排队论1

引言自从有战争之日起，战争主要由进攻方和防御方两方构成。

而在现代战争中，进攻方将可能实施大规模的导弹袭击。

面对这种大量导弹来袭，防御方需要拥有强大的防御系统。

防御系统是一个随机服务的系统，对每一枚进攻的导弹进行防御服务，在不考虑战场电子干扰的前提下，雷达将探测所有的进攻导弹数据，对导弹的攻击目标进行预测。

本文根据排队论建立多层导弹防御服务模型，研究防御系统的概率规律性，为防御过程提供最优决策依据。

摘要：基于排队论的基本理论，建立对于实际的导弹防御阵地与被攻击单位的实际问题的处理和解析模型，详细的讨论了多层部署的方法进行防御的实际的可能性和作用。

并对实际的导弹防御问题中多层次的设施分配与服务的概率进行了作战假设和模拟并评价实际的作战效能，具有一定的现实的参考性和实用性。

关键词：排队论；服务概率；效能评估；导弹防御系统排队论假设：（1）假设目标的进入防御阵地的过程符合排队论的基本理论，即时损失制排队系统，在此假设中我们假设敌方目标为顾客，我方防御阵地为服务台，分别对于顾客进行服务来进行对于模型的简化处理。

（2）我方的防御阵地分为远中近三个不同的层次对于敌方的目标进行拦截，我们可以认为我方的三层的防御阵地的防御范围是不相重叠的，即对于进入区域的目标只指定一个通道（一架防御设施）进行拦截。

（3）服务（防御）的规则是先到先行服务，不考虑被拦截的目标的优先级。

如果当前的防御系统都在进行防御行动，则此时的敌方单位不受我方的防御限制进行突破，而在此敌方单位离开防御范围之前有空闲的通道，则系统同样对此目标进行服务。

（4）敌方单位在经过我方防御阵地时，不会对于我方的防御阵型造成冲击，即防御系统将保持良好，可以继续使用，可以继续对后继的敌方单位拦截。

防御阵地模型的建立：防御阵地拦截敌方单位在排队论的角度来看，是顾客接受串联服务台服务的过程，当一级服务台无法满足顾客的需求或者无法对顾客进行服务时，顾客则进入下一级的服务台。

并且每一层的拦截能力相同。

数学模型：防御阵地系统由第一层防御、第二层防御、第三层防御组成，这三层防御雷达探测到信号就进行拦截，假设这三层防御的雷达只对该层服务，即超越该层不进行探测。

因此用图表示防御阵地系统如下：防御系统的拦截服从泊松分布，又因为是串联服务的过程，防御过程表示为：A。

期中第一项A表示相继到达时间间隔分布是指数分布，第二项M /M/1/1/表示服务时间的分布是确定的，第三项1表示服务台数，第四项1表示在导弹穿越该层时只能对一枚导弹服务，即容量是1.。

第五项∞表示导弹（顾客）源数目是无限的。

A 层（第一层）防御：A u 表示单位时间内服务的顾客数；A λ表示单位时间内平均到达的顾客数；服务强度：AA A u p λ=①系统中没有对导弹拦截的概率为：A n nAAAo p u-==∑∞=1)(1λρ ② 有生灭过程求平稳解公式得：Ao nA An p p p = 即： nA A An p p p )1(-=用N 表示在统计平稳下系统的导弹数，平均队长L 是N 的数学期望nn AA n AnA p p npN E L ∑∑∞=∞=-===0)1()(AA p p -=1 ③用q N 表示在统计平衡时，等待拦截的导弹数，它的数学期望)(q Aq N E L =就是在需要拦截的导弹枚数：Ann q Aq p n N E L ∑∞=-==1)1()(AAp p -=12④每一枚导弹进入系统后需要等待服务时，系统已有n 个顾客的概率为An p ，每枚导弹拦截的时间为Au 1，所以平均等待时间为Au n 1∙,因此)(10A A A AAn n AAq u u p u n W λλ-=⨯=∑∞= ⑤所以导弹的平均逗留时间为A W 为：AA AAq A u u W W λ-=+=11 ， ⑥B 层（第二层）防御：因为导弹不会等待拦截。

当A 层不能够拦截时就落入了B 层，即A 层队列中的导弹就落入了B 层，再有B 进行型拦截。

B u 表示单位时间内服务的顾客数；B λ表示单位时间内平均到达的顾客数；在A 层中当队列中导弹超过一枚的概率为：022)2(A n A p p N p ∑∞==≥所以Aon A B p p ∑∞==22λ服务强度：BB B u p λ=，因为Aon A B p p ∑∞==22λ所以服务强度为：Bn Ao A B u p p p ∑∞==22①系统中没有对导弹拦截的概率为：B n nBBBo p u-==∑∞=1)(1λρ ，因为Bn Ao A B u p p p ∑∞==22所以系统中没有对导弹拦截的概率表示：Bn Ao A B n nBBBo u p p p u∑∑∞=∞=-=-==2211)(1λρ ②有生灭过程求平稳解公式得：Bo nB Bn p p p = 即： nB B Bn p p p )1(-=用N 表示在统计平稳下系统的导弹数，平均队长L 是N 的数学期望nn BB n BnB p p npN E L ∑∑∞=∞=-===0)1()(BB p p -=1因为Bn Ao A B u p p p ∑∞==22，带入得：Bn Ao A Bn Ao A B u p p u p p L ∑∑∞==-=22221 ③用q N 表示在统计平衡时，等待拦截的导弹数，它的数学期望)(q Aq N E L =就是在需要拦截的导弹枚数：Bnn q Bq p n N E L ∑∞=-==1)1()(Bn Ao A Bn Ao A Bq u p p u p p L ∑∑∞==-=222221)( ④每一枚导弹进入系统后需要等待服务时，系统已有n 个顾客的概率为B p ，每枚导弹拦截的时间为Bu 1，所以平均等待时间为Bu n 1∙,因此)(1B B B BBn n BBq u u p un W λλ-=⨯=∑∞=,又因为Aon A B p p ∑∞==2λ所以Bq W 表示为：)(22Ao n A B B n AoA Bq p p u u p p W ∑∑∞=∞=-=⑤导弹的平均逗留时间为B W 为：BB BBq B u u W W λ-=+=11把Aon A B p p ∑∞==2λ带入得，所以B W 表示为：∑∞=-=21n AoA bB p p u W ⑥C 层（第三层）防御：当导弹在A 、B 层不能拦截时，只有到C 层拦截：Cu 表示单位时间内服务的顾客数；C λ表示单位时间内平均到达的顾客数;在B 层中当队列中导弹超过一枚的概率为：022)2(B n B p p N p ∑∞==≥，把B 层中的①和 ②带入得：)1()()2(222222Bn AoAN B N AoAu p Pu p PN p ∑∑∑∞=∞=∞=-=≥所以C λ=)1()()2(222222Bn Ao A N BN Ao A u p P u p P N p ∑∑∑∞=∞=∞=-=≥。

所以服务强度为：CC C u p λ=，把C λ=)1()()2(222222Bn AoAN B N AoAu p Pu p PN p ∑∑∑∞=∞=∞=-=≥。

带入得：Cn Bn AoABn Ao A C u u P PI u p p p ∑∑∑∞=∞=∞=-=222222)()(①系统中没有对导弹拦截的概率为：C n nCCCo p u-==∑∞=1)(1λρ ，因为Cn Bn Ao A Bn Ao A C u u P P I u p p p ∑∑∑∞=∞=∞=-=222222)()(所以系统中没有对导弹拦截的概率表示：Cn BN aO A Bn Ao A C n nCCCo u u P p u p p p u∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=--=-==222222)1()(11)(1λρ ②用N 表示在统计平稳下系统的导弹数，平均队长L 是N 的数学期望nn CC n CnC p p n npN E L ∑∑∞=∞=-===0)1()(CC p p -=1因为Cn Bn Ao A Bn Ao A C u u P P I u p p p ∑∑∑∞=∞=∞=-=222222)()(，带入得：∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=---=222222222222)1()(1)1()(N Bn Ao A BN AO A Cn Bn Ao A Bn Ao A c u p p u P P u u p p u p p L ③用q N 表示在统计平衡时，等待拦截的导弹数，它的数学期望)(q Aq N E L =就是在需要拦截的导弹枚数：Cnn q Cq p n N E L ∑∞=-==1)1()(Cn Bn Ao A Bn AO A Cn Bn Ao A Bn Ao A Cp u u p p u p p u u p p u p p L ∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=--=2222222222222)1()())1()((④每一枚导弹进入系统后需要等待服务时，系统已有n 个顾客的概率为C p ，每枚导弹拦截的时间为Cu 1，所以平均等待时间为Cu n 1∙,因此)(10C C C CCn n CCq u u p u n W λλ-=⨯=∑∞=,又因为C λ=)1()()2(222222Bn Ao A N BN Ao A u p P u p P N p ∑∑∑∞=∞=∞=-=≥所以Bq W 表示为：))1()(()1()(222222222222∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=---=n Bn Ao A Bn Ao A C C n Bn Ao A Bn Ao A Cq u p p u p p u u u p p u p p W ⑤导弹的平均逗留时间为C W 为：CC CCq c u u W W λ-=+=11把C λ=)1()()2(222222Bn AoAN B N AoAu p Pu p PN p ∑∑∑∞=∞=∞=-=≥。

带入得，所以BW 表示为：∑∑∑∞=∞=∞=--=222222)1()(1n Bn Ao A Bn Ao A c C u p p u p p u W ⑥实例分析：某城市设了防御进攻方导弹的袭击的三道防空系统，分别为A 层、B 层、C 层。

每一层防御系统每次只能拦击一枚导弹，每一层的防御一次防御周期内能拦截10枚。

设在A 层的导弹流在一个防御周区内为5枚，如果在A 层不能拦截，将损失100万，如果在B 层不能拦截损失300万。

在c 曾不能拦截将损失1000万。

分析该防空系统的预防导能力。

对A 层性能分析：5=A λ，10=A u 得：21105===aA u p λ次层一周期内没有拦截的：11=-=pp L （枚）假设在次层拦截，会形成平均等待队长：2112=-=ppL q （枚）把等待的都拦截还平均需要的时等待间：181)(=-=λλu u W q （次） 每一次防御周期内损失的费用为：5010021100=⨯=⨯=q W W (万)对B 层性能分析：在A 层中只要是没有拦截的就是B 层的导弹流，即A 层队列中的。