，当k≥2时，画出相应的函数图像，讨论图像中的特殊点的坐标即可求得k 的取值范围．【解析】（1）当1k =-时，2223(1)23(1)x x x y x x x ⎧----=⎨-+>-⎩①∵01>-，∴把x ＝0代入223y x x =-+得3y =． ∴此函数图象与y 轴交点坐标为（0,3）． ②当x≤1-时，223y x x -=-- 配方得2(1)2y x =-+-∵a ＝－1＜0，对称轴为直线x ＝－1， ∴当x≤－1，y 随x 的增大而增大，符合题意， 当x ＞1-时，223y x x =-+，配方得2(1)2y x =-+，∵a ＝1＞0，对称轴为直线x ＝1，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，符合题意，综上所述：当函数y 的值随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围为x≤1-或x≥1； （2）当k≥1时，把（1,5）代入2222y x kx k k =-+-+，得21225k k k -+-+=， 解得2460k k -+=无实根． 当k ＜1时，把（1,5）代入2222y x kx k k =++-，得21225k k k ++-=， 解得12k =（不合题意，舍去），22k =-． ∴2k =-．∴2248(2)48(2)x x x y x x x ⎧----=⎨-+>-⎩当x ＝－2时，将x ＝－2代入248y x x =--- 得：y ＝－4，当－2＜x≤0时，248y x x =-+ 配方得2(2)4y x =-+∵a ＝1＞0，对称轴为直线x ＝2， ∴当－2＜x≤0时，8≤y ＜20，综上所述：当－2≤x≤0时，y 的取值范围为4y =-或8≤y ＜20．（3）由题意可知22()2()()2()x k k x k y x k k x k ⎧--+=⎨+->⎩， 当k≤0时，函数图像如图所示，则2()2()y x k k x k =--+的最大值2k≥－2即可， 解得k≥－1， ∴－1≤k≤0，当0＜k ＜2时，2()2()y x k k x k =--+的最大值2k ＜4 则当x ＞k 时，2()2()y x k k x k =+->的最小值＜4即可，将x ＝k ，y ＝4代入得2424k k -= 解得12117117k k +-==（舍去）， ∴0＜k 117+ 当k≥2时，2()2()y x k k x k =--+的最大值2k≥4，如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意， ∴k≥2，综上所述：1-≤k 117+或k≥2． 【点评】本题考查了二次函数图像的性质，待定系数法的应用，以及用图像法求对应的自变量的取值范围或函数值的取值范围，解决本题的关键是能够画出相应的函数图像，结合函数图像的性质进行解题．本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，有一定的难度．4．（1）225y x x =-+或223y x x =--；（2）图见解析，性质：（写出一条即可）①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大；（3）4x ≥或2x ≤【分析】（1）由函数过点()1,4，代入124c -+=，求出5c =或3c =-，可得函数； （2）用描点法画图，列表、描点、连线，性质：①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，（3）利用图像解法不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧即可得出答案【解析】解：（1）∵函数过点()1,4，124c -+= ∴14c -=， ∴14c -=±， ∴5c =或3c =-，∴225y x x =-+或223y x x =--； 故答案为：225y x x =-+或223y x x =--；（2）列表描点连线性质：（写出一条即可） ①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大， 故答案为①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大;（3）2251x x x -+=+，()2251x x x -+=±+，22340,60x x x x -+=-+=，都无解，或2231x x x --=+，()2231x x x --=±+， 2340x x --=或220x x --=，解得x=-1，x=2，x=4，不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧，即不等式2251x x x -+≥+或2251x x x -+≥+的解集为4x ≥或2x ≤．．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集，掌握待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集是解题关键． 5．（1）1322y x =-；（2）m =-3或m =3；（3）49≤a ＜98或a ≤-2； 【分析】（1）用待定系数法直接将点A 和B 代入直线l 中然后得到关于k 和b 的二元一次方程没然后解方程即可得到k 和b 的值，然后得到l 的解析式；（2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1，当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4，x =-1或x =3； ①在x =1左侧，y 随x 的增大而增大，x =m +2=-1时，y 有最大值-4，m =-3； ②在对称轴x =1右侧，y 随x 增大而减小，x =m =3时，y 有最大值-4； （3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1，即a ≤-2；②a ＞0时，x =-3时，y ≥-3，即a ≥49，直线AB 的解析式为y =12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=x -32，△=94-2a ＞0，则a ＜98，即可求a 的范围；【解析】解：（1）点A （-3，-3），B （1，-1）代入y =kx +b 可得：3=31k b k b --+⎧⎨-=+⎩解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴l 的解析式为：1322y x =-； （2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1， ∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =1， ∵m ≤x ≤m +2时，y 有最大值-4， ∴当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4， ∴x =-1或x =3，①在对称轴直线x =1左侧，y 随x 的增大而增大， ∴x =m +2=-1时，y 有最大值-4， ∴m =-3；②在对称轴直线x =1右侧，y 随x 增大而减小， ∴x =m =3时，y 有最大值-4； 综上所述：m =-3或m =3； （3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1， 即a ≤-2；②a ＞0时，x =-3时，y ≥-3， 即a ≥49，直线AB 的解析式为y=12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=12x -32，∴ax 2+32x +12=0，△=94-2a ＞0，∴a ＜98，∴a 的取值范围为49≤a ＜98或a ≤-2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．6．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；55-x55+15--x15-+．【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【解析】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴1222 4221b cb c-+-=-⎧⎨++-=⎩，∴13bc=-⎧⎨=⎩，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；补全表格如图，x ⋯﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯y ⋯7 2 ﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；（3）当x≥1时，x2﹣x+2﹣3x+3=x，解得，155x+=255x-55-x55+当x＜1时，x2﹣x+2+3x﹣3=x，解得，315x-+=，415x--=15--≤x15-+∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x 55-x55+15--≤x15-+【点评】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．7．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见解析；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+bx+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可； （2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可； （3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【解析】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+bx+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x ---+（a≠0），当x=4时，m=131791244-⨯-+=-；（2）如图所示，性质：当x ＞2时，y 随x 的增大而减小（答案不唯一）；（3）∵a （x -1）2+bx≥x -4，∴a （x -1）2+bx+1≥x -3，如图所示，由图象得：x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析． 8．(1)4b = (2)①54n =；②n 的取值范围为24n【分析】(1)由对称轴为直线22bx =-=，可求b 的值； (2)①由题意可得AB =3，由对称性可求点A ，点B 横坐标，代入解析式可求解； ②先求出顶点坐标，由图象和x ，y 的取值范围，可求解． （1）解：抛物线23y x bx =-+的对称轴为直线2x =，22b -∴=-， 4b ∴=；（2）解：①4b =，∴抛物线的表达式为243y x x =-+，直线AB y ⊥轴，AB x ∴∥轴，213x x -=，3AB ∴=．对称轴为直线2x =， ∴点A 的横坐标为31222-=，点B 的横坐标为37222+=，∴当12x =时，54y n ==．②2243(2)1y x x x =-+=--， ∴顶点坐标为(2,1)-，当x =5时，y =8，当4y n ==时，05x 时，图象如下：此时14y -；当2y n ==时，05x 时，图象如下：此时42y -；n ∴的取值范围为24n ．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，图形的翻折变换等知识，利用数形结合思想解决问题是解决本题的关键． 9．(1)268y x x =-+ (2)0x <或>4x (3)1m <或5m >【分析】（1）先通过直线解析式得到A 、B 的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据图象解答即可；（3）先将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得出1y 的值，再解出当13y =时，方程的解，结合图象，求解即可． (1)令0x =，则8y =(0,8)B ∴ 令0y =，则4x =(4,0)A ∴将A 、B 分别代入2y x bx c =++得80164cb c =⎧⎨=++⎩ 解得 68b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为268y x x =-+；(2)直线28y x =-+与抛物线268y x x =-+交于A 、B 两点0x ∴<或>4x 时，228x bx c x ++>-+；(3)将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得 11683y =-+= 21y y >23y ∴>将13y =代入抛物线解析式，得 2368x x =-+ 解得 121,8x x ==根据图象，当21y y >时，1m <或5m >．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．(1)2223(1)4y x x x =--=--，C 的坐标为()1,4-； (2)点()1,0A -，1x <-或>4x ； (3)2134b -≤≤-【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，把一般式化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（2）利用抛物线的解析式求得A 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）先利用待定系数法求得直线AM 的解析式，即可得到平移后的解析式为y x b =+，分别代入B 、C 点的坐标，求得b 的值，求得平移后的直线与抛物线有一个交点时的b 的值，结合图象即可求得． （1）点30B （，）、M （4，5）是抛物线图象上的点，9601685a c a c -+=⎧∴⎨-+=⎩ 解得13a c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线解析式为222314y x x x =--=--（），∴抛物线顶点C 的坐标为14-（，）；（2）对于抛物线2=23y x x --， 当0y =时，即2230x x --=， 解得1213x x =-=，， ∴点A （-1，0）观察函数图象可知，不等式22ax x c kx b -+>+的解集为1x <-或>4x ； （3）点A （-1，0）和点M （4，5）在直线AM ：2y kx b =+的图象上，045k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AM 的解析式为21y x =+．当直线AM 向下平移经过点30B （，）时，直线AM 的解析式为'y x b =+，则3十'0b =，解得'3b =-，当直线AM 平移经过点C （1，-4）时，则1''4b +=- 解得''5b =-，当直线AM 平移后与抛物线2=23y x x --有一个交点时，联立223y x by x x =+⎧⎨=--⎩化简得2330x x b ---=则94(3)0m ∆=---= 解得214b =-， b ∴的取值范围是2134b -≤≤-． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，函数与不等式的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．11．(1)对称轴为直线x ＝a ﹣1 (2)①y =0；②x 1＝a ﹣2 (3)a ≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝﹣2ba求解即可； （2）①将x ＝a 代入y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 求解即可；②若y 1＝y 2＝0，则﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，解方程并根据x 1＜x 2，求出x 1的值．（3）由题意得出x 1＜﹣2，则只需讨论x 1＜a ﹣1的情况，分两种情况：①当a ≥﹣1时，又有两种情况：x 1＜x 2＜a ﹣1，x 1＜a ﹣1＜x 2，分别结合二次函数的性质及x 1+x 2＜﹣4计算即可；②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意． 【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2(1)2a --＝a ﹣1； （2）解：①当x ＝a 时，y ＝﹣a 2+（2a ﹣2）a ﹣a 2+2a ＝﹣a 2+2a 2﹣2a ﹣a 2+2a ＝0；②当y 1＝y 2＝0时，﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0， ∴x 2﹣（2a ﹣2）x +a 2﹣2a ＝0， ∴（x ﹣a +2）（x ﹣a ）＝0， ∵x 1＜x 2， ∴x 1＝a ﹣2； （3）解：①当a ≥﹣1时， ∵x 1＜x 2，x 1+x 2＜﹣4，∴x 1＜﹣2，只需讨论x 1＜a ﹣1的情况． 若x 1＜x 2＜a ﹣1，∵x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，符合题意； 若x 1＜a ﹣1＜x 2， ∵a ﹣1≥﹣2， ∴2（a ﹣1）≥﹣4， ∵x 1+x 2＜﹣4， ∴x 1+x 2＜2（a ﹣1）． ∴x 1＜2（a ﹣1）﹣x 2．∵x ＝2（a ﹣1）﹣x 2时，y 1＝y 2，x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意．②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意； 综上所述，a 的取值范围是a ≥﹣1．【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 12．(1)4m x = (2)152m =(3)1m >或0m <(4)32m =-+152m <-或152m >【分析】（1）根据对称轴为直线2bx a=-，计算求解即可； （2）将(4,3)A 代入抛物线2122y x mx =-+，计算求解即可；（3）由题意知22111111(2)(2)2()()2222222m m m m m m ---+>+-++，解不等式即可；（4）由(4,3)A ，3(1,)4B --可得直线AB 为34y x =，联立234122y x y x mx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得213()2024x m x -++=，当△0=时，解得32m =--32m =-+，可知此时直线与抛物线有且只有一个交点，然后判断此时线段与抛物线是否有一个交点；当抛物线2122y x mx =-+过3(1,)4B --时，解得152m =-，可知在152m <-时，抛物线与线段有一个交点，当抛物线2122y x mx =-+过(4,3)A 时，解得152m =，可知在152m >时，抛物线与线段有一个交点；进而得到m 的取值范围． (1)解：抛物线的对称轴为直线1224mm x -=-=，故答案为：4mx =． (2)解：将(4,3)A 代入抛物线2122y x mx =-+得：2144232m -⨯+=，解得152m = ∴152m =． (3)解：点1(22P m -，1)y ，点1(2Q m +，2)y 在抛物线2122y x mx =-+上，21111(2)(2)2222y m m m ∴=---+，22111()()2222y m m m =+-++，12y y >，22111111(2)(2)2()()2222222m m m m m m ∴---+>+-++，化简整理得：5(1)02m m ->，∴50210m m ⎧>⎪⎨⎪->⎩或50210m m ⎧<⎪⎨⎪-<⎩， 解得1m >或0m <， ∴1m >或0m <． (4)解：由(4,3)A ，3(1,)4B --可得直线AB 为34y x =，联立234122y x y x mx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得213()2024x m x -++=，当△0=时，213[()]412024m -+-⨯⨯=， 解得3422m =--或3422m =-+，即3422m =--或3422m =-+2122y x mx =-+与直线AB 只有一个交点， 当3422m =--时，对称轴4B m x x =<，即此时抛物线2122y x mx =-+与直线AB 的交点不在线段AB 上，故舍去， 当3422m =-+时，144B A m x x =-<<=，此时抛物线2122y x mx =-+与直线AB 的交点在线段AB 上，3422m ∴=-+当抛物线2122y x mx =-+过3(1,)4B --时，231(1)(1)242m -=--⨯-+，解得152m =-， 当抛物线2122y x mx =-+过(4,3)A 时，31622m =-+， 解得152m =， 如图：由图可知：抛物线2122y x mx =-+与线段AB 只有一个公共点，m 的范围是32m =-+或152m <-或152m >． 【点评】本题考查了二次函数的对称轴，根据点坐标求参数，解一元二次不等式，二次函数与一次函数的综合．解题得关键在于对知识的灵活运用． 13．（1）y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k ＜﹣12；（3）8．【分析】（1）代入点A (1,0)和D (4,3)，可求得m 、n 的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l ；y =kx −2k +2=k （x −2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B 、C 的坐标，可求得k 的值，要使直线l ；y =kx −2k +2总位于图象G 的上方，则k 的取值范围，即为分别代入点B 、C 的坐标所求得的k 的值之间的部分．（3）由二次函数243y x x =-+的对称轴是直线x=2，点P (x 1，c)和点Q (x 2，c)在函数2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【解析】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得43m n =-⎧⎨=⎩．故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3， 则函数的对称轴为x ＝﹣2ba＝2， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1， 故顶点坐标为：（2，﹣1）； （2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x＝0，解得y＝3，令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则C的坐标是（0，3），点B（3，0），∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M，当直线过点C、M或过B、M时，都符合要求，将点C的坐标代入y＝kx﹣2k+2，即3＝﹣2k+2，解得k＝﹣12；将点B的坐标代入3＝kx﹣2k+2，即0＝3k﹣2k+2，解得k＝﹣2；故﹣2＜k＜﹣12，故答案为：﹣2＜k＜﹣12；（3）∵P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，∴PQ//x轴，∵二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，又∵x1＜x2，PQ＝2a，∴x1＝2﹣a，x2＝2+a，∴x12﹣2x2+6a+4＝（2﹣a）2﹣a（2+a）+6a+4＝8．【点评】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．14．（1）表格见解析，图见解析；（2）图象是轴对称图形，对称轴为y轴；（3）-1.3≤x≤1.8．【分析】（1）把各自变量的值代入函数即可求出对应的值，故可补全表格与图象；（2）根据函数图象的特点即可求解；（3）根据两函数的交点横坐标与图象的特点即可求解．【解析】（1）当x=-2时，22835xyx=-+=59；当x=0时，22835xyx=-+=-3；当x=1时，22835xyx=-+=53-；补全表格为：故补全图象如下：（2）由图可得图象是轴对称图形，对称轴为y 轴 故答案为：图象是轴对称图形，对称轴为y 轴；（3）由函数图象可得函数3375y x =-与函数22835x y x =-+的交点横坐标为x 1=-1.3，x 2=1.8∴不等式223383755x x x -≤-+的解集为-1.3≤x ≤1.8故答案为：-1.3≤x ≤1.8．【点评】此题主要考查函数与不等式综合，解题的关键是根据题意与表格的数据作出函数图象．15．(1)()10A -，；()30B ，(2)0a ＞时，x 3＞或1x -＜；0a ＜时，13x -＜＜ (3)01a ≤＜或0a ＜【分析】（1）对于抛物线的解析式，令0y =即可求解；（2）分别画出0a ＞时和0a ＜时，抛物线的图象，根据图象即可求解；（3）分别画出0a ＞时和0a ＜时，抛物线的图象和线段MN ，根据图象即可求解； (1)解：∵223y ax ax a =--，∴()()()22331y a x x a x x =--=-+，令0y =，则()()310a x x -+=， 解得13x =，21x =-∴()10A -，，()30B ，； (2)解：当0a ＞时，抛物线()2230y ax ax a a =--≠如图所示，关于x 的不等式2230ax ax a -->的解集为x 3＞或1x -＜；当0a ＜时，抛物线()2230y ax ax a a =--≠如图所示，关于x 的不等式2230ax ax a -->的解集为13x -＜＜； (3)解：对于抛物线()2230y ax ax a a =--≠，当=1x -时，则230y a a a =+-=； 当2x =时，则4433y a a a a =--=-， 若0a ＞时，抛物线的开口向上，如图所示，∵()11M -，，当=1x -时，则230y a a a =+-=； ∴点M 在抛物线的内部，∵()23N -，， ∴当44333y a a a a =--=-=-时，点在抛物线的图象上，此时1a =， ∴当抛物线与线段MN 只有一个公共点时，应满足01a ≤＜；若0a ＜时，抛物线的开口向下，如图所示，∵()11M -，，当=1x -时，则230y a a a =+-=； ∴点M 在抛物线的外部， ∵44333y a a a a =--=--＞时， ∴()2,3N -点在抛物线图象的内部，∴连接线段MN ，抛物线与线段MN 只有一个公共点 此时满足0a ＜；综上可得，抛物线与线段MN 只有一个公共点，满足01a ≤＜或0a ＜．【点评】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点坐标，二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，画出图象，根据图象求解是解题的关键． 16．(1)（-3，6），在直线AB 上 (2)不存在，见解析(3)2OP <<【分析】（1）根据“双减点”的定义求出C 点坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式，将C 点坐标代入验证即可；（2）根据“双减点”的定义求出G 点坐标，将将E 、F 、G 坐标代入ky x=，即可得到一个关于t 的一元二次方程，根据方程无解即可判断不存在满足条件的k ；（3）二次函数222y ax bx =+-的图象经过点(2,6)，可得2a b +=，令y =0，得关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=，根据根与系数的关系有：122b x x a +=-，122x x a⋅=-，根据0a b >>，1x 、2x 异号，在不影响结果的前提下，故根据方程的对称性及解答方便，可设120x x >>，则有2124(1)3x x a-=-+0a b >>，2a b +=，即可得到12a ＜＜，继而得到12223x x -＜＜OP 的取值范围．(1)根据A (-1,2)、B (2,-4)及“双减点”的定义可知，A 和B 的“双减点”C 的坐标为：(-3,6)，且点C 在直线AB 上，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，将A (-1,2)、B (2,-4)代入得：224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：20k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AB 的解析式为：2y x =-，将C 点坐标代入2y x =-验证可知，C 点在直线AB 上；(2)依据E （t ，1y ），F （t +1，2y ），即x =t -(t +1)=-1，y =21y y -，则“双减点”点G 的坐标为（-1，21y y -），将E （t ，1y ），F （t +1，2y ），G （-1，21y y -）代入k y x=， 得：121211k y t k y t k y y ⎧=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪-=⎪-⎩， 得方程210t t ++=，即213()024t ++=，方程无实数解， 故不存在非零的实数k 使得点E ，F ，G 均在函数k y x =的图象上； (3)∵二次函数222y ax bx =+-的图象经过点(2,6)，∴有6442a b =+-，即2a b +=，令y =0，得关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=， 根据根与系数的关系有：122b x x a +=-，122x x a⋅=-，∵0a b >>，∴1x 、2x 异号，在不影响结果的前提下，故根据方程的对称性及解答方便，可设120x x >>，∴12x x -= 又∵2a b +=，∴12x x -=， ∵0a b >>，2a b +=，∴12a ＜＜，∴当a =1=∴当a =22，∴2，即122x x -＜＜∵P 为M （1x ,0），N （2x ,0）的“双减点”，∴P 点的纵坐标为0，即P 点在x 轴上，则P 点在坐标原点O 的距离为P 点的横坐标12x x -，则有OP 的取值范围：2OP ＜＜【点评】本题考查了待定系数法求解一次函数解析式、二次函数的性质、反比例函数的性质、一元二次方程以及求解不等式的解集等知识，充分理解“双减点”的定义是解答本题的关键．17．(1)点A （1，﹣4）(2)y ＝x 2+4x-3(3)a 的取值范围是0＜a ≤1【分析】（1）、将解析式化成顶点式，即可求解．（2）、由（1）可得函数的对称轴，结合BC 的长即可求出B 点坐标，代入解析式即可．（3）、画出图像，分别求出一次函数和二次函数与y 轴交点，结合图像即可求出．(1)解：∵y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4＝a （x ﹣1）2﹣4，∴点A （1，﹣4）；(2)∵顶点坐标为（1，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∵BC ＝4，∴B （﹣1，0），C （3，0），把B 的坐标代入y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4时，则a +2a +a ﹣4＝0，解得a ＝1∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x-3；(3)当a ＞0时，如图，∵y ＝x +2a ﹣5与y 轴的交点为（0，2a -5），y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4与y 轴的交点为（0，a -4），当2a ﹣5≤a ﹣4时符合题意，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，不合题意，故a 的取值范围是0＜a ≤1．【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图像上的点的坐标特点，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握函数的性质和数形结合的方法是解题的关键．18．(1)2=23y x x --；(2)12x -<<；(3)存在点D 的坐标是()0,1或()0,1-．【分析】（1）先求出点B 、C 的坐标，把()2,3A -、()1,0B -、()0,3C -三点代入抛物线，可得抛物线的解析式；（2）观察函数图象，写出二次函数在一次函数图象下方所对应的自变量的取值范围即可；；（3）分两种情况进行讨论：①点D 在y 轴的正半轴上，；②若点D 在y 轴的负半轴上．。
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。
解题技巧：不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全攻略(解析版)
专题16解题技巧专题：不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一根据不等式的解集求参数】 (1)【类型二利用整数解求参数的取值范围】 (3)【类型三根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 (5)【类型四整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】 (7)【类型五分式方程与不等式(组)结合求参数】 (9)【过关检测】 (13)【典型例题】【类型一根据不等式的解集求参数】A．1a=B．a=【变式训练】A．4B．2【类型二利用整数解求参数的取值范围】例题：（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x 的不等式组3211x x m -≥⎧⎨≥+⎩共有2个整数解，则m 的取值范围是（）A ．1m =-B ．21m -<≤-C ．21m -≤≤-D ．1m <-【答案】B【分析】先解不等式321x -≥，得1x ≤，结合不等式组的整数解的情况，得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解不等式321x -≥，得1x ≤，∵关于x 的不等式组3211x x m -≥⎧⎨≥+⎩共有2个整数解，∴这两个整数解为0,1，∴110m -<+≤，解得21m -<≤-，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于m 的不等式组．【变式训练】【详解】()02332x m x x ->⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②，解①得：x >m ，解②得：3x ≤，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组()2332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有四个整数解，∴整数解为：0、1、2、3，∴10m -≤<，故选：C【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．【类型三根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围】【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式训练】【类型四整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】例题：（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知关于x y 、的二元一次方程组22124x y m x y m +=-⎧⎨+=+⎩的解满足24x y x y +>⎧⎨-<⎩，则m 的取值范围是______．【答案】19m <<【分析】由已知方程组得出1x y m +=+且5x y m -=-，根据24x y x y +>⎧⎨-<⎩得出关于m 的不等式组，解之即可得出答案．【详解】解：22124x y m x y m +=-⎧⎨+=+⎩①②，①②+，得：3333x y m +=+，∴1x y m +=+，-①②，得：5x y m -=-，∵24x y x y +>⎧⎨-<⎩，∴1254m m +>⎧⎨-<⎩，解得19m <<，故答案为：19m <<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据方程组和不等式组得出关于m 的不等式组．【变式训练】∴m+2>5，m>．解得：3m>．故答案为：3【点睛】题目主要考查解方程组及不等式，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．【类型五分式方程与不等式(组)结合求参数】【变式训练】【过关检测】一、单选题1．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）如图，是关于x 的不等式21x m -<-的解集，则整数m 的值为（）A ．2m =B ．1m =C ．2m =-D ．1m =-【答案】D 【分析】根据不等式的解集，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解不等式21x m -<-得：12m x -<，∵由图可得不等式的解集为1x <-，∴112m -=-，∴1m =-．故选：D ．【点睛】此题考查了不等式的解集，解题关键是当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据数轴上的解集进行判断，求得另一个字母的值．2．（2022春·河北邯郸·七年级校考期末）如果关于x 的不等式()4848a x a +<+的解集为1x >，那么a 的取值范围是（）A ．0a >B ．0a <C ．2a >-D ．2a <-【答案】D【分析】由不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变可得480a +<，从而可得答案．【详解】解：∵关于x 的不等式()4848a x a +<+的解集为1x >，∴480a +<，解得：2a <-，故选D【点睛】本题考查的是不等式的性质，不等式解法，熟记不等式的性质是解本题的关键．3．（2023春·吉林长春·七年级校考期中）已知不等式0x a -<的正整数解有3个，那么a 的取值范围是（）A ．34a <<B ．34a <≤C ．34a ≤≤D ．34a ≤<二、填空题三、解答题。
专题;利用不等式性质求含两个变量的代数式的取值范围
专题： 利用不等式性质求含两个变量的代数式的取值范围学习目标：研究含两个变量的代数式的值的取值范围活动一 不等式的性质有哪些？不等式的基本性质活动二 问题探究----不等式性质的运用例： 已知32,41<<<<-y x ，则y x -的取值范围是 （学习目的：学会不等式基本性质的应用）变式1 已知32,41<<<<-y x ，则y x 23+的取值范围是（学习目的：结论系数添加常数，不等式性质运用）变式2 已知32,41<-<<+<-y x y x ，则y x 23+的取值范围是（学习目的：将y x y x -+,作为整体“元”，y x 23+用“元”表示出来，利用待定系数法求“元”系数。
）变式3 已知2lg 1,4)lg(1≤≤-≤≤y x xy ，求yx 2lg 的取值范围。
（学习目标：运算形式进行变化，）变式4 已知31<<<-y x ，求y x -的取值范围。
（学习目标：将条件变化为不等式组。
）活动二 问题拓展-----不等式与其它问题的联系例2 已知函数bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1<≤≤-<f f ，求)2(-f 的取值范围。
活动三 高考题中的不等式（组）例3 （2010年江苏高考题）设y x ，为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是训练:1、（2018北京卷12）(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．2、 （2013新课标Ⅰ） 设,x y 满足约束条件13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为___．3、（2013湖南）若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x +y 的最大值为________．课后练习1、已知①11a b -+≤≤；②13a b -≤≤，求：3a b -的取值范围．2、（2011新课标）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．。
待定系数法求不等式范围步骤
待定系数法求不等式范围步骤嘿，咱今儿个就来好好唠唠待定系数法求不等式范围的那些事儿哈！你看啊，这待定系数法就像是一个神奇的小魔法，能帮咱在不等式的世界里找到确切的范围呢！那到底咋用呢？别急，咱一步步来。
咱先得有个不等式吧，就像要做饭得先有食材一样。
然后呢，我们就开始观察这个不等式，就像侦探观察犯罪现场似的，找找有啥特点，有啥线索。
比如说，咱看到一个不等式，哎呀，这里面好像可以用待定系数法呀！那咱就大胆地设几个未知数，就像给这个不等式穿上几件神秘的外衣。
接下来可关键啦！咱得根据已知条件，去建立一些等式或者不等式关系。
这就好比是给这些神秘外衣系上扣子，让它们能好好地贴合在不等式上。
然后呢，通过这些关系，咱就能求出那些待定的系数啦！就像是解开了一个谜团，找到了隐藏的答案。
你想想，这是不是很有趣呀？就好像在玩一个解谜游戏，一步步地找到最终的答案。
比如说，有个不等式长这样，咱设了几个系数之后，发现通过某些条件可以得出几个等式，然后一解，哇塞，那些系数就都出来啦！这感觉，就像是在黑暗中突然找到了明灯，豁然开朗呀！咱再举个例子哈，就像走迷宫，你得找到正确的路才能走出去。
待定系数法就是帮咱找到那条正确路的工具呢！咱在不等式的迷宫里，用它来指引方向，找到那个我们想要的范围。
而且哦，用待定系数法求不等式范围的时候，你得细心，就像绣花一样，不能马马虎虎的。
一个小细节没注意到，可能就得出错的结果啦！那可不行呀！总之呢，待定系数法求不等式范围就像是一把钥匙，能打开不等式里隐藏的秘密。
咱可得好好掌握它，让它为咱所用呀！这样咱在数学的海洋里就能游得更畅快啦！可别小瞧了它哟！。
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8.（2017·呼和浩特）已知关于x的不等式组
有四个整数解，实数a的取值范围是__________
9.（2018·贵阳）若关于x的一元一次不等式组 ,则a的取值范围是_____________
A.a 2B.a≥2C.a 2D.a≤2
4.（2017·金华）若关于x的一元一次不等式组 解是x<5,则m的取值范围是( )
A.m 5 B.m>5 C.m 5 D.m<5
5. （2019∙黑龙江）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是______________。
6. （2019∙同仁）不等式组 的解集为 3a+2，则a的取值范围是___________.
10.（2018·泰安）若不等式组 有3个整数解,则实数a的取值范围是__________________
11. （2019∙包头）已知不等式组 的解集为x −1，则k的取值范围是______.
12. （2019∙宜宾）若关于x的不等式组 ，有且只有两个整数解，则m的取值范围是__________________．
专题：
确定不等式(组)中待定系数的取值范围（或值）问题
1. （2019∙内江）若关于x的不等式组 恰有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
2. （2019∙聊城）若不等式组 无解，则m的取值范围为（ ）
A. m≤2B. m 2C. m≥2D. m 2
3. （2019∙云南）若关于x的不等式组 的解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是x a,则a的取值范围是()